by 
Το επίπεδο είναι λείο και οριζόντιο. Το μπαλάκι είναι δεμένο με ιδανικό νήμα το οποίο έχει περάσει από τρύπα του επιπέδου.
Έχει μάζα 0,1 kg.
Το οριζόντιο τμήμα έχει αρχικά μήκος 2 m και το μπαλάκι ταχύτητα 1 m/s, κάθετη στο νήμα.
Κάποια χρονική στιγμή που την εκλαμβάνουμε ως στιγμή μηδέν αρχίζουμε να τραβάμε το νήμα με σταθερή ταχύτητα 0,5 m/s.
Να υπολογιστεί η ταχύτητα του μπαλακιού συναρτήσει του χρόνου, η τάση του νήματος συναρτήσει του χρόνου και το έργο της από την στιγμή μηδέν ως την στιγμή 2 s.
Nαι σωστα αλλα ποση ειναι η F? O μηχανισμος διατηρει σταθερη την ταχυτητα αλλα ποση δυναμη ασκει?
Αν η ταχύτητα είναι σταθερή, δες το προηγούμενο σχόλιό μου Κωνσταντίνε. Γράφαμε μαζί.
Επιβεβαίωση:
Βλέπουμε ότι η επιτάχυνση δίνεται από τη σχέση:
α=4/(2-0,5.t)^3
Μια προσομοίωση με νήμα μη εκτατό:
Γιάννη τα ip δυστυχώς δεν με βοηθούν να καταλάβω. Είναι σαν να βλέπω το αποτέλεσμα της επίλυσης ενός ολοκληρώματος από το mathematica, το εμπιστέυομαι αλλά δεν το κατανοώ πάντα.
Η επιτάχυνση που υπολογίζεις είναι η κεντρομόλος και οφείλεται στην τάση, άρα στην F. Ποια δύναμη δημιουργεί την επιτρόχιο επιτάχυνση που απαιτείται για την αλλαγή της τροχιάς;
Τελικα Συμφωνω Γιάννη.Και τα μαθηματικα αυτο λενε.Κοιταξα και λιγο την ακτινικη επιταχυνση σε πολικες συντεταγμενες, (ρ.θ):
https://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_force#Polar_coordinates
(τριτη εξισωση απο το τελος της παραγραφου Polar coordinates.) και αφου η δευτερη παραγωγος του ρ ειναι μηδεν διοτι δινεις σταθερη ακτινικη ταχυτητα,αναγκαστικα η συνιστωσα της επιταχυνσης kατα μηκος του μοναδιαιου ρ ειναι u τετραγωνο προς ρ. αρα η ταση ειναι m επι u τετραγωνο προς ρ.Καμια φορα ενας απλος συλλογισμος ξεγελαει και χρειαζεται φορμαλισμος. Δεν ειχα σκεφτει τον στρεφομενο παρατηρητη και την φυγοκεντρο.Τελικα η εξισωση που σου ειπα οτι ειναι λαθος δεν ειναι προσεγγιστικη,ισχυει ακομα και αν η ακτινικη ταχυτητα ειναι πολυ μεγαλη!
Συμφωνώ Κωνσταντίνε.
Στάθη δεν είναι κεντρομόλος διότι δεν είναι κάθετη στην ταχύτητα.
Βλέπεις στις εικόνες-στιγμιότυπα ότι η τάση του νήματος σχηματίζει γωνία οξεία με την ταχύτητα. Το έργο της είναι θετικό και το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται.
Υπολογίζεται από τύπο ανάλογο αυτού της κεντρομόλου (m.u^2/(ΟΣ)) με την λογική που ανέφερα, αυτήν της φυγοκέντρου.
Η δύναμη αυτή αναλύεται κάθετα στην ταχύτητα υ (όχι την u) και δίνει την κεντρομόλο. Ανα λυόμενη κατα την διεύθυνση της υ δίνει την επιτρόχιο.
Η φράση μου “Η τάση του νήματος είναι η κεντρομόλος” δεν είναι εύστοχη ούτε ακριβής. Ουσιαστικά εξουδετερώνει την φυγόκεντρο δύναμη.
Η τάση του νήματος αναλύεται σε κεντρομόλο και επιτρόχιο.
Γιαννη εξ ορισμου η κεντρομολος δυναμη κατευθυνεται παντα προς το στιγμιαιο κεντρο καμπυλοτητας της τροχιας,το οποιο στην περιπτωση μας δεν ειναι το Ο. Αρα η ταση του νηματος σιγουρα δεν ειναι κεντρομολος.
Ναι δεν είναι στιγμιαίο κέντρο η τρύπα.
Απλά η τάση υπολογ΄’ιζεται ως εάν η u είναι η ταχύτητα και η ΟΣ η ακτίνα (φυγόκεντρος).
