by 
Ο ομογενής, πολύ λεπτός, δίσκος του σχήματος, μπορεί να στρέφεται σε επαφή με λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερό (πραγματικό άξονα) z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Κ όπως στο σχήμα, με γωνιακή ταχύτητα ω .
Τότε ο δίσκος έχει στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας Κ, με μέτρο Lz=Ιcm∙ω και με διεύθυνση του άξονα, ίδια δηλαδή με τη διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας ω . Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε:
Κάποια στιγμή αφαιρούμε τον άξονα z (φανταστείτε ένα καρφί στο έδαφος, το οποίο βγάζουμε). Ο δίσκος θα συνεχίσει την περιστροφή του, σαν να μην άλλαξε κάτι, απλά τώρα η περιστροφή θα πραγματοποιείται γύρω από έναν νοητό, φανταστικό, ελεύθερο άξονα z΄, ο οποίος θα έχει πάρει τη θέση του πραγματικού άξονα z.
Διαβάστε τη συνέχεια σε pdf.
ή
Κύριος ή πρωτεύον άξονας στερεού.
Κύριος ή πρωτεύων άξονας στερεού.
Πάμε πάλι στον Feynman. Ας δανειστούμε ένα σχήμα του:
Οι άξονες που πρόσθεσα καθιστούν τον πίνακα διαγώνιο;
Δηλαδή τα γινόμενα αδρανείας είναι μηδέν;
Αν όχι δεν έχει νόημα το παρακάτω. Αν όμως ναι;
Είναι αυτοί οι κύριοι άξονες;
Μήπως πρέπει να λάβουμε υπ’ όψιν την παραίνεση Feymnan περί μέγιστης αδράνειας (πέραν της διέλευσης από το κέντρο μάζας);
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Γιάννη, βάζεις πολλά. Προς το παρόν, μια υπενθύμιση:
Το τι γράφει ένας συγγραφέας σε ένα βιβλίο, εξαρτάται από το επίπεδο διαπραγμάτευσης που επιλέγει. Από τον κανόνα αυτόν δεν εξαιρείται ούτε ο Feynman!!!
Γιώργο γιατί λες ότι δεν πήρες απάντηση. Εγώ απάντησα, έστω λίγο λακωνικά λόγω βιασύνης 🙂
Έγραψα: “Δες την περιστροφή μόνο του δίσκου, παρότι συμμετέχει στο στερεό s.”
Ο δίσκος, πριν κολλήσουμε την μάζα, στρέφεται γύρω από έναν κύριο άξονα τον z στο σχήμα.
Ο δίσκος, μετά την προσκόλληση της μάζας, στρέφεται γύρω από έναν κύριο άξονα τον z1, ο οποίος δεν περνάει από το κέντρο μάζας του !!!
Τώρα αν δεν δέχεσαι αυτήν την λογική, είναι άλλη υπόθεση. Αυτή τη λογική βλέπω εγώ και γι΄αυτό έγραψα το παραπάνω θέμα…
Με απασχολούσε από χθες η λογική κύριου άξονα που δεν περνά από το κ.μ. και κατέληξα στα παραπάνω, μετά την παρέμβαση του Άρη. (Άρη ρίξε μια ματιά και από εδώ!!!)
Αν υπάρχει λάθος, ας διατυπωθεί το σημείο που πρέπει να αλλάξει.
Παιδιά προσπαθούσα να βρω ένα παράδειγμα με κύριο άξονα που δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας.
Δεν ειμαι μηχανικός και μπορεί να λέω χαζομαρες, αλλά έστω ότι ένα περιστρεφόμενο τμήμα μίας μηχανής, το οποίο θέλω να στρέφεται πέριξ ενός σημείου του. Δεν έχει νόημα να βρω τον άξονα από τον οποίο η περιστροφή είναι πιο σταθερή; Όπως και να τον ονομάσω, θα διαγωνοποιεί τον τανυστή αδράνειας.
Καλησπέρα.
Διονύση δεν ισχυρίζομαι ότι κάπου κάνεις λάθος. Προσπαθώ να καταλάβω.
Πριν την παρέμβαση του Στάθη και του Άρη είχα την εντύπωση ότι αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας άξονας κύριος ήταν να διέρχεται από το cm. Mετά τους πίνακες τις διαγωνοποιήσεις κλπ του Στάθη άρχισα να το σκέφτομαι αλλά είπα θέλω κάμποσες μέρες να φρεσκάρω μαθηματικά και δεν με συμφέρει. Μετά και την δική σου ανάρτηση αρχισε να ξεκαθαρίζει το τοπίο.
