by 
Στο 2ο Γ.Λ. της Άνω Παναγιάς, ο καθηγητής Φυσικής κ. Κυματόπουλος, μετά τη διδασκαλία των κυμάτων, έβαλε το καθιερωμένο επαναληπτικό διαγώνισμα, στο οποίο είχε και ένα ερώτημα πάνω στη διάδοση του παλμού του διπλανού σχήματος.
Ο παλμός διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου.
Την άλλη μέρα, ο παλιός συμφοιτητής του, ιδιοκτήτης σήμερα φροντιστηρίου στην Κάτω Παναγιά, κ. Ρευστίδης, τον πήρε τηλέφωνο, διαμαρτυρόμενος για το ερώτημα.
Ποιο νομίζετε ότι ήταν το πρόβλημα;
Ναι και γιατί μόνον δύο; Μπορεί εν γένει να έχουμε άπειρους παλμούς με διαφορετικός κυματαρίθμους και συχνότητες (έτσι ώστε πάντα ω=kc) και με διάφορες κατευθύνσεις.
Για να το πω αλλιώς Μήτσο, το επιχείρημά σου ότι:
"Η ταχύτητα θα έχει γίνει ήδη αρνητική πριν το σημείο καμπής πριν δηλαδή η επιτάχυνση γίνει θετική ώστε να μηδενίσει με το πέρασμα του παλμού"
είναι σωστό αν ο παλμός εξελισσόταν όπως η πράσινη γραμμή…
Δεν το ξέρω Στάθη…
Θέλω να πω Διονύση ότι θεωρητικά, μπορώ να δημιουργήσω οποιαδήποτε διαμόρφωση με την κατάλληλη υπέρθέση πολλών όρων; Στην παρούσα φάση ούτε εγώ ξέρω.
Στάθη την εικόνα του παλμού στιγμιαία, μπορείς να την δημιουργήσεις. Το αν αυτή η εικόνα μπορεί να είναι μόνιμη και να διαδίδεται, αυτό δεν μπορώ να το δω…
Καλησπέρα Διονύση
Ίσως έχεις δίκιο
Θα μελετήσω πάλι τις παρεμβάσεις σου με μεγαλύτερη προσοχή …
Καλησπέρα παιδιά.
Στάθη μελετάω ότι λες, νομίζοντας ήδη ότι κατάλαβα τι συμβαίνει.
Διονύση στο σχήμα σου μου φάνηκε ομαλή η μετάβαση. Όμως βλέποντας μεγέθυνση βλέπω ασυνέχεια ταχύτητας.
Δεν θεώρησα σκόπιμη την σχεδιαστική ατέλεια. Νόμισα πως μετά την συζήτησή μας ήθελες να άρεις τις ασυνέχειες και όχι να δημιουργήσεις μια άλλη ασυνέχεια.
Είχα γράψει στο πρώτο η δεύτερο σχόλιο:
Και η ταχύτητα έχει πρόβλημα.
Δεξιά η κλίση μειώνεται οπότε το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται.
Αμέσως αριστερά έχουμε μεγάλη κλίση, δηλαδή ταχύτητα μεγάλου μέτρου. Η αλλαγή αυτή γίνεται σε μηδενική χρονική διάρκεια.
Ο παλμός επομένως δεν είναι συνάρτηση παραγωγίσιμη. Συνεπώς δεν υλοποιείται.
Αυτό όμως δεν ισχύει μόνο σε περιπτώσεις αλλαγής καμπυλότητας, δηλαδή φοράς της επιτάχυνσης.
Ισχύει και εδώ:
Εδώ δεν αλλάζει η φορά της επιτάχυνσης. Η επιτάχυνση είναι προς τα κάτω.
Ασυνέχεια ταχύτητας έχουμε.
Διονύση αν ένας παλμός δημιουργηθεί και θα επιβιώσει και θα διαδοθεί.
Το επιβάλλει η διαφορική εξίσωση του κύματος αυτό.
Όχι Γιάννη.
Αν από δύο παλμούς που κινούνται αντίθετα, στη διάρκεια της συμβολής τους "φωτογραφίσεις" μια εικόνα, η εικόνα αυτή θα διαλυθεί μετά από λίγο…
Η μεσαία εικόνα του μέσου (μπλε χρώμα) δεν θα διατηρηθεί.
Στάθη η διάδοση δύο αντιθέτως διαδεδομένων παλμών (ή και πολύ περισσοτέρων) μπορεί να δώσει ένα στιγμιότυπο του τύπου:
Στην κορυφή δεν έχουμε ασυνέχεια ταχύτητας. Οι δυο παλμοί θα συνεχίσουν να κινούνται και θα δούμε το σημείο της κορυφής κατερχόμενο. Δεν θα εμφανισθεί ασυνέχεια ταχύτητας εκεί.
