by 
Ο ομογενής, πολύ λεπτός, δίσκος του σχήματος, μπορεί να στρέφεται σε επαφή με λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερό (πραγματικό άξονα) z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Κ όπως στο σχήμα, με γωνιακή ταχύτητα ω .
Τότε ο δίσκος έχει στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας Κ, με μέτρο Lz=Ιcm∙ω και με διεύθυνση του άξονα, ίδια δηλαδή με τη διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας ω . Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε:
Κάποια στιγμή αφαιρούμε τον άξονα z (φανταστείτε ένα καρφί στο έδαφος, το οποίο βγάζουμε). Ο δίσκος θα συνεχίσει την περιστροφή του, σαν να μην άλλαξε κάτι, απλά τώρα η περιστροφή θα πραγματοποιείται γύρω από έναν νοητό, φανταστικό, ελεύθερο άξονα z΄, ο οποίος θα έχει πάρει τη θέση του πραγματικού άξονα z.
Διαβάστε τη συνέχεια σε pdf.
ή
Κύριος ή πρωτεύον άξονας στερεού.
Κύριος ή πρωτεύων άξονας στερεού.
Αφιερωμένη στους συμμετέχοντες στην διπλανή συζήτηση:
Ελεύθερος άξονας περιστροφής και 2ος νόμος.
και κυρίως στον Άρη, αφού νομίζω ότι οι απαντήσεις του βοήθησαν στην διατύπωση των παραπάνω σκέψεων.
Καλημέρα Διονύση.
Το καλοκαίρι προσπαθούσα να φρεσκάρω τις γνώσεις μου στο στερεό από κάποιες καλές σημειώσεις καθηγητή πανεπιστημίου στα ελληνικά τις οποίες δεν βρίσκω.Κάποια στιγμή έμπλεξα με γωνίες Οιλερ και εγκατέλειψα.
Όμως είχα κρατήσει τα εξής.
Έστω στερεό που περιστρέφεται γύρω από πραγματικό άξονα στερεωμένο σε έδρανα. Αν αφαιρέσουμε τα έδρανα και το στερεό συνεχίζει να περιστρέφεται γύρω από αυτόν τον άξονα χωρίς να αλλάζει προσανατολισμό στον χώρο ο οποίος αξονας τώρα μπορεί να είναι και νοητός λέγεται ελέυθερος άξονας ή κύριος άξονας αδράνειας και διέρχεται από cm. Υπάρχουν άλλοι δυο άξονες που διέρχονται από cm κάθετοι και οι τρεις μεταξύ τους που έχουν παρόμοια ιδιότητα και λέγονται κύριοι άξονες.
Τώρα βλέπω ότι υπάρχουν πολλοί. Αυτό το αντιλαμβάνομαι όταν το στερεό παρουσιάζει μια συμμετρία πχ δίσκος σφαίρα κλπ. Για στερεό που δεν παρουσιάζει συμμετρία δεν μπορώ προσ το παρόν να το κατανοήσω.
Διονύση το περίμενα ότι θα βρείς κάτι με λίγα μαθηματικά! Πολύ καλή. Καταλήξαμε στο ίδιο συμπέρασμα εδώ. Το ενδιαφέρον είναι ότι τα ίδια ισχύουν και στην περίπτωση τρισδιάστατων στερεών, αρκεί η μετατόπιση του σημείου να γίνει πάνω σε έναν από τους κύριους άξονες… Ο Άρης είχε δίκιο.
Γεια σου Διονύση .
Κύριος, επί του θέματος και κυρίως κατανοητός με τη min μαθηματική προσέγγιση.
Δεν συμμετείχα στη συζήτηση όμως παρακολουθούσα και σ’ ευχαριστώ που μου ‘φτιαξες την “πρεσβυωπία” , αλλά και τον Άρη που ώθησε και εννοείται τους σχολιαστές της διπλανής.
