by 
Σε παράπλευρη συζήτηση εδώ, μπήκε ξαφνικά το θέμα της διανυσματικής μέσης ταχύτητας, από το Νίκο Παναγιωτίδη με το ερώτημα:
Ποια είναι η άποψή σου για την “μέση διανυσματική ταχύτητα” σε 1-Δ;
Καλύτερα να αφήσουμε τη συζήτηση του Κωστή Λελεδάκη και να μην αλλάξει εντελώς το θέμα της.
Ας γίνει εδώ η όποια συζήτηση.
(Διονύση συμφωνώ για την παρατήρηση της 1.1.3)
και η παρουσίαση από το βιβλίο της Α΄ Λυκείου των Αλεξάκη, Αμπατζή, Γκουγκούση, Κουντούρη, Μοσχοβίτη, Οβαδία, Πετρόχειλου, Σαμπράκου, Ψαλίδα
Εδώ το απόσπασμα.
καλά ούτε τώρα κατάλαβα πώς έγινε αυτό…
Αγαπητέ Διονύση.
Είχα την τύχη (για την ακρίβεια: την ατυχία) να μην περάσω στο Πολυτεχνείο. Ίσως αν περνούσα από κει να μάθαινα ότι τα διανύσματα έχουν:
Δυστυχώς για δέκα μονάδες πέρασα στο φυσικό του ΕΚΠΑ και όχι στο Ηλεκτρολόγων του ΕΜΠ.
Στο ΕΚΠΑ λοιπόν έμαθα ότι τα διανύσματα χαρακτηρίζονται από:
Δεν θυμάμαι ποιός καθηγητής μας τα έμαθε αυτά, αλλά ενδεχομένως να ήταν ελλειπούς μόρφωσης για να μην μας διδάξει ότι τα διανύσματα έχουν, πλέον των παραπάνω, και αλγεβρική τιμή. Και πέραν αυτού, αυτήν την ιδιότητα των διανυσμάτων δεν την πρόσεξα σε κανένα από τα βιβλία που διάβασα.
Πέρα απ΄ αυτό, με έμαθαν ότι οι συνιστώσες των ανυσμάτων είναι πραγματικοί αριθμοί. Δεν είναι γινόμενα αριθμών και φανταστικών μονάδων.
Αυτό που παρατηρώ στον εαυτό μου είναι ότι, παρά το ελλειπές υπόβαθρο γνώσεων, τα καταφέρνω σχετικά καλά στον διανυσματικό λογισμό.
Νίκο, αντί να χρησιμοποιείς πολύ μεγάλες δόσεις ειρωνείας, θα μπορούσες να απαντήσεις συγκεκριμένα πάνω στο θέμα. Γεμίσαμε 4 σελίδες σχολίων και μια τοποθέτηση για το "ορθόν εκ μέρους σου" δεν πήραμε!
Για παράδειγμα όταν διδάσκεις ταλαντώσεις και κάποια στιγμή θέλεις να δώσεις ως δεδομένο ότι το σώμα έχει επιτάχυνση η οποία κατευθύνεται προς την αρνητική κατεύθυνση με μέτρο 2m/s^2, πώς το δίνεις;
Δεν λες ότι το υλικό σημείο έχει επιτάχυνση α= – 2m/s^2, το δίνεις διαφορετικά;
Και αν το δίνεις έτσι, τι ακριβώς είναι αυτό που δίνεις; Πώς το ονομάζεις;
Είναι το μέτρο της επιτάχυνσης;
Είναι η επιτάχυνση;
Είναι η τιμή της επιτάχυνσης;
Και αν είναι το τελευταίο, τι ακριβώς σε ενοχλεί. Το ότι λέμε η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης;
Σε ενοχλεί ο επιθετικός προσδιορισμός αλγεβρική μήπως; Αν φύγει το "αλγεβρική" θα είσαι σύμφωνος;
Γιατί; Μήπως για να μπορεί κάποιος να εννοεί και αριθμητική τιμή;
Αλλά αν ναι, θα ήθελα να μου πεις γιατί είναι σωστότερος ο όρος "αριθμητική τιμή" από τον όρο "αλγεβρική τιμή".
