by 
Στην επιστήμη δεν μπορούμε να αναφερόμαστε σε ένα μέγεθος, χωρίς προηγούμενα να το ορίσουμε.
Έτσι θα ήταν παράλογο να ζητήσω σε άσκηση στερεού να υπολογιστεί η «αυθορμητικότητα» ενός συστήματος σωμάτων, χωρίς προηγουμένως να έχουμε ορίσει ποιο είναι το μέγεθος «αυθορμητικότητα». Νομίζω ότι θα συμφωνήσετε όλοι στη θέση αυτή.
Έχουν περάσει όμως12 χρόνια, από τις εξετάσεις του 2009 και υπάρχουν φίλοι οι οποίοι επιμένουν να μιλάμε για ισοδύναμη ροπή αδράνειας, στηριζόμενοι σε μια φράση από βιβλίο του Τιμοσένκο. Την δίνω:
«Να σημειώσουμε ότι η τελευταία εξίσωση παίρνει την ίδια γενική μορφή με την Στ=Ι.αγων (Την αναφέρει σαν εξίσωση 67) αν θεωρήσουμε την ποσότητα Ιs=I+mR2 του συστήματος ως ισοδύναμη ροπή αδράνειας του συστήματος. Το σύστημα δηλαδή συμπεριφέρεται σαν ένα σώμα το οποίο στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, ως προς το οποίο η ροπή αδράνειάς του είναι Ιs»
Θα ζητούσα λοιπόν από τους φίλους οι οποίοι έχουν μελετήσει ενδελεχώς από ότι φαίνεται Τιμοσένκο, αλλά και άλλα προχωρημένα επιστημονικά διεθνή βιβλία κύρους, να μας μεταφέρουν, κάτι απλό:
Να ορίσουν την «ισοδύναμη ροπή αδράνειας» ενός συστήματος.
Προφανώς πρέπει να δώσουν και την μαθηματική εξίσωση υπολογισμού της.
Όχι με βάση μια άσκηση, όχι κατά περίπτωση, αλλά έναν γενικό ορισμό, μήπως και μετά τόσα χρόνια, ήρθε η στιγμή να αναγνωρίσω το σφάλμα μου, που εναντιώθηκα σε συγκεκριμένη λύση στις εξετάσεις του 2009.
Αν όμως έχουν να μας δώσουν και ΕΝΑ παράδειγμα άλλου φυσικού μεγέθους που ορίζεται κατά περίπτωση και όχι ενιαία, τότε θα δικαιούνται να ορίσουν (και εδώ κατά περίπτωση) την «ισοδύναμη ροπή αδράνειας» και στην περίπτωση αυτή, μπορούν να την ορίσουν για τα συστήματα (1) και (2) του σχήματος.
Ως προς ποιό άξονα εφαρμόζεις τον νόμο της στροφικής κίνησης Γιάννη; 🙂
Διονύσηδες θεωρώ ότι συζητάμε αν ορίζεται και που η “ισοδύναμη ροπή αδράνειας”.
Αρχικά έδωσα αναφορές που την περιέχουν.
Μετά έδωσα ορισμό, επιτυχημένο ή προς διόρθωσιν.
Κατόπιν υπολόγισα δύο ισοδύναμες (τρεις τελικά) ροπές αδράνειας.
Ας προσθέσω ότι παρουσίασα τυπικά τον υπολογισμό. Για να διαβάσουν όλοι οι φίλοι, ανεξάρτητα με το πόσο έχουν ασχοληθεί.
Φυσικά όταν λύνω μόνος μου προβλήματα συναφή δεν κάνω όλη αυτή τη βαβούρα.
Καλησπέρα σε όλους. Έχοντας παρακολουθήσει τις συζητήσεις των τελευταίων ημερών, θα τοποθετηθώ με πολύ απλές σκέψεις. Το γεγονός ότι η παράσταση που αποκαλούμε ισοδύναμη ροπή αδράνειας δουλεύει κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, την κάνει ελκυστική στην απλοποίηση κάποιων υπολογισμών, ή κατασκευών ασκήσεων. Ίσως εδώ οι μηχανικοί, που ενδιαφέρονται για τεχνικές εφαρμογές, να αδιαφορούν για την θεωρητική θεμελίωση κάποιου μεγέθους, με την έννοια ότι “αφού μας κάνει τη δουλειά” προχωράμε. Όμως, για να δανειστώ μια φράση του Γιάννη, έστω και ένα αντιπαράδειγμα να βρούμε στο οποίο δεν δουλεύει το όλο πράγμα, αρκεί για την απόρριψή του. Και μπορούμε να βρούμε τέτοιο. Κατά συνέπεια πιστεύω ότι δεν μπορούμε να ορίσουμε ένα μέγεθος, το οποίο να λειτουργεί περιπτωσιολογικά, πόσο μάλλον δε να το εισάγουμε στη διδασκαλία μας.
Δεν εφαρμόζω 2ο νόμο ως προς άξονα.
