by Με αφορμή τοποθετήσεις κάτω από διπλανή ανάρτηση, για το ποια ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, ας το δούμε λίγο αυτόνομα.
Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται αντίθετα, δύο αυτοκίνητα Α και Β με ταχύτητες 50km/h και 60km/h, αντίστοιχα, όπως στο σχήμα.
Ποιο αυτοκίνητο κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα;
Α) Έχει νόημα μια τέτοια ερώτηση;
Β) Τρεις φίλοι, συζητούν και διατυπώνουν τις εξής θέσεις:
- Ο Αντώνης: Θεωρώ την προς τη δεξιά κατεύθυνση ως θετική, οπότε τα αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες με αλγεβρικές τιμές υ1=+50km/s και υ2=-60km/h. Άρα μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το Α αυτοκίνητο.
- Ο Βασίλης: Θεωρώ την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική, οπότε τα αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες με αλγεβρικές τιμές υ1=-50km/s και υ2=+60km/h. Άρα μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το Β αυτοκίνητο.
- Ο Γιάννης: Και οι δύο δίκιο έχετε!!!
Τι λέτε συνάδελφοι; Ποια είναι η δική σας άποψη;
Φυσικά Στάθη.
Είναι παράγωγος διανύσματος. Ουδέν πρόβλημα, ουδεμία παρανόηση.
Το πρόβλημα εμφανίζεται ότι έχουμε μονοδιάστατο πρόβλημα.
Όταν λες ότι σε μία α.α.τ. ισχύει ότι dP/dt=m.α=> dυ/dt=-ω^2.x το μεταφράζεις ως:
-Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι αρνητικός όταν x>0.
Δηλαδή η συνάρτηση της ταχύτητας είναι φθίνουσα στο σημείο εκείνο.
Το μέτρο της ταχύτητας είναι άλλη συνάρτηση. Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας έχει ίδιο πρόσημο με τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας.
Συγκεκριμένα όταν το σώμα απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας έχουν αρνητικό πρόσημο και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας.
Η αλγεβρική όμως τιμή της ταχύτητας μπορεί να έχει θετικό ρυθμό μεταβολής ακόμα και αν απομακρυνόμαστε από τη θέση ισορροπίας. Αρκεί να βρισκόμαστε σε x<0.
Προφανώς δεν διαφωνείς σ’ αυτά.
Καλημέρα και καλή Κυριακή σε όλους.
Γιάννη, παρότι δεν βλέπω πού διαφωνούμε, εισπράττω την αίσθηση μιας υποβόσκουσας διαφωνίας, την οποία δεν καταλαβαίνω.
Υποτίθεται ότι γράφοντας το σχόλιό μου εδώ, εξέφρασα την συμφωνία μου με όλους τους προλαλήσαντες, οι οποίοι είχαν πάρει την ίδια θέση. «Όταν συγκρίνουμε δύο ταχύτητες, συγκρίνουμε τα μέτρα τους».
Τα σχόλια από κει και κάτω, μόνο σύγχυση φέρνουν…
Ας περάσουμε στην ουσία τώρα.
Προφανώς αν πάμε σε συναρτήσεις και παραγώγους τους, πρέπει να είναι καθαρό για ποιο πράγμα μιλάμε. Έτσι ο ρυθμός μεταβολής ενός μονόμετρου μεγέθους μετράει την αύξηση ή την μείωσή του. Αν ο ρυθμός μεταβολής της τιμής της πατάτας στην λαϊκή είναι 20λεπτά/βδομάδα, δεν υπάρχει κάποιος που να μπερδεύεται ότι η τιμή της αυξάνεται κατά 20λεπτά από βδομάδα σε βδομάδα.
Αντίθετα αν ο ρυθμός μεταβολής της τιμής της είναι -10λεπτά/βδομάδα, πάλι είναι σαφές ότι η τιμή της μειώνεται.
Αν όμως το μέγεθος είναι διανυσματικό;
Τι σημαίνει ότι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός υλικού σημείου μεταβάλλεται κατά dυ/dt=0,4m/s2;
Σημαίνει ότι η ταχύτητα αυξάνεται; Όχι βέβαια. Σημαίνει ότι το σώμα έχει μια επιτάχυνση με τιμή 0,4m/s2. Η οποία επιτάχυνση είναι και αυτή διάνυσμα! Και τι σημαίνει η ύπαρξη αυτής της επιτάχυνσης;
Νομίζω ότι δεν είπα παραπάνω κάτι νέο! Αυτά είναι γνωστά και δεν νομίζω ότι εκφέρω κάποια άποψη, που δικαιούμαι να …έχω!
