by Με αφορμή τοποθετήσεις κάτω από διπλανή ανάρτηση, για το ποια ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, ας το δούμε λίγο αυτόνομα.
Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται αντίθετα, δύο αυτοκίνητα Α και Β με ταχύτητες 50km/h και 60km/h, αντίστοιχα, όπως στο σχήμα.
Ποιο αυτοκίνητο κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα;
Α) Έχει νόημα μια τέτοια ερώτηση;
Β) Τρεις φίλοι, συζητούν και διατυπώνουν τις εξής θέσεις:
- Ο Αντώνης: Θεωρώ την προς τη δεξιά κατεύθυνση ως θετική, οπότε τα αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες με αλγεβρικές τιμές υ1=+50km/s και υ2=-60km/h. Άρα μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το Α αυτοκίνητο.
- Ο Βασίλης: Θεωρώ την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική, οπότε τα αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες με αλγεβρικές τιμές υ1=-50km/s και υ2=+60km/h. Άρα μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το Β αυτοκίνητο.
- Ο Γιάννης: Και οι δύο δίκιο έχετε!!!
Τι λέτε συνάδελφοι; Ποια είναι η δική σας άποψη;
Καλημέρα συνάδελφοι και καλό ΣΚ.
Σας ευχαριστώ όλους για τη συμμετοχή στη συζήτηση και τις απαντήσεις.
Νομίζω ότι τα είπατε όλα, ενώ όλοι κινηθήκατε στην ίδια κατεύθυνση! Άλλωστε δεν είναι η πρώτη φορά που συζητάμε το θέμα…
Οπότε ας πω ότι δεν έδωσα 4η επιλογή (στο Β), αφού προσωπικά επιλέγω το Α). Το ερώτημα, έχει νόημα και η απάντηση απλή. Το αυτοκίνητο που έχει μεγαλύτερη ταχύτητα, είναι αυτό που κινείται με ταχύτητα μεγαλύτερου μέτρου.
Αλλά αν η σύγκριση γίνεται μέσω των μέτρων, τότε οι επιλογές του Β) είναι απλά για να … μπερδευόμαστε.
Να προσθέσω απλά μια παραλλαγή.
Αν τα δύο αυτοκίνητα κινούνται όπως στο σχήμα:
Ποιο έχει μεγαλύτερη ταχύτητα;
Δεν βλέπω κάποιος να κάνει «αλγεβρική» σύγκριση, αλλά όλοι θα συγκρίνουν μέτρα!
Αλλά τότε, δεν μπορούμε παρά να έχουμε ΕΝΑ στοιχείο σύγκρισης και όχι ένα ανά περίπτωση…
Καλημερα σε ολους. Ετσι οπως θεσατε το ερωτημα κυριε Μαργαρη η ευλογη απαντηση ειναι προφανης και ειναι αυτη που συγκρινει τα μετρα των ταχυτητων.Συμφωνω και εγω με τους συναδελφους σε αυτο! Eδικα στο τελευταιο σας σχημα η απαντηση ειναι ακομα πιο προφανης. Οι αγγλοι για να ειναι ακριβεις αυτο που ζητατε το ονομαζουν “Speed ” ενω την ταχυτητα “velocity”. Στην καθημερινη ζωη απο μικρα παιδια χρησιμοποιουμε τις λεξεις ταχυτητα,δυναμη κλπ χωρις να ενοουμε π.χ.οτι η δυναμη ειναι ο ρυθμος μεταβολης της ορμης. Στην γ Λυκειου ομως και ειδικα στην περιπτωση οπου τα διανυσματα βρισκονται πανω σε εναν προσανατολισμενο αξονα οι συζητησεις αυτες γινονται σε υψηλο τεχνικο επιπεδο αφου υπαρχει και το αναλογο “framework”.