by 
Σε μια ευαίσθητη ζυγαριά έχουμε ένα δοχείο με νερό και έναν άδειο σωλήνα. Ανοίγουμε τη βρύση που τα συνδέει.
Η ένδειξη της ζυγαριάς είναι:
- Μικρότερη από το βάρος δοχείων και νερού.
- Ίση με το βάρος δοχείων και νερού.
- Μεγαλύτερη από το βάρος δοχείων και νερού.
Καλημέρα σε όλους!
Μήπως το πρόβλημα που εξετάζουμε είναι παρόμοιο με αυτό του σχήματος;
Αναλυτικότερα: Στο κατώτερο μέρος του σύρματος υπάρχει κολλημένο ένα χαρτάκι, που εμποδίζει τις χάντρες να γλιστρήσουν. Σ’ αυτή την περίπτωση η ένδειξη του δυναμομέτρου είναι ίση με το βάρος των χαντρών και του σύρματος.
Αν κάψουμε το χαρτάκι, οι χάντρες θα γλιστρήσουν.
Η ένδειξη του δυναμομέτρου θα αυξηθεί, θα ελαττωθεί ή θα μείνει η ίδια;
Παρατήρηση:
Έχουμε στερεώσει το δυναμόμετρο ώστε να μη μπορεί να κινηθεί οριζόντια. Επίσης έχουμε κολλήσει το σύρμα στο κάτω άκρο του δυναμομέτρου ώστε ούτε το σύρμα να μπορεί να κινείται οριζόντια.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Ενώ φαινόταν ότι θα υπήρχε συμφωνία, ξαφνικά Γιάννη, «άλλος για Χίο τράβηξε πήγε και άλλος για Μυτιλήνη»…
Ας προσπαθήσουμε να βάλουμε τα πράγματα στη σειρά, ξεκινώντας από κάτι γνωστό.
Ένα σώμα Σ, ταλαντώνεται κατακόρυφα, πάνω σε μια ζυγαριά, η οποία έχει στερεωθεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Για την θέση του σχήματος, όπου η επιτάχυνση έχει κατεύθυνση προς τα κάτω, w>Ν, οπότε η ένδειξη της ζυγαριάς είναι μικρότερη του βάρους.
Σε αυτό αναφέρθηκα παραπάνω, όταν μίλησα για λύγισμα των ποδιών και μείωση της ένδειξης της ζυγαριάς.
Ερχόμαστε τώρα στο δοχείο με το νερό. Και εδώ κάποια (έστω μικρή) ποσότητα νερού του δοχείου επιταχύνεται προς τα κάτω, άρα η δύναμη που ασκεί στα αποκάτω στρώματα του νερού, είναι μικρότερη του βάρους της και αυτή μεταφέρεται στη βάση του δοχείου και από κει καθορίζεται και η ένδειξη της ζυγαριάς.
Άρα η ένδειξη της ζυγαριάς θα είναι μικρότερη του αθροίσματος βάρους δοχείου και βάρους νερού.
Πού κάνουμε λάθος;
Θεωρούμε ότι όταν αποκατασταθεί μόνιμη ροή, το νερό παύει να επιταχύνεται.
Αυτό δεν είναι σωστό. Μόνιμη ροή σημαίνει ότι η ταχύτητα στο σημείο Α της ρευματικής γραμμής είναι σταθερή και ανεξάρτητη του χρόνου. Το ίδιο και για την ταχύτητα στο σημείο Β.
Αλλά όταν ένα σωματίδιο ρευστού μετακινείται από το Α στο Β, η ταχύτητά του αυξάνεται και το σωματίδιο αυτό επιταχύνεται. Και το ίδιο επιταχύνονται ένα μεγάλο πλήθος σωματιδίων ρευστού και ας έχουμε μόνιμη ροή.
Και αυτά πώς συνδέονται με την φθίνουσα συνάρτηση της παροχής ή το πώς μεταβάλλεται η θέση του κέντρου μάζας;
Το κέντρο μάζας προφανώς κατέρχεται και η ταχύτητά του μειώνεται. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι το υγρό επιβραδύνεται! Απλά απομακρύνεται μάζα νερού, η οποία περνά στο σωλήνα οπότε η ποσότητα που παραμένει στο δοχείο, έχει χαμηλότερο κ.μ.
