by 
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, πολύ μεγάλου μήκους, διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά (θετική φορά) ένα αρμονικό κύμα, πλάτους Α=0,2m και μήκους κύματος λ=2m, με ταχύτητα υ=1m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα «παράθυρο» που μας επιτρέπει να βλέπουμε μια μικρή περιοχή του κύματος (το οποίο έχει διαδοθεί πολύ πέρα του δεξιού άκρου του παραθύρου). Για να γράψουμε εξίσωση για το κύμα αυτό, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x,y με αρχή το σημείο Ο και θεωρούμε επίσης τη στιγμή που έχουμε το παραπάνω στιγμιότυπο, ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t0=0).
- Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει το παραπάνω κύμα.
- Ποια η φάση της απομάκρυνσης των σημείων Ο και Σ τη στιγμή t0=0;
- Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο (φ=f(t)).
- Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=7,5s, για την ίδια περιοχή του μέσου.
- Να παραστήστε επίσης γραφικά την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, από t0 έως t1.
ή
Ένα κύμα σε άπειρο μέσον
Ένα κύμα σε άπειρο μέσον
Αφιερωμένη στους συνομιλητές στη διπλανή συζήτηση:
Αρνητικοί χρόνοι και αρνητικές φάσεις;
Αφού στην πραγματικότητα "υλοποιεί" το συμπέρασμα για το αυθαίρετο της τιμής της φάσης, όταν το κύμα διαδίδεται πέρα και από τον χώρο άμεσης παρατήρησής μας.
Ευχαριστώ ως εις εξ αυτών.
Την διαβάζω.
Ναι με καλύπτουν όσα έστησες στην παρούσα.
Καλο Διονυση !
Στο στιγμιοτυπο που ζητας στην ερωτηση δεν αναφερεις οτι το θελεις για το συγκεκριμενο "παραθυρο" . Βεβαια δεν μπορει να γινει και κατι διαφορετικο . Εκτιμω οτι εδω εχει σημασια να φανει κυριως ποια ειναι η θεση του Ο και Σ την t2 = 7.5 s = 3T + 0.75T ετσι το Ψο = -Α και το ΨΣ = +Α εχουν αλλωστε διαφορα φασης π rad.
Πολυ καλο και το ερωτημα με την υΣ – t .
Σε μια τετοια περιπτωση βλεπουμε και την σημασια της αρνητικης φασης στην οποια εχεις αναφερθει προσφατα . Ειναι ολα θεμα το ποτε αποφασιζουμε να κανουμε εμεις εναρξη στην μετρηση του χρονου !
Καλησπέρα και από εδώ Κώστα και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Πράγματι στο στιγμιότυπο δεν διευκρίνισα ότι το χατάω για το ίδιο παράθυρο, θεωρώντας το αυτονόητο, αφού αυτή την περιοχή βλέπουμε…
Αλλά προς αποφυγήν παρεξηγήσεως, θα το προσθέσω…
Καλησπέρα Διονύση.
Ενισχύουν την "αρματωσιά" της σκέψης για ν'αντιμετωπίσει τα κύματα…,οι αναρτήσεις.
Διακριτός νομίζω ο στόχος σου…
Είπα ν' αλλάξω τον ψ στο σύστημα σου ,φέρνοντάς τον κατά λ/2 αριστερά του Ο οπότε άλλαξε βέβαια η εξίσωση του κύματος στην : ψ=Αημ[2π(t/2 – x/2)+π] , όμως στα επόμενα ερωτήματα οι απαντήσεις ταυτίζονται. Οι προσφιλείς σου αντιστοιχίσεις με την κινηματική έχουν και εδώ "βήμα"
Καλό Σαββατόβραδο
Καλό Σαββατόβραδο Παντελή.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Πολύ καλή Διονύση. Την "έστησες" φωτογραφίζοντας ο,τι βλέπεις από το παράθυρο, και έβαλες το σύστημα των αξόνων σου ,όπου εσύ το θέλεις, ξέρεις τη φορά διάδοσης, άρα δεν σε ενδιαφέρει πού είναι η πηγή και που έφτασε το κύμα, κι έχεις μια άσκηση "νόμιμη" καθ'όλα!!
Πάλι διδάσκεις…
Διονύση καλησπέρα
Πολύ καλή! Οι πληροφορίες που παίρνεις απο το διάγραμμα είναι πολλές.
Βλέποντας το στιγμιότυπο τη δεδομένη στιγμή t=0 μπορούμε να ξέρουμε για τα σημεία τι συμβαίνει και πρίν την θεωρούμενη στιγμή μηδέν. Τυχόν αρνητικές φάσεις και αρνητικοί χρόνοι μεταφράζονται κατάλληλα!
Καλημέρα σε όλους,
Ευχαριστώ κι εγώ Διονύση για την αφιέρωση,
Πολύ ωραία στημένη και περιεκτική!