Καλησπέρα Διονύση. Αν και δεν συμμετείχα στην παραπάνω κουβέντα, την παρακολούθησα και μελετώντας και τις παραπομπές, ομολογώ ότι κέρδισα πολλά. Νομίζω ότι κάθε συνάδελφος αξίζει να ασχοληθεί!
Μάλλον το κατάλαβα την ώρα που οδηγούσα.
Έστω μια ράβδος που περιστρέφεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από cm. Αν αφαιρέσουμε τον άξονα η ράβδος συνεχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον ίδιο νοητό άξονα χωρίς όμως αυτός να μεταφέρεται στον χώρο.
Αν τώρα η ράβδος περιστρέφεται γύρω από το ένα της άκρο και αφαιρέσω αυτόν τον άξονα τότε ό νοητός πλέον άξονας δεν αλλάζει προσανατολισμό αλλά μεταφέρεται στον χώρο.
Και οι δύο λέγονται κύριοι άξονες σωστά?
Αν ναι εξακολουθώ να πιστεύω όμως ότι στην πρώτη περίπτωση ο πραγματικός άξονας δεν αλληλεπιδρά με το στερεό ενώ στη δεύτερη περίπτωση δέχεται και ασκεί στο στερεό δύναμη οπότε νομίζω ότι ο πρώτος διατηρεί ένα πλεονέκτημα. Άρα δεν θα έπρεπε αυτοί οι κύριοι άξονες να διακρίνονται μεταξύ τους με κάποιο τρόπο?
Καλό μεσημέρι συνάδελφοι.
(Σε ένα διάλειμμα απασχόλησης με τον εγγονό…)
Γιώργο, Στάθη, Παντελή και Αποστόλη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Στάθη, άλλη μπάλα στο μπάσκετ παίζει ο έχων ύψος 2.00 μέτρα και άλλο κάποιος με ύψος 1.60…
Εσύ μπορείς να καρφώνεις με άνεση παίζοντας με πίνακες και ιδιοτιμές. Εγώ πρέπει να βρω άλλους τρόπους…
Γιώργο, δεν μιλάμε για απελευθέρωση άξονα.
Δες την περιστροφή μόνο του δίσκου, παρότι συμμετέχει στο στερεό s.
Παιδιά δεν ξέρω που καταλήγουμε.
Γράφω και στην άλλη συζήτηση ότι βρίσκω αυτό από τον Feynman.
Καταλαβαίνω ότι κύριοι άξονες είναι αυτοί οι τρεις. Αυτοί που περνούν από το κέντρο μάζας. Αυτοί που αναφέρονται στο θεώρημα της ρακέτας.
Ένα στερεό περί αυτούς μπορεί να περιστραφεί ελεύθερα, ευσταθώς ή όχι.
Γιάννη το απόσπασμα αναφέρεται στους άξονες με την μικρότερη και μεγαλύτερη ροπή αδράνειας. Αυτούς (μαζί με τον τρίτο κάθετο) ορίζει ο Feynmann ως κύριους άξονες. Αυτοί όντως διέρχονται από το cm και διαγωνοποιούν τον τανυστή αδράνειας.
Εγώ (νομίζω και ο Άρης) αναφέρομαι σε έναν σύστημα αξόνων ως κύριους άξονες, αν μόνον διαγωνοποιούν τον τανυστή αδράνειας. Δεν υπάρχει ουσιαστική διαφορά. Ίσως να χρειαστεί κάποια άλλη ονομασία για να διακρίνουμε τις δύο περιπτώσεις.
Το θέμα δεν είναι “το είπε ο Feynman”. Στο κάτω-κάτω μπορεί να έχω παρεξηγήσει.
Όμως μου φαίνεται λογικό οι άξονες αυτοί να είναι 3 και όχι άπειροι (πλην της σφαίρας).
Πάμε στο θεώρημα της ρακέτας:
Τι νόημα έχει να μιλάμε για οποιονδήποτε άξονα του τύπου:
Κάθε άξονας κάθετος σε ένα επίπεδο συμμετρίας είναι κύριος άξονας αρκεί ως αρχή να εκλέγεται η τομή του άξονα με το επίπεδο συμμετρίας.
