by 
Στην επιστήμη δεν μπορούμε να αναφερόμαστε σε ένα μέγεθος, χωρίς προηγούμενα να το ορίσουμε.
Έτσι θα ήταν παράλογο να ζητήσω σε άσκηση στερεού να υπολογιστεί η «αυθορμητικότητα» ενός συστήματος σωμάτων, χωρίς προηγουμένως να έχουμε ορίσει ποιο είναι το μέγεθος «αυθορμητικότητα». Νομίζω ότι θα συμφωνήσετε όλοι στη θέση αυτή.
Έχουν περάσει όμως12 χρόνια, από τις εξετάσεις του 2009 και υπάρχουν φίλοι οι οποίοι επιμένουν να μιλάμε για ισοδύναμη ροπή αδράνειας, στηριζόμενοι σε μια φράση από βιβλίο του Τιμοσένκο. Την δίνω:
«Να σημειώσουμε ότι η τελευταία εξίσωση παίρνει την ίδια γενική μορφή με την Στ=Ι.αγων (Την αναφέρει σαν εξίσωση 67) αν θεωρήσουμε την ποσότητα Ιs=I+mR2 του συστήματος ως ισοδύναμη ροπή αδράνειας του συστήματος. Το σύστημα δηλαδή συμπεριφέρεται σαν ένα σώμα το οποίο στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, ως προς το οποίο η ροπή αδράνειάς του είναι Ιs»
Θα ζητούσα λοιπόν από τους φίλους οι οποίοι έχουν μελετήσει ενδελεχώς από ότι φαίνεται Τιμοσένκο, αλλά και άλλα προχωρημένα επιστημονικά διεθνή βιβλία κύρους, να μας μεταφέρουν, κάτι απλό:
Να ορίσουν την «ισοδύναμη ροπή αδράνειας» ενός συστήματος.
Προφανώς πρέπει να δώσουν και την μαθηματική εξίσωση υπολογισμού της.
Όχι με βάση μια άσκηση, όχι κατά περίπτωση, αλλά έναν γενικό ορισμό, μήπως και μετά τόσα χρόνια, ήρθε η στιγμή να αναγνωρίσω το σφάλμα μου, που εναντιώθηκα σε συγκεκριμένη λύση στις εξετάσεις του 2009.
Αν όμως έχουν να μας δώσουν και ΕΝΑ παράδειγμα άλλου φυσικού μεγέθους που ορίζεται κατά περίπτωση και όχι ενιαία, τότε θα δικαιούνται να ορίσουν (και εδώ κατά περίπτωση) την «ισοδύναμη ροπή αδράνειας» και στην περίπτωση αυτή, μπορούν να την ορίσουν για τα συστήματα (1) και (2) του σχήματος.
Τέτοια μου λες και θα την ψωνίσω Κωνσταντίνε.
Χαχαχαχα
Διονύση έδωσα έναν ορισμό μέχρι να βρω κάτι επίσημο.
Λάθος δεν μου φαίνεται.
Έχω σχηματίσει την εντύπωση ότι αναφέρεται μόνο σε συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας διότι έχουν μεγάλο ενδιαφέρον για τους Μηχανικούς.
Δεν γνωρίζω γενικεύσεις.
Θα επανέλθω αργότερα λόγω υποχρεώσεων
Οτι θελει οριζει κανεις.