Στην περιπτωση ας πουμε της απλης αρμονικης ταλαντωσης οι φυσικοι παγκοσμιως εχουμε υιοθετησει μια ορολογια κατα την οποια τα μεγεθη θεση,ταχυτητα,επιταχυνση, μετατοπιση,παρ οτι ειναι διανυσματα, εχουν ταυτιστει με τις αλγεβρικες τους τιμες που ειναι πραγματικοι αριθμοι,για αυτο και οι χρονικες τους συναρτησεις ειναι πραγματικες,βαθμωτες, αρμονικες συναρτησεις που εχουν μονοτονια, μεγιστα, ελαχιστα και συνεχεια και για αυτο εχουμε και τις γραφικες τους παραστασεις.Η μονοτονια οριζεται με βαση ανισοτικες σχεσεις αρα οταν λεμε π.χ.οτι η υ(t) ειναι αυξουσα η φθινουσα η μεγιστη η ελαχιστη, υπονοουμε ανισοτικες σχεσεις μεταξυ των ταχυτητων σκετο και οχι των μετρων τους .Δεν παρουσιαζω σχημα διοτι το σχημα του κυριου Κυριακόπουλου ειναι οτι πρεπει. Ειδικα στην περιπτωση της “Μετατοπισης” που ο ορισμος της απαιτει τουλαχιστον αλγεβρα ,τα πραγματα ειναι ξεκαθαρα.Με ολο το σεβασμο η ερωτηση σας εχει ενδιαφερον πραγματικα, αλλα δεν ειναι αντιπροσωπευτικη της διαφωνιας στην οποια αναφερθηκατε.
Με σεβασμο και εκτιμηση προς ολους.
Καλό μεσημέρι Κωνσταντίνε.
Βεβαίως έχεις δικαίωμα στη διαφωνία και στην δική σου άποψη. Εδώ απλά ο καθένας καταθέτει την προσωπική του θέση, σεβόμενος τις απόψεις των άλλων.
Επί της ουσίας τώρα.
Δεν μιλάμε για το μέγεθος “speed” που χρησιμοποιούν οι Άγγλοι, ως ένα μονόμετρο μέγεθος που εκφράζει το “πόσο γρήγορα” της καθημερινής ζωής.
Μιλάμε για το φυσικό μέγεθος “ταχύτητα”, όπου είναι ένα διάνυσμα!
Και το διάνυσμα έχει μέτρο και με βάση αυτό γίνονται οι συγκρίσεις για μεγαλύτερο ή μικρότερο μέτρο.
Όταν πάμε τώρα σε μια ευθύγραμμη κίνηση, όπως σε μια ΑΑΤ, είναι βολικές οι αλγεβρικές τιμές των μεγεθών x, υ, α, F…
Αν τώρα κάνουμε διαπραγμάτευση των αντίστοιχων συναρτήσεων π.χ. υ(t), τότε θα χρησιμοποιήσουμε μαθηματική γλώσσα, οπότε αναφερόμαστε στο τι κάνει η (αλγεβρική) τιμή της ταχύτητας. Αυξάνεται μειώνεται, γίνεται ελάχιστη η τιμή της συνάρτησης ή γίνεται μέγιστη η τιμή της ταχύτητας, πάντα εννοώντας ότι αναφερόμαστε στην αλγεβρική της τιμή.
Αν όμως πάρω το σχήμα:
όπου αφήνω ένα σώμα να κινηθεί από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και ρωτήσω ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα, μέχρι να σταματήσει το σώμα για πρώτη φορά, αυτή θα είναι υ=ωΑ, στην θέση ισορροπίας και το ερώτημα δεν αναφέρεται στην αλγεβρική τιμή της ταχύτητας, αλλά στο μέτρο της ταχύτητας.
Δεν διαφωνω αλλα αν με αναγκασετε να προσανατολισω αρχικα τον αξονα διοτι ταυτοχρονα με ρωτατε και για αλλες αλγεβρικες ποσοτητες οπως π.χ. μετατοπιση η οποια ειναι αυστηρα προσημασμενη ποσοτητα ή επιταχυνση και περιμενετε να απαντησω με αλγεβρικες τιμες αρνητικες τοτε δεν ειναι πανακεια οτι η ερωτηση που αφορα στην ταχυτητα αναφερεται στο μετρο της.Εκει κατα την γνωμη μου παντα,υπαρχει ασαφεια.
