by 
Μια σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R διαγράφει κατακόρυφο κύκλο, κέντρου Ο, με τη βοήθεια νήματος μήκους l, το οποίο, μέσω κατάλληλου μηχανισμού, συνδέεται στο κέντρο Κ της σφαίρας, όπως στο σχήμα. Στη θέση αυτή το κέντρο Κ της σφαίρας έχει ταχύτητα υ.
Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας στην θέση του σχήματος;
Πόση είναι η κινητική της ενέργεια;
Ευχαριστώ Γιώργο.
Αν γράψω
Κ= ½ Ιοω2
Καλύπτομαι, ή πρέπει να γράψω
Κ= ½ mυ2 + ½ Ιο∙ω2
Μα εδώ η "καρφωμένη " πλάκα αλλάζει προσανατολισμό σε σχέση με τη σφαίρα στο νήμα.
Δηλαδή Παντελή, τώρα έχει γωνιακή ταχύτητα η πλάκα, ενώ η σφαίρα δεν είχε;
Αυτό λες;
Διονύση K =1/2 Ioωω
Η ταχύτητα που έχει ένα υλικό σημείο μάζας $latex {{m}_{i}}$ της σφαίρας είναι $latex {{\vec{u}}_{i}}$ είναι :
$latex {{\vec{u}}_{i}}={{\vec{u}}_{cm}}+{{\vec{\omega }}_{i,cm}}\times \vec{R}\overset{{{\omega }_{\iota ,cm}}=0}{\mathop{=}}\,{{\vec{u}}_{cm}}$
Οπότε η κινητική του ενέργεια θα είναι $latex {{{\mathrm K}}_{i}}=\frac{1}{2}{{m}_{i}}u_{i}^{2}=\frac{1}{2}{{m}_{i}}u_{cm}^{2}$
Οπότε για όλη τη σφαίρα $latex {\mathrm K}=\sum\limits_{\iota }{{{{\mathrm K}}_{i}}}=\Sigma \frac{1}{2}{{m}_{i}}u_{cm}^{2}=\frac{1}{2}u_{cm}^{2}\Sigma {{m}_{i}}=\frac{1}{2}mu_{cm}^{2}$
Κάνω κάπου λάθος ;
Συμφωνώ Γιώργο (αν και η πρώτη εξίσωση που έδωσα ήταν επίσης σωστή), αλλά:
Αλλά θα ήθελα και μια καθαρή απάντηση στο ερώτημα:
Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας και πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της πλάκας;
Δεν είπα Νίκο ότι κάνεις λάθος
Εννοώ ότι τώρα η πλάκα θα έχει Κ=1/2 Ιο(πλάκας )ωω όπου ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού (ράβδος-πλάκα)περί το Ο
Το σώμα λοιπόν αντιμετωπίζεται ως υλικό σημείο περί το Ο. Αν έχει νόημα η ροπή αδράνειας υλικού σημείου τότε μπορούμε να το γράψεις όπως μας αρέσει
Παντελή σύμφωνοι (το είπα παραπάνω και στο Γιώργο).
Αλλά μια απάντηση καθαρή στο παραπάνω ερώτημα:
Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας και πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της πλάκας;
θα μας βοηθούσε
Θα έλεγα: $latex \displaystyle \omega =\frac{{{u}_{cm}}}{L}$
Διονύση όταν ενα στερεό εκτελεί μεταφορική κίνηση έχει γωνιακή ταχύτητα??
Παιδιά ποια είναι η πρόθεση αυτού που έστησε την άσκηση. Πιθανολογώ:
1. Ένας που θέλει να "διδάξει" ότι πρέπει να απομονώνουμε τα περιττά δεδομένα. Αν λοιπόν η σφαίρα εκτελεί μεταφορική κίνηση περιμένει απάντηση Κ=1/2m.υ.υ.
2. Ένας καθηγητής στο Γυμνάσιο μίλησε για κινητική ενέργεια και θέλει να δει αν τα παιδιά εφαρμόζουν τον τύπο σωστά.
3. Ένας καθηγητής σε Λύκειο θέλει να διαπιστώσει αν οι μαθητές του κατάλαβαν πότε εφαρμόζουμε Steiner και πότε όχι. Οι μαθητές που δεν σκέφτονται αλλά ενεργούν μέσω οδηγιών την πατάνε. Οι άλλοι θα καταλάβουν πως πρόκειται για υλικό σημείο.
4. Ένας καθηγητής Πανεπιστημίου θέλει να αποδειχθεί το ότι Κ=1/2m.υcm.υcm. Τούτο διότι τα τμήματα της σφαίρας έχουν διαφορετικές ταχύτητες. Θέλει ίσως απόδειξη , όπως αυτή του Νίκου, θέλει ίσως ολοκληρώματα.
5. Ένας θέλει να δει αν σκέφτεσαι πρακτικά. Ξέρει ότι κάνεις Φυσική με χαρτί και μολύβι και θέλει να σε παρασύρει. Λ.χ. τι ιδιότητες έχει ο μηχανισμός; Όταν διαβάζω "με κατάλληλο μηχανισμό συνδέεται με το κέντρο" γιατί να υποθέσω ότι δεν περιστρέφεται αν δεν το λέει ρητά; Μπορώ να σχεδιάσω μηχανισμούς που κάνουν και τα δύο.
Τι ισχύει από αυτά;
Σας ευχαριστώ συνάδελφοι για τις απαντήσεις.
Αλλά για να «βοηθήσω» λίγο
:
Μια ακόμη περίπτωση:
Η αρχική σφαίρα (το νήμα ασκεί δύναμη στο κέντρο της, μέσω του κατάλληλου μηχανισμού πρόσδεσης!), τη στιγμή που το νήμα (μήκους l=2m) είναι οριζόντιο, αποκτά γωνιακή ωο=1rad/s όπως στο σχήμα.
Αφήνεται η σφαίρα να κατέβει και μετά από λίγο περνά από τη θέση (2) με ταχύτητα κέντρου μάζας υcm=2m/s.
i) Η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας στη θέση (2) έχει μέτρο:
α) ω2=0, β) ω2=1rαd/s, γ) ω2=2rαd/s
ii) Η κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι ίση με:
α) Κ= ½ mυcm2, β) Κ= ½ mυcm2+ ½ Ιcmωο2, γ) Κ= ½ mυcm2+ ½ Ιοω22
Καλημέρα συνάδελφοι .
Συζητάμε πρώτα για την σφαίρα.
Έχει μια γωνιακή ταχύτητα Ω=υ/L …
( η σφαίρα δεν ιδιοπεριστρέφεται δηλαδή διατηρεί σταθερό τον προσανατολισμό της και έχει μόνο στροφορμή εκ περιφοράς )
Η πλάκα είναι άλλο θέμα .
Η πλάκα έχει γωνιακή ταχύτητα περιφοράς Ω=υ/L
και γωνιακή ταχύτητα ιδιοπεριστροφής ω=υ/L=Ω. … δηλαδή έχει και ιδιοστροφορμή