Ούτε αλγεβρική ούτε αριθμητική, Διονύση. Απλά η τιμή. Αυτό που απαγορεύεται διά ροπάλου είναι: "Η αλγεβρική τιμή του διανύσματος της επιτάχυνσης". Πέραν του ότι τα διανύσματα δεν έχουν αλγεβρική τιμή, ο μαθητής θα τα βρει πολύ σκούρα.
Δεν είναι καν ανάγκη να πεις: "η τιμή της επιτάχυνσης είναι…". Πες απλά: "η επιτάχυνση είναι…".
Σε μια διάσταση όλα γίνονται βαθμωτά.
Αν επιμένεις ότι η ταχύτητα, η επιτάχυνση κλπ να διατηρήσουν τον διανυσματικό χαρακτήρα τους (που δεν το συνιστώ) πρέπει να λες: "Η συνιστώσα της ταχύτητας…"
Και μετά πρόσεξε τι έκφραση θα κάνουν κάποιοι μαθητές.
Τότε να μου επιτρέψεις να σου θυμίσω κάτι Νίκο:
"Σε 1-Δ όλα τα μεγέθη είναι βαθμωτά και χαρακτηρίζονται μόνο από την αριθμητική τους τιμή που είναι πραγματικός αριθμός και, βέβαια, την μονάδα μέτρησης."
Τι καταλαβαίνει ένας μαθητής όταν ακούει αριθμητική τιμή; Δεν καταλαβαίνει μόνο θετικό αριθμό;
Πού παθαίνει ζημιά, αν αντί για "τιμή επιτάχυνσης", διδαχθεί "αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης" επισημαίνοντας ότι μπορεί να είναι θετική ή αρνητική;
Δηλαδή, Διονύση, αν πεις στο μαθητή την έκφραση "η τιμή της επιτάχυνσης" θα τη θεωρήσει θετική, ενώ αν πεις "η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης" θα τη θεωρήσει οποιουδήποτε προσήμου;
Καλημέρα Νίκο.
Ας προσπαθήσουμε λίγο να συνεννοηθούμε αφού εκφράζουμε συνήθως διαφωνίες, που ή αναφέρονται σε ανθυπολεπτομέρειες ή απλά δεν ακούμε τον απέναντι συνομιλητή μας.
Προηγουμένως δέχτηκες τον όρο «τιμή της επιτάχυνσης» και απλά διαφώνησες με τον όρο «αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης». Σύμφωνοι; Αν ναι, τότε η διαφωνία έγκειται στον όρο «αλγεβρική» και όχι στην ουσία της αντιμετώπισης ενός διανύσματος που βρίσκεται σε προσανατολισμένο άξονα.
Αλλά τότε πρέπει να διορθώσεις παραπάνω ειρωνικό σχόλιο, για το τι διδάσκουν στο ΕΜΠ και τι στο ΕΚΠΑ:
Ή θα πρέπει να αφαιρέσεις από την πρώτη στήλη την αλγεβρική τιμή ή θα πρέπει να προσθέσεις στη δεξιά τη λέξη «τιμή» στο κενό κουτάκι!
Δεν μπορείς να λες ότι είναι τόσο άσχετοι όσοι μιλάνε για αλγεβρική τιμή, αφού αυτό δεν είναι χαρακτηριστικό ενός διανύσματος και εσύ να λες «τιμή» χωρίς με τον τρόπο αυτό να θεωρείς ότι εσύ αποδίδεις χαρακτηριστικό διανύσματος, ενώ οι άλλοι το κάνουν…
Τα δικά σου χαρακτηριστικά είναι 4, ενώ τα «δικά μου» είναι 5; Τι μετράς λάθος;
Είναι χαρακτηριστικό ενός διανύσματος η «αλγεβρική τιμή» ή η «τιμή»; Αν διάβαζες την ανάρτηση, που έκανα χθες, ανάρτηση ειδικού σκοπού (αφού την έγραψα έχοντας στο μυαλό μου και τη παρούσα συζήτηση):
«Το μέτρο και η αλγεβρική τιμή της μετατόπισης. Φ.Ε.»