Δυο προβλήματα:
Α. Γράφεις ότι dP/dt=ΣF=>dP/dt=-k.x
Μεταφράζεις λέγων ότι για x>0 ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι αρνητικός. Η ορμή μειώνεται στην θέση εκείνη. Όμως το μέτρο της μειώνεται μόνο αν απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας.
Β. Σε μια ηλεκτρική ταλάντωση ακούμε να λέει κάποιος ότι “μειώνεται το φορτίο του πυκνωτή”. Ποιος μειώνεται;
Η απόλυτη τιμή του φορτίου οιουδήποτε οπλισμού;
Η αλγεβρική τιμή του φορτίου του οπλισμού αναφοράς;
Το δεύτερο πρόβλημα μας ταλαιπωρούσε όταν είχαμε μιλήσει στα παιδιά της Β για απόλυτη τιμή και αλλάζαμε το τροπάρι ένα χρόνο μετά στα ίδια παιδιά.
Γιάννη όταν ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι αρνητικός (x>0), σημαίνει ότι το διάνυσμα της συνολικής δύναμης έχει μία συγκεκριμένη φορά, όχι ότι η ορμή μειωνεται. Δεν βλέπω πουθενά πρόβλημα, παρά μόνον στην λανθασμένη ερμηνεία του προσήμου σε ένα διανυσματικό μέγεθος, σε όποιον μιλάει για ελλάττωση της ορμής. Η αλγεβρική τιμή ενός διανυσματικού μεγέθους έχει διαφορετικό νόημα από την θέση ενός μονόμετρου μεγέθους σε μία κλίμακα.
Δεν είμαι απόλυτος αν πω ότι τα παραπάνω δεν αποτελούν θέμα άποψης και δεν μπορεί ο καθένας να υιοθετεί την ερμηνεία που του αρέσει περισσότερο. Η “άλλη” ερμηνεία οδηγεί σε λάθη..
Με τα διανύσματα έχω λιγότερα προβλήματα.
Σε πρόσφατη ανάρτηση ζήτησα να βρεθεί η θέση μέγιστης ταχύτητας.
Εκεί ήταν προφανές ότι για το μέγιστο μέτρο μιλούσα. Ένα διάνυσμα δεν είναι μεγαλύτερο από κάποιο άλλο. Αν έχουν ίδια διεύθυνση διατάσσονται οι αλγεβρικές τιμές τους. Τα ίδια διατάσσονται;;
Δηλαδή λέω ότι το -3j έχει μικρότερη αλγεβρική τιμή από το 2j άνετα.
Μπορώ να πω ότι -3j<2j ;;
Είναι σαν να λέω ότι j>0. Μπορώ να το πω;
Στάθη θα σε τραβήξω σε κάτι ασαφές.
Σου λέω ότι dA/dt<0.
Δεν σου λέω τι είναι το Α.
Δικαιούμαι να πω ότι το μέγεθος Α μειώνεται με την πάροδο του χρόνου την στιγμή εκείνη;
Αν παραστήσω το Α σε διάγραμμα, η κλίση δεν θα είναι αρνητική στην εν λόγω θέση;
Ποιο απλά δεν θα “κατεβαίνει” η καμπύλη;
Το Α μπορεί να είναι φορτίο πυκνωτή, ύψος νερού σε δοχείο, παροχή, ρεύμα, μάζα, αλγεβρική τιμή ορμής, μέτρο ορμής, ή ότι θέλω και θέλεις.
Δικαιούμαι να μιλήσω για μείωση;
Γιάννη είναι όπως το έγραψες: ασαφές. Αν δεν ξέρω την ποιότητα του μεγέθους Α, προφανώς δεν μπορώ να πω τίποτα ή μπορώ να πώ τα πάντα. Αλλά αν ξέρω ότι το Α είναι διάνυσμα ή βαθμωτό, τότε πρέπει να πω τα ενδεδειγμένα σύμφωνα με την φύαη του Α, δεν έχω την ίδια ελευθερία με πριν.Το κατέβασμα μιας καμπύλης ερμηνεύεται ανάλογα του μεγέθους που αναπαριστά, αλλιώς δεν είναι φυσική. Αυτήν είναι η γνώμη μου.
Καλησπέρα παιδιά.
