by 
Σαν συνέχεια των σχολίων που έγιναν κάτω από την ανάρτηση:
Ας συνεχίσουμε στο χώρο του φόρουμ, οπότε να έχουμε και την σύνδεση…
- Έστω τρεις δεξαμενές που περιέχουν νερό στο ίδιο ύψος h, από τις οποίες εκρέει το νερό μέσω οριζόντιου σωλήνα.
i) Πόση η ταχύτητα εκροής στα σχήματα Α, Β και Γ;
ii) Στο Α σχήμα, όπου ο σωλήνας έχει σταθερή διατομή, πόση είναι η πίεση στο σημείο 1;
iii) Αν ο οριζόντιος σωλήνας παρουσιάζει ένα στένωμα (σχήμα Β) ή μια πλάτυνση (σχήμα Γ), πώς αυτό θα επηρεάσει την πίεση στο σημείο 1;
iv) Η πίεση στα σημεία 3 και 4 είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη της ατμοσφαιρικής και ποια η φυσική σημασία της τιμής αυτής;
Απάντηση:
i) Η ταχύτητα εκροής του νερού, δεν εξαρτάται από το σχήμα του σωλήνα, οπότε και στα 3 σχήματα έχουμε την ίδια ταχύτητα εκροής:
ii) Από την εξίσωση τη συνέχειας προκύπτει ότι στα σημεία 1 και 2, έχουμε ίσες ταχύτητες ροής και από την εξίσωση Bernoulli, θα έχουμε και ίσες πιέσεις p1=p2=pατμ.
iii) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα, δεν αλλάζει η πίεση στο σημείο 1. Έτσι και στην Β περίπτωση και στην Γ θα ισχύει p1=p2=pατμ.
iv) Στο σχήμα Β, το νερό κατά την μετακίνησή του από τη θέση 1 στη θέση 3 θα πρέπει να επιταχυνθεί, αφού πρέπει να αυξηθεί η ταχύτητα ροής (εξίσωση συνέχειας). Η επιτάχυνση αυτή θα προκληθεί από τη διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο θέσεων. Αλλά για να συμβεί αυτό, πρέπει η πίεση στο σημείο 3 να είναι μικρότερη από την ατμοσφαιρική.
Από την άλλη, εξαιτίας αυτής της μικρότερης πίεσης στο σημείο 3, το νερό επιβραδύνεται κατά την μετάβασή του από τη θέση 3 στη θέση 2, αφού τελικά θα έχει την ταχύτητα που έχει κατά την εκροή και στο Α δοχείο.
Με την ίδια λογική το νερό επιβραδύνεται κατά τη μετάβαση από τη θέση 1 στη θέση 4 (από εξίσωση της συνέχειας η ταχύτητα στο σημείο 4 είναι μικρότερη από την αντίστοιχη στο σημείο 1), στο σχήμα Γ, αλλά αυτό συνεπάγεται ότι η πίεση στο σημείο 4 είναι μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική πίεση.
2. Θα έλεγα να συγκρίνουμε:
i) τις ταχύτητες εκροής και
ii) τις πιέσεις στα σημεία 1, 2 και 3 στα σχήματα Α και Β το παραπάνω σχήματος, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο βάθος και στα δύο σχήματα. Στο δοχείο Β, ο οριζόντιος σωλήνας καμπυλώνεται και εισχωρεί στο δοχείο διατηρώντας σταθερή την διατομή του.
Σημείωση: Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και οι ροές μόνιμες και στρωτές.
Καλησπέρα Στάθη. Γράφεις:
“Η ποσότητα που διατηρείται είναι η πυκνότητα ενέργειας της ροής, δηλαδή το άθροισμα της πυκνότητας της μηχανικής ενέργειας συν την ενέργεια ανά μονάδα όγκου που προσφέρεται ή αφαιρείται από την ροή μέσω του έργου των εξωτερικών δυνάμεων, σε μία φλέβα.”
Εδώ βρίσκεται η διαφωνία μου.
“συν την ενέργεια ανά μονάδα όγκου που προσφέρεται ή αφαιρείται από την ροή μέσω του έργου των εξωτερικών δυνάμεων,”
Αυτό είναι έργο. Είναι κάτι που μεταφέρεται στο υγρό. Δεν είναι κάτι που ΕΧΕΙ. Άλλο έχει (ενέργεια) και άλλο παίρνει, δίνει, μεταφέρεται, εισέρχεται, εξέρχεται…. ενέργεια μέσω έργου δύναμης (ή και ανταλλαγή θερμότητας γενικότερα).
