by 
Ένα σώμα μάζας 1kg κινείται κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου με την επίδραση μιας δύναμης F, όπως στο σχήμα. Το σώμα περνά από την θέση Α με ταχύτητα υο=4m/s, ενώ μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του στη θέση Γ. Δίνονται ακόμη η συνιστώσα wx=3Ν, η τριβή ολίσθησης μέτρου Τ=2Ν, ενώ η δύναμη F έχει μέτρο 1Ν και φορά προς τα πάνω κατά την άνοδο και μέτρο 3Ν και κατεύθυνση προς τα κάτω, κατά την κάθοδο.
i) Να βρεθεί η μετατόπισή του (ΑΓ)=x κατά την άνοδο.
ii) Η ταχύτητά του υ1 με την οποία επιστρέφει στην θέση Α.
Λύση:
Δεν μας ενδιαφέρουν οι επιμέρους δυνάμεις, εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με τη συνισταμένη ΣF μέτρου 4Ν η οποία έχει φορά προς τα κάτω, σε όλη τη διάρκεια της κίνησης (άνοδο και κάθοδο), η οποία συνδέεται με μια δυναμική ενέργεια, για την οποία θεωρούμε επίπεδο μηδενικής ενέργειας, το επίπεδο το κάθετο στο κεκλιμένο που περνά από το Α, οπότε σε απόσταση x από αυτό, το σώμα θα έχει δυναμική ενέργεια:
U=ΣF∙x
(κατ΄ αναλογία με την βαρυτική δυναμική ενέργεια η οποία έχει τιμή U=mgh=Β∙h…).
i) Εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ μεταξύ των θέσεων Α και Γ κατά την άνοδο:
ii) Εφαρμόζουμε ξανά την ΑΔΜΕ από την θέση Γ μέχρι την θέση Α (UΑ=0) κατά την κάθοδο:
Τι λέτε συνάδελφοι;
- Θα διδάσκατε την παραπάνω λύση, αν σας έδιναν το πρόβλημα αυτό;
- Πώς θα βαθμολογούσατε μια λύση όπως την παραπάνω, αν την βλέπατε σε ένα γραπτό μαθητή;
Σπύρο μπορείς εύκολα να αποδείξεις ότι κάθε κεντρική δύναμη έχει μηδενικό έργο σε κάθε κλειστή τροχιά. Από εκεί όμως ως το να βαφτίσεις συντηρητική τη δύναμη που ασκεί το χέρι μου μέσω σπάγκου και να της αποδόσεις δυναμικό είναι τεράστια απόσταση.
Δεν ευσταθεί εννοιολογικά.
Συμφωνώ ότι δεν θα δίδασκα αυτή την προσέγγιση. Ωστόσο αν μου την παρουσίαζε μαθητής, θα τη θεωρούσα σωστή, αν ικανοποιούσε την προϋπόθεση το έργο να είναι ανεξάρτητο της διαδρομής.
Άρη γειά χαρά!
Νομίζω ότι η προσέγγιση του μαθητή αποδεικνύει ότι η δυναμική ενέργεια δεν ορίζεται μόνο για πεδιακές δυνάμεις.
Νομίζω επίσης ότι αν το έργο της συνισταμένης είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή ορίζεται πάντοτε συνάρτηση U(x).
Αν Ανδρέα η ενέργεια δεν οφείλεται σε θέση η παραμόρφωση θα την ονομάσεις δυναμική αν πχ. η σχετική δύναμη είναι κεντρική;
Δηλαδή στην περίπτωση:
Θα αποδόσεις δυναμική ενέργεια στη δύναμη του χεριού μου μια και το έργο της είναι μηδέν σε κάθε κλειστή διαδρομή;
Μας περιμένει στη γωνία η “Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης” αν αποδεχθούμε τέτοιους ορισμούς δυναμικής ενέργειας.
Καλησπέρα σε όλους.
Έγραψα την άποψή μου νωρίτερα, το πρωί.
Με πρόλαβε ο Διονύσης αλλά αν η διαδρομή Α – > Γ είναι όπως στην εικόνα; κάποια άλλη; το έργο της συνισταμένης είναι το ίδιο; Καταρχάς, ποιας συνισταμένης; Ισχύει ο προηγούμενος μαθηματικός τύπος; όχι. Θα επινοούμε σε κάθε διαδρομή νέα “συνάρτηση δυναμικής ενέργειας” μέχρι να μας βγει το έργο της συνισταμένης ίδιο; Και πόσες είναι αυτές οι διαδρομές μεταξύ Α – Γ. Άπειρες. Πόσες είναι οι αντίστοιχες συναρτήσεις; άπειρες. Όχι μια. Άρα; Δεν ισχύει καμιά Δ.Μ.Ε.