Θα διαπίστωνες τη θέση μου…
Πάμε τώρα επί της ουσίας της «διαφωνίας». Ο όρος «αλγεβρική τιμή» δεν είναι δική μου εφεύρεση, εξάλλου και εγώ ΕΚΠΑ τέλειωσα και όχι ΕΜΠ (άσχετα αν μετά από τόσα χρόνια δεν θυμάμαι πώς ακριβώς τα διδάχτηκα…).
Η τιμή λοιπόν π.χ. της επιτάχυνσης είναι ο «σωστός» όρος.
Αλλά εσύ στη συνέχεια την ορίζεις ως «την αριθμητική τιμή» όρος που παραπέμπει σε αριθμητική και θετικές τιμές, ενώ οι «αντίπαλοι» ως «αλγεβρική τιμή», όρος που παραπέμπει σε άλγεβρα, συνεπώς και αρνητικές τιμές. Αλλά κατά την άποψή μου, πίσω από την συγκεκριμένη έκφραση κρύβεται κάτι ακόμη πιο σημαντικό, από ένα πρόσημο.
Ενώ το κύριο χαρακτηριστικό των διανυσμάτων είναι ο τρόπος πρόσθεσης (γεωμετρική πρόσθεση), όταν αναφερόμαστε σε διανύσματα, πάνω σε έναν προσανατολισμένο άξονα και σε τιμές τους, αυτές οι τιμές προστίθενται αλγεβρικά. Δεν χρειάζεται να καταφύγουμε σε παραλληλόγραμμα και σε σχεδιασμό των διανυσμάτων. Γνωρίζοντας τις τιμές τους, απλά τις προσθέτουμε. Αλλά αυτή η πράξη είναι αλγεβρική πρόσθεση και όχι πρόσθεση αριθμητική.
Συμπέρασμα: Προσωπικά ψηφίζω «αλγεβρική τιμή» άσχετα αν πρέπει να αναφέρουμε- τονίζουμε ή όχι την πρώτη λέξη, σε κάθε περίπτωση (πράγμα που προσωπικά δεν κάνω…).
ΥΓ.
1) Στη γλώσσα μας υπάρχει βέβαια η ίδια λέξη και με άλλο νόημα. Η τιμή του ψωμιού, η τιμή της ντομάτας, αλλά και στη Φυσική η τιμή της μάζας ή του χρόνου.
Δεν νομίζω ότι ο επιθετικός προσδιορισμός "αλγεβρική" μειώνει την αξία της τιμής ενός διανύσματος, αφού το ξεχωρίζει από την "τιμή" μονόμετρων φυσικών μεγεθών, πέρα από τις ντομάτες.
2) Ακόμη και δημοψήφισμα να κάναμε για το αν πρέπει να γίνει αποδεκτός ο όρος "βόρεια Μακεδονία", συγνώμη "αλγεβρική τιμή" ήθελα να πω, λιγότερα θα γράφαμε…
Καλημέρα συνάδελφοι. Καλή δύναμη σε όλους τη νέα χρονιά και ιδιαίτερα σε σένα Διονύση, που συντονίζεις και αυτή τη νησίδα. Εγώ έμαθα Φυσική στο Λύκειο από το βιβλίο του Ηλία Κουγιουμτζόπουλου – Μηχανική, το οποίο το θεωρώ αξεπέραστο. Παραθέτω το αντίστοιχο απόσπασμα
Δεν αναφέρεται πουθενά η μέση μονόμετρη ταχύτητα και πιστεύω ότι δεν υπάρχει λόγος στο Λύκειο να αναφερθούμε σε αυτήν. Τη στιγμή που με πολύ κόπο προσπαθούμε να χειριστούμε τη (διανυσματική ) στιγμιαία ταχύτητα στην Α΄Λυκείου, μάλλον μπερδεύουμε τους μαθητές μας, αν μιλήσουμε για μονόμετρη μέση ταχύτητα.
