by Με αφορμή τοποθετήσεις κάτω από διπλανή ανάρτηση, για το ποια ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, ας το δούμε λίγο αυτόνομα.
Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται αντίθετα, δύο αυτοκίνητα Α και Β με ταχύτητες 50km/h και 60km/h, αντίστοιχα, όπως στο σχήμα.
Ποιο αυτοκίνητο κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα;
Α) Έχει νόημα μια τέτοια ερώτηση;
Β) Τρεις φίλοι, συζητούν και διατυπώνουν τις εξής θέσεις:
- Ο Αντώνης: Θεωρώ την προς τη δεξιά κατεύθυνση ως θετική, οπότε τα αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες με αλγεβρικές τιμές υ1=+50km/s και υ2=-60km/h. Άρα μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το Α αυτοκίνητο.
- Ο Βασίλης: Θεωρώ την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική, οπότε τα αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες με αλγεβρικές τιμές υ1=-50km/s και υ2=+60km/h. Άρα μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το Β αυτοκίνητο.
- Ο Γιάννης: Και οι δύο δίκιο έχετε!!!
Τι λέτε συνάδελφοι; Ποια είναι η δική σας άποψη;
Καλησπέρα Διονύση.
Κάποιος που διαβάζει την εκφώνηση καταλαβαίνει ότι τα δύο αυτοκίνητα κινούνται αντίθετα, με θετική ταχύτητα.
Γνωρίζει επίσης ότι στο πλαίσιο της Φυσικής όταν δύο σώματα κινούνται αντίθετα, το πρόσημο της ταχύτητας του ενός είναι αντίθετο από το πρόσημο της ταχύτητας του άλλου.
Αναρωτιέται λοιπόν: Πώς είναι δυνατό δύο αυτοκίνητα που κινούνται αντίθετα να έχουν θετική ταχύτητα;
Τι θα του απαντούσαμε;
Ανδρέα καλησπέρα.
Μάλλον δεν διάβασες καθόλου τη συζήτηση που ακολούθησε, έμεινες απλά στον τίτλο. Και προφανώς ο τίτλος δεν μιλάει για τις αλγεβρικές τιμές των δύο ταχυτήτων…
Οι ταχύτητες είναι διανύσματα που έχουν μέτρο!
Τι να απαντήσω τώρα; Όσα έχω γράψει (και όχι μόνο εγώ, αλλά η πλειοψηφία των συμμετεχόντων…) πάνω στο θέμα;
Ας παραπέμψω σε δύο μόνο από τα σχόλια:
Αυτό και αυτό.
Διονύση επίτρεψέ μου να ρωτήσω: Η φράση “Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται αντίθετα, δύο αυτοκίνητα Α και Β με ταχύτητες 50km/h και 60km/h” είναι σωστή η λανθασμένη;
Δεν θα σε κουράσω άλλο.
Ανδρέα, δεν με κουράζεις, αλλά μάλλον συνεχίζεις να μην διαβάζεις… παρακάτω.
Όταν δίνουμε σε ένα πρόβλημα τις ταχύτητες που έχουν δύο αυτοκίνητα, δεν ορίζουμε εμείς τον προσανατολισμένο άξονα. Ούτε την θετική κατεύθυνση!
Εμείς δίνουμε τις ταχύτητες. Δηλαδή τι δίνουμε; Αυτά τα χαρακτηριστικά που είναι απαραίτητα για να καθορίσουν ένα διάνυσμα.
Και αυτά είναι: Διεύθυνση, φορά και μέτρο.
Δεν είναι η αλγεβρική τιμή!!!
Το αν θα χρειαστεί στην επίλυση του προβλήματος να χρησιμοποιηθεί προσανατολισμένος άξονας, πού θα είναι η αρχή του (x=0), ποια είναι η θετική κατεύθυνση, είναι στοιχεία που θα τα ορίσει αυτός που θα επιλύσει το πρόβλημα και που, με βάση τις υποθέσεις του, θα προκύψει η μία ταχύτητα να έχει θετική αλγεβρική τιμή και η άλλη αρνητική…
Παράδειγμα:
Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα 80km/h από Τρίκαλα προς Καλαμπάκα ενώ ένα δεύτερο κινείται από Καλαμπάκα για Τρίκαλα, κινούμενο με ταχύτητα 75km/h.
