by Με αφορμή τοποθετήσεις κάτω από διπλανή ανάρτηση, για το ποια ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, ας το δούμε λίγο αυτόνομα.
Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται αντίθετα, δύο αυτοκίνητα Α και Β με ταχύτητες 50km/h και 60km/h, αντίστοιχα, όπως στο σχήμα.
Ποιο αυτοκίνητο κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα;
Α) Έχει νόημα μια τέτοια ερώτηση;
Β) Τρεις φίλοι, συζητούν και διατυπώνουν τις εξής θέσεις:
- Ο Αντώνης: Θεωρώ την προς τη δεξιά κατεύθυνση ως θετική, οπότε τα αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες με αλγεβρικές τιμές υ1=+50km/s και υ2=-60km/h. Άρα μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το Α αυτοκίνητο.
- Ο Βασίλης: Θεωρώ την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική, οπότε τα αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες με αλγεβρικές τιμές υ1=-50km/s και υ2=+60km/h. Άρα μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το Β αυτοκίνητο.
- Ο Γιάννης: Και οι δύο δίκιο έχετε!!!
Τι λέτε συνάδελφοι; Ποια είναι η δική σας άποψη;
Ανδρέα αν είχαμε συνηθίσει να γράφουμε ΙυΙ αντί υ, δεν θα υπήρχε διχογνωμία.
Δεν συνηθίζεται όμως.
Συμφωνώ Γιάννη. Αλλά δε μπορώ να καταλάβω γιατί έχει καθιερωθεί αυτός ο λανθασμένος συμβολισμός. Δηλαδή μόλις διδάξουμε την έννοια μέτρο διανύσματος και τον αντίστοιχο συμβολισμό, δεν τον χρησιμοποιούμε! Αναρωτιέμαι γιατί; (Προσωπικά παραμένω συνεπής με το ορθό συμβολισμό και σιγά σιγά οι μαθητές μου έχουν σαφέστερη αντίληψη για το μέτρο και την αλγεβρική τιμή.)
Δεν ξέρω πως επεκράτησε.
Ο έτερος Ανδρέας ήταν καλός σε τέτοια θέματα.
Και εσύ είσαι καλός εν αντιθέσει με μένα.
Τζάμπα είναι τελικά το να βάλεις το απόλυτο.
Δεν ξέρω μεν, κάτι όμως σκέφτομαι:
Το ρεύμα μέτρο υποτίθεται ότι είναι. Όταν όμως το βγάζεις αρνητικό καταλαβαίνεις ότι έχει άλλη φορά από την σχεδιασθείσα.
Σε μια άσκηση κεντρομόλου (δισδιάστατο πρόβλημα, άρα όχι αλγεβρικές τιμές) βγάζεις την δύναμη από ένα άξονα αρνητική. Διάνυσμα σχεδίασες και μέτρο υπολόγισες. κατάλαβες ότι “αρνητικό” μέτρο σημαίνει ότι ότι έχει άλλη φορά από την σχεδιασθείσα.
Μήπως είναι τέτοιοι οι λόγοι;
Δεν ξέρω σίγουρα.
Στους μαθητές μας χρησιμοποιούμε και τις δύο διαλέκτους:
Ίσως στο ίδιο μάθημα, ίσως σε αντιπαραβολή.
Νομίζουμε ότι με λιγότερο μαθηματικό συμβολισμό οι μαθητές κατανοούν καλύτερα τη Φυσική. Αυτό βεβαίως ισχύει σε απλές περιπτώσεις, όπως είναι η κίνηση προς σταθερή κατεύθυνση. Αλλά στην ταλάντωση ο μαθηματικός συμβολισμός, με επιλογή άξονα, πρόσημο στη ταχύτητα κλπ, διευκολύνει περισσότερο από το να αλλάζεις φορά αξόνων κάθε φορά που αλλάζει η φορά της κίνησης ώστε η ταχύτητα να είναι πάντοτε θετική! Αφού λοιπόν κάποια στιγμή ο συνεπής μαθηματικός συμβολισμός θα κάνει τη ζωή των μαθητών (και των φοιτητών) ευκολότερη, γιατί οι μαθητές να μη μάθουν να τον χρησιμοποιούν ακόμη και σε προβλήματα της Α’ Λυκείου, όπως το πρόβλημα της συνάντησης των αυτοκινήτων ή της εκτόξευσης μια πέτρας κατακόρυφα προς τα επάνω; Αν τα μαθηματικά μάς έκαναν τη ζωή δυσκολότερη δεν θα είχαν επινοηθεί! Υπάρχει βεβαίως η δυσκολία εκμάθησής τους όπως συμβαίνει με κάθε γλώσσα εκτός από τη μητρική μας. Αλλά αφού μάθουμε την ξένη γλώσσα μπορούμε πλέον να μελετάμε οτιδήποτε είναι γραμμένο σ΄ αυτή. Και στη γλώσσα των μαθηματικών είναι γραμμένο το βιβλίο της Φύσης!