Γειά σου Αντρέα.
Νομίζω κατ αρχήν ότι ο όρος δυναμικό για κάθε ασχολούμενο με την φυσική παραπέμπει σε πεδίο.
Η τελική μου παρατήρηση ήταν «Τέλος όταν π.χ. γράφει UΓ=ΣF x το x δεν αντιστοιχεί σε σημείο με συντεταγμένη x αλλά Δx, άρα δεν είναι μέγεθος πεδιακό που αντιστοιχεί στο σημείο Γ.» Δεν θέλεις την λέξη πεδιακό βγάλε την και κράτα το ότι δεν αντιστοιχεί ό,τι ονομάζει δυναμικό σε συγκεκριμένο σημείο. Τι είναι αυτή η έννοια που για το ίδιο σημείο μπορεί να έχει πολλές τιμές; Αν αλλάξουμε το σώμα οπότε αλλάζει το βάρος και η τριβή που συμμετέχουν στην ΣF μένει η ίδια τιμή του λεγόμενου δυναμικού στο σημείο Γ;
«Νομίζω επίσης ότι αν το έργο της συνισταμένης είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή ορίζεται πάντοτε συνάρτηση U(x).» Το έργο της κάθετης αντίδρασης Ν και το έργο της κεντρομόλου (που είναι συνισταμένη πολλών δυνάμεων) είναι μηδέν ανεξάρτητα της διαδρομής ορίζεται δυναμικό σε αυτές τις περιπτώσεις; Ποιο;
Αν θέλουμε να θεμελιώσουμε άλλη έννοια ας το κάνουμε, περιγάφοντάς την πλήρως ΤΗΝ ΊΔΙΑ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΌ ΚΑΙ ΤΙΣ ΙΔΙΌΤΗΤΈΣ της.. Δυναμικό αφήνοντας να εννοηθεί η γνωστή έννοια και μάλιστα εφαρμόζοντας την στην γνωστή αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας, ΔΕΝ ΝΟΜΙΖΩ.
Καλησπέρα και πάλι συνάδελφοι.
Το έγραψα παραπάνω ότι το έργο της συνισταμένης δεν είναι ανεξάρτητο της διαδρομής.
Το επιβεβαίωσε και ο Χριστόφορος δίνοντας το σχήμα:
Φοβάμαι ότι δεν το είδε κανείς…
Αλλά μόλις ξάπλωσα για έναν μεσημεριανό υπνάκο, μου ήρθε μήνυμα και από έναν «μαθητή» Β. Ο «μαθητής» Β, διαβάζοντας τα περί έργου ανεξάρτητου της διαδρομής, αλλά μη γνωρίζοντας τα περί δυναμικού και συναρτήσεων, μου απέστειλε το σχήμα, από παρατηρητή που υπερίπταται του κεκλιμένου επιπέδου και που παρακολουθεί την κίνηση από το Α στο Γ, μέσω δύο διαφορετικών διαδρομών, (1) και (2). Υπολογίζει το έργο της συνισταμένης, ως άθροισμα των έργων των τριών συνιστωσών:
Όπου s το μήκος της καμπύλης διαδρομής.
Από τις εξισώσεις (1) και (2) προκύπτει ότι το έργο της συνισταμένης δύναμης δεν είναι ανεξάρτητο της διαδρομής, άρα, λέει ο μαθητής Β, δεν μπορούμε να μιλάμε για συντηρητικές δυνάμεις και για διατήρηση μηχανικής ενέργειας.
Κάνει λάθος;
Διονύση δεν κάνει λάθος.
Ακόμα όμως και βέργα να ήταν το κεκλιμένο.
Ακόμα και να μην υπήρχε επιστροφή.
Ακόμα να αν η τριβή ήταν προς τα κάτω.
Ακόμα και να μην μας ενδιέφερε η θεαματική αλλαγή τιμής της τριβής (ολίσθησης-> σε στατική).
Εννοιολογικά υπάρχει πρόβλημα. Εσύ που το τραβάς δεν είσαι πεδίο και παράγεται θερμική ενέργεια.
Η Ενέργεια έχει περιεχόμενο βαθύτερο από την ρηχή μαθηματική της περιγραφή.
Μην την καταντήσουμε θουμουκουέ.
Γιάννη τον μαθητή τον “ανέβασα στη σκηνή” θέλοντας να απαντήσω στο επιχείρημα του Ανδρέα.
Παραπάνω έχω γράψει:
Δεν είδα όμως να πείθει, οπότε πήγα και στον ορισμό…
Ακριβώς.