Ποιος είναι ο προσανατολισμένος άξονας; Πού είναι η αρχή του; Ποια κατεύθυνση είναι η θετική; Από Τρίκαλα προς Καλαμπάκα ή από Καλαμπάκα προς Τρίκαλα;
Αν οριστούν αυτά (και μπορεί να τα ορίσει διαφορετικά ο Βασίλης Παππάς που μένει Καλαμπάκα και διαφορετικά ένας συνάδελφος από τα Τρίκαλα…), τότε στη συνέχεια μπορούμε να μιλήσουμε για τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων και η μία να αποκτήσει θετική αλγεβρική τιμή και η άλλη αρνητική.
ΥΓ
Τα παραπάνω δεν στερούν το δικαίωμα από αυτόν που διατυπώνει το θέμα, να ορίσει εκ των προτέρων τον άξονα και να δώσει ως δεδομένο τις αλγεβρικές τιμές των δύο ταχυτήτων.
Αλλά αυτό είναι δικαίωμα δεν είναι υποχρέωση…
Νομίζω ότι μπορούμε να δώσουμε: “Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα -80km/h από Τρίκαλα προς Καλαμπάκα”.
Μπορούμε, ναι.
Αυτό είπα παραπάνω.
Να προσθέσω. Διδάσκουμε ότι: Στην ευθύγραμμη κίνηση στο μέγεθος ταχύτητα αντιστοιχούν δύο τιμές: το μέτρο και η αλγεβρική τιμή. Άρα η φράση “η ταχύτητα είναι ίση με …” δεν έχει νόημα .Κάνω λάθος;
Βεβαίως αν από τα συμφραζόμενα μπορούμε να διακρίνουμε ότι πρόκειται για την τιμή του μέτρου ή πρόκειται για την αλγεβρική τιμή, αυτό δεν αναιρεί ότι η συγκεκριμένη φράση δημιουργεί σύγχυση.
Ανδρέα δεν με βρίσκει σύμφωνο η πρόταση:
Στο σχήμα (το είχα δώσει παραπάνω) τα δύο αυτοκίνητα κινούνται ευθύγραμμα. Ποιες είναι οι αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων;
Αν έχουμε ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα ή περισσότερα κινητά που κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία, μαθηματικά είναι βολικό, να ορίσουμε μια κατεύθυνση ως θετική και να δουλέψουμε με αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων…
Καλησπέρα παιδιά.
Πρόκειται για άλλη γλώσσα περιγραφής. Ήτοι:
Σ’ ευχαριστώ για τη διευκρίνηση. Ναι εννοούσα στην ίδια ευθεία.
Επίσης συμφωνώ γενικά με τον ισχυρισμό σου:
“Αν έχουμε ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα ή περισσότερα κινητά που κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία, μαθηματικά είναι βολικό, να ορίσουμε μια κατεύθυνση ως θετική και να δουλέψουμε με αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων…”
Διαφωνώ μόνο με το “μαθηματικά βολικό“. Αν συμφωνήσουμε ότι η γλώσσα της Φυσικής είναι τα μαθηματικά τότε δεν είναι απλώς μαθηματικά βολικό αλλά τα μαθηματικά είναι μοναδικός τρόπος για να εκφραζόμαστε στη Φυσική. Γνωρίζω ότι πολλοί συνάδελφοι θα διαφωνήσουν αλλά αυτό είναι το στοίχημα: Να μάθουμε στους μαθητές να μιλάνε τη γλώσσα τη Φυσικής με σαφήνεια.
Το “βολικό” Ανδρέα είχε να κάνει, με το ότι είναι θέμα επιλογής, αλλά και επιπέδου διαπραγμάτευσης, το αν θα χρησιμοποιήσουμε αλγεβρικές τιμές ή μέτρα.