Θα συμφωνήσω αν μιλάμε γενικά.
Η επιλογή της διαλέκτου όμως εξαρτάται από το πρόβλημα.
Αν εμείς οι δύο απέχουμε 100 μέτρα και κινούμαστε αντίθετα, εσύ με 6 μέτρα το δευτερόλεπτο και εγώ με 4, μπορούμε να λύσουμε αλγεβρικά το πρόβλημα:
x1=x2=>6t=100-4t=>t=10s.
Μπορούμε να επιλέξουμε άλλη διάλεκτο, που δεν περιέχει αρνητικούς αριθμούς στο λεξιλόγιό της:
-Κάθε δευτερόλεπτο τρώμε 10 μέτρα από την απόσταση. Θα συναντηθούμε σε 100m/(10m/s)=10s.
Αυτονόητα πρέπει να διδαχθεί η πρώτη διάλεκτος (άσχετα με το πόσες φορές θα χρησιμοποιήσεις την δεύτερη) διότι θα χρειαστεί σε άλλα προβλήματα στα οποία η δεύτερη δυσκολεύεται ή σηκώνει τα χέρια ψηλά.
Λες Ανδρέα:
Αν τα μαθηματικά μάς έκαναν τη ζωή δυσκολότερη δεν θα είχαν επινοηθεί!
Τα Μαθηματικά δεν ευθύνονται για τις κακές ή τις άσκοπες χρήσεις τους.
Για παράδειγμα ζητώ να μου βρουν το κέντρο μάζας τριγωνικής πλάκας.
Έρχεται ένας και το κάνει με ολοκλήρωμα.
Τα Μαθηματικά φταίνε για την ευτράπελη αυτή λύση ή αυτός;
Γιάννη καλημέρα!
Πολύ πετυχημένη η μεταφορά σου με τη γλώσσα και τις διαλέκτους! Μας βοηθά να αποσαφηνίσουμε το ερώτημα: Ποια Μαθηματικά στη Φυσική του Λυκείου;
Μετά τη διερεύνηση που κάναμε λοιπόν έχω διαμορφώσει την εξής άποψη: Πρώτος στόχος: Διδάσκουμε πώς η ακριβής γλώσσα των Μαθηματικών εφαρμόζεται στη Φυσική.
Δεύτερος στόχος: Διδάσκουμε ” μαθηματικές διαλέκτους” έχοντας επίγνωση για την εκτροπή και ενημερώνοντας σχετικά τους μαθητές εφοδιάζοντάς τους με “λεξικό” με το οποίο μπορούν να μεταφράσουν τη διάλεκτο στην ακριβή γλώσσα.
Π.χ. στο πλαίσιο μιας διαλέκτου η φράση “Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται αντίθετα, δύο αυτοκίνητα Α και Β με ταχύτητες 50km/h και 60km/h, αντίστοιχα” μεταφράζεται “Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται αντίθετα, δύο αυτοκίνητα Α και Β με ταχύτητες μέτρου 50km/h και 60km/h, αντίστοιχα”.
Μόνο μετά από αυτή τη μετάφραση οι μαθητές μπορούν να απαντήσουν στα ερωτήματα της άσκησης.
Αναρωτιέμαι ωστόσο αν χρειαζόταν εδώ να χρησιμοποιήσουμε “διάλεκτο” ώστε να χρειαστεί μετάφραση; Δεν αρκούσε να προσθέσουμε τη λέξη “μέτρο”; Εκτός και αν, εκτός από τα κύρια ερωτήματα της άσκησης, επιπλέον στόχος της ήταν να ελεγχθεί αρχικά αν οι μαθητές μπορούν να μεταφράζουν τη συνηθισμένη διάλεκτο των ασκήσεων στην ακριβή γλώσσα.