Δηλαδή αυτό δεν επηρεάζει την ένδειξη της ζυγαριάς; Έχει αλλά όχι εξαιτίας κάποιας επιβράδυνσης.
Αν πάρουμε το δοχείο με μικρότερο ύψος νερού, προφανώς η ταχύτητα εκροής θα είναι μικρότερη και άρα μικρότερη ποσότητα νερού η οποία θα επιταχύνεται προς τα κάτω, αλλά και με μικρότερη επιτάχυνση κάθε σωματιδίου ρευστού, άρα μεγαλύτερη Ν και μεγαλύτερη ένδειξη στη ζυγαριά. Αλλά τι σημαίνει μεγαλύτερη; Ας δούμε την εικόνα:
Στο Α σχήμα, η στρόφιγγα είναι κλειστή, στο Β έχει αποκατασταθεί η μόνιμη ροή, ενώ στη συνέχεια δείχνει της εξέλιξη, καθώς ανεβαίνει το νερό στο σωλήνα.
Δηλαδή η ένδειξη της ζυγαριάς μπορεί να αυξάνεται, αλλά είναι πάντα μικρότερη από το άθροισμα των δύο βαρών. Προφανώς μόλις εξισωθούν τα δύο ύψη μηδενίζεται η ροή και η ένδειξη θα γίνει ξανά 100Ν.
Μη μας μαλώνεις Διονύση, γιατί ζοριστήκαμε με την “Ελπίδα”!
Καλημέρα Ανδρέα.
Δεν σας μάλωσα 🙂
Καλημέρα Διονύση και Ανδρέα.
Ανδρέα το πρόβλημα με τις χάντρες διαφέρει.
Διονύση όταν έχεις ένα σύστημα (δοχεία-υγρό) δεν σε απασχολούν οι εσωτερικές δυνάμεις και οι μετακινήσεις των μελών του. Δεν σε ενδιαφέρει το αν μια μάζα νερού επιταχύνεται ακολουθώντας μια ρευματική γραμμή. Ούτε αν η ροή είναι τυρβώδης ή όχι.
Αν το κέντρο μαζας του συστήματος επιταχύνεται τότε N-wολ=mολ.αcm.
Αν λοιπόν το κέντρο μάζας έχει επιτάχυνση με φορά προς τα πάνω, τότε η Ν είναι μεγαλύτερη.
Το ελατήριο που παραθέτεις είναι κάπως διαφορετική περίπτωση μια και οι δύο χρόνοι είναι ίδιοι. Δηλαδή όσο χρόνο η επιτάχυνση είναι προς τα πάνω, άλλο τόσο είναι προς τα κάτω.
Στην περίπτωση αυτήν η επιτάχυσνη προς τα κάτω διαρκεί ελάχιστα. Η επιτάχυνση προς τα πάνω διαρκεί όσο διαρκεί η ροή.
Καταφεύγω στη μελέτη του κέντρου μάζας μια και οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των τμημάτων του υγρού είναι πολύπλοκες. Όταν μια μάζα υγρού επιταχύνεται δέχεται δύναμη από άλλη μάζα κ.λ.π. Με το κέντρο μάζας όλα είναι απλά. Κατεβαίνει σίγουρα κάθε στιγμή και με ταχύτητα μειούμενη. ταχύτητα που μπορείς να υπολογίσεις.
Ενδεικτικά Διονύση:
Καλημέρα Γιάννη.
Βλέπω να μην σου προκάλεσε κανέναν αναστοχασμό η πρωινή μου τοποθέτηση…
Μια φράση μόνο.
Η θέση του κέντρου μάζας χαμηλώνει, απλά επειδή λιγοστεύει το νερό στο δοχείο και όχι επειδή η συνισταμένη δύναμη του επιβάλλει μια συγκεκριμένη μετατόπιση στο χώρο. Δεν εκτελεί καμιά επιβραδυνόμενη κίνηση οφειλόμενη στις δυνάμεις.
