by 
Μετά την ανάρτηση Ισορροπίες και τριβές πήρα e-mails με ερωτήματα και κάποιες διευκρινήσεις. Παρατηρώντας λοιπόν ότι το θέμα δεν είναι τόσο ξεκάθαρο, ας κάνουμε μια προσπάθεια, παράπλευρη. Για διευκόλυνση της συζήτησης, απλοποιώ λίγο τα πράγματα.
Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα 10kg και ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με ακλόνητο εμπόδιο, ύψους h=R, με το οποίο εμφανίζει συντελεστές τριβής μ=μs=0,8.
Γύρω από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, μέσω του οποίου ασκούμε στον κύλινδρο οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα.
i) Τι πρόκειται να συμβεί για διάφορες τιμές της ασκούμενης δύναμης F;
Για διευκόλυνση, ας δούμε τι πρόκειται να συμβεί, αν το μέτρο της δύναμης είναι:
α) F=5Ν, β) F=50Ν, γ) F=150Ν, δ) F=2.000Ν
ii) Αν οι συντελεστές τριβής είχαν τιμή μ=μs=1, θα άλλαζε κάτι;
Να τονίσω ότι το ύψος του εμποδίου, είναι ίσο με την ακτίνα του κυλίνδρου.
Αυτό είναι "ειδική" περίπτωση, αφού κάθε τέτοιο σκαλοπάτι, μπορεί να έχει μικρότερο ύψος και η υπερπήδηση να είναι ευκολότερη.
Απλά τότε έχουμε "μαθηματικά-γεωμετρικά" μπλεξίματα…
Το τελευταίο εικονίδιο, αφιερωμένο στο Παντελή που το αναζητούσε τις τελευταίες μέρες.
Ευχαριστώ Διονύση …
Ορισμένες φορές νοιώθω πλούσιος … και επισκέπτομαι τα πλούτη (για άθληση)!
Κάποιο στοιχείο στη φωτό ,πλην της χλωρίδας που παντού υπάρχει, μαρτυρά την τοποθεσία που είναι ο … ;;
Λόγω βάρδιας με πολύ σύντομη σκέψη :
για F < 125N στρέφεται σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο
για τις τιμές F=150 Ν, 2000Ν χάνει την επαφή με το οριζόντιο στρεφόμενος .
Τώρα πρέπει να φύγω και αν είμαι λάθος …τι να πω ;
Κάποιοι υπολογισμοί:
Παρατηρείται το εξής χαριτωμένον:
Οι δυνάμεις που δεν το ανασηκώνουν το κάνουν να περιστρέφεται αν ο συντελεστής είναι κάτω από 1, ενώ έχουμε πλήρη ισορροπία με μικρότερο συντελεστή.
Ποιες δυνάμεις το ανασηκώνουν σε κάθε περίπτωση;
Όσες υπερβαίνουν την τιμή Β/μ.
Έστω δύναμη που δεν το ανασηκώνει, δηλαδή μικρότερη από Β/μ.
Της προσδίδει γωνιακή επιτάχυνση ίση προς (F.R-T.R)/I=F.R(1-μ)/I.
Φυσικά αν μ=1 δεν στρέφεται.
Παιδιά θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση:
Οι δύο περιπτώσεις:
δεν είναι διαφορετικές;
Στην πρώτη, τα σταθμά είναι αυτά που θα "τραβήξουν" το νήμα και, αν το κάνουν και κινηθούν προς τα κάτω, θα πρέπει να έχουν επιτάχυνση μικρότερη από g.
Διαβάζω στο συμπέρασμα στην άσκηση του Διονύση (που αναφέρεται στην περίπτωση για μ<1):
Αυτό που καταλαβαίνω από το συμπέρασμα είναι ότι όταν έχω κρεμασμένο σώμα, που θα τραβήξει το νήμα, δεν υπάρχει περίπτωση να ανασηκωθεί ο τροχός για οποιαδήποτε μάζα του κρεμασμένου σώματος, αν ισχύει μ<1.
Αντίστοιχο, όμως, περιορισμό για τη δύναμη F στο δεύτερο σχήμα δε βλέπω… Εμείς ασκούμε την F και μπορούμε να βρούμε τιμές της, που θα ανασηκώσουν τον τροχό.