Αλλά τότε το πρώτο μισό της πρότασης:
“Η ποσότητα που διατηρείται είναι η πυκνότητα ενέργειας της ροής”
μπορεί να διευκολύνει κάποιους υπολογισμούς, αλλά προσωπικά …με χαλάει…
Το καταλαβαίνω αυτό Διονύση. Παρ’ όλα αυτά αν προσθέσεις στην πυκνότητα μηχανικής ενέργειας την πυκνότητα έργου έχεις μία διατηρήσιμη ποσότητα σε όλη την έκταση της ροής. Αυτό που διατηρείται είναι πίεση όπως την εκλαμβάνει ο Δ. Μητρόπουλος (αν κατάλαβα καλά).
Εξ’ αλλου πάντα σε ένα σύστημα είναι καλό να βρίσκεις διατηρήσιμες ποσότητες.
Καλησπέρα Στάθη.
Αυτό που γράφεις δεν το είχα σκεφθεί. Είναι άλλη μία οπτική που επίσης στέκει.
Αυτό πιστεύω πως είναι το θέμα. Ένα μέγεθος που ορίστηκε όπως η πίεση αποκτά διάφορα περιεχόμενα ανάλογα με την “γωνία θέασης”.
Διονύση ας επαναλάβω ότι ο όρος “δυναμική ενέργεια” μπορεί να έχει διάφορα περιεχόμενα.
Ένα σώμα κρέμεται από ελατήριο σε κεκλιμένο επίπεδο.
Ένας θέλει την δυναμική να είναι το άθροισμα 1/2 k.Δl2 + m.g.h (Το h αυθαίρετο).
Ένας άλλος θέλει την δυναμική ενέργεια να είναι 1/2k.x2 (όπου x η απόσταση από τη θέση ιρορροπίας).
Ένας τρίτος θέλει ως δυναμική ενέργεια μόνο την βαρυτική m.g.h. Την δράση του ελατηρίου την συμπεριλαμβάνει μέσω του έργου που προσφέρει στο σώμα. Λέει δηλαδή ότι 1/2k.Δl22 – 1/2k.Δl12 = Δ(m.g.h + 1/2m.υ2).
Ένας άλλος δουλεύει μόνο με ΘΜΚΕ και λέει ότι Wmg + Wελ = ΔΚ.
Ξέρουμε όλοι ότι χρησιμοποιούμε συνήθως την δεύτερη προσέγγιση. Αυτό δεν καθιστά λανθασμένες τις άλλες.
Όπως έχουμε δικαίωμα να θεωρήσουμε ως πεδίο ένα ελατήριο, έτσι και τις δυνάμεις μιας μόνιμης ροής ιδανικού ρευστού μπορούμε να τις θεωρήσουμε ως προερχόμενες από ένα δυναμικό πεδίο.
Δεν μιλώ για το πεδίο ταχυτήτων.
Δηλαδή Διονύση ο ένας το PA.δV-PBδV το θεωρεί ως έργο που προσφέρθηκε σε μαζίδιο.
Ένας άλλος το θεωρεί διαφορά δύο γενικευμένων δυναμικών ενεργειών.
Όπως ένας το 1/2k.Δl2 το θεωρεί έργο ελατηρίου από την θέση τάδε στην θέση φυσικού μήκους και άλλος ως -ΔUελ.
Ουδείς έχει λάθος.
Καλησπέρα παιδιά.
Γιάννη η ποσότητα ½ k∙(Δl)2 μπορεί να είναι διάφορα πράγματα, ανάλογα για τι μιλάμε.
Αν μιλάμε για το ελατήριο, μια κατάσταση, μπορεί η ποσότητα να μετράει την ενέργεια που έχει το ελατήριο λόγω παραμόρφωσης.
Αν μιλάμε για την κίνηση ενός άλλου σώματος Σ το οποίο μετακινήθηκε ενώ πάνω του ασκήτο μια δύναμη από κάποιο ελατήριο, μπορεί να είναι ίση με το έργο της δύναμης του ελατηρίου.