Καλημέρα σ' όλους.
Προσπαθώ (ανεπιτυχώς) να αντιληφθώ την διαφωνία. Τα διανύσματα είναι ν-άδες πραγματικών αριθμών.
Π.χ. (-2,4) ή (5,-1,7) κ.λ.π. Τα x ,y και z (και τα υπόλοιπα σε ν-διάστατους χώρους) είναι πραγματικοί αριθμοί προστιθέμενοι αλγεβρικώς.
Στην εκφυλισμένη περίπτωση έχουμε έναν πραγματικό αριθμό. Αυτός ισοδυναμεί με το διάνυσμα x.i . Στην περίπτωση πρόσθεσης με τον β.i το αποτέλεσμα είναι (x+β).i. Το αποτέλεσμα ισοδυναμεί με το αποτέλεσμα της αλγεβρικής πρόσθεσης x+β.
Τόσο προβληματικό είναι το να ονομάσουμε αυτά τα x και β αλγεβρικές τιμές;
Ακόμα και αν δεν υπήρχε ο όρος στην βιβλιογραφία, θα έπρεπε να εισαχθεί διότι υπενθυμίζει ότι για την εύρεση της ορμής συστήματος λ.χ. προσθέτουμε αυτά τα x και β και όχι τις απόλυτες τιμές τους.
Αγαπητέ Διονύση.
Τα διανυσματικά μεγέθη, σε 1-Δ, 2-Δ,…, n-Δ,…δεν έχουν τιμή.
Αυτό σημαίνει δεν έχουν αλγεβρική τιμή, δεν έχουν αριθμητική τιμή, δεν έχουν τιμή ψωμιού, δεν έχουν τιμή τομάτας. Το θέμα που άνοιξε με κείνον τον καθηγητή του ΕΜΠ που μοίραζε σημειώσεις διανυσματικού λογισμού, ήταν ότι έγραφε για τιμή σε διανύσματα.
Το νόημα του αστείου που έκανα ήταν ότι οι φοιτητές του ΕΜΠ είναι τυχερότεροι από τους φοιτητές του ΕΚΠΑ, γιατί μαθάίνουν μια διανυσματική ιδιότητα που δεν τη μαθαίνουν οι άλλοι, την τιμή διανύσματος. Παρόμοια και το αστείο που έκανα με το 4ο είδος μαθηματικών, τα μαθηματικά του σχολικού (καθώς και το 5ο, τα μαθηματικά του ΕΜΠ). Εννοούσα ότι στα κλασικά μαθηματικά τα διανύσματα δεν έχουν ουδεμία τιμή (ούτε αλγεβρική ούτε διανυσματική).
Επειδή τώρα εγώ καταλαβαίνω ότι, αυτοί που έγραψαν το σχολικό εγχειρίδιο, και αποφάσισαν να θεωρήσουν την μονοδιάστατη ταχύτητα σαν διάνυσμα (ακατανόητη για μένα αυτή η απόφαση) έχουν ένα πρόβλημα ως προς το πως να αποδώσουν αριθμητική τιμή στην ταχύτητα, και για να λύσουν αυτό το πρόβλημα επινόησαν τον όρο "αλγεβρική τιμή διανύσματος", τους απαντάω ότι τέτοιο πράγμα δεν υπάρχει. Αν δηλαδή τους είχα μπροστά μου θα τους έλεγα: "Ρε παιδιά, αν τη μονοδιάστατη ταχύτητα τη θέλετε να είναι διάνυσμα, δικαίωμά σας. Αλλά μην ονομάζετε το v (χωρίς βελάκι) αλγεβρική τιμή του διανύσματος της ταχύτητας".
Ο σωστός όρος για το v (χωρίς βελάκι) είναι "x-συνιστώσα της ταχύτητας". Καλό θα ήταν να έχει και το δείκτη x.
