Γιάννης Μήτσης

Καλημέρα Γιάννη,

τα σώματα Σ2 και Σ3 πώς βρίσκονται σε επαφή; Εννοώ πως αν τα φήσουμε το ένα δίπλα στο άλλο χωρίς να ασκείται άλλη δύναμη στον οριζόντιο άξονα (πχ η στατική τριβή αν βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο ή η οριζόντια συνιστώσα της τάσης του νήματος αν τα νήματα της φωτογραφίας δεν είναι κατακόρυφα), ώστε να πιέζει το ένα πάνω στο άλλο, τότε Ν2=Ν3=0.

καλημέρα Στάθη

Ξέχνα το εκκρεμές του Newton, ήταν απλά η αφορμή. Μελετάμε τα 3 σώματα των σχημάτων που παρουσιάζονται στις εικόνες, επομένως δεν έχουμε ούτε νήματα, ούτε βαρύτητα. Αρχικά τα Σ2 και Σ3 στέκονται το ένα δίπλα στο άλλο χωρίς να υπάρχει μεταξύ τους κάποια δύναμη.

Καλημέρα Γιάννη.
Το μυαλό μας βέβαια πάει στη γνωστή κατασκευή, που τώρα τελευταία μου έκανε επίδειξη, μέσω Viber (βρε τι έχουμε πάθει…) ο εγγονός μου, ρωτώντας με …”γιατί παππού”;
Μήπως βάζεις στο παιχνίδι το χρονικό διάστημα της κρούσης;

Τι συμβαίνει για διαφορετικές σκληρότητες των υλικών;

Καλημέρα σε όλους.

Με πρόλαβε ο Διονύσης καλημέρα Διονύση.

Ωστόσο αν δούμε τι συμβαίνει στο εκκρεμές του Νεύτωνα  με σκληρές σφαίρες φαίνεται ότι τα σώματα κινούνται όπως στην πρώτη άποψη. Θεωρώ ότι επειδή τα σώματα δεν είναι ενωμένα, έστω και για πολύ μικρό χρόνο διαχωρίζονται και γίνονται ανεξάρτητα οι κρούσεις.

https://www.youtube.com/watch?v=8dgyPRA86K0&feature=emb_title

Καλημέρα σε όλους.

Τότε Γιάννη θα απαντούσα σύμφωνα με την πρώτη άποψη. Δεν μπορεί τα σώματα να είναι ενωμένα, οπότε Ν2=Ν3=0.

Καλημέρα Χρήστο,

Ωραίο το βίντεο!!! Δίνει ιδέες…

Εκτός και αν λάβουμε υπ’ όψιν την παραμόρφωση κατά την επαφή, οπότε στέκει και η τρίτη. Αυτό εννοείς;

(Εμαφανίζονται και σε εσάς προβλήματα όταν πάτε να απαντήσετε απ’ ευθείας σε κάποιον κάτω από την δική του απάντηση;)

Γεια σου Χρήστο και Διονύση

Σκοπός δεν είναι να μελετήσω το πραγματικό εκκρεμές του newton. Όπως έγραψα και στην αρχική ανάρτηση, θέλω να μελετήσω το γνωστό μοντέλο ελαστικής κρούσης δύο στερεών σωμάτων. Άρα χρόνος κρούσης μηδέν, δυνάμεις κρούσεις άπειρες, απώλειες ενέργειας μηδενικές, καμία παραμόρφωση των σωμάτων, μηδενικός χρόνος διάδοσης του κρουστικού κύματος.

Καλημέρα παιδιά.

Στο βίντεο τα μπαλάκια δεν ακουμπάνε. Έτσι επιβεβαιώνεται η άποψη 1.

Κάνοντας προσομοιώσεις βλέπω ότι αν δεν ακουμπάνε επιβεβαιώνεται η άποψη 1.

Αν ακουμπάνε βλέπουμε οτιδήποτε. Αλλάζεις ακρίβεια και βλέπεις άλλο αποτέλεσμα.

Δεν ακουμπάνε.

Αν όμως ακουμπάνε και η ακρίβεια είναι 200;

Προσομοίωση 2

Αν ακουμπάνε και η ακρίβεια είναι 1000;

Προσομοίωση 3

Δεν ακουμπάνε, ακρίβεια 200.

Προσομοίωση  4.

Γιάννη καλημέρα.

Επειδή δεν έχω ip μπορείς να ανεβάσεις φωτογραφίες;

Καλημέρα Γιάννη (Κυριακόπουλε).

Ο έτερος Γιάννης (Μήτσης) έδωσε: Τα Σ2 και Σ3 είναι ακίνητα και σε επαφή .

Καλημέρα Χρήστο.

Μήπως ήρθε η ώρα να το εγκαταστήσεις;

Το i.p.

Γεια σου Χρήστο.

Δεν ακουμπάνε, ακρίβεια 200.

Ακουμπάνε, ακρίβεια 200.

Ακουμπάνε, ακρίβεια 1000.

Διονύση έχω βάλει την περίπτωση που τα Σ2 και Σ3 είναι σε επαφή.

Δεν βγαίνει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα.

Εγώ επιλέγω την άποψη 3!

Ακούγεται παράξενη άποψη, αφού υπονοεί πως δεν υπάρχει μοναδική σύνδεση μεταξύ αιτίας και αποτελέσματος. Κάτι τέτοιο είναι βέβαια απαράδεκτο στην κλασική φυσική. Πως θα ήταν δυνατό η αρχική κατάσταση να οδηγεί σε ένα πλήθος διαφορετικών τελικών καταστάσεων; Θα έπρεπε αφού είναι δεδομένη η αρχική κατάσταση, να είναι σαφώς προσδιορισμένη και η τελική.

Όμως μην ξεχνάμε πως μελετάμε μαθηματικό μοντέλο και όχι πραγματικό φυσικό φαινόμενο. Δηλαδή αν είχαμε πραγματικό φυσικό φαινόμενο, πράγματι η τελική κατάσταση έπρεπε να είναι σαφώς προσδιορισμένη. Το μαθηματικό μοντέλο όμως, όταν φτάνει στα όριά του, μπορεί να σε οδηγήσει σε τέτοια παράξενα αποτελέσματα

Συμφωνώ Γιάννη πως το μαθηματικό μοντέλο έρχεται στα όριά του.

