by 
Ας δούμε, μέσω κάποιων παραδειγμάτων τι συμβαίνει με τις αλγεβρικές τιμές φυσικών μεγεθών, αλλά και τι συμβάσεις κάνουμε συνήθως, άλλοτε φανερές και άλλοτε «σιωπηλές».
Παράδειγμα 1ο:
Ένα αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιο δρόμο όπως στο σχήμα, με ταχύτητα μέτρου 10m/s. Μας ζητάνε την τιμή της ταχύτητας. Αυτή είναι:
i) υ=+2m/s, ii) υ=-2m/s, iii) Το ένα ή το άλλο…
Η σωστή απάντηση είναι η iii) Για να αποδώσουμε μια (αλγεβρική) τιμή στην ταχύτητα, πρέπει προηγούμενα να πάρουμε ότι η κίνηση πραγματοποιείται πάνω σε έναν προσανατολισμένο άξονα (έστω x) και να ορίσουμε μια κατεύθυνση ως θετική. Αν πάρουμε την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, τότε το αυτοκίνητο έχει ταχύτητα υ=-2m/s, αν όμως πάρουμε την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική, τότε υ=+2m/s.
Συνήθως βέβαια, παίρνουμε σιωπηλά ως θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση (συμμορφούμενοι σε μια σύμβαση), οπότε απαντάμε ότι υ=-2m/s, χωρίς άλλες διευκρινήσεις.
Διαβάστε τη συνέχεια…
ή
Οι αλγεβρικές τιμές και η επαγωγή
Οι αλγεβρικές τιμές και η επαγωγή
Καλησπέρα σε όλους τους φίλους που ασχολούνται καλοκαιριάτικα με "αλγεβρικές τιμές στην επαγωγή".
Η ανάρτηση του Διονύση πρέπει να πείσει όλους ότι ο αλγεβρικός τρόπος είναι ένα ισχυρό εργαλείο.
Για τη χρήση του, ο καθένας θα αποφασίσει.
Στην Α Λυκείου έχουμε δικαιολογίες και κρύβουμε τις αλγεβρικές τιμές,
στη Γ Λυκείου θεωρώ ότι πρέπει να τις αναδείξουμε.
Ένα απλό παράδειγμα:
Οριζόντιο δακτυλίδι βρίσκεται ακίνητο μέσα σε κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο.
Αν αντιστραφεί η φορά της έντασης του πεδίου τότε η μαγνητική ροή:
α. θα αυξηθεί
β. θα μειωθεί
γ. θα μείνει η ίδια
Αιτιολογήστε.
Σωστή απάντηση η γ.
Αιτιολόγηση:
Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο η μαγνητική ροή εκφράζει τον ολικό αριθμό
των δυναμικών γραμμών που περνάνε από μία επιφάνεια.
Εδώ ο αριθμός των δυναμικών γραμμών που διαπερνούν το δακτυλίδι δεν άλλαξε, άρα η ροή θα μείνει η ίδια.
Βαθμός: 0 ή 20;
Ανεβάζω και εδώ τις δύο σελίδες από το βιβλίο του πολυκλαδικού (έκδοση 1987) που αφορούν το θέμα μας.
Σελ. 288
Σελ. 289
Καλημέρα Διονύση. Μία από τα ίδια. Διαβάζοντας το βιβλίο του Πολυκλαδικού κάπου το '88, κατάλαβα επιτέλους το (-) της επαγωγής. Μάλιστα φέτος στην αρχή του καλοκαιριού έψαξα την ηλεκτρονική του μορφή και δεν την έβρισκα. Ώσπου εσύ το έφερες σαν σχόλιο νομίζω στην ανάρτηση Η μαγνητική ροή και το επαγωγικό ρεύμα.
Με αυτή την ανάρτηση έρχεσαι και μας υπενθυμίζεις ότι η Φυσική είναι ενιαία δομημένη, όταν χρησιμοποιεί την παγκόσμια γλώσσα της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας.