Διαλύει οποιαδήποτε διδασκαλία ενεργειακών μετατροπών και οποιαδήποτε θεμελίωση της διατήρησης της ενέργειας.
Επίσης πρέπει να υπάρχουν αναλογίες:
Δυναμική ενέργεια<-> Ηλεκτρική ενέργεια πυκνωτή.
Κινητική ενέργεια<-> Ενέργεια πηνίου.
Δύναμη που ασκείς με το χέρι ή μέσω μηχανισμού <-> Πηγή τροφοδοτούσα το R-L-C.
Στο R-L-C δεν συγχωνεύεις την παραγόμενη θερμότητα και την ενέργεια που προσφέρει η πηγή με την ενέργεια του πυκνωτή.
Ούτε στο μηχανικό ανάλογο πρέπει να το κάνεις.
Καλησπέρα σε όλους.
Επιτρέψτε μου να συνοψίσω την άποψή μου ώστε να κριθεί ευκολότερα.
Ορισμός της έννοιας Διατηρητική Δύναμη
Όταν το έργο μιας δύναμης μεταξύ δύο σημείων είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή, ή ισοδύναμα το έργο είναι συνάρτηση μόνο της θέσης των σημείων, τη δύναμη την ονομάζουμε διατηρητική.
Παραδείγματα
Η βαρυτική δύναμη, η ηλεκτροστατική δύναμη, η δύναμη του ελατηρίου, η δύναμη επαναφοράς κλπ. έχουν αυτή την ιδιότητα. Δηλαδή είναι διατηρητικές δυνάμεις. Η ηλεκτρική δύναμη που παράγεται από μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δεν έχει αυτή την ιδιότητα. Δηλαδή δεν είναι διατηρητική δύναμη.
Παρατήρηση
Με βάση τον ορισμό της διατηρητικής δύναμης που ανάφερα, η δύναμη δεν είναι απαραίτητο να προέρχεται από πεδίο ούτε είναι απαραίτητο η θερμική ενέργεια του σώματος να διατηρείται. Αρκεί το έργο της δύναμης να είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή.
Ορισμός του μεγεθών Δυναμική Ενέργεια και Μηχανική Ενέργεια
Επειδή το έργο μιας διατηρητικής δύναμης είναι συνάρτηση μόνο της αρχικής και της τελικής θέσης, το έργο από ένα σημείο Α σε ένα σημείο αναφοράς Ο εξαρτάται μόνο από τη θέση του Α. Αυτό το έργο το ονομάζουμε δυναμική ενέργεια στη θέση Α. Το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας το ονομάζουμε μηχανική ενέργεια.
ΑΔΜΕ
Αν σε ένα σώμα ασκούνται μόνο διατηρητικές δυνάμεις, από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει ότι η μηχανική ενέργεια διατηρείται.
Εφαρμογή
Το έργο της δύναμης που περιγράφεται στην εκφώνηση της άσκησης που παράθεσε ο Διονύσης είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή. Άρα με βάση το ορισμό που περιέγραψα η εν λόγω δύναμη είναι διατηρητική, ορίζεται η αντίστοιχη δυναμική ενέργεια και η μηχανική ενέργεια διατηρείται.
Ανδρέα, μάλλον δεν διαβάζεις αυτά που γράφω…
Δες τι απέδειξα εδώ.
Το έργο είναι ανεξάρτητο της διαδρομής;
Επειδή είχα αντιληφθεί αυτό το ενδεχόμενο, στο πρώτο σχόλιό μου είχα γράψει: “Αν θεωρήσουμε ότι σώμα μπορεί να κινείται μόνο κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου και μόνο μεταξύ των θέσεων Α και Β…” Δηλαδή είχα κατά νου ότι το σώμα μπορεί να κινείται μόνο κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Με αυτές τις προυπόθεσεις η εν λόγω συνισταμένη είναι διατηρητική.
Κατά μήκος του πλαγίου επιπέδου και μεταξύ των ίδιων θέσεων, υπολόγισα Ανδρέα τα έργα:
Επί της ουσίας τώρα, δεν νομίζω ότι θα ορίσουμε συντηρητικές δυνάμεις κατά περίπτωση και κατά δυνατότητα που ο καθένας θέλει να οραματίζεται διαδρομές!!!, όπως οραματίζεται και ορίζει δυναμικές ενέργειες κατά το δοκούν…
Ξέρεις Ανδρέα υπάρχει και μια πόλη Βαβέλ… και δεν θα ήθελα να είμαι κάτοικός της και να μιλάω για Φυσική…