Δεν λαμβάνουμε υπ’ όψιν τις παραμορφώσεις που τις θεωρούμε μηδενικές.

Δεν λαμβάνουμε υπ’ όψιν πως η παραμόρφωση της Σ2 πρέπει να είναι μεγαλύτερη.

Δεν λαμβάνουμε υπ’ όψιν ότι ακόμα και αν ακουμπάνε η συμπίεση της Σ2 προηγείται κατ’ ελάχιστον αυτής της Σ3, τόσο όσο θέλει το κύμα να διατρέξει την Σ2.

Το μοντέλο δουλεύει τέλεια αν υπάρχουν οι μικρότατες αποστάσεις μεταξύ των σφαιρών που υπάρχουν στο παιχνίδι του εμπορίου.

Γιάννη Μήτση διαφωνώ.

Τα χαρακητριστικά του μαθηματικού μοντέλου εξαρτώνται από την σκληρότητα/ελαστικότητα των σωμάτων, το αν υπάρχει επαφή μεταξύ τους (αυτό δεν μοορεί να συμβεί αν τα σώματα βρισκονται στο κενό ή πανω σε λείο επίπεδο χωρίς επιπλέον δυνάμεις) και τις αρχικές συνθήκες. Αν αυτά προσδιορισθούν επακριβώς, τότε έχουμε μόνον ένα δυνατό αποτέλεσμα.

Γεια σας παιδιά.

Ότι το μαθηματικό μοντέλο φτάνει στα όριά του είναι σίγουρο!

Όμως σκέφτομαι ότι, για πολύ σκληρές σφαίρες, χωρίς επαφή, ισχύει το μοντέλο 1.

Αν όμως υπάρχει μεγάλη ελαστικότητα, οπότε η διάρκεια επαφής αυξάνεται πολύ, θα μπορούσαμε να έχουμε την 2η περίπτωση…

Αν υπάρχει επαφή, το πρόβλημα μάλλον οδηγείται σε “αδιέξοδο” λόγω έλλειψης δεδομένων… Τι ακριβώς σημαίνει επαφή και πώς επιτυγχάνεται;

Για παράδειγμα,

για σκληρά, ελαστικά σώματα χωρίς επαφή, σωστή η άποψη 1,

για σκληρά, ελαστικά σώματα με επαφή (μένει να προσιορισθούν οι δυνάμεις που δημιουργούν την επαφή), η αποψη 2.

Κάθε φορά, αναλόγως των υποθέσεων, υπάρχει μία και μόνον λύση. Η άποψη 3 αφήνει πολλά περιθώρια απαντήσεων λόγω του ελειπούς ορισμού του προβλήματος.

Στην περίπτωση που δεν υπάρχει επαφή είναι προφανές πως ισχύει η άποψη1. Το ζήτημα είναι τι γίνεται όταν υπάρχει επαφή.

Η επαφή Διονύση δεν θα μπορούσε να επιτευχθεί ως εξής; Τα σώματα έχουν μήκος 10cm. Το cm του Σ2 είναι στη θέση 0cm και το cm του Σ3 στη θέση 10cm. Επίσης, δεν βλέπω έλλειψη δεδομένων. Η αρχική κατάσταση είναι σαφώς ορισμένη.

Καλημέρα Γιάννη και συγχαρητήρια για την ανάδειξη του φυσικού φαινομένου που υπάρχει στις διάφορες εκδοχές του!!

Θυμάμαι το 1990(;) που είχε τεθεί σε Πανελλαδικές, δύο σφαίρες που αφήνονται από ορισμένο ύψος,η μια πάνω στην άλλη, και ζητούσε το ύψος που θα αναπηδήσει η πάνω μετά τις ελαστικές κρούσεις, και μεταξύ τους και με το πάτωμα.

Τη στιγμή της επαφής με το πάτωμα της κάτω σφαίρας, υπάρχει και αλληλεπίδραση με την πάνω, και μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η πάνω θα αναπηδήσει σε διπλάσιο ύψος. Φυσικά υπάρχει ένας πολύ μικρός χρόνος αλληλεπίδρασης, σε σφαίρες και όχι σε υλικά σημεία.

Αν κάνουμε το πείραμα, θα το διαπιστώσουμε! Ο Γιάννης Δογραματζακης το είχε κάνει πριν μερικά χρόνια, και το είχε αναρτήσει σε βίντεο.

Να είσαι καλά και να είσαι πιο.. τακτικός, έχεις να πεις κάτι πάντα, εύστοχα!!

Γιάννη αν

” Τα σώματα έχουν μήκος 10cm. Το cm του Σ2 είναι στη θέση 0cm και το cm του Σ3 στη θέση 10cm. Επίσης, δεν βλέπω έλλειψη δεδομένων. Η αρχική κατάσταση είναι σαφώς ορισμένη.”,

πώς εφαρμόζεται ο 2ος νόμος του Νεύτωνα για κάθε σώμα;

Στάθη εσύ δεν αναφέρεσαι στο γνωστό μοντέλο των απόλυτα στερεών σωμάτων. Αναφέρεσαι σε πραγματικά σώματα ή σε μοντέλα που επιτρέπουν στα σώματα να μην είναι απολύτως στερεά.

Στο μοντέλο που επικολλούμε, τα Σ1 Σ2 Σ3 δεν είναι πραγματικά στερεά. Είναι ιδανικά στερεά (rigid body).

Γιατί θεωρείς την αρχική κατάσταση, όπως την περιγράφω, ως μη επακριβώς προσδιορισμένη;

Στάθη λες “πώς εφαρμόζεται ο 2ος νόμος του Νεύτωνα για κάθε σώμα;”

Εννοείς πριν την κρούση; Κάτι δεν καταλαβαίνω. Πριν την κρούση τα σώματα δεν αλληλοεπιδρούν μεταξύ τους

Γιάννη (Μη), τι εννοώ έχουμε έλλειψη δεδομένων.