Συμφωνώ ότι υπάρχουν πιο απλές και πιο σύνθετες μαθηματικές αποδείξεις. Αυτή η ποικιλία μάς διευκολύνει ακόμη περισσότερο.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Βλέπω ότι συνεχίστηκε πολύ η συζήτηση, από την τελευταία τοποθέτησή μου, χωρίς να βλέπω και σημεία σύγκλισης…
Ας τοποθετηθώ λοιπόν στα «νέα» στοιχεία.
Υπάρχει πρόβλημα με τον συμβολισμό; Μήπως θα ήταν καλύτερο αν γράφαμε |υ|=4m/s και υ=4m/s, όπου η πρώτη γραφή παριστάνει το μέτρο της ταχύτητας και η δεύτερη την αλγεβρική τιμή; Προσωπικά πιστεύω ότι θα ήταν καλύτερη απόδοση αυτή και θα προκαλούσε λιγότερα μπερδέματα. Αλλά το πρόβλημα που συζητάμε δεν νομίζω ότι είναι πρόβλημα συμβολισμού.
Πώς πρέπει να διδαχτεί η ευθύγραμμη κίνηση στην Α΄ Λυκείου; Το κρίσιμο είναι στο ερώτημα η Α΄ Λυκείου, αφού άλλη θα είναι η απάντηση, αν μιλήσουμε για Γυμνάσιο ή και για Δημοτικό…
Πρέπει στην επίλυση των προβλημάτων να γίνει χρήση της αλγεβρικής τιμής της ταχύτητας ή του μέτρου της. Προσωπικά έχω δημοσιεύσει 96 ασκήσεις κινηματικής (κινητικής) για Α΄ Λυκείου, στις οποίες επιμένω με πείσμα (και πολύ συχνά κόντρα στο ρεύμα…) για χρήση αλγεβρικών τιμών!
Άρα μου ακούγεται κάπως να πρέπει να το γράψω για να μην φανεί ότι υποστηρίζω το αντίθετο…
Η γλώσσα της φυσικής είναι τα μαθηματικά και η «διάλεκτος» δεν μπορεί παρά να είναι μαθηματική διάλεκτος. Αρκεί αυτή η γλώσσα να μην καταντήσει εντελώς ξύλινη και αποκρουστική.
Και για μένα είναι αποκρουστική η διατύπωση:
Όπως μου είναι αποκρουστική η διατύπωση ότι οι σταγόνες της βροχής πέφτουν πλάγια στο πρόσωπο του αγοριού με ταχύτητα μέτρου |υ1|= 2m/s, ενώ μια άλλη μέρα πέφτουν στο κεφάλι του κοριτσιού με κατακόρυφη ταχύτητα υ2=-2m/s.
Ούτε πρέπει να στείλουμε τους μαθητές να ψάχνουν στα ταχύμετρα των αυτοκινήτων να βρουν τις αρνητικές ταχύτητες, ούτε να αναρωτιούνται γιατί το όριο ταχύτητας που έχει βάλει η τροχαία στην είσοδο του χωριού είναι 60km/h και δεν γράφουν οι ταμπέλες στη δεξιά πλευρά του δρόμου υ1=+60km/h και στην αριστερή πλευρά υ2=-60km/h.
Αν κάποιος θεωρεί τον παραπάνω τρόπο ως τον ενδεδειγμένο, απλά δεν θα συμφωνήσω…
Να προσθέσω και κάτι ακόμη.
Γράφεις Ανδρέα:
Διαπιστώνω μια αντιστροφή στη λογική των πραγμάτων. Η “ακριβής γλώσσα” είναι η μητρική γλώσσα του παιδιού. Αυτήν μιλάει, σε αυτήν σκέφτεται και εκφράζεται. Αυτή την γλώσσα πρέπει να μεταφράσει στη γλώσσα των μαθηματικών για να επιλύσει ένα πρόβλημα, όχι το αντίστροφο! Το πρόβλημα διατυπώνεται στην ομιλούσα γλώσσα και ο μαθητής πρέπει να καταστεί ικανός ώστε στη διαδικασία επίλυσης, να μπορεί να κάνει τη μετάφραση στην γλώσσα των μαθηματικών… και να οδηγηθεί στην λύση.