Αν με ένα κουβά αφαιρούσα από την επιφάνεια 10 λίτρα νερό, θα κατέβαινε το κέντρο μάζας για το υπόλοιπο νερό.
Δεν μας αφορά Γιάννη η ταχύτητα της επιφάνειας!
Επιφάνεια είναι…
Λιγοστεύει η μάζα του νερού και κατεβαίνει η επιφάνεια.
Θέλεις λόγω παροχής, την κίνηση της επιφάνειας να την αντιμετωπίσουμε με όρους “κινηματικής υλικού σημείου”, να το κάνουμε, για λόγους ευκολίας ή διδακτικούς, αλλά πρέπει να βλέπουμε το ποιος και πότε επιταχύνεται ή επιβραδύνεται, από δυνάμεις. Και αυτό το κάτι, δεν είναι η επιφάνεια.
Ας αφήσω την ταχύτητα της επιφάνειας. Ας αφήσω κάθε σχέση, τύπο, υπολογισμό.
Μια εικόνα:
Στην αριστερή εικόνα το κέντρο μάζας κατεβαίνει με κάποια ταχύτητα.
Δεν μπορεί να μην καταβαίνει, διότι μειώνεται η δυναμική ενεργεια.
Στην δεξιά εικόνα (ίδια ύψη) έχει σταματήσει η ροή και η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι μηδέν.
Αυτό δεν σημαίνει επιβράδυνση του κέντρου μάζας;
Οχι δεν την αντιμετωπίζω με όρους κινηματικής υλικού σημείου.
Ακριβώς το αντίθετο κάνω. Την αντιμετωπίζω με όρους δυναμικής συστήματος.
Στην αρχή το κέντρο μάζας κινείται προς τα κάτω.
Στο τέλος δεν κινείται.
Το κέντρο μαζας επιβραδύνεται.
Δεν με απασχολούν οι επί μέρους κινήσεις των μελών του συστήματος καθόλου.
Δεν σου ζητώ να υπολογίσεις την ταχύτητα του κέντρου μάζας.
Αριστερά είναι κάποια και είναι προς τα κάτω.
Δεξιά είναι μηδέν.
Επιβράδυνση κέντρου μάζας.
Είναι πολύ απλό.
Γιάννη, σκέφτομαι αντί να επαναλαμβάνουμε τα ίδια επιχειρήματα, ας δούμε μια άλλη οπτική γωνία.
Έστω τα δύο ίδια δοχεία του σχήματος, όπου το πρώτο κλείνεται με στρόφιγγα και στο 2ο έχει αποκατασταθεί μόνιμη ροή.
Ποια η τιμή της πίεσης στα σημεία 1, 2 και 3 του πρώτου δοχείου;
Είναι η ίδια πίεση και στα αντίστοιχα σημεία του δεύτερου δοχείου;
Αν πολλαπλασιάσουμε την πίεση στον πυθμένα, επί το εμβαδόν του πυθμένα, για το πρώτο δοχείο, τι θα βρούμε;
Αυτό το γινόμενο θα έχει την ίδια τιμή και στο δοχείο του 2ου σχήματος; Έχει μεγαλύτερη τιμή ή μικρότερη;
Βάλε αριστερά όποια ταχύτητα θέλεις για το κέντρο μάζας. Βάλε ταχύτητα 0,5 cm/s.
Βάλε συνολική μάζα 100 kg. Η ορμή είναι 0,5 kg.m/s.
Δεξιά είναι μηδέν η ορμή. Έτσι η μέση τιμή της Ν είναι:
Νμ=1000Ν+0,5/Δt
Όπου Δt ο χρόνος που μεσολάβησε από την αριστερή εικόνα ως τη δεξιά.
Η μέση Ν είναι μεγαλύτερη από το βάρος κατά μια ποσότητα που μόνο εξαιρετικά ευαίσθητη ζυγαριά θα πιάσει.