Τα δυο σώματα είναι σε επαφή και κάνουμε 10 φορές το πείραμα. Δεν πρέπει να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα, τουλάχιστον τις 7-8 φορές; Αν κάποια αποτελέσματα είναι διαφορετικά, μάλλον κάποια στοιχεία χάνουμε…

Γιάννη (Κυρ), το i.p. δουλεύει με κάποιο βήμα υπολογισμού. Αυξάνοντας την ακρίβεια μειώνεις το βήμα υπολογισμού και με βάση τον υπολογισμό αυτό, υπολογίζει το τι θα γίνει στο επόμενο βήμα. Μια ολόκληρη σειρά ..προσεγγίσεων.

Τι συμπέρασμα να βγάλεις; Μάλλον οδηγείσαι σε μια σίγουρη αβεβαιότητα…

Γιάννη αν δεν υπάρχει αλληλεπίδραση πριν την κρούση, πώς γίνεται να υπάρχει επαφή; Έχω εγώ μπερδευτεί κάπου; Στέκονται σε επαφή τα δύο σώματα χωρίς την ύπαρξη άλλων δυνάμεων;

Καλημέρα συνάδελφοι

Πριν πολλά χρόνια στο παλιό ylikonet (ning ) με αφορμή την δημοσίευση του Γιάννη Δογραμαντζάκη ( ελαστική  )είχα δημοσιεύσει κάποια μελέτη για το εκκρεμές του Νεύτωνα που ήταν λάθος . ( Θα την βρω κι αυτήν )

Είχε αποδειχτεί από τον Γιάννη Κυριακόουλο με i,p, ότι τα δικά μου ήταν λάθος .  Και είχε κατόπιν ασχοληθε’ι και ο Πρόδρομος

Μετά από λίγο ο αείμνηστος  Βαγγ’ελης Κορφιάτης είχε δώσει ΤΗΝ ΛΥΣΗ

Βέβαια Διονύση θα είχαμε το ίδιο αποτέλεσμα στο πείραμα αλλά το πείραμα θα γινόταν προφανώς με πραγματικά σώματα (που δεν έχουν άπειρη σκληρότητα ή άπειρη ταχύτητα διάδοσης κρουστικού κύματος). Το ερώτημα που έθεσα αφορούσε την συμπεριφορά του μοντέλου και όχι την συμπεριφορά πραγματικών σωμάτων.

Στο μοντέλο του απολύτως στερεού σώματος, δεν καταλαβαίνω το τι νόημα έχει η έκφραση δεν υπάρχει κενό μεταξύ τους αλλά είναι σε επαφή!

Αν δεν υπάρχει κενό και υπάρχει επαφή, υπάρχει δύναμη επαφής και αν υπάρξει δύναμη επαφής τα σώματα Σ2 και Σ3 θα αποχωριστούν. Μπορεί τα σώματα να είναι απείρως κοντά το ένα στο άλλο, αλλά δεν είναι δυνατόν εφάπτονται, άρα να ασκούν δυνάμεις. Μόλις τα αφήσεις ελεύθερα (σταματήσει η δράση) θα σταματήσει και η αντίδραση (δύναμη επαφής).

Εξακολουθώ να πιστεύω πως σε αυτό το μοντέλο/προσέγγιση του απολύτως στερεού σώματος και της ακαριαίας κρούσης, η σωστή άποψη είναι η 1.

Στάθη έχω δύο πανομοιότυπα στερεά σώματα (rigid body). Έχουν σχήμα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με μήκος 10cm.

Δεν έχω βαρύτητα ή άλλα πεδία.

Θεωρώ νοητό άξονα x.

Τοποθετώ το 1ο σώμα στη θέση 0cm και το 2ο σώμα στη θέση 10cm. Έχω δηλαδή την παρακάτω κατάσταση:

Τα δύο σώματα δεν αλληλοεπιδρούν μεταξύ τους αλλά βρίσκονται σε επαφή.

Αν σε ενοχλεί το “βρίσκονται σε επαφή” μπορώ να το αντικαταστήσω με το “δεν υπάρχει κενό μεταξύ τους”

Νομίζω πως η παραπάνω αρχική κατάσταση είναι σαφώς ορισμένη

Δηλαδή Στάθη δεν δικαιούμε τα τοποθετήσω το Σ1 στη θέση 0cm και το Σ2 στη θέση 10cm;

Φυσικά και έχεις Γιάννη, αλλά δεν μπορείς, κατά την γνώμη μου, να επικαλείσαι επαφή χωρίς να δέχεσαι δύναμη επαφής. Και η δύναμη επαφής είναι αντίδραση, άρα δεν υφίσταται χωρίς δράση.

Αφού δέχεσαι πως μπορώ να τοποθετήσω το Σ1 στη θέση 0cm και το Σ2 στη θέση 10cm, πόσο είναι το κενό μεταξύ των δύο σωμάτων; 0cm δεν είναι; Θες να μην το πεις επαφή, δε με πειράζει. Σημασία έχει πως δεν υπάρχει κενό μεταξύ των σωμάτων.

Παιδιά δεν είναι η πρώτη φορά που ερχόμαστε σε επαφή με ανεπάρκειες μοντέλων.

Γεωμετρία, Φυσική και κάθετη δύναμη

Η δύναμη που ασκεί το λάστιχο στο καρφί.

Το νερό και το δοχείο.

Ένα παράδοξο ψάχνει λύση.

Λίγο να ψάξουμε θα βρούμε δεκάδες τέτοια.

Μηδενικές αποστάσεις μεταξύ σφαιρών, ακαριαίες κρούσεις, ασυμπίεστα στερεά, τριβές που εξαφανίζονται μυστηριωδώς και πολλά άλλα που οδηγούν σε αντιφάσεις και αδιέξοδα.

Όλα αυτά τα παράδοξα είναι πολύ όμορφα, διότι μαθαίνεις από αυτά.

Δείτε το πρώτο με το στεφάνι που έγραψε ο Ανδρέας. Πόσο απλό είναι να δώσεις εξήγηση σε πραγματικά στερεά!