Η ισοδύναμη ροπή αδράνειας δεν αναφέρεται σε άξονες.
Δεν σχετίζεται με την στροφορμή.
Θα μπορούσε τα γρανάζια σου να ήταν μεν κατακόρυφα αλλά κάθετα μεταξύ τους. Η στροφορμή του συστήματος θα ήταν εντελώς διαφορετική.
Όμως τα ίδια ακριβώς θα έκανα και τότε.
Η μεγάλη κυρία αδιαφορεί για τους άξονες και τις στροφορμές.
Αποστόλη αποκλείεται να βρεις παράδειγμα στο οποίο:
Ιδού η Ρόδος Αποστόλη.
Αν υπήρχε αντιπαράδειγμα θα το είχαν βρει και τα βιβλία μηχανικών δεν θα είχαν ασκήσεις του τύπου:
Θα ήταν εντυπωσιακό το να βρούμε αντιπαράδειγμα και να αχρηστεύσουμε τέτοια βιβλία ή έστω μέρος τους.
Για το τελευταίο ερώτημα:
Αν όμως έχουν να μας δώσουν και ΕΝΑ παράδειγμα άλλου φυσικού μεγέθους που ορίζεται κατά περίπτωση και όχι ενιαία, τότε θα δικαιούνται να ορίσουν (και εδώ κατά περίπτωση) την «ισοδύναμη ροπή αδράνειας» και στην περίπτωση αυτή, μπορούν να την ορίσουν για τα συστήματα (1) και (2) του σχήματος.
υπήρξε σχόλιο από τον Κωνσταντίνο.
Μίλησε για την “ανηγμένη μάζα”.
Θα πρόσθετα την ενεργό μάζα ελατηρίου.
Σε συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας άνετα μπορούμε να ορίσουμε “ισοδύναμη μάζα” Για παράδειγμα:
Πέρα από τις δικές μου σαχλαμάρες δεν ξέρω αν έχει γίνει τέτοιος ορισμός ή χρήση.
Ίσως η μικρή του χρησιμότητα να καθιστά άχρηστο τέτοιον ορισμό.
Δεν θα εντυπωσιαζόμουν πάντως αν τον έβλεπα.
Αποστόλη καλησπέρα.
Πρόσεξε σε παρακαλώ.
Συζητάμε για ένα σύστημα και αν ισχύει η σχέση Στεξ=Ισυστ αγων και ο Γιάννης τελικά κατέληξε στο ότι:
Αποστόλη αποκλείεται να βρεις παράδειγμα στο οποίο:
Ιδού η Ρόδος Αποστόλη.
Βρήκε ένα σύστημα και ξέχασε τόσα χρόνια που επιχειρηματολογούσε σε κάθε περίπτωση ότι:
Τώρα βρήκαμε ένα ειδικό σύστημα να ισχύει, οπότε και πάλι ωραίοι είμαστε!!!
Άρα η ανηγμένη μάζα και η ενεργός μάζα του ελατηρίου είναι τα αντίστοιχα φυσικά μεγέθη Γιάννη; Ωραία και τότε γιατί δεν προχωρείς στα δύο σχήματα που έδωσα στην κορυφή. Κάντο λοιπόν και υπολόγισε την ισοδύναμη ροπή αδράνειας..
Εγώ όμως θα σου δώσω και άλλο ισοδύναμο αμέσως τώρα.
Και θα είναι η ισοδύναμη μάζα…
Ισοδύναμη μάζα.
Το σύστημα του σχήματος κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο το σώμα Α δεν εμφανίζει τριβές, ενώ το Β εμφανίζει τριβή με σ.τ.ο. μ.
Αν το Α σώμα έχει διπλάσια επιτάχυνση από το Β να βρεθεί η επιτάχυνσή του. Δίνονται οι μάζες, η δύναμη F και το g.
Λύση:
Ο αριθμητής είναι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων, στον παρονομαστή τι έχουμε; Έχουμε την «ισοδύναμη μάζα» του σώματος Α!!!
Τι εννοώ «ισοδύναμη»; Ότι αν θεωρήσουμε ότι όλες οι εξωτερικές δυνάμεις ασκούνται στο Α σώμα και αυτό δεν είχε μάζα m1 αλλά ισοδύναμα μάζα m1+ ½ m2, τότε θα αποκτούσε αυτήν την επιτάχυνση που υπολογίζουμε από την εξίσωση (1).
Αν αυτά είναι «λογικά», θα ήθελα να επισημανθεί τι διαφορά έχει η παραπάνω θεώρηση, από την λύση του προβλήματος του 2009 ή του σχήματος (1) παραπάνω, με χρήση της ισοδύναμης ροπής αδράνειας.