Μάλλον είναι ζήτημα συμφωνίας σε ένα ορισμό.
Δες το 2 σχόλιο μου. Μια ράβδος περιστρέφεται γύρω από ένα πραγματικό άξονα. Τον αφαιρώ και η ράβδος συνεχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον ίδιο νοητό άξονα που δεν αλλάζει προσανατολισμό και ΔΕΝ μεταφέρεται στον χώρο. Είναι κύριος άξονας αδράνειας? Νομίζω ολοι συμφωνούμε.
Η ιδια ραβδος περιστρέφεται γύρω από ενα πραγματικό άξονα παράλληλο στον πρώτο. Τον αφαιρώ και παρατηρώ ότι ο νοητός άξονας πλέον δεν αλλάζει προσανατολισμό αλλά μεταφέρεται στον χώρο κοκ.
Είναι και αυτός κύριος άξονας? Αυτή η απειρία δεν μου αρέσει
Καλησπέρα παιδιά.
Διονύση έφας:
Το τι γράφει ένας συγγραφέας σε ένα βιβλίο, εξαρτάται από το επίπεδο διαπραγμάτευσης που επιλέγει. Από τον κανόνα αυτόν δεν εξαιρείται ούτε ο Feynman!!!
Το βιβλίο είναι το “Tips on physics”. Όπως βλέπεις από τους συμβολισμούς, τα διανύσματα, τα προηγούμενα, δεν απευθύνεται σε μικρούς μαθητές.
Πιο κάτω λες:
Με απασχολούσε από χθες η λογική κύριου άξονα που δεν περνά από το κ.μ. και κατέληξα στα παραπάνω.
Διαβάζοντας το κείμενο συμπεραίνω πως οι κύριοι άξονες περνούν εξ’ ορισμού από το κέντρο ΄μάζας.
Σε άλλο σχόλιό μου αναφέρω ότι όταν του κόλλησες το μαζάκι, έφτιαξες ένα άλλο σώμα με άλλους άξονες. Ο δίσκος δεν περιστρέφεται γύρω από το δικό του κέντρο μάζας αλλά γύρω από το καινούριο. Άλλο πράγμα ο κύριος άξονας του δίσκου και άλλο ο κύριος άξονας του συστήματος. Όπως άλλο πράγμα ο κύριος άξονας δύο συγκολλημένων ημισφαιρίων και άλλο ο κύριος άξονας εκάστου.
Όπως εσύ κόλλησες ένα μαζάκι εγώ μπορώ να καρφώσω ένα πηρούνι πάνω στον δίσκο. Θα ονομάσουμε τον καινούριο κύριο άξονα “κύριο άξονα του δίσκου”;
Στάθη έχει νόημα. Το νόημα εξαρτάται και από το τι θέλεις.
Αν θέλεις έναν σφόνδυλο, ψάχνεις για άξονα ,με μεγάλη ροπή αδράνειας. Αν θέλεις να σουβλίσεις αρνί για άξονα με μικρή ροπή αδράνειας.
Η διαγωνιοποίηση είναι χρησιμότατη διαδικασία. Η εύρεση της διεύθυνσης των κυρίων αξόνων (που γίνεται από τον πίνακα στροφής της διαγωνιοποίησης) επίσης. Όμως κατάλαβα ότι ο κύριος άξονας σχετίζεται με κίνηση ελεύθερου στερεού.
Καταλαβαίνω ότι οι κύριοι άξονες ορίστηκαν για να χρησιμοποιηθούν σε περιπτώσεις σαν αυτές των βίντεο.
Καλησπέρα παιδιά.
Γιώργο. Μια ράβδος περιστρέφεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα (1) που περνά από το ένα της άκρο. Είναι κύριος άξονας αυτός; Νομίζω ότι ο κύριος άξονας αποκτά αξία από τη στιγμή που γίνεται ελεύθερος. Αυτός είναι σταθερός άξονας και δεν βλέπω γιατί πρέπει να χαρακτηρισθεί.
Αν βγάλουμε τον άξονα η ράβδος θα συνεχίσει να περιστρέφεται γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα (2) ο οποίος περνά από το κ.μ. ο οποίος ταυτόχρονα θα μεταφέρεται με κάποια ταχύτητα.
Είναι ο άξονας (2) κύριος άξονας; Νομίζω πως ναι, είναι. Τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της στροφορμής βρίσκονται πάνω στον άξονα αυτόν.