Όταν ξεκινάμε άσκηση κινηματικής, με αλγεβρικές τιμές θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης κ.λ.π. δεν ορίζουμε πάντα τη θετική φορά;
Γιατί να μην το κάνουμε στο ξεκίνημα κάθε άσκησης επαγωγής; Δεν είναι χρονοβόρο, ούτε δύσκολο και έχουμε έτσι συνέχεια και συνέπεια σε όσα διδάσκουμε.
καλό μεσημέρι Ανδρέα
"Όταν ξεκινάμε άσκηση κινηματικής, με αλγεβρικές τιμές θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης κ.λ.π. δεν ορίζουμε πάντα τη θετική φορά;"
η θέση μου (το γνωρίζω ότι είμαι "αιρετικός", αλλά και ότι ούτε ο Πάπας έχει το αλάθητο…): όχι δεν τραβάμε κανένα ζόρι να ορίσουμε τέτοια φορά, κάθε πρωτοεμφανιζόμενο μέγεθος είναι τίποτα ("+" θα το πούμε, μετά αν χρειαστεί), εκτός και αν αργότερα, που δεν το γνωρίζουμε από την αρχή, υπάρξει και ομοειδές μέγεθος, αλλά άλλη ποιότητας, το "-" είναι ποιοτικό, αν το εξηγήσουμε "με λόγια", δεν χρειάζεται, διότι ισχυρίζομαι ότι "κανένα φυσικό μέγεθος δεν είναι αρνητικό, το"-" κάτι συμβολίζει, δείχνει, επισημαίνει, υπενθυμίζει"
Καλησπέρα Βαγγέλη. Σέβομαι απόλυτα τη θέση σου για την ποιοτική ερμηνεία που δίνουν τα (+) και (-). Άλλωστε τα πρόσημα στα φυσικά μεγέθη είναι δικές μας συμβάσεις, από τη στιγμή που χρησιμοποιούμε την Άλγεβρα. Τι θα πει ότι το φορτίο του ηλεκτρονίου είναι αρνητικό q = -1,6.10^(-19)C; Θα μπορούσε η αρχική σύμβαση που έγινε με το γυαλί και τον εβονίτη να ήταν ανάποδα, οπότε το φορτίο του ηλεκτρονίου θα ήταν θετικό και του πρωτονίου αρνητικό…
Αλλά χρειάζεται μια σύμβαση κάθε φορά. Για μας. Η φύση αδιαφορεί. Έτσι συμπορεύομαι με την άποψη του Διονύση, του Γιάννη, του Νίκου κ.λ.π.
Οι μαθητές θέλουν όσο το δυνατόν λιγότερα "αν", οπότε μαθαίνοντας από την Α΄Λυκείου όλους τους τύπους με αλγεβρικές τιμές και την φυσική σημασία των προσήμων, φτάνουν στη Γ΄τάξη και καταλαβαίνουν τι σημαίνει π.χ. ορμή p = -2kgm/s ή επιτάχυνση
α = -4m/s^2 ή δύναμη ελατηρίου F = -3N.
Βαγγέλη καλησπέρα.
Συμφωνώντας κατ' αρχήν με τις απόψεις σου θα ήθελα να θέσω ένα ερώτημα προς συζήτηση.
Στον λεγόμενο βόρειο οδικό άξονα της Κρήτης ( ΒΟΑΚ), ένα αυτοκίνητο κινείται σε μια μεγάλη ευθεία προς τα Χανιά , θετική φορά, και το κοντέρ του γράφει σταθερά 100Km/h. Ξαφνικά ο σοφέρ κάνει κάτι που σπανίως συμβαίνει στον ΒΟΑΚ , πατάει φρένο και με αναστροφή περνά στο αντίθετο ρεύμα προς Ηράκλειο , αρνητική φορά ( εντελώς τυχαία η επιλογή) όπου μετά από λίγο το κοντέρ του αυτοκινήτου δείχνει σταθερά 100Km/h .
Η ταχύτητα του αυτοκινήτου όταν κινείται κατά την αρνητική φορά
i. αυξήθηκε με φορά προς Ηράκλειο
ii. ελαττώθηκε με φορά προς Ηράκλειο
iii. παράμεινε σταθερή με φορά προς το ηράκλειο
Μανώλη το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας είναι ίσο με 200km/h με φορά προς το Ηράκλειο.