Ας έρθουμε τώρα στην ΑΑΤ, που και αυτή υποβόσκει στην συζήτηση.
Ζητάς τι σημαίνει ο ρυθμός μεταβολής της ορμής. Αυτή Γιάννη είναι η δύναμη και το τι κάνει και πώς μεταβάλει την ορμή είναι νομίζω σαφές.
Αυτό που δεν είναι σαφές, είναι ότι κάνοντας μια γραφική παράσταση ή γράφοντας μια μαθηματική εξίσωση, πρέπει να είναι σαφές για ποιο πράγμα μιλάμε. Έτσι μπορούμε να έχουμε τις γραφικές παραστάσεις
Τι ακριβώς δείχνουν; Δείχνει κάποια από αυτές το διάνυσμα της ορμής; ΟΧΙ!!!
Η πρώτη δείχνει τη γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της ορμής σε συνάρτηση με το χρόνο! Λέγοντας «αλγεβρικής τιμής» εννοώ ότι με βάση κάποιες παραδοχές που κάνουμε (ορίζοντας θετική και αρνητική κατεύθυνση, μπολιάσαμε τον αριθμό που δείχνει το μέτρο της ορμής με ένα πρόσημο…) φτιάχνουμε την μεταβλητή y=p της «αλγεβρικής τιμής της ορμής».
Στο δεύτερο διάγραμμα έχουμε σχεδιάσει το διάγραμμα του μέτρου της ορμής σε συνάρτηση με το χρόνο!
Προφανώς τα δύο διαγράμματα είναι διαφορετικά και διαφορετικά πράγματα δείχνει η κλίση τους τη στιγμή t1, που έχει σημειωθεί στο σχήμα.
Αυτό που καθημερινά διδάσκουμε είναι το πρώτο διάγραμμα, όπου απλά δεν το λέμε ότι μιλάμε για την αλγεβρική τιμή, απλά λέμε το διάγραμμα της ορμής. Το θεωρούμε δεδομένο; Γνωστό; Δεν ξέρω.
Αλλά αν θέλεις την κλίση τη στιγμή t1, θα πρέπει να περιοριστείς στον ρυθμό μεταβολής της αλγεβρικής τιμής της ορμής. Αυτός μειώνεται, όχι το μέτρο της ορμής. Το τι κάνει το μέτρο και ποιος ο ρυθμός μεταβολής του, μας το δείχνει το 2ο διάγραμμα. Το 2ο διάγραμμα είναι διάγραμμα για ένα θετικό μέγεθος, το οποίο το μόνο που μπορεί να κάνει είναι να αυξάνεται ή να μειώνεται.
Ποια είναι η στιγμή t1; Είναι η στιγμή που το σώμα περνάει από την θέση Γ, του σχήματος:
\
Στη θέση αυτή έχουμε αρνητικό ρυθμό μεταβολής της ορμής (δύναμη προς την αρνητική κατεύθυνση), η οποία επιταχύνει το σώμα, υπάρχει όμως και το δεξιό σχήμα, όπου μια άλλη στιγμή, το σώμα κινείται προς τα δεξιά, έχουμε ξανά τον ίδιο ρυθμό μεταβολής της ορμής, με την ταχύτητα (και την ορμή) να μειώνει το μέτρο της! Και στις δύο αυτές περιπτώσεις ο ρυθμός μεταβολής της (αλγεβρικής τιμής) ορμής είναι αρνητικός…
Καλημέρα σε όλους. Θα περιοριστώ να προσθέσω μόνον το εξής, μετά την τοποθέτηση του Διονύση, η οποία με βρίσκει σύμφωνο.
Θεωρώ πως είναι καλύτερο να συνδέουμε στο μυαλό μας το πρόσημο σε κάθε αλγεβρική τιμή διανυσματικού μεγέθους, απ’ ευθείας με το διάνυσμα κατεύθυνσης n του διανύσματος. Για παράδειγμα F=-3n=3(-n) (ακόμη και όταν βλέπουμε το F=-3), που κατά τα γνωστά σημαίνει ότι η δύναμη F με μέτρο 3, έχει φορά προς την κατεύθυνση –n του χώρου.
Έτσι το πρόσημο στον ρυθμό μεταβολής της ορμής στο διάγραμμα
την χρονική στιγμή t1, είναι ξεκάθαρο ότι δηλώνει την φορά της δύναμης επαναφοράς.