Το i.p. τα παίζει με την περίπτωση του στεφανιού, ακριβώς όπως και το χαρτί με το μολύβι.

Γιάννη (Κυρ) καλησπέρα. Προφανώς δεν μπορούν όλα τα μοντέλα να εξηγήσουν όλα τα φαινόμενα. Αλλά όταν «μεταφράσεις»  σωστά το φυσικό σύστημα σε μαθηματικό μοντέλο, στην κλασσική φυσική  όπως γράφει και ο έτερος Γιάννης, θα πάρεις μία και μόνον απάντηση. Δεν γίνεται να υπάρχουν αμφισημίες γιατί οι  νόμοι είναι γνωστοί και αιτιοκρατικοί.

Γιάννη (Μητ) από μαθηματικής άποψης και για ακαριαίες κρούσεις, ποια η διαφορά, (α) της μηδενικής απόστασης των δύο σωμάτων με μηδενική δύναμη επαφής, από (β) την μη μηδενική απόσταση όπου τα σώματα κινούνται ευθύγραμμα και ομαλά όταν δεν αλληλεπιδρούν;   Όταν δέχεσαι επαφή χωρίς παραμόρφωση και ακαριαία αλληλεπίδραση, δέχεσαι αναγκαστικά και δύναμη επαφής. Το πρόβλημα κατά την γνώμη μου είναι ότι αυτό το μοντέλο δεν αιτιολογεί αυτήν την δύναμη.

Παίζοντας με το μοντέλο του Βαγγέλη Κορφιάτη.

Επιβεβαιώνεται η 1.

Στάθη σωστά τα λες (με μια επιφύλαξη για τα χαοτικά φαινόμενα).

Το μοντέλο του Βαγγέλη Κορφιάτη καλό είναι μάλλον.

Έπειτα μια διαίσθηση με οδηγεί στην 1.

Στις κρούσεις έχουμε δει ότι “η ταινία παίζει ανάποδα”.

Μου φαίνεται ότι στην 1 μόνο παίζει ανάποδα η ταινία.

Γιάννη αυτό το θέμα είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον.

Στο χάος, η μη προβλεπτικότητα (υπάρχει αυτήν η λέξη;) των μοντέλων οφείλεται στην αδυναμία προσδιορισμού επακριβώς κάποιας αρχικής συνθήκης, σε συνδυασμό με το ότι πολύ μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες οδηγούν σε τ ελείως διαφορετική χρονική εξέλιξη.  Παραμένει όμως μία καθαρά κλασσική απροσδιοριστία.  Αν είχαμε τέλεια γνώση των αρχικών συνθηκών (αν μπορούσαμε να τις μετρήσουμε με όση ακρίβεια επιθυμούμε), η εξέλιξη του συστήματος θα ήταν πλήρως γνωστή και αιτιοκρατική με τους υπάρχοντες νόμους.

Στην κβαντική από την άλλη… τα πράγματα, τουλάχιστον περιπλέκονται.

Μάλλον “προβλεψιμότητα”.

Τα συστήματα στη φύση είναι μη γραμμικά. Έτσι οι διαταραχές και οι θόρυβοι ενισχύονται.

Η παράγωγος του 3x είναι το 3. Η παράγωγος του 3x^3 είναι το 9x*2. Ο συντελεστής τριπλασιάστηκε.

Αυτό είναι γνωστό από τους τελεστικούς ενισχυτές. Ολοκληρώνεις σήμα αλλά αν το παραγωγίσεις οι (υπαρκτοί) θόρυβοι θα ενισχυθούν τόσο που το αποτέλεσμα δεν θα έχει σχέση με ότι αναμένεις.

Το φαινόμενο της πεταλούδας.

Το πρόβλημα που έθεσε ο Γιάννης δεν είναι (μάλλον) χαοτικό, όμως ανέφερα εν παρόδω τα χαοτικά απαντώντας σου:

Στάθη σωστά τα λες (με μια επιφύλαξη για τα χαοτικά φαινόμενα).

Γιάννη, το μοντέλο Κορφιάτη δεν οδηγεί στην υιοθέτηση της άποψης1.

Στο ip που έφτιαξες, επέλεξες τα ελατήρια να έχουν σταθερά 20N/m. Αν βάλεις όμως σταθερά ελατηρίων 200N/m θα δεις πως η προσομοίωση δεν συνάδει με την άποψη1.

Καλησπέρα Γιάννη.

Ο Βαγγέλης κατέληξε στο V3=0,97Vo.

Με το k=200 η προσομοίωση δεν απομακρύνεται πολύ τελικά. Πλησιάζει λιγότερο όσα γράφει ο Βαγγέλης.

Δες τις κρούσεις που το πρώτο μπαλάκι προκαλεί.

Πάντως πλησιάζει ακόμα και αυτή περισσότερο την εκδοχή 1 από κάποια άλλη.

Καλησπέρα σε όλους τους ενδιαφερόμενους.

εδώ    υπάρχει μια πολύ σοβαρή δουλειά για το θέμα κρούσης πολλών στερεών σωμάτων (περιλαμβάνει και την θεώρηση του Βαγγέλη)

Όποιος ενδιαφέρεται είναι η παράγραφος 6  σελίδα  222  μέχρι τέλος του κεφαλαίου.  Δεν το έχω δει αναλυτικά στο συμπέρασμα βλέπω ότι δίνει πολύ ρόλο στην πυκνότητα και στην σκληρότητα, ακαμψία  (stiffness)  των σφαιρών.

Καλημέρα παιδιά.

Η περίπτωση συνεχίζει να με απασχολεί.

Κάποιες σκέψεις.

Είναι ένα κράμα απλής Άλγεβρας, λογικής (ελπίζω) και διαίσθησης (φοβάμαι).

Έτσι τίθενται φυσικά υπό συζήτησιν.

Τις σκέψεις αυτές τείνω να τις πιστέψω.

Κάθε προσομοίωση οιασδήποτε ακρίβειας καταλήγει εκεί.

Μία με ακρίβεια 200.

Όποια ακρίβεια και να βάλετε, θα δείτε το ίδιο.