Διονύση δεν καταλαβαινω τι φυσικο μεγεθος θελεις να ορισουμε. Το φυσικο μεγεθος Ροπη Αδρανειας εχει οριστει ηδη και οποιαδηποτε αλλη βαθμωτη ποσοτητα εχει διαστασεις Ροπης Αδρανειας,Ροπη αδρανειας ειναι και ας την ονομασουμε με ενα ειδικο ονομα αναλογα με την περιπτωση.Η ισοδύναμη ροπή αδράνειας για την οποια συζητατε,Ροπη Αδρανειας ειναι δεν ειναι κατι αλλο. Αν δεις τους τροχοφορους ταλαντωτες του Γιάννη,οι μαζες που χρησιμοποιει μπορει να ονομαστουν ισοδυναμες μαζες. Επισης στην ασκηση που εβαλα με τους κυλινδρους σε ενα σχολιο στο Να το πει κανείς ή να μην το πει; Ιδού η απορία. οπου ζηταω την περιοδο ταλαντωσης των κυλινδρων,αποδεικνυεται οτι η περιοδος αυτη ισουται με την περιοδο ενος απλου αρμονικου ταλαντωτη μαζας μ και σταθερας κ,οπου η ποσοτητα μ εξαρταται απο τις μαζες και τις ροπες αδρανειας των κυλινδρων,και εχει διαστασεις μαζας.Μπορεις να την ονομασεις effective mass,reduced mass,equivalent mass, ονομασιες που υπαρχουν σε ολα τα βιβλια φυσικης αναλογα με την περιπτωση,ή οπως αλλοιως επιθυμεις. Δεν ειναι καινουργιο φυσικο μεγεθος,μαζα ειναι.Δεν καταλαβαινω την ερωτηση σου.
Τι ορισμό ζητάω Κωνσταντίνε; Δεν είναι φανερό;
Όταν κάποιος χρησιμοποιεί για ένα σύστημα σωμάτων τον νόμο του Νεύτωνα με την μορφή Στεξ = Ισυστ∙αγων δεν πρέπει να μας πει τι είναι αυτό το Ισυστ και πώς υπολογίζεται;
Ή η εξίσωση αυτή δεν είναι ο 2ος νόμος του Νεύτωνα αλλά μια λανθασμένη εκδοχή του ή είναι κάτι που είναι σωστό και δεδομένο, οπότε καλώ να δοθεί η θεμελίωση…
Είδα την εφαρμογή.
Αν δεν υπάρχει ολίσθηση (νομίζω πως) ένας είναι ο βαθμός ελευθερίας.
Έστω αυτός η θέση ενός των κυλίνδρων.
Η περίοδος της ταλάντωσης είναι ίση με 2π.ρίζα(k/M΄).
Το υπολογιστέο Μ΄ ονομάζεται (συνήθως) “ανηγμένη μάζα”.
Δεν είναι η ολική μάζα.
Δεν γενικεύεται σε κάθε περίπτωση συστήματος σωμάτων.
Χρησιμοποιείται όμως.
Αυτό πιστεύω ότι συμβαίνει και με την “ισοδύναμη ροπή αδράνειας”.
Χρησιμοποιείται:
Συνεπώς έχει ορισθεί. Τουλάχιστον λειτουργικά.
Διονύση είπες πως δεν βλέπεις αναφορά. Δεν είδες τη δεύτερη λύση.
Εστιάζω:
Την αναφέρει μάλιστα χωρίς το “ισοδύναμη”.
Δεν έστειλα τα προβλήματα για να δούμε τη λύση τους.
Τα έστειλα ώστε να φανεί ο όρος Equivalent mass moment of inertia.
Ο όρος λοιπόν υπάρχει. Κάπου έχει ορισθεί.
Μη βρίσκοντας τον δεύτερο τόμο και τη σελίδα του 152 που είχε τότε αναρτηθεί, επεχείρησα έναν ορισμό.
Μπορεί να έχει τρωτά. Ας διορθωθεί ώστε να έχουμε άλλον καλύτερο.
Πάντως είναι φανερό από τις τόσες αναφορές που “επεκόλλησα” ότι ο όρος υπάρχει και χρησιμοποιείται ευρύτατα.
Υποθέτω πως δεν πειράζει που απαντώ σε ερώτηση προς τον Κωνσταντίνο.
Σε τυχαίο σύστημα σωμάτων δεν έχει νόημα τέτοιος ορισμός.