Συμφωνώντας με τον Στάθη, να δώσω ένα παράδειγμα.
Αν έχω ένα διανυσματικό μέγεθος που μεταβάλλεται και πάρω το σχήμα:
Τι ακριβώς σημαίνει αν μου πουν ότι dA/dt<0; Ότι μικραίνει το μέτρο του διανύσματος;
ΥΓ
Φαντάζομαι ότι ο καθένας μπορεί να σκεφτεί όποιο μέγεθος Α θέλει, αλλά εγώ σκέφτηκα ταχύτητα και επιτάχυνση σε μια ομαλή κυκλική κίνηση σε μια θέση που η επιτάχυνση να έχει την κατεύθυνση του σχήματος:
Αν ξέρεις ότι είναι διάνυσμα απαντάς εύκολα.
Όταν λέμε ότι ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους είναι αρνητικός τι σημαίνει;
Μόνο ότι η πρώτη παράγωγος κάποιας συνάρτησης είναι αρνητική;
Ότι το μέγεθος μειώνεται;
Και τα δύο;
Ότι αυτό που μειώνεται είναι η αλγεβρική του τιμή και όχι το ίδιο το μέγεθος;
Διονύση δεν παίζω. Το είπα πρώτος αυτό.
Τα διανύσματα δεν διατάσσονται.
Το είπα στο δεύτερο σχόλιό μου, το ξανάπα και σε προηγούμενο όταν έγραψα ότι δεν έχει νόημα η σχέση -3j<2j.
Η κεντρομόλος κάποια στιγμή κατευθύνεται δεξιά και κάποια άλλη αριστερά.
Είναι παραλογισμός το να πεις ότι μειώθηκε.
Λέμε ότι σε ομαλή κυκλική κίνηση μένει σταθερή. Υπονοείται το μέτρο της κεντρομόλου.
Λέμε ότι η κεντρομόλος αλλάζει εννοώντας την αλλαγή διεύθυνσης. Αυτό το “αλλάζει” δεν σημαίνει ούτε αύξηση ούτε μείωση.
Δηλαδή Διονύση αυτά που παρουσίασες αποκλείεται να προκαλέσουν σύγχυση.
Ούτε και οι ταχύτητες των οχημάτων που επικαλέστηκες και στην εισαγωγή και σε σχόλιο (όπου σχημάτιζαν μάλιστα γωνία και ως διανύσματα δεν διατάσσονται).
Εκεί που μπορεί να γίνει παιγνίδι είναι σε διαγράμματα και σε ερωτήσεις σχετικές με ρυθμούς μεταβολής.
Όχι όλους τους ρυθμούς. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας δεν προκαλεί προβλήματα. Η κυρία ή θα αυξηθεί ή θα μειωθεί ή θα μείνει σταθερή.
Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής;
Είναι ίδιος με τον ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ορμής σε μονοδιάστατο πρόβλημα;
Ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου;
Ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος;
Τώρα πως εξέλαβα εγώ από την ερώτηση του Θοδωρή:
Ερώτηση 2
Ποια η μέγιστη ταχύτητα που αποκτούν τα σώματα καθώς κατεβαίνουν; Ποια δύναμη ασκείται από το Σ1 στο Σ2 τη στιγμή που αποκτούν μέγιστη ταχύτητα;
Κατάλαβα ότι ζητάει την ταχύτητα στη θέση ισορροπίας.
Γιάννη ας δούμε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής σε ένα σώμα το οποίο εκτελεί κυκλική επιταχυνόμενη κίνηση, όπως στο σχήμα.
Αν ξεχάσουμε ότι είναι διανυσματικός ρυθμός, θα ξεχάσουμε τον ρυθμό μεταβολής του προσανατολισμού του, οπότε και την κεντρομόλο δύναμη. Άρα ο ρυθμός μεταβολής της ορμής δεν είναι ο ρυθμός μεταβολής του μετρου της στην γενική περίπτωση.
Με το παραπάνω θέλω να τονίσω ότι η παράγωγος σε αυτήν την περίπτωση, είναι παράγωγος διανύσματος (κατευθυντική παράγωγος) και όχι βαθμωτού.