Γιάννη καλησπέρα.

Στο πνεύμα της λύσης του Βαγγέλη Κορφιάτη, προσομοίασα την περίπτωση όπου ένα σώμα μάζας m, με ταχύτητα υ0=1m/s προσπίπτει στο ακίνητο σύστημα των σωμάτων (k,m,k,m), όπως παρακάτω.

Στο δέυτερο διάγραμμα απεικονίζονται οι ταχύτητες συναρτήσει του χρόνου κάθε σώματος.

Το ελατήριο “1” επανέρχεται στο φυσικό του μήκος και το σώμα “1” αποχωρίζεται από το σύστημα των δύο άλλων σωμάτων, σε χρόνο 1.14s. Τότε παρατηρούμε ότι υ1=-0.13m/s.

Το ελατλήριο “2” επανέρχεται στο φυσικό του μήκος μετά χρόνο 1.51s και τότε αποχωρίζονται τα σώματα “2” και “3” έχοντας ταχύτητες υ2=0.03m/s και υ3=0.97m/s.

Αυτά για m=1Kg, k=5Nt/m και ελεύθερο μήκος ελατηρίων l0=1m. Αν αυξηθεί η σκληρότητα, τότε η συμπεριφορά του συστήματος ποιοτικά είναι η ίδια, απλά η όλη διαδικασία της αλληλεπίδρασης γίνεται πολύ πιο σύντομη, οι ταχύτητες υ1 και υ2 μικρότερες αλλά διατηρώντας την φορά τους και η ταχύτητα υ3 πλησιάζει περισσότερο την υ0.

Φαίνεται ότι επιβεβαιώνονται τα συμεράσματά σου.

Στάθη καλή η δουλειά σου. Πρέπει να είναι έτσι.

Καλημέρα συνάδελφοι.

Συμφωνώντας μαζί σας, θα ήθελα να επισημάνω μερικές σκέψεις μου.

Το μοντέλο του Κορφιάτη τροποποιημένο για την περίπτωση μικρών χαλύβδινων σφαιρών εκτός από αμελητέες παραμορφώσεις ( σε σχέση με τις διαστάσεις της κάθε σφαίρας ) απαιτεί επιλέον :

α) χρόνους δτ κάθε κρούσης αμελητέους σε σχέση με τον χρόνο διάδοσης δt του κρουστικού κύμαυος μέσα στην κάθε σφαίρα. (Έτσι οι κρούσεις μπορούν και να θεωρηθούν διαδοχικές ακόμα και αν αυτές είναι σε επαφή ) .

Αλλά και

β) ο ο χρόνος διάδοσης δt ενός κρουστικού κύματος μέσα σε κάθε σφαίρα αρκετά μικρός ώστε να μπορεί να θεωρηθεί ότι η μετατόπιση δx=υ(δt) αμελητέα σε σχέση με τις διαστάσεις της κάθε σφαίρας  .

Με τις παραπάνω παραδοχές α. και β.  τα δυο μοντέλα (Ι) ελαστικών παραμορφώσεων με χρονική διάρκεια (ΙΙ) ακαριαίες κρούσεις μη παραμορφώσιμων τελείως στερεών σωμάτων μπορούν να δώσουν την ίδια πρόβλεψη – ερμηνεία του φαινομένου.

Λέω τώρα.

Γεια σου Μήτσο.

Συμφωνώ με τα διαγράμματα του Στάθη, όμως αυτά δεν υποδεικνύουν την άποψη1. Για να ισχύει η άποψη1 θα πρέπει η 1η κρούση να έχει πλήρως ολοκληρωθεί και μετά να ξεκινήσει η 2η.

Σημαντική λεπτομέρεια: Στο μοντέλο των απόλυτα σκληρών σωμάτων θέλουμε οι σταθερές των ελατηρίων να τείνουν στο άπειρο. Αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι Κ1=Κ2=Κ->οο.  Μπορεί κάλλιστα να είναι Κ1=α, Κ2=2α με α->οο. Με τον τρόπο αυτό και τα δύο Κ απειρίζονται αλλά κατά κάποιον τρόπο το ένα άπειρο είναι μεγαλύτερο από το άλλο (ελπίζω να μην διαβάζουν μαθηματικοί την τελευταία μου διατύπωση)

Δημήτρη λες πως το δτ (χρόνος κρούσης) είναι μικρότερος του δt (χρόνος διάδοσης). Αυτό όμως ισχύει στα πραγματικά υλικά. Στο μοντέλο των απόλυτα στερεών σωμάτων τα δύο χρονικά διαστήματα δτ και δt τείνουν στο μηδέν. Το μοντέλο δεν μας δίνει καμία πληροφορία για το ποιο από τα δύο αυτά χρονικά διαστήματα τείνει γρηγορότερα στο μηδέν. Το μοντέλο μου δίνει το δικαίωμα να υποθέσω πως δt (χρόνος διάδοσης) τείνει στο μηδέν πολύ πιο γρήγορα από το δτ. Έτσι, η 2η κρούση έχει ξεκινήσει πριν ολοκληρωθεί η πρώτη, οπότε πάει περίπατο η 1η άποψη.

Ουσιαστικά η 1η άποψη υποθέτει ότι δτ<<δt (δηλ πρώτα ολοκληρώνεται η 1η κρούση και μετά ξεκινά η 2η). Η 2η άποψη υποθέτει ότι δτ>>δt (δηλ οι δύο κρούσεις ξεκινούν ταυτόχρονα) και η 3η άποψη λέει πως μπορούμε να υποθέσουμε οποιαδήποτε σχέση μεταξύ δτ και δt

Γιάννη ποια η αντίρρησή σου με όσα έγραψα;

Που κάνω λάθος;

Γιάννη η κατάληξη σ’ αυτό που προτείνεις είναι άλλη:

Έπειτα δεν μου φαίνεται λογικό να υπάρχουν δύο λύσεις.

Αυτό που λες με το φιλμάκι δεν μου φαίνεται περίεργο.