Καλημέρα Διονύση.
Συμφωνώ απόλυτα σε όσα έγραψες. Δεν υπήρξε διαφωνία. Υποθέτω πως συμφωνείς με κάθε φράση που έγραψα σε κάθε σχόλιο.
Και εγώ έγραψα ότι πρόσημο έχουν οι ρυθμοί μεταβολής αλγεβρικών τιμών.
Πρόσημο έχουν οι ρυθμοί μεταβολής μέτρων διανυσμάτων.
Δεν έχουν πρόσημο οι ρυθμοί μεταβολής διανυσμάτων.
Πρακτικά:
Λέμε dυ/dt<0.
Λέμε dIυ)/dt<0
Δεν λέμε όμως dυ/dt<0 (Μπολντ υ , εννοώ το διάνυσμα της ταχύτητας).
Διότι απλά δεν υπάρχουν ανισοτικές σχέσεις σε διανύσματα.
Όταν επομένως με ρωτάς “Σε ποια θέση σε πλάγια βολή η ταχύτητα είναι ελάχιστη, καταλαβαίνω ότι αναφέρεσαι στο μέτρο και απαντώ:
-Στην ανώτερη θέση.
Δεν είναι δυνατόν να μου ζητάς να διατάξω δύο διανύσματα, έτσι καταλαβαίνω ότι μου ζητάς να διατάξω μέτρα.
Γιάννη καλημέρα και από εδώ.
Θα άλλαζα μόνον αυτό “Δηλαδή η συνάρτηση της ταχύτητας είναι φθίνουσα στο σημείο εκείνο.” στην τοποθέτησή σου, και αυτό μόνον για να κυριολεκτήσω. Δεν υπάρχει η συνάρτηση (σκέτο) της ταχύτητας, αλλά η διανυσματική συνάρτηση της ταχύτητας. Οπότε το αλγεβρικό πρόσημο δηλώνει κατεύθυνση, άσχετα με το πως ερμηνεύει την μονοτονία της ίδιας συνάρτησης η άλγεβρα.
Καλημέρα Στάθη.
Αν τα προβλήματα κίνησης ήταν μονοδιάστατα δεν θα χρειάζονταν τα διανύσματα.
Έτσι υπάρχουν δύο γλώσσες που περιγράφουν μια ευθύγραμμη κίνηση:
Η γλώσσα των διανυσμάτων με την οποία δεν λέμε dυ/dt<0 αλλά λέμε dIυΙ/dt<0.
Η γλώσσα των αλγεβρικών τιμών όπου λέμε ότι dυ/dt>0 και dIυΙ/dt<0.
Οι δύο γλώσσες περιγραφές της πραγματικότητας είναι. Μπορεί να χρησιμοποιηθούν ακόμα και στο ίδιο πρόβλημα, σε διαφορετικά ερωτήματα.
Γιάννη σε αυτό διαφωνώ. Ακόμη και αν υπήρχε μόνον μία διάσταση και πάλι θα χρειαζόμασταν διανύσματα. Απλά τότε το μοναδιαίο διάνυσμα κατεύθυνσης θα ταυτίζονταν με το αλγεβρικό πρόσημο (αρκεί το “-” ή το “+” για να αποδώσουμε σωστή φορά γιατί υπάρχει μόνον μία διεύθυνση, ένα μόνον n).
Eνας μονοδιαστατος διανυσματικος χωρος που οριζεται πανω στο πεδιο R ταυτιζεται με το πεδιο R. Διαφορετικα ,το πεδιο R ειναι ενας μονοδιαστατος διανυσματικος χωρος πανω στον εαυτο του. Ετσι οι δυο αυτες δομες λεμε οτι ειναι ισομορφες. Πιο απλα, αν και ενας μαθηματικος μπορει να μην συμφωνει με αυτη τη διατυπωση, ενα διανυσμα στον R^3 ειναι μια διατεταγμενη τριαδα. Ενα διανυσμα στον R^2 ειναι ενα διατεταγμενο ζευγος. Ενα διανυσμα στον R ειναι ενας πραγματικος αριθμος. Αυτον τον αριθμο τον εχουμε ονομασει αλγεβρικη τιμη. Αυτη ειναι ακριβως η περιπτωση μας. Διανυσμα και αλγεβρικη τιμη του ταυτιζονται. Η σχεση dυ/dt<0 σημαινει οτι η ταχυτητα σκετο ειναι φθινουσα η η επιταχυνση σκετο ειναι αρνητικη. Αυτα γραφουν ολα τα βιβλια γραμμικης αλγεβρας. Τα διανυσματα τα οριζουμε στην Α λυκειου διοτι εχουμε σκοπο να ξεφυγουμε απο τη μια διασταση. Αν ολα τα προβληματα ηταν μονοδιαστατα ολη η φυσικη θα γινοταν στο πλαισιο του R. Aυτο δεν ειναι αναλυτικο αλλα περιεχει μια προταση που μας ενδιαφερει.
https://en.wikipedia.org/wiki/One-dimensional_space
Καλημέρα και στον Κωνσταντίνο.