Θα πάρω παραδείγματα:
Ας βρούμε τους κύριους άξονες ενός συστήματος δύο σημειακών μαζών που συνδέονται με αβαρή ράβδο.
Ποιοι να είναι;
Μπορεί το κριτήριο να είναι μόνο το αν τα γινόμενα αδράνειας είναι μηδενικά;
Αν ναι, τότε ας δούμε αυτούς:
Να πούμε ότι κύριοι άξονες είναι οι εστιγμένοι και ο κάθετος στο επίπεδο που διέρχεται από το μπλε σημείο;
Τα γινόμενα αδράνειας είναι μηδενικά.
Άλλη μια πρόταση:
Οι άξονες διέρχονται από το κέντρο μάζας. Τα γινόμενα αδράνειας είναι μηδενικά διότι οι μάζες βρίσκονται σε αντίθετα τεταρτημόρια. Είναι κύριοι άξονες;
Να εκτρέψω το επίπεδο των δύο αξόνων ώστε τα μπαλάκια να βγουν έξω από αυτό. Αν δεν κάνω λάθος, πάλι τα γινόμενα αδράνειας είναι μηδενικά και ο πίνακας διαγώνιος. Πάλι έχουμε κύριους άξονες;
Έστω ότι δεχόμαστε έναν ελαστικό ορισμό και τους καθιστούμε κύριους άξονες. Να τους κάνουμε τι;
Αν είναι να ορίζουμε μεγέθη και γραμμές να ορίσω και εγώ την κυρία έλλειψη. Είναι μία έλλειψη με εστίες τα μπαλάκια.
Στη συνέχεια να ορίσω την κυρία υπερβολή. Δεν απαγορεύεται.
Ποιος ο λόγος όμως;
Διονύση γράφουμε μαζί. Γράφεις:
Είναι ο άξονας (2) κύριος άξονας; Νομίζω πως ναι, είναι. Τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της στροφορμής βρίσκονται πάνω στον άξονα αυτόν.
Δεν θα είχα αντίρρηση αν ο Feynman δεν έλεγε ρητά ότι ο ένας άξονας (διερχόμενος από το κ.μ.) είναι εκείνος με την μεγαλύτερη αδράνεια, ο άλλος κάθετος σ’ αυτόν και με τη μικρότερη και ο τρίτος κάθετος στους δύο προηγούμενους.
Αν δεχθούμε αυτό που είπες ως ορισμό, κάθε παράλληλη ευθεία είναι κύριος άξονας.
Όμως ιδιότητα μου φαίνεται παρά ορισμός.
Γιάννη, όταν μίλησα για τον Feynman δεν εννοούσα ότι αυτά τα έγραψε για μαθητές Δημοτικού σχολείου. Προφανώς σε φοιτητές απευθύνεται. Και πιθανότερο σε πρωτοετείς φοιτητές, όπως συνήθιζε. Λες στους πρωτοετείς να δίδασκε “όλη την αλήθεια”; Να μην έκρυβε πράγματα;
Αλλά για να εστιάσουμε στο θέμα μας, λέω να δούμε το παρακάτω πρόβλημα και τον τρόπο που το λύνει ο συγγραφέας του J
Ενώ έχουμε ένα στερεό, μπορούμε να ασχοληθούμε και να μελετήσουμε χωριστά κάθε σώμα, αποδίδοντας π.χ. στη στεφάνη τις δυνάμεις που το υλικό σημείο της ασκεί.
Νομίζω ότι συμφωνούμε ότι είναι και αυτός ένας τρόπος επίλυσης του προβλήματος (χθες δήλωσα ότι τον βρήκα και πολύ καλό!!!)
Το πρόβλημα που έθεσα με τα δύο μπαλάκια ίσως δείξει τι εννοώ.
-Ποιος είναι ο άξονας που διέρχεται από το κ.μ. και η ως προς αυτόν ροπή αδράνειας είναι μέγιστη;
Στοιχειωδώς εύκολη η απάντηση.
-Ποιος είναι ο άξονας που διέρχεται από το κ.μ. και η ως προς αυτόν ροπή αδράνειας είναι μέγιστη;
Ακόμα ευκολότερη η απάντηση.
-Ποιος άξονας περνάει από το κ.μ. και είναι κάθετος στους προηγούμενους;
Τι νιαουρίζει στη σκεπή που λένε.