Γιάννη, σε προηγούμενο σχόλιό σου “ανέβασες” ένα ip αρχείο όπου φαινόταν οι κρούσεις μεταξύ τριών σφαιρών

Στο δικό σου ip αρχείο, αναπαράστησα το φαινόμενο όχι με σφαίρες αλλά με κύβους. Θα περιμέναμε όπως συμπεριφέρονται οι σφαίρες να συμπεριφερθούν και οι κύβοι. Όμως οι κύβοι υποστηρίζουν την άποψη2 δες εδω

Δεν είναι καλή ιδέα να χρησιμοποιούμε το ip όταν υποψιαζόμαστε πως το μοντέλο μας έχει φτάσει στα όριά του. Εξηγώ:

Τα μοντέλα περιέχουν απειρισμούς ή μηδενισμούς φυσικών μεγεθών που στην πραγματικότητα δεν ισχύουν. πχ σε κάποιο μοντέλο έχουμε υποθέσει πως ένα σώμα έχει άπειρη πυκνότητα (πχ υλικό σημείο) και ένα άλλο έχει άπειρη σκληρότητα (πχ στερεό σώμα) και ένα άλλο μηδενική μάζα (πχ ελατήριο).  Συνήθως αυτοί οι απειρισμοί ή οι μηδενισμοί δεν μας ενοχλούν, το αντίθετο μάλιστα μας διευκολύνουν. Όμως, σε κάποιες ειδικές περιπτώσεις-φαινόμενα οι απειρισμοί “αντιπαλεύουν” ο ένας τον άλλον. (πχ για την περίπτωση των κρούσεων που συζητάμε, ο μηδενισμός του χρονικού διαστήματος κρούσης αντιπαλεύει τον μηδενισμό χρονικού διαστήματος διάδοσης κρουστικού κύματος)

Όταν συμβεί το παραπάνω, το μοντέλο παύει να είναι αυτοσυνεπές και καταρρέει. Αυτό έχει ως συνέπεια να ακολουθείς την σωστή λογική Α να καταλήγεις στο Χ συμπέρασμα ενώ αν ακολουθήσεις την επίσης σωστή λογική Β να καταλήγεις στο συμπέρασμα Ψ (<>Χ)

Το ip εσωτερικά έχει κάποιους αλγορίθμους που έστω ακολουθούν τη Α λογική οπότε το λογισμικό καταλήγει στο Χ συμπέρασμα και στο παρουσιάζει. Όπως είπαμε όμως, σε ένα καταρρέων μοντέλο μπορεί να υπάρχει και η Β λογική που οδηγεί στο Ψ συμπέρασμα. Ένα άλλο λογισμικό θα σου έδινε το Ψ συμπέρασμα αν ήταν φτιαγμένο να ακολουθεί την Β λογική.

Μου κάνει εντύπωση αυτό που συνέβη με τους κύβους.

Καλησπέρα παιδιά.

Γιάννη Μήτση έχω μπερδευτεί. Το επιχείρημα υπέρ της 3ης άποψης είναι ποιό; Για συγκεκριμένες αρχική ταχύτητα της m1, το ίδιο μοντέλο μπορεί να δώσει περισσότερες από μία λύσεις, αρκεί να ικανοποιείται η ΑΔΟ και η ΑΔΕ; Ποιο μοντέλο είναι αυτό συγκεκριμένα και ποιες οι, έστω δύο, λύσεις του;

Και αν ένα μοντέλο δώσει περισσοτερες από μία λύσεις, δεν πρέπει ή να το απορρίψουμε ή τουλάχιστον να το τροποποιήσουμε (αυτό κατάλαβα στην τελευταία σου απάντηση στον Γιάννη);

Κύβοι και σφαίρες νο 2.

Έβαλα μεταξύ τους μικρότατες αποστάσεις. Η συμπεριφορά φαίνεται.

Ταιριάζει με την άποψη 1, κάτι στο οποίο συμφώνησες από την αρχή.

Οι εξισώσεις Δ.Ο. και Δ.Ε. είναι πανομοιότυπες με την περίπτωση που υπάρχει επαφή. Στην περίπτωση επαφής το σύστημα δεν έχει μόνο μία λύση. Όμως η πραγματικότητα δεν μπορεί να έχει δύο λύσεις. Πιστεύω ότι θα συμβεί ότι συμβαίνει στην περίπτωση της ελάχιστης απόστασης.

Ναι βέβαια, αν βάλεις μακρότατη αλλά μη μηδενική απόσταση, προφανώς ισχύει η άποψη 1, καμία αντίρρηση.

Για την περίπτωση της επαφής όπου έχουμε πολλές λύσεις, το ip διαλέγει μία από αυτές. Για καλή μου τύχη άλλη διαλέγει όταν έχεις σφαίρες και άλλη όταν έχει κύβους.

Το ip γενικά το εμπιστεύομαι αλλά όχι σε περιπτώσεις που το μοντέλο καταρρέει. Τι να σου κάνει και αυτό τότε;

Γιάννη, αυτό που βλέπω στους αριθμούς που έστειλες, είναι οι λύσεις ενός συστήματος δύο εξισώσεων με τρεις αγνώστους, οπότε λογικό το άπειρον του πλήθους  των λύσεων. Αλλά δεν βλέπω φυσικό σύστημα, παρά μόνον μία λύση σε ένα μαθηματικό πρόβλημα, ενώ καλούμαστε στα πλαίσια της κλασσικής φυσικής να περιγράψουμε ένα φυσικό φαινόμενο. Το όποιο μοντέλο φτιάξουμε θα πρέπει να ικανοποιεί τις βασικές αρχές της κλασσικής φυσικής: 3 νόμους του Νεύτωνα και την αρχή διατήρησης της ενέργειας.

