by 
Ας ξεκινήσουμε από το «εντός ύλης» θεώρημα των παραλλήλων αξόνων (θεώρημα Steiner).
Έστω ένα επίπεδο στερεό, τυχαίου σχήματος και Κ το κέντρο μάζας του. Έστω επίσης ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x,y,z, με αρχή το σημείο Ο, όπου μας ενδιαφέρει η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα y. Χωρίζουμε το στερεό σε στοιχειώδεις μάζες mi και έστω μια από αυτές στο σχήμα με διάνυσμα θέσης r όπου, με βάση το σχήμα ισχύει:
Διαβάστε τη συνέχεια…
ή
Τα θεωρήματα παραλλήλων και καθέτων αξόνων
Τα θεωρήματα παραλλήλων και καθέτων αξόνων
Πολύ καλή.
Να προσθέσω απλή απόδειξη του θεωρήματος Steiner.
Εξαιρετικός κ.Διονύση για ακόμη μια φορά!
Και κάτι για να "συμπληρωθεί" ο υπολογισμός ροπής αδράνειας που δίνεται από την εκφώνηση….
Ευχαριστώ Γιάννη.
Καταλαβαίνεις ότι στόχος ήταν το θεώρημα καθέτων αξόνων, απλά για λόγους πληρότητας επέλεξα να ασχοληθώ με το γνωστό (Steiner), στην ίδια (μαθηματική) βάση, το οποίο συνήθως δικαιολογούμε όπως το έχεις κάνει εσύ, με τη βοήθεια της στροφορμής.
Ευχαριστώ Σπύρο.
Σπύρο ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας κάθε γεωμετρικού στερεού, γίνεται με την βοήθεια ενός ολοκληρώματος.
Καταλαβαίνεις ότι στόχος της παραπάνω δημοσίευσης δεν είναι ο υπολογισμός αλλά τα δύο θεωρήματα, τα οποία μας επιτρέπουν την παράκαμψη του ολοκληρώματος με συσχέτιση της ροπής αδράνειας, με την αντίστοιχη ροπή αδράνειας ως προς άλλον, είτε παράλληλου, είτε κάθετου άξονα.
Φυσικά κ.Διονύση,
Οι εφαρμογές που παρουσιάσατε είναι πολύ καλές, και ο σκοπός της ανάρτησης σας απόλυτα λογικός!
Και τα δύο είναι πανέμορφα θεωρήματα και λύνουν τα χέρια από τις πράξεις με ολοκληρώματα. Θα μπορούσαμε να βγάλουμε τα αποτελέσματα και με ολοκληρώσεις αλλά η ταλαιπωρία είναι πολύ μεγάλη αφού θα έπρεπε κάθε φορά έμμεσα να αποδεικνύουμε κάθε ένα από αυτά….
Καλησπέρα σε όλους. Πολύ καλή γνώση το θεώρημα των καθέτων αξόνων, δυστυχώς εκτός ύλης.
Διονύση μία παρατήρηση στην απόδειξη του θεωρήματος Steiner:
Αν δεν κάνω λάθος, για να γράψουμε ότι
πρέπει όλα τα διανύσματα
να είναι κάθετα στον άξονα y, άρα το στερεό σώμα να είναι επίπεδο (πάνω στο επίπεδο xOy).
Καλησπέρα Στάθη και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την παρέμβαση.
Πολλές φορές μπορεί να κάνουμε λάθη, από… συνήθεια!
Όταν ασχολούμαστε συνεχώς με το επίπεδο στερεό, αυτό έχουμε στο μυαλό μας, όταν γράφουμε κάτι.
Το επίπεδο στερεό λοιπόν είχα στο μυαλό μου, γράφοντας την παραπάνω απόδειξη.
Λες δηλαδή ότι αν το στερεό δεν είναι επίπεδο, δεν ισχύει το θεώρημα Steiner ή ότι είναι άλλη η απόδειξη;
Από μια γρήγορη ματιά στο διαδίκτυο που έριξα, δεν έγινα σοφότερος, αφού άλλοι το αναφέρουν το "επίπεδο" ενώ άλλοι όχι…
Καλησπέρα παιδιά.
Δεν θα συμφωνήσω πως το στερεό πρέπει να είναι επίπεδο. Για δυο λόγους:
Η απλή απόδειξη του θεωρήματος που έστειλα σε προηγούμενο σχόλιο δεν προϋποθέτει επίπεδο στερεό.
Επίσης οι αποστάσεις ri είναι αποστάσεις από άξονα και όχι από σημείο. Όμως ένα στερεό κόβεται σε φέτες. Έτσι ότι απέδειξε ο Διονύσης ισχύει σε κάθε φέτα. Αθροίζουμε τις φέτες και ……
Ειρήσθω εν παρόδω γράφω εφαρμογή του θεωρήματος καθέτων αξόνων. Για να μη νυχτώσουμε θα την στείλω αρχικά χωρίς απάντηση.