Ναι σωστο.Αρχικα νομισα οτι αυτος ο υπολογισμος της τασης ειναι λαθος. Δεν ειναι ομως καθολου προφανης.Κατα την γνωμη μου ειναι σημαντικο σημειο του προβληματος. Επισης νομιζω οτι εχει ενδιαφερον το πως μπορουμε να εκμεταλευτουμε την ορθογωνιοτητα των δυο ταχυτητων u και V για να υπολογισουμε το εργο της τασης εφαρμοζοντας το θεωρημα μεταβολης κινητικης ενεργειας χωρις να λαβουμε υπ οψιν την ακτινικη ταχυτητα η οποια παραμενει σταθερη.Το ειχα γραψει σε προηγουμενο σχολιο μου.Ωραιο παντως το πως προκυπτουν θεματα που ξεκαθαριζονται με τις συζητησεις.
Καλησπέρα παιδιά.
Στάθη μια απάντηση στο ερώτημά σου, πολύ καλά δοσμένη είναι, νομίζω αυτή
Καλημέρα παιδιά και καλή Κυριακή.
Βλέπω η συζήτηση να προχώρησε χθες βράδυ και αναδείχθηκε και το σωστό.
Νομίζω ότι η διατύπωση του Γιάννη για «μηχανισμό» οδηγεί σε μη αμφισβητήσιμη απάντηση.
Ο μηχανισμός είναι εκεί για να ασκήσει, όχι μια συγκεκριμένη δύναμη, αλλά αυτή που χρειάζεται.
Αλλά ας μου επιτρέψετε δύο σχήματα και ένα επιπλέον σχόλιο. Έστω ότι έχουμε μια καμπύλη τροχιά και ένα υλικό σημείο, το οποίο κινείται, δεχόμενο και δύναμη F, όπως στο πάνω σχήμα. Δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία ότι η δύναμη αυτή μεταβάλλει τόσο το μέτρο της ταχύτητας όσο και την διεύθυνσή της.
Και από κει και πέρα, πάμε να ορίσουμε άξονες και να γράψουμε εξισώσεις.
Στο (α) σχήμα ο άξονας x έχει την διεύθυνση της ταχύτητας και ο y, ο κάθετος. Τι κάνουμε και τι λέμε; Αναλύουμε την δύναμη, οπότε η συνιστώσα Fε προκαλεί την επιτρόχια επιτάχυνση, αλλάζοντας το μέτρο της ταχύτητας και η Fy=Fκ την ονομάζουμε κεντρομόλο και μεταβάλει την διεύθυνση της ταχύτητας.
Στο (β) σχήμα κάποιος πήρε αλλιώς τους άξονες, ώστε ο x να έχει την διεύθυνση της δύναμης. Προφανώς έχει αυτό το δικαίωμα!!! Τι θα πει;
Ότι η δύναμη αυτή θα δώσει μια επιτάχυνση στην διεύθυνση x, η οποία θα παίξει δύο ρόλους. Από την μια θα αυξήσει το μέτρο της συνιστώσας ταχύτητας υx και από την άλλη θα μεταβάλλει την διεύθυνση της ταχύτητα υy λειτουργώντας ως κεντρομόλος. Υπάρχει κάποια αντίρρηση για την (β) περίπτωση; Δεν νομίζω ότι δεν έχει κάποιος δικαίωμα να δώσει αυτήν την οπτική γωνία και να προβεί σε αυτήν την θεώρηση.
Και αν τώρα θέλουμε η συνιστώσα ταχύτητας υx να παραμείνει σταθερή, η δύναμη τι θα κάνει; Θα μεταβάλλει μόνο την κατεύθυνση της ταχύτητας υy, λειτουργώντας ως «κεντρομόλος» και θα ισχύει F=mυy2/R. Αυτή η θεώρηση του (β) σχήματος, είναι αυτή που χρησιμοποίησε παραπάνω ο Γιάννης. Και επειδή είναι μηχανισμός που κινεί το άκρο του νήματος η δύναμη F, είναι τόση, όση απαιτείται για να στρίψει η υy!
Να προσθέσω κάτι ακόμη. Ας δούμε το παρακάτω σχήμα.
Στο (α) σχήμα, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ένα σώμα διαγράφει οριζόντιο κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ. Για την θέση του σχήματος, πόση δύναμη δέχεται μέσω του νήματος; Προφανώς η τάση είναι Τ=Fκ=mυ2/R, όπου R η ακτίνα του κύκλου.
Στο (β) σχήμα το ίδιο σώμα βρίσκεται στην καρότσα ενός φορτηγού, το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα V. Για την θέση του σχήματος, πόση δύναμη δέχεται το σώμα, μέσω του νήματος;
Ίση με την προηγούμενη, μεγαλύτερη ή μικρότερη;