Θα περιστραφεί περί αυτόν;
Η προσθήκη που έκανε ο Διονύσης (σημειακή μάζα) ουσιαστικά μετέφερε το κέντρο μάζας και κατέστησε κύριο άξονα αυτόν που περνάει από το Ο. Στην περίπτωση αυτήν ο άξονας από το Κ παραμένει κύριος άξονας;
Έχει νόημα να λέμε κάτι τέτοιο την στιγμή που δεν θα γίνει περιστροφή περί τον Κ άξονα;
Τι καταλαβαίνετε από το κείμενο του Feynman;
Τι σημαίνει η φράση του:
Υπάρχει ένας άξονας διερχόμενος από το κέντρο μάζας ως προς τον οποίον η αδράνεια είναι μέγιστη, ένας άλλος ως προς τον οποίο η αδράνεια είναι ελάχιστη και αυτοί είναι κάθετοι μεταξύ τους.
Αυτοί οι δύο, μαζί με έναν τρίτο κάθετο σ’ αυτούς ονομάζονται κύριοι άξονες του σώματος.
Ο αείμνηστος μιλάει για συγκεκριμένους άξονες ή για διευθύνσεις;
Τι δεν καταλαβαίνω;
Στάθη με τον τρόπο αυτόν καθιστάς τον όρο “κύριος άξονας” μια διεύθυνση.
Δηλαδή κύριοι άξονες είναι όλοι.
Έδωσες ένα σχήμα με ένα παραλληλεπίπεδο. Εκεί όντως ο τανυστής αδράνειας είναι διαγωνιοποιημένος.
Όμως το απόσπασμα αναφέρει αυτό που είπες;
Αν το μεταφράσουμε λέξη-λέξη τι λέει;
Εγώ κατάλαβα ότι λέει:
Υπάρχουν δύο μεταξύ τους κάθετοι άξονες διερχόμενοι από το κέντρο μάζας. Η αδράνεια είναι μέγιστη ως προς τον ένα και ελάχιστη ως προς τον άλλον. Αυτοί οι δύο, μαζί με έναν τρίτο κάθετο προς αυτούς ονομάζονται κύριοι άξονες.
Εκλαμβάνω το παραπάνω ως ορισμό.
Καλησπέρα πάλι.
Έκανα πιο πάνω σχόλιο αλλά δεν πήρα σαφή απάντηση.Βλέποντας και την επιμονή του Γιάννη επανέρχομαι πιο συγκεκριμένα.
Είναι αναγκαία συνθήκη για να ονομαστεί ένας άξονας κύριος άξονας αδράνειας να διέρχεται από cm ή όχι?
Γιάννη αν εκλάβουμε αυτόν ως ορισμό, συμφωνώ υπάρχουν μόνον τρεις κύριοι άξονες, συμφωνώ. Εγώ απλά δήλωσα ότι από κάθε σημείο στερεού μπορώ να βρω τρεις άξονες που διαγωνοποιούν τον πίνακα. Αν στο στερεό υπάρχουν συμμετρίες οι άξονες γίνονται έως άπειροι. Μπορούμε να βρούμε κάποιο άλλο όνομα γι’ αυτούς ή να μην βρούμε κανένα.
Γιώργο καλησπέρα, γράφαμε μαζί. Νομίζω είναι καθαρά θέμα ορισμού. Προσωπικά δεν επιμένω σε κάποιο από τα δύο.
Γιώργο γίνεται χαμός σε δύο συζητήσεις και τώρα είδα ότι έγραψες.
Η επιμονή μου στηρίζεται μάλλον σε αίσθηση. Η Φυσική δεν ορίζει περιττά πράγματα.
Τι τους θέλει τους κύριους άξονες;
Τους θέλει για να εξηγήσει φαινόμενα. Όπως αυτό που ανέφερες. Όπως το περίφημο θεώρημα της ρακέτας.
Η Φυσική δεν έχει λόγο να ασχοληθεί με διευθύνσεις μόνο. Ενδιαφέρεται για συγκεκριμένα πράγματα.