Κατάλαβα κάτι λάθος;
Αν τώρα είναι μ=1, τότε το ελάχιστο βάρος των σταθμών, στην πρώτη περίπτωση, και η ελάχιστη F στη δεύτερη, για να ανασηκωθεί ο τροχός, είναι ίση με το βάρος του τροχού. Σωστά;
Τέλος: υπάρχει περίπτωση με μ>1; Τότε, τι;
Καλησπέρα και από εμένα.
Νομίζω ότι θέλει προσοχή στην διατύπωση ισοδυναμιών.
Στο τι θα συμβεί πρέπει να λάβουμε υπόψη και το εξής:
Ενδέχεται να ανασηκώνεται χωρίς ολισθαίνει στην άκρη του εμποδίου.
Δηλαδή το σημείο επαφής κυλίνδρου εμποδίου να είναι σταθερό.
Έχω την εντύπωση ότι για μ=0,8 αυτό συμβαίνει για δυνάμεις μεγαλύτερες από 250Ν.
Για μ=1 για δυνάμεις μεγαλύτερες από 100Ν.
Καλησπέρα παιδιά.
Ελευθερία μπορεί να ανασηκωθεί αν το βάρος των σταθμών είναι μεγαλύτερο από Β/μ.
Λόγου χάριν:
μ=0,8 Β=100 Ν και το βάρος των σταθμών είναι 125 Ν.
Βαγγέλη 125 Ν και όχι 250 Ν.
Δείτε την προσομοίωση αυτήν. Συμφωνεί με όσα έγραψα λίγα σχόλια πριν.
Ελευθερία αν μ>1 ισχύει ότι ισχύει για μ=1.
Ας πω απλοϊκά ότι δεν χρησιμοποιεί την "παραπάνω τριβή".
Εξακριβώστε το και μέσω της προσομοίωσης. Με διπλό κλικ δώστε στον μεταβολέα ως ανώτερη τιμή το μ=2 και βάλτε το.
Θα συμβεί ότι συμβαίνει για μ=1.
Παίζοντας με τον μεταβολέα μάζας σταθμών θα δούμε ότι σηκώνεται και με μ=0,2 αν τα σταθμά έχουν μάζα λ.χ. 510 Ν.
Ο κανόνας είναι (βάρος σταθμών)> (βάρος κυλίνδρου)/μ.
Βαγγέλη ξέχασα κάτι:
Αν μ<1 και η δύναμη είναι τέτοια που το ανασηκώνει (έστω οριακά) τότε οπωσδήποτε θα έχουμε ολίσθηση.
Το πρόβλημα δεν αλλάζει αν το εμπόδιο περατούται εκεί ή αν είναι ακόμα ψηλότερο από R/2.
Καλημέρα συνάδελφοι και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό, στο παραπάνω ερώτημα.
Ας τα πάρουμε από την αρχή. Το ερώτημα αναφέρεται σε άσκηση οριζόντιας δύναμης F. Αλλά τότε η κατάσταση, όσον αφορά τις ασκούμενες δυνάμεις στον κύλινδρο, είναι αυτή του σχήματος.
Τι σημαίνει αυτό; Ότι ανεξάρτητα του μέτρου της ασκούμενης δύναμης F, ο κύλινδρος θα αρχίσει να περιστρέφεται, αφού Στ≠0. F∙R-Τ∙R=Ι∙αγων>0.
Αξίζει να τονισθεί ότι η τριβή αυτή είναι πάντα τριβή ολίσθησης.
Έτσι για τις τιμές που έδωσα παραπάνω έχουμε:
α) F=5Ν, τότε Τ=4Ν, ο κύλινδρος επιταχύνεται στροφικά (F-Τ)∙R=Ι∙αγων, ενώ Ν=w-Τ=96Ν.
β) F=50Ν → Τ=40Ν, ο κύλινδρος επιταχύνεται στροφικά (F-Τ)∙R=Ι∙αγων, ενώ Ν=w-Τ=60Ν.
γ) F=150Ν → Τ=120Ν, ο κύλινδρος επιταχύνεται στροφικά (F-Τ)∙R=Ι∙αγων, ενώ Ν=w-Τ=-20Ν!!!
Τι σημαίνει το τελευταίο αποτέλεσμα; Ότι η κάθετη αντίδραση του επιπέδου έχει μηδενιστεί και ο κύλινδρος αρχίζει να υπερπηδά το εμπόδιο.