Γιάννη και Διονύση καλησπέρα.
Γιάννη αν τα ri είναι κάθετες αποστάσεις, τότε δεν είναι διανύσματα θέσης από την αρχή των αξόνων Ο για κάθε σημείο, όπως στην απόδειξη του Διονύση. Αν υιοθετήσουμε τα ri ως διανύσματα θέσης, τότε η ροπή αδράνειας Ι δεν ορίζεται πάντα ως άθροισμα των mi ri^2. Το άθροισμα αυτό δίνει την ροπή αδράνειας Ι μόνον ως προς άξονα κάθετο σε όλα τα διανύσματα ri (αν το σώμα περιστρέφεται, πρέπει η γωνιακή ταχύτητα ω να είναι κάθετη στα ri, για να γράψω την στροφορμή L = I ω και την κινητική ενέργεια Κ = 0.5 Ι ω^2.
Διονύση ισχύει το γενικότερο θεώρημα μεταξύ δύο τυχαίων συστημάτων αναφοράς σε στερεό τυχαίου σχήματος, με την ονομασία θεώρημα της μετατόπισης της αρχής των αξόνων.
Καλησπέρα και πάλι Στάθη και Γιάννη.
Αν και συμφωνώ με την άποψη του Γιάννη, για το ότι:
"Επίσης οι αποστάσεις ri είναι αποστάσεις από άξονα και όχι από σημείο. Όμως ένα στερεό κόβεται σε φέτες. "
σέβομαι την άποψη του Στάθη, αφού δεν μπορώ να το στηρίξω με μαθηματικά και προσθέτω στο κείμενο την …μαγική λεξούλα, για επίπεδο στερεό…
Διονύση και εγώ συμφωνώ με την άποψη του Γιάννη ότι
"Επίσης οι αποστάσεις ri είναι αποστάσεις από άξονα και όχι από σημείο. Όμως ένα στερεό κόβεται σε φέτες. "
Απλά τότε τα ri δεν είναι διανύσματα θέσης από την αρχή των αξόνων, αυτό λέω μόνον. Νομίζω ότι αν προσθέσεις το ότι το στερεό είναι επίπεδο, δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα στην απόδειξη.
Μπορείς να την στηρίξεις.
Με δύο τρόπους:
1. Κόβοντας σε φέτες.
2. Χρησιμοποιώντας αποστάσεις r΄ οι οποίες είναι προβολές των r.
Προτιμώ το πρώτο.
Μην αφήσεις το "επίπεδο στερεό' μια και χάνει η γενικότητα. Δες εδώ:
Πολύ παλιά ανάρτηση δική μου.
Δεν είναι επίπεδο στερεό και είναι κρίμα να μην χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Στάινερ εδώ.
Φυσικά Στάθη δεν είναι.
Όμως οι προβολές τους;
Αν όχι οι προβολές τότε…… φέτες.
Καλημέρα Γιάννη και Στάθη.
Συμπλήρωσα την απόδειξη και για την περίπτωση μη επίπεδου στερεού, οπότε καλύπτεται πλήρως (νομίζω χωρίς αντιρρήσεις…) το θεώρημα Steiner. Βάζω και εδώ την απόδειξη:
Καλημέρα Διονύση. Ο Κορονιός μας έδωσε άδεια εδώ στην Πάτρα… αποδεικνύοντας πόσο μακριά νυχτωμένοι είμαστε ως είδος, που νομίζουμε ότι ο πλανήτης μας ανήκει!
Συγχαρητήρια για την ανάρτηση, ιδιαίτερα για το θεώρημα των καθέτων αξόνων και τα παραδείγματα. Το θεώρημα αυτό το χρησιμοποιούν πολύ και οι Μηχανικοί στη μελέτη της συμπεριφοράς των κτιρίων σε σεισμούς.
Το παράδειγμα με το νόμισμα, εξηγεί τι γίνεται ενεργειακά όταν παίζουμε …κορώνα – γράμματα ή σε ποιο τέρμα θα παίξει η ομάδα, αφού η περιστροφή περί τον επιμήκη άξονα είναι η λιγότερο ενεργοβόρα – ίδιο ω με λιγότερη ενέργεια.
Η περίπτωση αυτή αναφέρεται και ως "Πολική ροπή αδράνειας", αφού σε πολικές συντεταγμένες του κέντρου μάζας, ρ^2 = x^2 + ψ^2, όπως φαίνεται σε σχετικό video.