Στάθη δεν επικαλούμαι (συνήθως) αυθεντίες. Πάντως το “Αν τα προβλήματα κίνησης ήταν μονοδιάστατα δεν θα χρειάζονταν τα διανύσματα” το είπε ο Ανδρέας.
Αυτό φυσικά δεν σημαίνει κάτι. Ουδείς αλάνθαστος.
Κατανοώ τη φράση με την λογική ότι όλα (αρνητικοί αριθμοί, συναρτήσεις, μονοτονίες, διανύσματα κ.λ.π.) είναι ανθρώπινες επινοήσεις.
Έτσι βλέπουμε σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα x=-3 τάδε =>x<0, όμως όταν βλέπουμε
x=-3α δεν λέμε ότι x<0 (τα x και α διανύσματα).
Τα ίδια και για τους ρυθμούς μεταβολής διανυσμάτων.
Κωνσταντίνε καλημέρα. Χωρίς να διαφωνώ με όσα γράφεις, δεν καταλαβαίνω το εξής (το θέτω με ένα παράδειγμα):
Δεν είναι ξεκάθαρο ότι στις ταχύτητες το πρόσημο αναφέρεται στην φορά πάνω στην διεύθυνση κίνησης και ότι στις θερμοκρασίες το πρόσημο αναφέρεται στην θέση πάνω σε μία κλίμακα μέτρησης;
Δεν έχω καταλάβει, διαφωνούμε σε αυτό;
Αυτά όλα είναι μια μάλλον μαθηματική συζήτηση που καλώς γίνεται.
Δεν διαφωνώ στο ότι ο Θοδωρής εννοούσε φυσικά ταχύτητα μέγιστου μέτρου.
Αυτό κατάλαβα, δηλαδή ότι ζητούσε ταχύτητα στην θέση ισορροπίας και μάλιστα κατά την κάθοδο, ήτοι σε συγκεκριμένη στιγμή.
Δεν διαφωνώ ότι το προς τα αριστερά κινούμενο αυτοκίνητο του Διονύση έχει μεγαλύτερη ταχύτητα, ούτε στο ότι η σχετική ερώτηση αφορά το μέτρο και όχι την όποια αλγεβρική τιμή.
Όμως αυτό είναι άλλο θέμα.
Διατάσσονται τα μέτρα και οι αλγεβρικές τιμές (ως πραγματικοί αριθμοί).
Δεν διατάσσονται διανύσματα μιγαδικοί αριθμοί (και άλλες μαθηματικές οντότητες).
Καλημέρα παιδιά.
Κωνσταντίνε γράφεις;
Αν ο κόσμος μας ήταν μονοδιάστατος, τότε το διάνυσμα της ταχύτητας θα ήταν πράγματι ένας πραγματικός αριθμός και τότε δεν θα είχαμε ανάγκη να έχουμε διανύσματα.
Θα είχαμε μεγέθη που θα έπαιρναν θετικές και αρνητικές τιμές… Βέβαια θα υπήρχε και πάλι η ανάγκη να κάνουμε την διάκριση αυτή που αναφέρει ο Στάθης εδώ.
Αλλά όταν δουλεύουμε σε χώρο τριών διαστάσεων και ορίζουμε σε αυτόν ένα διανυσματικό φυσικό μέγεθος π.χ. την ταχύτητα, δεν το ξανα-ορίζουμε όταν έχουμε κίνηση σε επίπεδο, ούτε το ξανά-ξανά ορίζουμε όταν η κίνηση είναι σε μια διάσταση.
Οπότε δεν με βρίσκει σύμφωνο η πρόταση για ταύτιση του διανύσματος “ταχύτητα” με το μέγεθος “αλγεβρική τιμή ταχύτητας”, στην περίπτωση μιας μονοδιάστατης κίνησης.
Τώρα Γιάννη συμφωνούμε απόλυτα…