Για ποια τιμή της δύναμης συμβαίνει αυτό;
Όταν Τ=w ή μF=w → F=w/μ=125Ν.
…
Τι διαφορετικό έχουμε αν μ≥1;
Τότε η οριακή τριβή έχει μέτρο μεγαλύτερο ή ίσο με την ασκούμενη δύναμη F.
Αυτό σημαίνει ότι αν ασκήσουμε οριζόντια F, με μικρό μέτρο, ας πούμε 5Ν, τότε η τριβή θα είναι στατική, μέτρου 5Ν και ο κύλινδρος ισορροπεί, χωρίς να περιστρέφεται. Το ίδιο θα συμβεί αν F=50Ν. Μέχρι πότε;
Έστω μ=1. Τότε ο κύλινδρος θα χάσει την επαφή με το οριζόντιο επίπεδο, όταν Ν=0, ή αλλιώς όταν Τ=w=100Ν, οπότε και F=100Ν.
Συνεπώς αν F≤100Ν, ο κύλινδρος ισορροπεί, ενώ αν F>100Ν, ο κύλινδρος θα κινηθεί προς τα πάνω και θα υπερπηδήσει το εμπόδιο.
Αξίζει να δούμε και το διπλανό σχήμα.
Αν F=110Ν, τότε η τριβή γίνεται στατική και ο κύλινδρος αρχίζει να ανεβαίνει προς τα πάνω κατά μήκος του κατακόρυφου εμποδίου εκτελώντας κύλιση (χωρίς ολίσθηση).
Έρχομαι τώρα στο ερώτημα της Ελευθερίας.
Ελευθερία, έχεις δίκιο οι δύο καταστάσεις είναι διαφορετικές.
Ποια είναι η διαφορά; Η διαφορά έγκειται στο ότι η περιστροφή του κυλίνδρου συνοδεύεται με επιτρόχια επιτάχυνση του σημείου Α, η οποία πρέπει να είναι ίση με την επιτάχυνση του δίσκου και των σταθμών. Έτσι στην προσφατη ανάρτηση:
Ισορροπίες και τριβές
με βάση το πρώτο σχόλιό μου, η οριζόντια δύναμη που απαιτείται για να χαθεί η επαφή με το οριζόντιο επίπεδο (Ν=0) είναι F=w/μ=125Ν.
Τότε ο κύλινδρος αποκτά γωνιακή επιτάχυνση:
F∙R-Τ∙R= ½ mR2∙αγων → αγων=5/R
Αλλά τότε η επιτρόχια επιτάχυνση του σημείου Α είναι αεπ=αγωνR=5m/s2.
Οπότε αν έρθουμε στο δίσκο:
w1-F=m1α → m1=F/(g-α)=25kg.
Δηλαδή αν βάλουμε στο δίσκο μάζα σταθμών 25kg ο κύλινδρος χάνει την επαφή, οπότε για κάθε μεγαλύτερη μάζα, υπερπηδά το εμπόδιο.
Αν όμως ο συντελεστής τριβής είχε τιμή μ=0,6 (όπως στην ανάρτηση), τότε θα είχαμε ότι αεπ=13,3m/s2, πράγμα που δεν μπορεί να συμβεί, αφού δεν μπορεί ο δίσκος να αποκτήσει τέτοια επιτάχυνση! Αυτό ήταν το συμπέρασμα που διατύπωσα ως:
«Συμπέρασμα: Δεν υπάρχει περίπτωση ο τροχός να χάσει την επαφή με το έδαφος, όσο και να είναι το βάρος των σταθμών στο δίσκο. Πολύ δε περισσότερο να υπερπηδήσει το εμπόδιο.»
Ίσως δεν τόνισα (και θα έπρεπε να το κάνω), ότι το συμπέρασμα αυτό ισχύει για μ=0,6 και συνέχισα με σχόλιο για μ>1.
Νομίζω ότι φαίνεται από τα παραπάνω, ότι κομβικό ρόλο παίζει η τιμή του συντελεστή οριακής τριβής, για το αν ο κύλινδρος υπερπηδήσει ή όχι το εμπόδιο…
Διονύση δεν καταλαβαίνω κάτι.
Πιάνω χαρτί και μολύβι και συμφωνώ. Διότι:
Όμως η προσομοίωση διαψεύδει τους υπολογισμούς.
Ποιον πιστεύουμε;;