Υπόθεση: Μοντέλο Ι

1. Τα σώματα 2 και 3 δεν μπορούν να ισορροπούν σε επαφή, γιατί επαφή σημαίνει δύναμη επαφής (διαφορετικά επαφή και ισορροπία σε απόσταση θα σημαίνει το ίδιο πράγμα). Αλλά αν τα δύο σώματα δεν δέχονται άλλη δύναμη στον οριζόντιο άξονα, τότε δεν μπορούν να εφάπτονται (ακόμη και αν δεν υπάρχει κενό μεταξύ τους) γιατί δεν ισχύει ο πρώτος νόμος, αλλά ο δεύτερος.
2. Προσεγγίζουμε τις κρούσεις ως ελαστικές (διατήρηση της ενέργειας) και ακαριαίες (οπότε όταν ξεκινά η κρούση 2-3 δεν έχει νόημα να ρωτήσουμε αν ολοκληρώθηκε η κρούση 1-2).
3. Τα σώματα θεωρούνται απείρως σκληρά και όχι ελαστικά (συνεπώς δεν παραμορφώνονται).

Το μοντέλο Ι έχει μία λύση, αυτή της άποψης 1. Και στην συνθήκη 1 βρίσκεται κατά την γνώμη μου το λάθος στην ανάλυσή σου.

Αν παρ’ όλα αυτά σε ένα πείραμα βρούμε ότι δεν ικανοποιείται η λύση 1, προσωπικά θα κοιτούσα ποια από τις παραπάνω συνθήκες παραβιάζεται. Μήπως δεν είναι απείρως σκληρά, μήπως υπάρχουν απώλειες ενέργειας, μήπως ασκούνται και άλλες δυνάμεις;

Αν τώρα θέλουμε να υιοθετήσουμε ένα διαφορετικό μοντέλο από το Ι, πρέπει να το ορίσουμε αυστηρά, διαφορετικά είναι λογικό να υποπέσουμε σε ασάφειες (το ίδιο ισχύει και στα παραδείγματα/παράδοξα του ετέρου Γιάννη). Για παράδειγμα αν χαλαρώσουμε την συνθήκη 3 και θεωρήσουμε τα σώματα ελαστικά, τότε καταλήγουμε στα διαγράμματα που έδωσα παραπάνω. Φαίνεται ότι και τότε οι λύσεις τείνουν προς την άποψη 1, ειδικά όσα αυξάνουμε την σκληρότητα των ελατηρίων (παρατήρησε ότι εκεί η αλληλεπίδραση 1-2 σταματά πριν την αλληλεπίδραση 2-3, ενώ ξεκινούν ταυτόχρονα).

Το να επικαλούμαστε «κρουστικά κύματα» στα σώματα για να απαντήσουμε, νομίζω ότι είναι τραβηγμένο.

Καταλήγω και πάλι με την ερώτηση (γιατί μπορεί κάτι να μην βλέπω και να κάνω λάθος που επιμένω): ποιο είναι το φυσικό μοντέλο που επιδέχεται άπειρες λύσεις;

Καλό βράδυ, τα λέμε και αύριο.

Στάθη, μου ζήτησες να σου παρουσιάσω πολλαπλές λύσεις συμβατές με την άποψη3.

Το Σ1 αρχικά έχει ταχύτητα 21m/s και τα άλλα δύο είναι ακίνητα.

Η άποψη3 αποδέχεται την άποψη1 (u1=0 u2=0 u3=21) καθώς και την άποψη3 (u1=-7 u2=14 u3=14)

Επιπλέον η άποψη3 αποδέχεται ως ορθές τις λύσεις u1=-4 u2=5 u3=20 καθώς και u1=-6 u2=9 u3=18

Η άποψη3 αποδέχεται άπειρες λύσεις (εγώ έψαξα και σου βρήκα ακέραιες τιμές) αρκεί να είναι συμβατές με ΑΔΟ και ΑΔΕ [Επίσης το Σ2 δεν μπορεί προσπεράσει το Σ3 (άρα u3>=u2) και το Σ1 δεν μπορεί να προσπεράσει το Σ2 (u2>=u1)]

Αν ένα μοντέλο σου δίνει πολλαπλές λύσεις πράγματι δεν είναι κατάλληλο να περιγράψει ένα φαινόμενο κλασικής μηχανικής. Ουσιαστικά η άποψη3 μας λέει πως το μοντέλο που συνήθως χρησιμοποιούμε στις κρούσεις, στο συγκεκριμένο φαινόμενο καταρρέει και επομένως είναι ακατάλληλο για την περιγραφή του συγκεκριμένου φαινομένου. Όπως έγραψε και ο Γιάννης σε προηγούμενα μηνύματα, αυτό το έχουμε δει αρκετές φορές όταν χειριζόμαστε μοντέλα.

Γιάννη, κάποια σχόλια για το κείμενό σου “Κάποιες σκέψεις” που έγραψες σήμερα το πρωίΔεν έχω καμία αντίρρηση στη μαθηματική περιγραφή που κάνεις.Όμως, μετά τη μαθηματική περιγραφή λες “Μου φαίνεται περίεργο αυτό και πιστεύω πως δεν στέκει”. Εμένα μου φαίνεται πως στέκει.Τροποποίησα την εικόνα σου, βάζοντας συγκεκριμένες τιμές ταχυτήτων (συγκεκριμένα έβαλα τιμές συμβατές με την άποψη2)

Δύο σώματα συνολικής μάζας 2m κινούνται (ουσιαστικά σαν ένα σώμα) εναντίον σώματος μάζας m που κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση. Τα δύο σώματα ακινητοποιούνται και το τρίτο αλλάζει φορά κίνησης. Μια χαρά δεν στέκει;

Να σου πω ένα ομορφότερο παράδειγμα. Η λευκή μπάλα του μπιλιάρδου πέφτει με μεγάλη ταχύτητα στις υπόλοιπες ακίνητες 15 οπότε αυτές αποκτούν διάφορες ορμές με συνιστώσες κυρίως προς τα δεξιά. Εντωμεταξύ η λευκή μπάλα ίσως και να ακινητοποιηθεί.

.

Αν δούμε το φιλμάκι ανάποδα (έστω πως δεν έχουμε τριβές) μας φαίνεται ότι δεν στέκει, αφού σκεφτόμαστε “πως είναι δυνατόν η ακίνητη λευκή μπάλα να ακινητοποιεί 15 μπάλες που έρχονται καταπάνω της, όλες σχεδόν από τη δεξιά πλευρά;”. Το ότι μας φαίνεται πως δεν στέκει το ανάποδο φιλμάκι, δεν σημαίνει πως το ορθό φιλμάκι είναι λάθος.