Όμως δεν πρόκειται για παλμό που διαδίδεται προς μία κατεύθυνση.
Φαίνεται καλά σε μια παλιά μου προσομοίωση:
Εδώ δυο συνεχείς και παραγωγίσιμοι υπαρκτοί παλμοί έδωσαν ένα υπαρκτό στιγμιότυπο. Η μετέπειτα εξέλιξη στην προσομοίωσή μου ουδεμία ασυνέχεια ταχύτητας παρουσιάζει.
Όμως η παραπάνω μορφή δεν μπορεί να είναι παλμός που διαδίδεται λ.χ. προς τα δεξιά. Τούτο διότι στο σημείο της κορυφής η ταχύτητα αλλάζει ακαριαία από +υ σε -u.
Αυτό σημαίνει άπειρη επιτάχυνση του σημείου αυτού, κάτι αδύνατον.
Εξ’ άλλου η πηγή του παλμού αυτού θα έπρεπε να κινηθεί έτσι. Δηλαδή στιγμιαία με άπειρη επιτάχυνση, κάτι αδύνατον.
Επομένως είναι δυνατή η δημιουργία στιγμιοτύπων με ασυνέχειες αλλά όχι παλμών.
Ας δούμε τη συνέχεια της υπέρθεσης αυτής:
Όμως το σημείο συνάντησης (όπως φαίνεται στην προσομοίωσή μου) κινείται όχι ανώμαλα. Χωρίς ασυνέχειες ταχύτητας.
Στα σημεία που εμφανίζονται οι δύο ασυνέχειες στην προσομοίωσή μου, η επιτάχυνση είναι άθροισμα δύο πεπερασμένων επιιταχύνσεων (υπέρθεση δύο αρμονικών όρων) και επομένως όχι μια άπειρη επιτάχυνση. Δεν έχουμε μια κατάσταση απαγορευμένη.
Στο κάτω-κάτω δεν μπορεί να είναι απαγορευμένη, αφού υλοποιήθηκε.
Η δημιουργία ενός τέτοιου παλμού είναι απαγορευμένη, ως μη υλοποιούμενη.
Θα μπορούσα να πω ότι ένας παλμός που ξεκινάει από το μηδέν και καταλήγει στο μηδέν υλοποιείται αν έχει σχήμα τέτοιο ώστε να μπορεί να αποτελέσει τροχιά κινητού, του οποίου η x ταχύτητα είναι σταθερή.
Δηλαδή μια τροχιά χωρίς ασυνέχειες στην κλίση της.
Διονύση γράφαμε μαζί.
Έχω ήδη απαντήσει σ' αυτό που λες "θα διαλυθεί".
Έστειλα και στιγμιότυπο από προσομοίωσή μου.
Δεν αποτελεί φυσικά παλμό.
Άλλο ένα στιγμιότυπο και άλλο ένας παλμός. Η μπλε μορφή που έστειλες είναι υλοποιήσιμο στιγμιότυπο, αλλά όχι υλοποιήσιμος παλμός.
Για να παίξουμε:
Κύματα
Κύμα
Επαναλαμβάνω λοιπόν Διονύση την φράση μου:
Αν ένας παλμός δημιουργηθεί και θα επιβιώσει και θα διαδοθεί.
Το επιβάλλει η διαφορική εξίσωση του κύματος αυτό.
Παλμός είπα, δεν είπα στιγμιότυπο. Ένας παλμός που σχηματίζεται επιβιώνει και διδίδεται.
Αυτό που έστειλες είναι στιγμιότυπο (που διαλύεται φυσικά) και όχι παλμός.
Γιάννη και Διονύση σωστά έτσι είναι για δύο παλμούς. Για άπειρους όμως. Διαισθητικά νομίζω ότι και πάλι δεν πρέπει να γίνεται.
Δυστυχώς είμαι έξω και δεν μπορώ να το ψάξω καλύτερα.
Στάθη άπειροι παλμοί προκύπτουν από άπειρες πηγές. Η επιτάχυνση θα μπορούσε να είναι ότι θέλουμε τότε. Γιατί όχι και άπειρη;
Όμως αυτό στο χαρτί. Ένα σημείο μιας χορδής θα κοβόταν. Φυσικά πριν θα περνούσε σε μη γραμμική περιοχή.
Η υπέρθεση θα αιρόταν. Δηλαδή δεν θα ήταν η θέση ίση με το άθροισμα των θέσεων. Έτσι η ασυνέχεια θα "φιλτραριζόταν".
Το βλέπουμε σε κυκλώματα. Δύο υπαρκτοί παλμοί υπερτιθέμενοι δίνουν έναν ανύπαρκτο. Θα επιβιώσει αυτός;
Θα ψάξω για παράδειγμα.