Ή μπορεί να είναι και το έργο που ένα σώμα Σ παράγει πάνω σε ένα ελατήριο, σε μια ορισμένη μετακίνηση του σώματος…
Από κει και πέρα, γράφοντας την εξίσωση
p+ ρgh+ ½ ρυ2 =σταθ
μπορούμε να βρούμε τις διατυπώσεις:
1) Κατά μήκος μιας φλέβας το άθροισμα της στατικής πίεσης, της υψομετρικής πίεσης και της δυναμικής πίεσης παραμένει σταθερό.
2) Κατά μήκος μιας φλέβας το άθροισμα της πυκνότητας ενέργειας λόγω πίεσης, της πυκνότητας δυναμικής ενέργειας και της πυκνότητας της κινητικής ενέργειας, παραμένει σταθερό.
Όπου στην πρώτη περίπτωση όλοι οι προσθετέοι αντιμετωπίζονται «ωσάν να ήταν πιέσεις» (που δεν είναι…) ενώ στη δεύτερη, «ωσάν να ήταν ενέργειες» (που δεν είναι…)
Αν κρίνετε ότι είναι χρήσιμες οι εκφράσεις, μπορείτε να τις βάλετε και στην διδασκαλία σας συνάδελφοι, αλλά ας έχουμε ξεκάθαρο για ποιο πράγμα μιλάμε. Για παράδειγμα, γράφοντας Bernoulli για τα σημεία 1 και 2 στο τμήμα ενός δικτύου, όπως στο σχήμα, γράφουμε:
Αξίζει να προσέξουμε ότι η ποσότητα ρgh του πρώτου μέλους, με βάση την πρώτη διατύπωση ονομάζεται υψομετρική πίεση και δεν έχει να κάνει με την γνωστή μας «υδροστατική πίεση». Η αντίστοιχη υψομετρική πίεση στο σημείο 2 θεωρήθηκε μηδενική.
Διονύση ούτε χρήσιμες κρίνω τις εκφράσεις, ούτε σκοπεύω ποτέ να τις εντάξω σε διδασκαλία. Θα προκαλούσα προβλήματα τόσα όσα αντιλαμβάνεσαι. Κάτι που ψάχνουμε εμείς μπορεί απευθύνεται σε παιδιά;
Ούτε διδάσκω ότι εδώ παρουσιάζω με ενέργεια νερού και μαζούλες που χάνονται από ύψος h και εμφανίζονται άλλες με κάποια κινητική ενέργεια. Ούτε εμβαδά παροχών και τέτοια κάνω. Απλά πράγματα κάνω όπως όλοι, περίπου στο επίπεδο του βιβλίου.
Όμως οι συζητήσεις εδώ ξεφεύγουν κάποιες φορές (και καλά κάνουν) από τα της διδασκαλίας. Συζητάμε για δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης χορδής που μηδενίζεται στο όρος και δεν μεγιστοποιείται. Συζητάμε πολλά.
Την στιγμή αυτήν συζητάμε αν έχει ενεργειακό περιεχόμενο η πυκνότητα. Συζήτηση Φυσικών. Μια καταφατική απάντηση δεν σημαίνει πως πρέπει να ενταχθεί κάτι τέτοιο στο επόμενο βιβλίο Λυκείου. Ίσως δε έχει ήδη φανεί πως δεν πρέπει.
Η διαφορά υψομετρικής-υδροστατικής είναι κάτι που όντως μπερδεύει.
Ας διαβαστεί ως “επειδή στο 1 έχουμε μεγαλύτερη υψομετρική πίεση, έχουμε μικρότερη πίεση”.
Προφανώς Γιάννη, έτσι “διαβάζεται”…
Αλλά το πόσο καραδοκεί η παρερμηνεία, δεν λέγεται!
Και μας διαβάζουν και συνάδελφοι που αύριο θα μπουν στην τάξη να διδάξουν.
Μην τους διαλύσουμε εντελώς τη σκέψη…
Έχω μπει στα ρευστά. Τα παιδιά (αν και πρόκειται για καλό τμήμα) δυσκολεύονται με τα της πίεσης. Για παράδειγμα το αναποδογυρισμένο δοχείο με το έμβολο κάτω που είχες βάλει σε συζήτηση. Δεν μπορούσαν να πιάσουν αμέσως ότι η πίεση είναι απλώς η ατμοσφαιρική και όχι αυτή συν κάποια υδροστατική. Ότι η πίεση πάνω είναι μικρότερη της ατμοσφαιρικής η οποία….. αρχή Πασκάλ…. Τα ρευστά ξεφεύγουν από την τυποποίηση των κυμάτων και των ταλαντώσεων. τρομάζουν.