Σύμφωνα με τη θετική φορά (Η->Χ) η αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ταχύτητας είναι ίση με -200km/h.
Δηλαδή η ταχύτητα μειώθηκε κατά 200km/h (σύμφωνα με τη θετική φορά).
Η μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας φυσικά είναι ίση με μηδέν.
Στα διανυσματκά μεγέθη η κατάσταση είναι πιο σύνθετη.
Πολλές φορές μας βολεύει να εκφραζόμαστε "πρακτικά" λέγοντας "προς τα δεξιά" ή "προς τα αριστερά", όταν όμως
θέλουμε να εκφράσουμε ένα φαινόμενο με μαθηματικές σχέσεις ο αλγεβρικός τρόπος πλεονεκτεί.
Ένα πιο απλό παράδειγμα:
Έχω στο λογαριασμό μου στη τράπεζα 100 δραχμές και αγοράζω με τη πιστωτική κάρτα ένα αντικείμενο που κοστίζει 200 δραχμές.
Μπορώ να πω ότι χρωστώ στην τράπεζα 100 δραχμές
ή ισοδύναμα ο λογαριασμός μου είναι -100 δραχμές.
Μπορώ να πω ότι ο λογαριασμος μου μειώθηκε κατά 200 δραχμές.
ή ισοδύναμα η μεταβολή του λογαριασμού μου είναι -200 δραχμές.
Όλα οι τρόποι είναι αποδεκτοί, απλά κατά τη γνώμη μου ο αλγεβρικός πλεονεκτεί.
Στη τάξη ανάλογα με τις συνθήκες χρησιμοποιούμε το τρόπο που θεωρούμε ότι είναι πιο κατανοητός στα παιδιά.
Τέλος όσοι συνάδελφοι διορθώνουν γραπτά πανελλαδικών ξέρουν τι συμβαίνει σε θέματα που ζητούν να βρεθεί
η μεταβολή (μέτρο και φορά) ενός διανυσματικού μεγέθους, αυτός είναι ένας λόγος που επιμένω στο θέμα των αλγεβρικών τιμών.
καλησπέρα Μανώλη, Ανδρέα, Νίκο
Μανώλη, συμφωνώ με τον Νίκο,
η ταχύτητα, σύμφωνα με τα +, – που δίνεις στην αρχή, ήταν +100 και έγινε -100, άρα μετεβλήθη κατά -200, αλλά η ερώτηση σου είναι "με φορά προς…" άρα ανάποδα τα +, -, άρα μετεβλήθη κατά +200, συμπέρασμα: μπερδεψούρα τα μαθηματικοποιημένα, πιο κατανοητή για τον αναγνώστη η περιγραφή ( αντί "Σπαγγοβαγγελοδημήτρης Νικόλαος του Νικόλα" καλύτερα "γύλος"…)
Βαγγέλη υποκλίνομαι.
Είσαι αξεπέραστος.
Αυτό που έχει λοιπόν σημασία είναι, σε ποια γλώσσα κάνουμε τη συνεννόηση.
Στη γλώσσα της φυσικής, οι μεταβολές των μεγεθών δεν είναι ίδιες με τις μεταβολές όπως τις κατανοεί ο καθημερινός χρήστης των λέξεων.
Χωρίς τις αλγεβρικές τιμές δεν βγαίνουν σωστά συμπεράσματα στη γλώσσα της φυσικής.
Αυτό πρέπει να γίνει σαφές στους μαθητές.
Αρκεί να το παρακάνουμε με τις αλγεβρικές τιμές.
Πολλές φορές για για παράδειγμα είναι προτιμότερο να πάρουμε το μέτρο της ΗΕΔ από επαγωγή και όχι την αλγεβρική τιμή της.
( εδώ υπήρχε ένα σχέδιο αλλά υπήρξε και αδυναμία να εισαχθεί )
Ελπίζω με λίγη φαντασία να γίνεται κατανοητό αυτό που θέλω να πω.
