by 
Ένα σώμα μάζας 1kg κινείται κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου με την επίδραση μιας δύναμης F, όπως στο σχήμα. Το σώμα περνά από την θέση Α με ταχύτητα υο=4m/s, ενώ μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του στη θέση Γ. Δίνονται ακόμη η συνιστώσα wx=3Ν, η τριβή ολίσθησης μέτρου Τ=2Ν, ενώ η δύναμη F έχει μέτρο 1Ν και φορά προς τα πάνω κατά την άνοδο και μέτρο 3Ν και κατεύθυνση προς τα κάτω, κατά την κάθοδο.
i) Να βρεθεί η μετατόπισή του (ΑΓ)=x κατά την άνοδο.
ii) Η ταχύτητά του υ1 με την οποία επιστρέφει στην θέση Α.
Λύση:
Δεν μας ενδιαφέρουν οι επιμέρους δυνάμεις, εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με τη συνισταμένη ΣF μέτρου 4Ν η οποία έχει φορά προς τα κάτω, σε όλη τη διάρκεια της κίνησης (άνοδο και κάθοδο), η οποία συνδέεται με μια δυναμική ενέργεια, για την οποία θεωρούμε επίπεδο μηδενικής ενέργειας, το επίπεδο το κάθετο στο κεκλιμένο που περνά από το Α, οπότε σε απόσταση x από αυτό, το σώμα θα έχει δυναμική ενέργεια:
U=ΣF∙x
(κατ΄ αναλογία με την βαρυτική δυναμική ενέργεια η οποία έχει τιμή U=mgh=Β∙h…).
i) Εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ μεταξύ των θέσεων Α και Γ κατά την άνοδο:
ii) Εφαρμόζουμε ξανά την ΑΔΜΕ από την θέση Γ μέχρι την θέση Α (UΑ=0) κατά την κάθοδο:
Τι λέτε συνάδελφοι;
- Θα διδάσκατε την παραπάνω λύση, αν σας έδιναν το πρόβλημα αυτό;
- Πώς θα βαθμολογούσατε μια λύση όπως την παραπάνω, αν την βλέπατε σε ένα γραπτό μαθητή;
Νομίζω Διονύση ότι το συνόψισες πολύ ωραία: “Δυναμικές ενέργειες ορίζουμε στην πράξη (ό,τι και αν λέμε θεωρητικά) στο βαρυτικό πεδίο, στο ηλεκτροστατικό πεδίο και στην περίπτωση της δυναμικής ελαστικής ενέργειας παραμόρφωσης…” Νομίζω ότι ο λόγος που περιοριζόμαστε σ’ αυτά τα είδη δύναμης και δεν επεκτεινόμαστε σε είδη όπως αυτά που αναφέρει ο Γιάννης είναι ότι σ’ αυτές τις περιπτώσεις η έννοια δυναμική ενέργεια δεν έχει πρακτική αξία. Πάντως μπράβο στο μαθητή ή σ’ όποιον σκέφτηκε αυτή τη λύση για την τρικλοποδιά που μας έβαλε! Προσωπικά με έκανε σοφότερο!
Υ.Γ. Ποιος είναι ο συντάκτης της απάντησης στην Άσκηση; Έχει κι άλλα τέτοια;
καλησπέρα σε όλους
αν κατάλαβα καλά, το αρχικό ερώτημα του Διονύση, προφανώς διαφωνώ με την προσέγγιση του μαθητή, μετετράπη σε “είναι η συνισταμένη συντηρητική δύναμη;”
η θέση μου είναι ότι το ερώτημα “πάσχει”, διότι η συνισταμένη δεν υπάρχει στην πραγματικότητα, ούτε και υπάρχει κανείς για να την προκαλεί, διευκολυντικό κόλπο είναι
ερώτημα βέβαια και μπαίνει, για το αν η F είναι συντηρητική, όχι είναι η απάντηση, (αφού στην ίδια θέση κατά την άνοδο και την κάθοδο δεν είναι ίδια) και για το αν η Τ είναι συντηρητική, επίσης όχι είναι η απάντηση, για τον ίδιο λόγο
θα μπορούσαμε, ίσως καταχρηστικά, να χαρακτηρίσουμε τη συνισταμένη δυνάμεων ως συντηρητική, αν όλες οι συνιστώσες της είναι συντηρητικές
στη συγκεκριμένη περίπτωση η απάντηση είναι πως όχι
Να ορίσουμε δυναμική ενέργεια εδώ;
https://www.youtube.com/watch?v=NMhD8vGQyVM&ab_channel=ekfekallipolis
Το έργο πάντως της συνισταμένης είναι μηδέν σε κάθε κλειστή διαδρομή.