Όπως μου είναι αποκρουστική η διατύπωση ότι οι σταγόνες της βροχής πέφτουν πλάγια στο πρόσωπο του αγοριού με ταχύτητα μέτρου |υ1|= 2m/s, ενώ μια άλλη μέρα πέφτουν στο κεφάλι του κοριτσιού με κατακόρυφη ταχύτητα υ2=-2m/s.”
Αυτά τα παραδείγματα που αναφέρεις αναδεικνύουν με πολύ ωραίο τρόπο τη ακρίβεια της γλώσσας των μαθηματικών. Κι αυτό είναι το ζητούμενο από μια γλώσσα που χρησιμοποιείται στην επιστήμη. Πώς ωστόσο κρίνεται πόσο αποκρουστική είναι μια ακριβής γλώσσα;
“Ούτε πρέπει να στείλουμε τους μαθητές να ψάχνουν στα ταχύμετρα των αυτοκινήτων να βρουν τις αρνητικές ταχύτητες, ούτε να αναρωτιούνται γιατί το όριο ταχύτητας που έχει βάλει η τροχαία στην είσοδο του χωριού είναι 60km/h και δεν γράφουν οι ταμπέλες στη δεξιά πλευρά του δρόμου υ1=+60km/h και στην αριστερή πλευρά υ2=-60km/h.”
Αυτά τα παραδείγματα που επίσης αναφέρεις αναδεικνύουν πάλι με πολύ ωραίο τρόπο το ζήτημα της αντιδιαστολής που πρέπει να γίνεται μεταξύ της γλώσσας των μαθηματικών που είναι απαραίτητα στις επιστήμες και της καθημερινής γλώσσας που είναι αρκετή για τις συνηθισμένες ανάγκες επικοινωνίας.
Δε συσχέτισα τη μητρική γλώσσα με τη γλώσσα των μαθηματικών αλλά συσχέτισα τις μαθηματικές διαλέκτους μεταξύ τους, π.χ. τη διάλεκτο της άλγεβρας με τη διάλεκτο της πρακτικής αριθμητικής ή με τη διάλεκτο του διαφορικού λογισμού, αναφερόμενος σε όσα σχετικά έγραψε το Γιάννης.
καλό μεσημέρι σε όλους
Διονύση, νομίζω ότι εγώ έχω το “προνόμιο” να έχω ισχνή μειοψηφία εδώ,
διότι αποφεύγω το “-”, μέχρις τελικής πτώσης,
προτιμώ να περιγράφω κάτι πρακτικά και ποιοτικά, όπου δύναμαι, βεβαίως-βεβαίως,
να καταλάβει ο δέκτης, ο μαθητής εν προκειμένω, τι εννοώ,
στη “μητρική” του γλώσσα, ναι συμφωνώ με σένα, όχι ντε και καλά και, σε κάπως “Κολωνακιώτικα”, σε μαθηματικίστικα, με φορές, διαφορικά, παραγώγους, ολοκληρώματα, προσπαθώ να τα αποφύγω, όπου μπορώ, κυρίως στη Γενική Παιδεία, για τον αυριανό μέσο πολίτη, που δεν θα είναι υποχρεωτικά και Φυσικός ή Μαθηματικός
τώρα για τις διακριτοποιητές Κατευθύνσεις, λόγω Πανελληνίων, εκεί ίσως, πάσο…
(και επειδή δεν το έχω ξαναγράψει και επειδή το “κοντέρ” μερικών μας ξεκινάει από 7, ουάου, ήγουν κάπου μισόν αιώνα στον χώρο, ε, ναι, και δικαίως, μαζεύουμε προβλήματα υγείας, να προλάβω να γράψω ότι εδώ βρήκα εξαιρετικούς και ψαγμένους συναδέλφους, και, Διονύση, ειδικά εσένα, που ευχαριστώ πάρα πολύ, ρε, συ, φίλε
α, ναι, και μια αίρεσή μου, για όποιον ενδιαφέρεται…
αιρετικά διαγράμματα)