Γεια σου Στάθη

Ας έρθουμε στην απαίτηση Β του  “Μοντέλο Ι” που αναφέρεις και ειδικότερα στο απόσπασμα “… και ακαριαίες (οπότε όταν ξεκινά η κρούση 2-3 δεν έχει νόημα να ρωτήσουμε αν ολοκληρώθηκε η κρούση 1-2).”

Αν καταλαβαίνω καλά, υποστηρίζεις πως οι κρούσεις 1-2 και 2-3 γίνονται ταυτόχρονα και όχι διαδοχικά. Αφού λοιπόν δεν έχουμε διαδοχικές κρούσεις πως καταλήγεις στην άποψη1; Η άποψη1 προϋποθέτει διαδοχικές κρούσεις.

Γιάννη καλησπέρα.

Όχι δεν εννοώ αυτό, μάλλον δεν το διατύπωσα σωστά. Για την άποψη 1, οι κρούσεις είναι ακαριαίες και διαδοχικές. Αλλά το ακαριαίον των κρούσεων τις καθιστά οριακά (από τα «κάτω») διαδοχικές ακόμη και αν τα σώματα 2 και 3 είναι τόσο κοντά, που τείνει να μην υπάρχει κενό μεταξύ τους. Αυτό εννοώ με την έκφραση «δεν έχει νόημα».

Παρατήρησε όμως ότι καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα και στο μοντέλο με τα ελατήρια, αν αυξήσουμε πολύ την σκληρότητά τους, αν και εκεί οι κρούσεις δεν είναι διαδοχικές, όπως φαίνεται από τα διαγράμματα των παραμορφώσεων που έδωσα χθες.

Στάθη, δες το παρακάτω σύνολο παραδοχών

1) η κρούση Σ1-Σ2 είναι ακαριαία, δηλαδή δεν έχει χρονική διάρκεια. Συμβαίνει έστω τη χρονική στιγμή t1

2) η κρούση Σ2-Σ3 είναι ακαριαία, δηλαδή δεν έχει χρονική διάρκεια. Συμβαίνει έστω τη χρονική στιγμή t2

3) το κρουστικό κύμα διαδίδεται ακαριαία.

4) Η χρονική στιγμή t2 είναι μεταγενέστερη της t1

Κάθε μία από τις παραπάνω παραδοχές στέκει από μόνη της, αλλά ως πακέτο παραδοχών είναι αντιφατικό. Είναι σαν να λέμε πως ο επόμενος πραγματικός αριθμός του t1 είναι ο t2.

Γιάννη δυστυχως δεν καταλαβαίνω το επιχείρημά σου.

Ένας τρόπος: Η κρούση 1-2 είναι ακαριαία σε μία χρονική στιγμή t, και η επίσης ακαριαία κρούση 2-3 συμβαίνει σε μια επόμενη χρονική στιγμή με απειροστή διαφορά μεταξύ τους. Γιατί είναι σαν να λέμε “πως ο επόμενος πραγματικός αριθμός του t1 είναι ο t2”;

Διαφορετικά: Οι χρονικά πεπερασμένες κρούσεις ξεκινούν μαζί την χρονική στιγμή t αλλά η δεύτερη κρατά περισσότερο από την πρώτη, όλα τα σώματα έχουν τις ίδιες ελαστικές ιδιότητες (σκληρότητες ελατηρίων) και για μεγάλες τιμές σκληρότητας προκύπτει με πολύ καλή προσέγγιση η άποψη 1.

Ρωτώ από την αρχή: πώς εφαρμόζεται ο 2ος νόμος στα σώματα 2 και 3 αν ασκούνται δυνάμεις επαφής μεταξύ τους;

Επειδή όμως βλέπω ότι κάνουμε κύκλους, πρότεινε εσύ το μοντέλο που οδηγεί στην άποψη 3: “Μετά την κρούση, τα σώματα μπορούν να έχουν οποιεσδήποτε ταχύτητες u1΄, u2΄, u3΄, αρκεί να ικανοποιείται η ΑΔΕ, η ΑΔΟ και η συνθήκη u1΄<u2΄<u3΄”.

Τι ξεχωρίζει την κάθε δυνατή από τις άπειρες λύσεις;

Πώς είναι δυαντόν να δεχτούμε άπειρες φυσικά υλοποιήσιμες λύσεις από τις ίδιες αρχικές συνθήκες;

Αυτά είναι τα ερωτήματα που πρέπει να απαντηθούν ακόμη και αν εγώ κάνω λάθος σε ότι προτείνω.

Στάθη

α) Λες: “Ρωτώ από την αρχή: πώς εφαρμόζεται ο 2ος νόμος στα σώματα 2 και 3 αν ασκούνται δυνάμεις επαφής μεταξύ τους;”

Εννοείς πριν την κρούση;. Το έχω απαντήσει, δεν ασκούντε μεταξύ τους δυνάμεις επαφής. Το ένα σώμα είναι ακριβώς δίπλα στο άλλο χωρίς υπάρχει κενό μεταξύ τους. Αν θες μην το ονομάζεις επαφή, δεν έχει σημασία το όνομα.

β) Λες: “πρότεινε εσύ το μοντέλο που οδηγεί στην άποψη 3”.

Και η άποψη3 στο ίδιο μοντέλο αναφέρεται.

γ) Λες: “Τι ξεχωρίζει την κάθε δυνατή από τις άπειρες λύσεις;”

Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς

δ) Λες: “Πώς είναι δυαντόν να δεχτούμε άπειρες φυσικά υλοποιήσιμες λύσεις από τις ίδιες αρχικές συνθήκες;”

Έχω ξαναγράψει πως συμφωνώ. Δεν είναι φυσικά αποδεκτό να έχεις πολλαπλές τελικές καταστάσεις με δεδομένη αρχική. Το μαθηματικό αυτό μοντέλο δεν είναι κατάλληλο για την μελέτη του συγκεκριμένου φυσικού φαινομένου.

Σχετικό:

Από τους Μυθμπάστερ.