Κωνσταντίνε καλησπέρα.
Έθεσες με σαφήνεια το μονοδιάστατο πρόβλημα. Ωστόσο σχετικά με την δυναμική ενέργεια αυτή αντιστοιχεί στην “συνισταμένη ΣF μέτρου 4Ν η οποία έχει φορά προς τα κάτω, σε όλη τη διάρκεια της κίνησης (άνοδο και κάθοδο)”. Δηλαδή η τριβή δεν υπεισέρχεται. Νομίζω λοιπόν ότι στο μονοδιάστατο πρόβλημα η συνισταμένη είναι διατηρητική και ορίζεται η δυναμική ενέργεια. Αλλά είπαμε ότι αυτό δεν το λέμε στους μαθητές!
Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Δηλαδή όλο το πρόβλημα δεν είναι πρόβλημα ουσίας, όσον αφορά τη φύση των ενεργειών και τις ενεργειακές μετατροπές, αλλά ζήτημα Μαθηματικό, ζήτημα πεδίου ορισμού;
Και επειδή στο πρόβλημα η κίνηση γίνεται πάνω σε μια ευθεία, θα ορίσουμε συντηρητικές δυνάμεις σε μια διάσταση; Έτσι ορίζονται οι συντηρητικές δυνάμεις;
Προφανώς αν έχεις ένα πρόβλημα που εκτυλίσσεται σε ευθεία, θεωρείς το πρόβλημα μονοδιάστατο!
Αλλά αν μια δύναμη συνδέεται με δυναμική ενέργεια, εξαρτάται αν στο Α πρόβλημα η κίνηση γίνεται σε ευθεία ή στο Β αν πραγματοποιείται στο επίπεδο ή στο χώρο; Η ίδια δύναμη στην μια περίπτωση είναι συντηρητική, ενώ στην άλλη παύει να είναι; Παύει να συνδέεται με κάποια δυναμική ενέργεια;
Αλλά ας σε διευκολύνω με το πεδίο ορισμού. Να μην φτάσει το σώμα σε απόσταση x=2m και έχει πρόβλημα η τιμή της τριβής.
Ας μελετήσουμε την κίνηση από το Α (x=0), μέχρι ένα σημείο Ρ με x=1,8m.
Ξαφνικά οι δυνάμεις είναι συντηρητικές, υπάρχει δυναμική ενέργεια που συνδέεται με την συνισταμένη δύναμη; Ισχύει η αρχή διατήρηση της μηχανικής ενέργειας από την θέση Α μέχρι την θέση Ρ;
Καλησπέρα στο Διονύση και την υπόλοιπη παρέα που μας έχει δώσει πολλά. Δέχομαι την ιδέα του δυναμικού, κάποτε το χρησιμοποιούσα για να ορίσω το πεδίο δυνάμεων που δημιουργεί ένα ελατήριο. Έχω όμως πρόβλημα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Είναι γενικότερη αρχή και πρέπει να ισχύει , άλλα καταλήγω εδώ Εα + W = Eα +Qθ όπου W = 0 και Qθ διάφορη του μηδενός. Αν δεν είχες την τριβή ανάμεσα στις δυνάμεις δεν θα υπήρχε πρόβλημα.