Ακριβώς επειδή είναι δύσκολα είναι και δυσανάγνωστα.
Όμως ένας συνάδελφος που συμμετέχει ή παρακολουθεί συζητήσεις και προβληματισμούς διευκολύνεται. Αν μη τι άλλο θα αποφύγει χοντρά λάθη. Δεν θα δώσει θέμα που δεν στέκει, θέμα που κατασκευάστηκε λόγω παρανόησης και αντιβαίνει στην πραγματικότητα καταφανώς.
Καλησπέρα Γιάννη, το δοχείο είναι κλειστό.
Όμως η φλέβα δεν μπορεί να υπάρχει, κατ’ επέκταση ούτε Μπερνούλι
μπορούμε να εφαρμόσουμε
Διάβασα όλα τα σχόλια…προσπάθησα να καταλάβω…
Θα συνοψίσω με μια φράση του Γιάννη:
“…Συμφωνούμε διαφωνούντες και διαφωνούμε συμφωνούντες …”
Όσα έγραψε ο Διονύσης Μητρόπουλος, πολύ ενδιαφέροντα αλλά μάλλον
θα μπέρδευαν κι άλλο το μέσο μαθητή που καλείται να μάθει ρευστά σε
4 εβδομάδες…. Διονύση, είναι και λίγο τεχνοκρατικά….
Η προσέγγιση του Γιάννη με τη νέα δυναμική ενέργεια με φοβίζει…
Μου θυμίζει παλιότερες τοποθετήσεις συναδέλφων για την αατ του συστήματος
δύο σωμάτων, το ένα πάνω στο άλλο, όπου το πάνω σώμα δέχεται
στη διεύθυνση της κίνησης μόνο τη στατική τριβή:
«Από την άλλη, (κάνοντας το συνήγορο του διαβόλου) στα προβλήματα που συζητάμε η ποσότητα 1/2 *mω^2x^2 +1/2 mv^2 παραμένει ή όχι σταθερή κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης, για οποιοδήποτε από τα δύο σώματα; Εφόσον λοιπόν διατηρείται γιατί να μην χρησιμοποιούμε τη διατήρησή της ως εργαλείο λύσης προβλημάτων; Ακόμα και αν δεν την βαφτίζουμε ενέργεια του ταλαντωτή!»
Κρατάω τις φράσεις του Διονύση:
“Όταν αποδεχθώ να μιλάω για πυκνότητα ενέργειας, θα πρέπει να μπορώ
να εξηγήσω πώς το ρευστό κερδίζει αποθηκευμένη ενέργεια,
κάθε φορά που αυξάνεται η πίεση στο εσωτερικό του.”
και
“…υπάρχουν περιπτώσεις, όπου η ύπαρξη της ταχύτητας επιβάλει την εμφάνιση ή μη της δύναμης (η οποία στη συνέχεια θα μεταβάλλει την ταχύτητα!)….”
Καλημέρα Θοδωρή, Διονύσηδες και Στάθη.
Θοδωρή η υπόθεση έχει μια πολύ δύσκολη πλευρά και ταυτόχρονα μια πολύ εύκολη.
Η δύσκολη είναι προφανής. Ο νόμος είναι “δυσανάγνωστος” και κάποια προβλήματα μπορεί να λυθούν λάθος από κακή εφαρμογή του.
Η εύκολη είναι ότι τα παιδιά μπορούν να τον εφαρμόζουν τυφλά σε κάθε περίπτωση, διότι την ευθύνη την έχει ο θεματοδότης.
Αυτός πρέπει να έχει υπ’ όψιν του πως αν βάλει λ.χ. δύο δοχεία να επικοινωνούν με σωληνάκι και νερό να πηγαίνει από το ένα στο άλλο, υπάρχει ο κίνδυνος να γίνει “μαζικό” λάθος. Να εφαρμόσουν οι μαθητές τον νόμο από επιφανείας εις επιφάνειαν και να υπολογίσουν τερατώδεις παροχές. Ότι το νερό στο σωληνάκι ρέει με ταχύτητα 10.000 m/s.