Έτσι λοιπόν η μια αντίθεση μου ήταν αυτή. Δίνουμε στα διανύσματα μια ιδιότητα που δεν την έχουν. Την αλγεβρική τιμή. Η άλλη μου αντίθεση ήταν: Έστω ότι ασχολούμαστε με ένα διανυσματικό μέγεθος αλλά σε 1-Δ. Υπάρχει σοβαρός λόγος να το θεωρούμε σαν διάνυσμα; Βλέπω καθημερινά απλοποιούμε τη φυσική, και συχνά εκεί που δεν πρέπει, για να γίνει εύπεπτη από τους μαθητές. Κι από την άλλη, αντί να τους δίνουμε την 1-Δ ταχύτητα σαν βαθμωτό, που είναι, την δίνουμε σαν διάνυσμα και τους πετάμε κάτι όμορφες εκφράσεις όπως: "Μέση διανυσματική ταχύτητα".
Η τελευταία μου, αλλά όχι πολύ σοβαρή, αντίθεση είναι: λέμε για διάφορα βαθμωτά μεγέθη "η αλγεβρική τιμή". Θεωρώ περιττό τον όρο αλγεβρική.
Καλησπέρα Ανδρέα, Γιάννη και Νίκο.
Νίκο εσύ ο ίδιος μίλησες παραπάνω για την τιμή της επιτάχυνσης, τώρα μου λες όχι!
"Ο σωστός όρος για το v (χωρίς βελάκι) είναι "x-συνιστώσα της ταχύτητας". Καλό θα ήταν να έχει και το δείκτη x."
Συμφωνώ ότι αν έχεις μια ταχύτητα σε τυχαία διεύθυνση, τότε η προβολή της στη διεύθυνση x να ονομάζεται "x-συνιστώσα της ταχύτητας".
Και όταν η ταχύτητα είναι πάνω στον άξονα x, τι θα λέμε; Θα αναφερόμαστε ξανά σε συνιστώσα της; Μα, αυτή "όλη" είναι στον άξονα.
Από κει και πέρα, έγραψα παραπάνω, ότι η βασική ιδιότητα για να χαρακτηρίσουμε κάποιο μέγεθος διανυσματικό, είναι ο γεωμετρικός τρόπος πρόσθεσης. Άρα όταν τα διανύσματα βρίσκονται πάνω σε έναν άξονα αντιμετωπίζονται "αλγεβρικά" είτε δέχεσαι τον όρο είτε διαφωνείς. Βέβαια άλλο πράγμα "αντιμετωπίζονται" και άλλο πράγμα "το είναι"…
Αλλά είναι δυνατόν να διδάξεις σε μαθητές ότι ένα σώμα κινείται, άρα έχει ταχύτητα που είναι διάνυσμα.
Αν όμως πάρω (δικαίωμά μου να το κάνω) ένα άξονα που να ταυτίζεται με την διεύθυνση της ταχύτητας, αυτομάτως το φυσικό μέγεθος ταχύτητα μετατρέπεται σε βαθμωτό μέγεθος;
Δηλαδή το τι μέγεθος είναι η ταχύτητα (η επιτάχυνση, η δύναμη…) δεν καθορίζεται από το ίδιο το φυσικό μέγεθος, αλλά από το αν εμένα μου κάπνισε να ορίσω άξονα
Καλησπέρα Γιάννη.
Γιάννη, υπάρχει το διάνυσμα, δηλ. το στοιχείο κάποιου διανυσματικού χώρου, και οι συνιστώσες του. Στην 1-Δ, πάλι υπάρχει το διάνυσμα και η μοναδική συνιστώσα του. Αυτό εννοούν λέγοντας "αλγεβρική τιμή του διανύσματος" αλλά η σωστή έκφραση είναι "x-συνιστώσα του διανύσματος". (Ή "συνιστώσα του διανύσματος" αν δεν υπάρχει πρόβλημα με τον άξονα).
Ας πάρουμε από την αρχή τα ερωτήματά σου Διονύση:
Νίκο εσύ ο ίδιος μίλησες παραπάνω για την τιμή της επιτάχυνσης, τώρα μου λες όχι!