Ανδρέα, το προηγούμενο σχόλιό μου, καλύπτει και την δική σου τοποθέτηση:
Και νόμιζα ότι προηγούμενα είχαμε συμφωνήσει…
Δεν είπα ότι δεν το λέμε στους μαθητές. Είπα ότι η τριβή δεν είναι συντηρητική δύναμη, αλλά τότε ούτε η συνισταμένη δύναμη μπορεί να είναι.
Δεν έβαλα θέμα να κρύψουμε κάτι στους μαθητές…
Καλησπέρα Αθανάσιε.
Προφανώς η διατήρηση της ενέργειας είναι μια γενικότερη αρχή σε σχέση με την ΑΔΜΕ…
Μπορείς να δεις μια σειρά άρθρων του John W. Jewett Jr.
Ενέργεια και ο μαθητής σε σύγχυση
σε μετάφραση του Σταύρου Πρωτογεράκη..
Η διατήρηση της ενέργειας Αθανάσιε, σε ένα πρόβλημα όπως το παραπάνω θα μπορούσε να διατυπωθεί ως εξής:
“Η ενέργεια που μεταφέρεται στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμης F είναι ίση με το άθροισμα: αύξηση της μηχανικής ενέργειας + θερμότητα που εμφανίζεται λόγω τριβής”.
Διατύπωση διαφορετική μπορούμε να δώσουμε, το σίγουρο πάντως είναι ότι δεν έχουμε ένα κλειστό σύστημα (σύστημα που δεν ανταλλάσσει ενέργεια με το περιβάλλον του) και στο οποίο η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική και αντίστροφα…
Γεια σου Βαγγέλη.
Σε διάβασα…
Συνάδελφοι, μερικές σκέψεις (αφορούν αυστηρά την κλασσική μηχανική):
1. Δυναμική ενέργεια ορίζουμε σε πεδιακές δυνάμεις , άρα αυστηρά για την βαρυτική και για την ηλεκτροστατική. Από τον ορισμό τους οι παραπάνω δυνάμεις είναι συντηρητικές (προκύπτουν από την κλίση μίας βαθμωτής συνάρτησης, της δυναμικής ενέργειας). Το δε πεδίο τους μετράται (άρα αναδύεται από μαθηματικό κατασκεύασμα σε φυσικό μέγεθος) μέσω της έντασης του και του δυναμικού του (δηλαδή σε κάθε σημείο του χώρου αντιστοιχίζεται ένα διάνυσμα και ένα βαθμωτό μέγεθος τα οποία είναι ανεξάρτητα από το υπόθεμα). Η πραγματικότητα του πεδίου εξασφαλίζει και την πραγματικότητα της δυναμικής ενέργειας του υποθέματος, η οποία έχει την φυσική σημασία της ενέργειας αλληλεπίδρασης του υποθέματος με το πεδίο.
2. Χαλαρώνουμε τον ορισμό και δεχόμαστε ως «πεδιακή» δύναμη και την δύναμη που προκύπτει από την παραμόρφωση ελαστικών σωμάτων (πχ ιδανικό ελατήριο). Η δύναμη αυτή μπορεί να οριστεί από την κλίση μίας βαθμωτής συνάρτησης δυναμικής ενέργειας, άρα είναι συντηρητική, Αλλά δεν μπορούμε να ορίσουμε ένταση και δυναμικό ανεξάρτητα από το υπόθεμα, άρα δεν ορίζεται πεδίο με την έννοια που ορίζουμε το βαρυτικό. Σε αυτήν όμως την περίπτωση η δυναμική ενέργεια έχει και πραγματικό έρεισμα, εφ’ όσον αναφέρεται στην ενέργεια που αποθηκεύεται στο παραμορφωμένο ελαστικό σώμα και μπορεί ανά πάσα στιγμή να ανταλλαχθεί με το περιβάλλον του. Εδώ η ομοιότητα με την περίπτωση 1 είναι εμφανής, εφ’ όσον η δυναμική ενέργεια μπορεί να εκληφθεί ως η ενέργεια αλληλεπίδρασης ενός υλικού σημείου με το ελαστικό σώμα.