Για να μην προκύπτει αδικαιολόγητη θολούρα…
Μανώλη συμφωνούμε απόλυτα.
Εγώ ως μαθητής δούλευα συνήθως με μέτρα και με "δεξιά" και "αριστερά", αλλά είχα υπόψη και τις αλγεβρικές τιμές.
Σήμερα όλοι γνωρίζουμε ότι η κατάσταση είναι απογοητευτική.
Για να ανεβάσεις φωτογραφία πάτα "Προσθήκη", μετά "Πολυμέσα", μετά πάρε το link και μετά καλή τύχη.
Καλησπέρα σε όλους (Νίκο καλώς ήρθες!)
Παιδιά να επισημάνω ότι η "μεταβολή" ενός μεγέθους έχει διαφορετικό νόημα στα μονόμετρα και στα διανυσματικά μεγέθη.
Σε ένα μονόμετρο μέγεθος, που έχει μόνο "μέτρο", μόνο αυτό μπορεί να μεταβληθεί. Έχει επομένως νόημα να μιλάμε για "αύξηση" ή για "μείωση".
Σε ένα διανυσματικό μέγεθος όμως, που περιγράφεται από το "μέτρο" του, τη "διεύθυνση – φορά" του ή/και την "αλγεβρική τιμή" του αν βρίσκεται σε προσανατολισμένο άξονα, μπορεί να μεταβληθεί οποιοδήποτε από τα χαρακτηριστικά του.
Μπορούμε τώρα να μιλάμε για "αύξηση" ή για "μείωση" του διανυσματικού μεγέθους; Η "μεταβολή" του μεγέθους είναι ένα νέο διάνυσμα με τα δικά του χαρακτηριστικά!
Φαναταστείτε ένα αυτοκίνητο που κινείται σε οριζόντιο δρόμο (από Ν προς Β) με ταχύτητα σταθερού μέτρου 50 km/h και διέρχεται από μια δεξιά στροφή με αποτέλεσμα να κινείται τώρα σε νέα διεύθυνση που σχηματίζει γωνία 60⁰ με την αρχική, ώστε να κινείται τώρα Βορειοανατολικά.
Η ταχύτητα είχε σταθερό μέτρο, οπότε μεταβολή μέτρου μηδέν.
Η μεταβολή της ταχύτητας έχει μέτρο 50 km/h, διεύθυνση 120⁰ σε σχέση με την αρχική και φορά Νοτιοανατολική.
(Για αλγεβρικές τιμές δεν μπορούμε να μιλήσουμε, εκτός αν χρησιμοποιήσουμε άξονες και συνιστώσες.)
Έχει νόημα να ρωτήσουμε αν αυξήθηκε ή μειώθηκε η ταχύτητα;
Υπάρχει βέβαια κι ο αντίλογος:
Σε μια ευθύγραμμη κίνηση πάνω σε προσανατολισμένο άξονα, υπάρχει η άποψη ότι τα διανυσματικά μεγέθη μπορούμε να τα θεωρούμε ως βαθμωτά. Ότι τα διανύσματα δηλαδή συμπίπτουν με τις αλγεβρικές τιμές τους. Λέγοντας επομένως "ταχύτητα" εννοούμε την αλγεβρική τιμή της.
Προσωπικά πάντως, διαφωνώ με αυτή τη θέση, έστω και μόνο για διδακτικούς λόγους.
Σκεφτείτε ένα αυτοκίνητο που κιν είται κατά την αρνητική φορά με ταχύτητα μέτρου 50 km/h και φρενάρει μεχρι να σταματήσει. Πόσο περίεργο ακούγεται ότι η ταχύτητα αυξήθηκε με το φρενάρισμα κατά 50 km/h (εννοώντας τη μεταβολή της αλγερβρικής τιμής), ενώ το μέτρο της μειώθηκε κατά 50 km/h!
Διονύση σε ευχαριστώ για το καλωσόρισμα.
Όπως πάντα οι θέσεις σου είναι εύστοχες.
Το θέμα θα ήταν πιο απλό αν στο βιβλίο του καθηγητή υπήρχαν σαφείς οδηγίες.