Διότι τα αγων είναι η γωνιακή επιτάχυνση ενός μέλους ή ενός σημείου του συστήματος. Η κινητική ενέργεια είναι συνάρτηση και άλλων μεταβλητών.
Δηλαδή δεν μπορούμε να πούμε ότι K=1/2.C,ω^2 , όπου ω η γωνιακή ταχύτητα ενός μέλους. Η κινητική ενέργεια εκφράζεται ως άθροισμα τόσων προσθετέων όσοι και οι βαθμοί ελευθερίας.
Η αδυναμία μας να γράψουμε τέτοια έκφραση μας στερεί τη δυνατότητα να ονομάσουμε την C “ισοδύναμη ροπή αδράνειας”.
Έτσι ο όρος χρησιμοποιείται (ευρέως όπως φάνηκε) σε συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας με ένα τουλάχιστον μέλος στρεφόμενο περί ακλόνητο άξονα.
Φάνηκε επίσης πως οι Μηχανικοί ενδιαφέρονται ιδιαίτερα γι’ αυτήν.
Γεια σου Βαγγέλη.
Είναι διαφορετική περίπτωση.
Συνάδελφοι καλημέρα,
Νομίζω ότι το πρόβλημα δεν είναι να βρούμε ένα ορισμό για την “ισοδύναμη ροπή αδράνειας”.
Η ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα Ο έχει ήδη ορισμό: ΙΟ = Σmiri²
και συνδέεται με τη στροφική κινητική ενέργεια του στερεού, ή τη γωνιακή του επιτάχυνση.
Επομένως, ισοδύναμη ροπή αδράνειας ως προς αυτό τον άξονα είναι η ροπή αδράνειας που θα έπρεπε να έχει ένα υποθετικό στερεό ώστε στρεφόμενο γύρω από τον ίδιο άξονα να έχει….
Το πρόβλημα είναι πώς την υπολογίζουμε σε κάθε περίπτωση!
Αυτό πλέον εξαρτάται από το κάθε συγκεκριμένο σύστημα, τον τρόπο σύζευξης των σωμάτων, κλπ.
Θα πρέπει δηλαδή, είτε να ανατρέξουμε σε πίνακες συγκεκριμένων συστημάτων και να βρούμε το δικό μας,
είτε να … εφαρμόσουμε τους νόμους του Νεύτωνα για τον υπολογισμό της 🙂
Η ισοδύναμη ροπή αδράνειας των δύο πιο κάτω συστημάτων π.χ. είναι ίδια ως προς τον άξονα Ο;
Αν δεν ειχα κυλινδους με μαζες εστω Μ,Μ’ αλλα λεια κουτια τοτε οι ισοδυναμες μαζες που υπολογιζoνται οπως στους τροχοφορους ταλαντωτες,μεσω του τυπου m=M+I/R^2,εστω οτι ειναι m,m’. Τοτε η τελικη ανοιγμενη μαζα μ που χρησιμοποιουμε στον τυπο Τ=2π.ρίζα(μ/κ) ειναι μ=mm’/(m+m’)
Πολύ ωραίος ο υπολογισμός.
Έχουμε δηλαδή ένα υλικό σημείο που κάποια στιγμή απέχει μια απόσταση d από ένα άξονα, αλλά η συνεισφορά του στην ροπή αδράνειας δεν είναι md^2 αλλά mr^2. Στο 1ο σχήμα το d και το r.
Προφανώς η μαθηματική εξίσωση υπολογισμού της ροπής αδράνειας που διδάσκουμε Ι=Σmd^2, είναι λάθος, οπότε από εδώ και πέρα και στο 2ο σχήμα με το στερεό θα πρέπει να προβάλουμε την απόσταση d κάθε στοιχειώδους μάζας στην διεύθυνση r.
Γιατί βρε παιδί μου έτσι δεν κάνουμε στη ροπή;
Ε!!! το ίδιο πράγμα…