Την επιτάχυνση την εννόησα σαν βαθμωτό.
Συμφωνώ ότι αν έχεις μια ταχύτητα σε τυχαία διεύθυνση, τότε η προβολή της στη διεύθυνση x να ονομάζεται "x-συνιστώσα της ταχύτητας".
Και όταν η ταχύτητα είναι πάνω στον άξονα x, τι θα λέμε; Θα αναφερόμαστε ξανά σε συνιστώσα της; Μα, αυτή "όλη" είναι στον άξονα.
Έχω μια ανάλογη απορία με μια χελώνα που ζεί στο νησί σου: αφού τη λέμε μια φορά καρέτα, το δεύτερο καρέτα τι χρειάζεται; Ναι Διονύση, πρέπει να χρησιμοποιούμε όρους που υπάρχουν στην επιστήμη. Δεν μπορεί να επινοούμε δικούς μας.
Από κει και πέρα, έγραψα παραπάνω, ότι η βασική ιδιότητα για να χαρακτηρίσουμε κάποιο μέγεθος διανυσματικό, είναι ο γεωμετρικός τρόπος πρόσθεσης. Άρα όταν τα διανύσματα βρίσκονται πάνω σε έναν άξονα αντιμετωπίζονται "αλγεβρικά" είτε δέχεσαι τον όρο είτε διαφωνείς. Βέβαια άλλο πράγμα "αντιμετωπίζονται" και άλλο πράγμα "το είναι"…
Τα ανύσματα δεν μπορούν να αντιμετωπιστούν αλγεβρικά. Οι συνιστώσες τους μπορούν. Τα διανύσματα αντιμετωπίζονται "διανυσματικολογισμικά".
Αλλά είναι δυνατόν να διδάξεις σε μαθητές ότι ένα σώμα κινείται, άρα έχει ταχύτητα που είναι διάνυσμα.
Αν όμως πάρω (δικαίωμά μου να το κάνω) ένα άξονα που να ταυτίζεται με την διεύθυνση της ταχύτητας, αυτομάτως το φυσικό μέγεθος ταχύτητα μετατρέπεται σε βαθμωτό μέγεθος;
Ένας σχολαστικός φιλόσοφος θα συμφωνούσε μαζί σου.
Δηλαδή το τι μέγεθος είναι η ταχύτητα (η επιτάχυνση, η δύναμη…) δεν καθορίζεται από το ίδιο το φυσικό μέγεθος, αλλά από το αν εμένα μου κάπνισε να ορίσω άξονα
Οφείλω να ομολογήσω ότι κάπου έχεις δίκιο. Εγώ θα ξεκίναγα το μάθημα ως εξής: Ακόμα και σε 1-Δ η ταχύτητα είναι διάνυσμα. Μπορούμε να τη γράψουμε σαν το γινόμενο ενός πραγματικού με το μοναδιαίο διάνυσμα. Ο πραγματικός αυτός λέγεται συνιστώσα της ταχύτητας και συμβολίζεται με v. Για να απλουστεύσουμε τα πράγματα θα μιλήσουμε μόνο για τη συνιστώσα της ταχύτητας και όχι για το διάνυσμα που συμβολίζεται με v (με βελάκι).
Νίκο, έχεις ένα σώμα που κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο λείο δάπεδο.
Αν θεωρήσεις την ταχύτητα βαθμωτό, υπάρχει δυσκολία (όχι αδυναμία είναι αλήθεια) να μιλήσεις για έργο του βάρους ή γενικά μιας δύναμης που σχηματίζει κάποια τυχαία γωνία με την ταχύτητα.
Πάντως έχεις δίκιο πως κανονικά-μαθηματικά ένα διάνυσμα δεν έχει "τιμή" ή "αλγεβρική τιμή".
Προτιμάς αυτό που οι περισσότεροι ονομάζουμε αλγερβική τιμή εσύ να το λές συνιστώσα. Όμως, ούτε και αυτό νομίζω πως είναι ακριβές. Η συνιστώσα δεν είναι αριθμός αλλά διάνυσμα.