Ο θεματοδότης που γνωρίζει το θέμα και γνωρίζει ταυτόχρονα ότι οι μαθητές αυτό θα κάνουν, θα αποφύγει τέτοιο πρόβλημα.
Έτσι οι μαθητές με ασφάλεια μπορούν να εφαρμόζουν τον νόμο. Τυφλοσούρτης δηλαδή.
Φεύγοντας από τα “μαθητικά” στο ερώτημα “Πως το νερό κερδίζει ενέργεια;” ας απαντήσω πως αυτό γίνεται με δύο τρόπους:
Ο ένας είναι με κάποια αντλία.
Ο άλλος είναι δαπάναις της δυναμικής του ενέργειας. Δηλαδή το υγρό που συνολικά ανήκει σε δύο δεξαμενές έχει σταθερή μηχανική ενέργεια αν είναι ιδανικό. Όσο ρέει από τη μία στην άλλη μειώνεται η δυναμική του κατά δm.g.(h1-h2) και αυξάνεται η κινητική του κατά 1/2δm.υ^2.
Μιλώ για την κλασική δυναμική ενέργεια και όχι την γενικευμένη.
Την παραπάνω “πορεία” δεν την ακολουθούμε στην τάξη, με εξαίρεση ίσως την άσκηση με την αντλία. Την έχουμε κατά νου όταν επιδιώκουμε είτε ερμηνεία (δι ιδίαν χρήσιν) είτε ανίχνευση λάθους που προέκυψε από κακή εφαρμογή του νόμου Bernoulli.
Θοδωρή δεν υπάρχει φλέβα. Έτσι πρέπει να ξέρουμε ποια είναι η περίπτωση. Το κλειστό δοχείο τροφοδοτείται από μεγάλη και ανοιχτή δεξαμενή;
Αν ναι τότε η εφαρμογή του νόμου Bernoulli δίνει σωστό αποτέλεσμα, άσχετα με την ύπαρξη ή όχι φλέβας.
Μήπως έχουμε σταθερή πίεση από αντλία στη βάση;
Μήπως έχουμε σταθερή παροχή Π στη βάση;
Αν έχουμε την τελευταία περίπτωση, τότε η ταχύτητα εκροής είναι ίση με Π/Α , όπου Α η διατομή της εξόδου. Τότε ουδένα ρόλο παίζει η όποια πίεση και η όποια απόσταση της τρύπας από τον πάτο.
Το θέμα αξίζει ιδιαίτερη ανάρτηση στο φόρουμ
Εδώ Θοδωρή λες κάτι λογικό. Κάτι που σχετίζεται και με τη συζήτηση. Λες περίπου:
-Η σχέση Bernoulli αποδείχτηκε με την προϋπόθεση ύπαρξης φλέβας. Αν δεν υπάρχει φλέβα η απόδειξη είναι άκυρη.
Όμως αν αποδειχθεί η ίδια σχέση διαφορετικά;
Αν αποδειχθεί χωρίς επίκληση φλέβας;
Τότε εφαρμόζεται πάλι, αρκεί να γίνει σωστή εφαρμογή του.
Υπάρχουν δύο τουλάχιστον επιπλέον αποδείξεις της σχέσης. Η μία είναι τολμηρή. Εκμεταλλεύεται υποθετικό ταξίδι μαζιδίου από το ένα σημείο στο άλλο. Συναντά αντιρρήσεις του τύπου:
-Αν δεν γίνει το ταξίδι αυτό, ισχύει η απόδειξη;
Η άλλη είναι απλή, ισοπεδωτική και δεν συναντά αντιρρήσεις. Η διατήρηση της ολικής ενέργειας του συστήματος.
Της βαρυτικής δυναμικής του συν της κινητικής του ενέργειας. Δεν επικαλείται φλέβες και άλλα τέτοια. Το μόνο που επικαλείται είναι η μονιμότητα της ροής και η απουσία ιξώδους. Δίνει άριστα αποτελέσματα κατά προσέγγιση και για το νερό όταν οι σωλήνες είναι λογικού μήκος και ικανής διατομής.
Αν λοιπόν έτσι αποδειχθεί η σχέση Bernoulli ανεξαρτητοποιείται από φλέβες και άλλα τέτοια. Δίνει καλά αποτελέσματα, έστω και αν ο “χρήστης” δεν καταλαβαίνει τι γίνεται.