Το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι πάντα θετικό, η μαγνητική ροή όμως έχει αλγεβρικό ορισμό,
οπότε πως την αντιμετωπίζουμε;
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Βλέπω να συνεχίζεται η συζήτηση για τις αλγεβρικές τιμές και αν πρέπει να χρησιμοποιούνται ή όχι.
Ας σημειώσω λοιπόν και γω από τη μεριά μου, δυο-τρία πράγματα.
Και γω σαν μαθητής με μέτρα και απόλυτες τιμές έμαθα να δουλεύω. Είναι κριτήριο όμως αυτό, για το αν πρέπει μετά από 45+ χρόνια να συνεχίζεται ο ίδιος τρόπος διδασκαλίας;
Η χρήση αλγεβρικών τιμών μπορεί να θεωρηθεί υψηλότερο μαθηματικό επίπεδο, όπως η Άλγεβρα είναι ψηλότερο επίπεδο από την Αριθμητική. Είναι λόγος αυτός, να μην διδάσκεται η Άλγεβρα και να μείνουμε μόνο στην Αριθμητική;
Το κριτήριο για το αν θα χρησιμοποιήσουμε λίγο ανεβασμένο μαθηματικό επίπεδο ή όχι, δεν είναι μόνο η ευκολία. Είναι η δυνατότητα να διδαχτεί κάτι σωστά και χωρίς ναι μεν, αλλά, κατά περίπτωση. Αρκεί βέβαια να μπορεί να γίνει και να περάσει στους μαθητές. Αν το επίπεδο γίνεται “μη προσβάσιμο”, τότε η προσπάθεια εγκαταλείπεται και πρέπει να κατέβουμε επίπεδο.
Αν επιθυμούμε να χρησιμοποιούμε όρους “καθημερινής ζωής” όπως αυξάνεται ή μειώνεται (και όχι μεταβάλλεται και μεταβολή μεγέθους), θα πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι στην καθημερινή ζωή δεν θα βρούμε ούτε διανύσματα, ούτε αρνητικούς αριθμούς. Αλλά τότε η σύγκριση (μεγαλύτερο-μικρότερο, αύξηση -μείωση) θα πρέπει να γίνεται με τα μέτρα των μεγεθών ή τις αντίστοιχες απόλυτες τιμές των μονόμετρων μεγεθών.
Και ένα ερώτημα με την ευκαιρία. Ποια η φυσική σημασία μιας θετικής μαγνητικής ροής και ποια μιας αρνητικής;
καλησπέρα Διονύση
σωστά, η βαρύτητα είναι πώς να "περνάει" κάτι και στους μαθητές
στο ερώτημα: καμμία σημασία (εγώ άλλωστε θα βγάλλω την κάθετο στην επιφάνεια ομόρροπη με τη Β και θα έχω μόνο θετικές ροές), αν, όμως, εννοείς για την ίδια επιφάνεια, τότε ή γύρισε ανάποδα η Β, ή γύρισε τούμπα η επιφάνεια
Καλημέρα Διονύση.Πιστεύω ότι το ερώτημα θετικήs ή αρνητικήs ροήs αποκτά σημασία στη περίπτωση κλειστήs επιφάνειαs μέσα σε μαγνητικό πεδίο.Αν φανταστούμε ένα κύλινδρο για παράδειγμα μέσα σε ομογενέs μαγνητικό πεδίο με τιs γραμμέs του πεδίου να έχουν την ίδια κατεύθυνση με τον άξονα που συνδέει τα κέντρα των βάσεών του ,τότε θεωρώνταs ότι το κάθετο διάνυσμα έχει φορά προs τα έξω και για τιs δυο βάσειs του θα βρούμε ότι η εισερχόμενη ροή είναι αρνητική ενώ η εξερχόμενη μαγνητική ροή είναι θετική και η ροή από την παράπλευρη επιφάνειά του να είναι μηδέν.Το αποτέλεσμα είναι η ολική ροή να είναι μηδέν σε πλήρη συμφωνία με το νόμο του Gauss