Για μένα συνάδελφοι αυτό είναι το νόημα της της πρότασης του Τιμοσένκο που αναφέρθηκε παραπάνω…
Δεν υπάρχει κανένα θεώρημα από πίσω. Μια μεταφορά και ερμηνεία, ένα μερικό συμπέρασμα για παραπέρα χρήση σε μια σειρά εφαρμογών είναι και τίποτα περισσότερο.
Αυτή είναι η θέση μου, αλλά παρόλα αυτά έβαλα το θέμα στο φόρουμ και προκάλεσα να φέρουν τον ορισμό. Δεν είδα κανέναν ορισμό, πέρα από μια προσπάθεια αλλαγής γηπέδου.
Πετάμε την μπάλα στην εξέδρα, ορίζουμε ένα ορισμένο πλαίσιο αναφοράς, ξεχνάμε γενικά το σύστημα σωμάτων και πάλι επιβεβαιωνόμαστε ότι δίκιο έχουμε…
Μια φράση σε ένα ξενόγλωσσο βιβλίο, ήρθε να αναιρέσει την θέση ότι αυτή η εξίσωση δεν είναι ο 2ος νόμος του Νεύτωνα που επιλύει την στροφική κίνηση ενός συστήματος…
Βέβαια εσύ Γιάννη, δεν θέλεις ο μαθητής να γράψει την παραπάνω λύση που έδωσα!
Δεν είναι σύντομη, δεν είναι έξυπνη, είναι μια πολύ μπανάλ λύση.
Η σωστή για σένα λύση που δικαιούται ο μαθητής να δώσει σε εξετάσεις είναι:
Ξέρουμε ότι η επιτάχυνση του σώματος Α, δίνεται από το 2ο νόμο του Νεύτωνα και είναι ίση με
Όπου m1 + ½ m2 η ισοδύναμη μάζα του συστήματος και με αντικατάσταση….
Αλλά δεν μπορώ να μην θέσω ένα τελευταίο ερώτημα.
Τι ακριβώς λέει ο 2ος νόμος του Νεύτωνα;
Τι συνδέει ακριβώς;
Η εξίσωση
Είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για το σώμα Α;
Η εξίσωση
Είναι ο 2ος νόμος του Νεύτωνα για το σύστημα του σχήματος (1);
Ποιο ακριβώς νόμο επικαλούμαστε όταν πάμε να τον εφαρμόσουμε;
Διονύση θα απαντήσω στα άλλα αργότερα μια και φεύγω.
Δεν είδες κανένα ορισμό;
Έγραψα:
Έστω ένα σύστημα σωμάτων που έχει ένα βαθμό ελευθερίας και περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα σώμα Σ στρεφόμενο περί ακλόνητο άξονα.
Ονομάζουμε “ισοδύναμη ροπή αρδάνειας του συστήματος αναφορικά προς το Σ το πηλίκο 2K/ω^2. Όπου Κ η συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος και ω η γωνιακή ταχύτητα του Σ.
Είπα ότι μπορεί να έχει ατέλειες και ας διορθωθούν.
Δεν πετώ τη μπάλα στην εξέδρα.
Κάποιες έννοιες έχουν στενό πεδίο ορισμού. Λ.χ. η ανηγμένη μάζα ορίζεται στην περίπτωση μόνο δυο σωμάτων συνδεδεμένων με ελατήρια.
Δεν ορίζεται στην περίπτωση κατά την οποία δυο μπάλες συγκρούονται.
Δεν είπα ότι αναιρείται ο 2ος νόμος του Νεύτωνα. Απόδειξα μια σχέση η οποία υπολογίζει μια γωνιακή επιτάχυνση.
Έχω όμως την αίσθηση ότι εσύ πετάς τη μπάλα στην εξέδρα.
Σου απάντησα σε όλα όσα ζήτησες:
Οι απαντήσεις μου μπορεί να σου αρέσουν, μπορεί όχι. Όμως μπάλες σε εξέδρα δεν πετάω.
Αντί απάντησης μου πετάς ερώτηση με μαθητή και Εξετάσεις!!
Επιστρέφοντας θα σου απαντήσω σε ότι θέλεις. Μάλλον ρωτάς για τα πράσινα σώματα.
Γιάννη επιτέλους μην φτιάχνεις εικονικό σύστημα στο οποίο να ισχύει μια τελική εξίσωση…
Μην κάνεις ότι δεν καταλαβαίνεις σε τι αναφέρομαι..
Δεν αναφέρθηκα σε αυτό ή εκείνο το σύστημα σωμάτων.
Αναφέρθηκα σε κάθε σύστημα σωμάτων.
Ελπίζω να υπάρχουν συνάδελφοι που να μας διαβάζουν, απλά…
Περιμένω.
Διονύση εσύ κάνεις ότι δεν καταλαβαίνεις.
Δεν όρισα εγώ την ισοδύναμη ροπή αδράνειας. Άλλοι το έκαναν.
Προφανώς αναφέρεται σε ορισμένα μόνο συστήματα.
Η σχέση που φαίνεται στην φωτοτυπία στην πρώτη σελίδα των σχολίων.