Στο παράδειγμα με την κίνηση Τρίκαλα- Καλαμπάκα, μπορούσε να στηθεί πρόβλημα π.χ. ξεκινούν ταυτόχρονα η απόσταση είναι 30km, που θα συναντηθούν και η επίλυση να γίνει χωρίς τη χρήση αλγεβρικών τιμών.
Ανδρέα τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα της Φυσικής, όμως η γλώσσα αυτή έχει πολλές διαλέκτους. Αν σου πω ότι άλλοτε η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος εκφράζεται από πραγματικό αριθμό και άλλοτε από μιγαδικό αριθμό ελπίζω να μην θεωρήσεις ότι παραδοξολογώ..
Πρόκειται για δύο διαφορετικές (εντελώς μαθηματικές) αντιμετωπίσεις των κυκλωμάτων εναλλασσομένου ρεύματος. Μαθηματικώς ορθές και αυτοσυνεπείς.
Η χρήση της αλγεβρικής τιμής σε μονοδιάστατα προβλήματα δεν είναι η μόνη αντιμετώπιση, ούτε αντιστρατεύεται την άλλη με τα ζωγραφισμένα διανύσματα και τα μέτρα τους.
Ακόμα και τα ίδια τα διανύσματα αντιμετωπίζονται εντελώς διαφορετικά.
Άλλοτε γεωμετρικά (βελάκια με κάποιο μέτρο).
Άλλοτε ως δυάδες πραγματικών αριθμών.
Άλλοτε ως α=x.i+y.j.
Οι περιγραφές δεν οδηγούν σε διαφορετικά συμπεράσματα.
Είσαι ο μεταφραστής του Άρονς. Γράφει (περίπου) ότι οι έννοιες είναι επινοήσεις του νου και όχι απτά αντικείμενα.
Αναρωτιέμαι πώς θα μπορούσε να λυθεί το πρόβλημα της συνάντησης των δύο αυτοκινήτων χωρίς να χρησιμοποιήσουμε με συνέπεια τον ορισμό της ταχύτητας που διδάσκουμε στη Φυσική της Α’ Λυκείου. Μπορούμε βεβαίως να χρησιμοποιήσουμε π.χ. πρακτική αριθμητική αλλά τότε δε χρησιμοποιούμε τη γλώσσα της Φυσικής που διδάσκουμε στη Α΄ Λυκείου. Αυτό οδηγεί σε πολυγλωσσία. Αποτέλεσμα: στην εκφώνηση ενός θέματος θα πρέπει να διευκρινίζεται πότε χρησιμοποιούμε την έννοια ταχύτητας όπως τη αντιλαμβανόμαστε στη Φυσική και πότε όπως στη καθημερινή ζωή..
Στη διάλεκτο που διδάσκουμε, στην ευθύγραμμη κίνηση το μέγεθος ταχύτητα έχει μέτρο και αλγεβρική τιμή. Αυτό περιμένει ο μαθητής μας.
Συμφωνώ με τον Αρονς (!) ότι “οι έννοιες είναι επινοήσεις του νου και όχι απτά αντικείμενα”. Γι’ αυτό πρέπει να ορίζονται με σαφήνεια και χρησιμοποιούνται σε συνέπεια με τον ορισμό τους. Στα απτά αντικείμενα αυτό δεν είναι τόσο αναγκαίο.
Καλησπερα σας.Λανθασμενη ειναι.Αν τα νουμερα ειναι τα μετρα τοτε αφου μια ταχυτητα ποτε δεν ειναι ιση με το μετρο της η προταση ειναι λανθασμενη.Αν τα νουμερα ειναι οι αλγεβρικες τιμες τοτε αυτες δεν γινεται να εχουν ιδιο προσημο οποτε παλι η προταση ειναι λανθασμενη.Ομως: To κατεστημενο ειναι τοσο ισχυρο που δεν μπορουμε να κανουμε τιποτα.ΟΙ φυσικοι βαριουνται να γραψουν “ταχυτητα μετρου 20m/s” και γραφουν “ταχυτητα 20m/s” ενοωντας το μετρο κατι το οποιο το θεωρουν προφανες.Ετσι στην προταση δεν υπαρχει λογικο λαθος διοτι ο γραφων εννοει τα μετρα αλλα παντως η προταση ειναι λανθασμενη.