Να την … εμπλουτίσω με ένα-δυο σχόλια:
1) Αν κάποιος … ενοχλείται από την αρνητική φάση και θέλει να τη βλέπει σαν μετρητή, μπορεί να τη φαντάζεται και στη μορφή:
Φ = ωt – 2πx/λ + 2κπ
όπου κ απροσδιόριστα μεγάλος θετικός ακέραιος, αφού ούτως ή άλλως δεν γνωρίζουμε ποιά στιγμή στο παρελθόν άρχισε να ταλαντώνεται το κάθε σημείο.
2) Η επιλογή του σημείου x = 0 ως σημείου αναφοράς δεν είναι δεσμευτική, όποιο σημείο και να πάρουμε η ίδια εξίσωση y(x,t) θα προκύψει.
Ας πάρουμε π.χ. το σημείο Σ που βρίσκεται στη θέση xΣ = λ/2:
Τη στιγμή t0 = 0 διέρχεται από τη ΘΙ με υ < 0 και θα περάσει από τη ΘΙ με υ > 0 τη στιγμή tΣ = Τ/2, οπότε:
yΣ = Αημ[ω(t – tΣ)]
Οπότε η ζητούμενη εξίσωση είναι:
y = Αημ[ω(t – tΣ) – 2π(x – xΣ)/λ] = Αημ[ω(t – Τ/2) – 2π(x – λ/2)/λ] = Αημ(ωt – 2πx/λ)
Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να γράψουμε για το Σ:
yΣ = Αημ(ωt + π)
όπως έχουμε συνηθίσει από τις ταλαντώσεις, και στη συνέχεια:
y = Αημ[ωt + π – 2π(x – xΣ)/λ] = Αημ[ωt + π – 2π(x – λ/2)/λ] = Αημ(ωt – 2πx/λ + 2π) →
→ y = Αημ(ωt – 2πx/λ)
(μην ξεχνάμε ότι στο όρισμα του ημιτόνου υπάρχει ούτως ή άλλως ένας απροσδιόριστος όρος +2κπ)
Καλημέρα. Κύριε Μητρόπουλε (Διονύση αν θέλετε) στις τελευταίες 2 σχέσεις που γράψατε του ημιτόνου δεν θα μας οδηγήσουν σε διαφορετικό πεδίο ορισμού; ( αν πάμε απο το ψ= Αημ(φ+2π) στο ψ=Αημ(φ));
Καλημέρα σε όλους.
Πρόδρομε, Χρήστο και Διονύση σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Διονύση ευχαριστώ και για τον εμπλουτισμό!
Να προσθέσω κάτι ακόμη.
Επειδή έχουμε συνηθίσει να δουλεύουμε με κύματα κοιτάζοντας το μέτωπο, το οποίο μετακινείται ή ακόμη πιο χαρακτηριστικά, βάζοντας μια πηγή κύματος σε λειτουργία, ξεχνάμε την παραπάνω περίπτωση, που απλά δεν ξέρουμε τίποτα για πηγή, ούτε για το πού έχει φτάσει το κύμα. Χαρακτηριστική περίπτωση, που όλοι έχουμε χρησιμοποιήσει είναι το ηλεκτρομαγνητικό κύμα!
Γράφοντας την εξίσωση:
(όμοια για το μαγνητικό πεδίο), τι ακριβώς κάνουμε; Ασχολούμαστε με το μέτωπο μιας ακτίνας που ξεκίνησε από τον Ήλιο και οδεύει προς το άπειρο; Ή μήπως παίρνουμε αυθαίρετα ένα σημείο το οποίο θεωρούμε ως αρχή του άξονα και κάποια στιγμή που θεωρούμε t=0;
Προφανώς κάνουμε το δεύτερο…
Καλημέρα Γιάννη.
Το πεδίον ορισμού δεν αλλάζει, έτσι και αλλιώς είναι το "παράθυρο" που μας έχει δοθεί.
Θα είχαμε πρόβλημα αλλαγής του πεδίου ορισμού, αν μελετούσαμε τη διάδοση το κύματος, που έχει φτάσει στη θέση x=20m…
Καλημέρα Διονύση. Ευχαριστούμε για την αφιέρωση.
Τι σημαίνει για ένα σημείο Σ ότι τη χρονική στιγμή t = 0 έχει φάση φ = -π;
α) Το κύμα δεν έχει φτάσει στο Σ, ακόμα. Βρίσκεται χρονικά -Τ/2 (πίσω).
β) Το κύμα έχει περάσει από το Σ αλλά τη χρονική στιγμή που θεωρήσαμε t = 0, η αρχή Ο των αξόνων με x = 0, είχε ψ=0, υ > 0 και βρισκόταν σε απόσταση ΟΣ = -λ/2 (πίσω).
Εντάξει Διονύση το πιασα τώρα (πιστεύω) .