3. Χαλαρώνουμε ακόμη περισσότερο τον ορισμό και ορίζουμε ως «δυναμική» ενέργεια κάθε συνάρτηση, από την κλίση της οποίας μπορούμε να υπολογίσουμε μία δύναμη (κλασσικό παράδειγμα η σταθερή, ως διάνυσμα, δύναμη). Είναι προφανές ότι τώρα δεν είναι δυνατόν να ορίσουμε ένταση και δυναμικό πεδίου ανεξάρτητα από το υπόθεμα, αλλά επιπλέον η δυναμική αυτή ενέργεια δεν αποθηκεύεται πουθενά και δεν αλληλεπιδρά με τίποτα.
Ειλικρινά ποιος ο λόγος να την ορίσω; Μπορώ να βρω μόνον έναν (και το έχω κάνει), το να με βοηθά στις πράξεις απλοποιώντας ένα δύσκολο πρόβλημα. Αλλά μέχρις εκεί. Δεν θα το διδάξω και δεν θα το βαθμολογήσω θετικά.
ευχαριστώ Διονύση
οι άλλοι στον Καιάδα, Λακωνία μεριά,
χωράει αρκετούς ακόμη…
Καλησπερα.Θετοντας τις συντεταγμενες Α(α) , Γ(γ) ,α<γ και επισης θετοντας ΣF(x)=-4N για καθε x που ανηκει στο [α,β] διατυπωνωντας ετσι ενα καθαρα μαθηματικο προβλημα,τοτε ενας μαθηματικος θα μπορουσε να βρει μια συναρτηση δυναμικης ενεργειας.Ομως η ΣF δεν κατασκευαζεται με το χερι.Προερχεται απο τρεις συναρτησεις εκ των οποιων η μια ειναι η τριβη.Στα ακρα υπαρχει προβλημα λογω της ασυνεχειας της Τ(x).Ετσι ο συνδιασμος φυσικης και μαθηματικων μας εμποδιζει να κατασκευασουμε συναρτηση δυναμικης ενεργειας.Πρεπει να βρουμε μια συναρτηση U(x) παντου παραγωγισιμη της οποιας η κλιση να ειναι η δυναμη η οποια δεν οριζεται στα ακρα.Τετοια συναρτηση δεν υπαρχει.Οταν πεταμε ενα σωμα βαρους 4Ν κατακορυφα προς τα πανω και αυτο ανεβαινει και μετα κατεβαινει,στο σημειο αναστροφης της κινησης το βαρος οριζεται αυτη ειναι η διαφορα με την περιπτωση μας.
Καλησπερα Διονυση.Φυσικα και δεν ισχυει.Ειπαμε δεν μπορει κανεις να ορισει συνολικη δυναμικη ενεργεια στην συγκεκριμενη περιπτωση και η λυση για μενα ειναι απολυτως λανθασμενη.Προσπαθω να βρω μια καθαρα μαθηματικη εξηγηση για αυτο, χωρις να χρησιμοποιησω φυσικη παρα μονο το οτι η μια συναρτηση πρεπει να ειναι η κλιση της αλλης.Δεν εχει σημασια αν περιορισεις την κινηση διοτι ουτε στο x=1,8m οριζεται η τριβη αφου εξαρταται απο την ταχυτητα.
σωστά Στάθη
συμπληρώνω, λίγο, το κείμενό σου με “θέση” και όχι με “άρνηση: οι τιμές των χαρακτηριστικών μεγεθών του πεδίου, έντασης και δυναμικού σε κάποιο σημείο του, εξαρτώνται από τις συντεταγμένες του σημείου, τον “γεννήτορα” του πεδίου και το σύστημα μετρήσεων (δεν είναι ντε και καλά υποχρεωτικό να υπάρχει και κατάλληλο υπόθεμα εκεί)