Έτσι βρίσκουμε τους τρεις κύριους άξονες και ξέρουμε πως θα περιστραφεί αν το “σβουρίξουμε” στο διάστημα.
Μετά μπορούμε να βάλουμε 3 μπαλάκια, 4 μπαλάκια κ.λ.π
Ας έρθουμε τώρα στο στερεό που έχω δώσει παραπάνω, με την προσκόλληση της σημειακής μάζας, που έχει σαν αποτέλεσμα το κ.μ. να αλλάζει και από το κέντρο του δίσκου Κ να ερχόμαστε στο σημείο Ο.
Θέτουμε το στερεό s σε περιστροφή με κάποια ω, γύρω από πραγματικό κατακόρυφο άξονα που περνά από το Ο και υπολογίζουμε τις εσωτερικές δυνάμεις που η σημειακή μάζα m ασκεί στο δίσκο.
Σε μια στιγμή αφαιρούμε τη μάζα, ενώ μέσω κατάλληλου μηχανισμού ασκούμε στο άκρο της ακτίνας ΚΟ, μια κατακόρυφη δύναμη με μέτρο ίσο με mg και μια οριζόντια με φορά προς το Ο και με μέτρο mω2x.
Τι λες θα αλλάξει κάτι στην περιστροφή του δίσκου ή θα συνεχίζει σαν να μην άλλαξε κάτι;
Υποστηρίζω ότι δεν θα αλλάξει τίποτα παρά μόνο το μέτρο της στροφορμής…
Και τώρα, αφαιρούμε τον άξονα. Τι θα αλλάξει;
Ο δίσκος θα συνεχίσει να περιστρέφεται γύρω από τον νοητό άξονα z1 ή θα «επιστρέψει» στον κύριο άξονα z που περνά από το κ.μ. του;
Η γωνιακή ταχύτητα και η στροφορμή του δίσκου, θα έχουν την ίδια κατεύθυνση ή όχι;
Ο άξονας z1 ο οποίος δεν περνά από το κέντρο μάζας του δίσκου είναι ή όχι κύριος;
Πριν εστιάσουμε στο θέμα μας. Λες:
Λες στους πρωτοετείς να δίδασκε «όλη την αλήθεια»; Να μην έκρυβε πράγματα;
Φυσικά. Ο Feynman δεν κρύβει. Είναι απολύτως ακριβής ακόμα και όταν μιλάει για την QED σε αδαείς. Δεν κρύβει. Χρησιμοποιεί ακόμα και στρεφόμενα ανύσματα. Είναι εκπληκτικός εκλαϊκευτής και ένας τέτοιος δεν κρύβει πράγματα.
Εξ’ άλλου αν ήθελε να κρύψει δεν θα έλεγε:
-Ονομάζονται κύριοι άξονες.
Θα έλεγε:
-Αυτοί οι τρεις είναι τρεις από την ομάδα των κυρίων αξόνων του στερεού.
Ούτε εμείς θα κάναμε τέτοια γκάφα κατά την απόκρυψη, πόσο μάλλον ο Feynman.
Διονύση αν δεχθώ όσα διάβασα στον Feynman δεν είναι κύριος άξονας αν δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας.
Προηγουμένως έθεσα παραδείγματα (μάλλον τζάμπα). Σε ένα από αυτά μάλιστα και οι άξονες περνάνε από το κ.μ. και τα γινόμενα αδράνειας είναι μηδενικά. Όμως αν δεχθούμε το κριτήριο μέγιστης και ελάχιστης αδράνειας δεν είναι κύριοι άξονες.
Κύριοι άξονες είναι αυτοί που υπαινίσσομαι στο επόμενο σχόλιο.
Αν τα παραδείγματα που έθεσες Γιάννη είναι τα μπαλάκια και οι πλάγιοι άξονες, νόμισα ότι δεν απευθυνόσουν σε μένα αλλά στο Στάθη, που έχει τη Μαθηματική πλευρά του θέματος 🙂
Εγώ δεν έθεσα μαθηματικές προϋποθέσεις για τον κύριο άξονα, αλλά ουσιαστικά φυσικά χαρακτηριστικά:
Τα διανύσματα ω και L να είναι πάνω στον άξονα και
Κύριο φανερό χαρακτηριστικό, ο άξονας να μην παρουσιάζει μεταπτώσεις. Να μην αλλάζει διεύθυνση.
Αυτά ήταν τα “κριτήρια” που δεν ικανοποιούνται από τα δύο υλικά σημεία και τους άξονες που έδωσες.