by 
Δύο μικρές σφαίρες Α και Β, οι οποίες θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέας ακτίνας, με μάζες m1=0,4kg και m2=0,2kg αντίστοιχα, είναι δεμένες στα άκρα ιδανικού ελατηρίου με φυσικό μήκος 1,8m και σταθερά k=20N/m. Το σύστημα αυτό αφήνεται να κινηθεί στο εσωτερικό ενός λείου κατακόρυφο ημισφαιρίου κέντρου Ο και ακτίνας R=2m. Η κίνηση γίνεται σε κατακόρυφο επίπεδο, όπως στο διπλανό σχήμα, το οποίο ταυτίζεται με το επίπεδο της σελίδας. Σε μια στιγμή οι σφαίρες βρίσκονται στις θέσεις του σχήματος, όπου η Α βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς της, ενώ η ακτίνα ΟΒ σχηματίζει γωνία θ=60° με την κατακόρυφο, έχοντας ταχύτητες υ1=4m/s και υ2=3m/s αντίστοιχα. Για την στιγμή αυτή:
- Να υπολογιστεί η στροφορμή του συστήματος των δύο σφαιρών ως προς άξονα z, κάθετο στο επίπεδο της κίνησης, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο Ο του ημισφαιρίου.
- Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα z;
- Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της Α σφαίρας.
- **Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου;
Δίνεται g=10m/s2.
ή
Καλημέρα Διονύση. Ένα εξαιρετικό θέμα, που δείχνει ότι όταν κόβουν σε πλάτος η Φυσική αυξάνει σε βάθος και δημιουργεί νέα θέματα. Και δεν είναι σίγουρο ότι είναι απλώς αντιστρόφως ανάλογα το πλάτος με το βάθος εν προκειμένου.
Η εισαγωγική θεωρία βοηθάει πολύ την πληρότητα του θέματος, αφού έχεις μέχρι και το εξωτερικό γινόμενο – που αναφέρεται στις οδηγίες ως προαιρετικό.
Ο μαθητής νομίζω ότι δε θα χρειαστεί να αποδείξει κάτι, αλλά θα ξεκινήσει με έτοιμο το 2ο Νόμο για σύστημα υλικών σημείων. dLσυστ/dt = Στεξ
Στο σύστημα δεν ανήκει και το ελατήριο; Τι εννοείς όταν γράφεις “Αν το σύστημά μας ήταν οι δύο σφαίρες και το ελατήριο,…”
Το iv ερώτημα είναι πολύ κατατοπιστικό τι συμβαίνει με την ενέργεια που αποθηκεύεται στο ελατήριο εκείνη τη στιγμή και μόνο μέσα από την ενεργειακή μελέτη του συστήματος μπορεί να υπολογιστεί ο ζητούμενος ρυθμός. Θεωρώ ότι πρέπει οπωσδήποτε να γίνει στους υποψήφιους.
Να είσαι καλά!
Εξαιρετικά ενδιαφέρον θέμα! Υπέροχη ιδέα! Καλημέρα και πάντα τέτοια Διονύση!
Καλησπέρα Ανδρέα, καλησπέρα Γιώργο, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ανδρέα ρωτάς:
“Στο σύστημα δεν ανήκει και το ελατήριο; Τι εννοείς όταν γράφεις “Αν το σύστημά μας ήταν οι δύο σφαίρες και το ελατήριο,…”
Έχω γράψει λίγο πιο πάνω:
“Να υπολογιστεί η στροφορμή του συστήματος των δύο σφαιρών ως προς άξονα z..”, έχω δηλαδή ορίσει πιο είναι το σύστημα. Δεν όρισα ως σύστημα τα δυο σώματα και το ελατήριο, για να αποφύγω να εξηγήσω πόση είναι και γιατί η στροφορμή του ελατηρίου…
Διονύση καλησπέρα
Εξαιρετικό θέμα που απαιτεί πολύ λεπτοδουλεια και προσοχή. Αποκορύφωμα το τελευταίο ερώτημα που όπως λες είναι δύσκολο αλλά έχει φυσική.
Καλημερα Διονυση,Πολυ ωραια ασκηση και πρωτοτυπη.
Μια αλλη διατυπωση για το ερωτημα iv) μονο για θετικη θα ηθελα να γραψω.
Η δυναμικη ενεργεια του ελατηριου ειναι U=(kx^2)/2 αρα dU/dt=kxdx/dt οπου dx/dt ειναι η διαφορα των μετρων των συνιστωσων των δυο ταχυτητων πανω στον αξονα του ελατηριου.
Αρα dU/dt=20(2-1,8)συν30=4συν30J/s
Καλημέρα Διονύση. Εξαιρετική!!! Επίσης μου άρεσε και το ρηθέν του Ανδρέα:”όταν κόβουν σε πλάτος, η Φυσική αυξάνει σε βάθος και δημιουργεί νέα θέματα. Και δεν είναι σίγουρο ότι είναι απλώς αντιστρόφως ανάλογα το πλάτος με το βάθος εν προκειμένω”!!!
Νομίζω ότι το πνεύμα και η λύση της υπέροχης άσκησής σου, είναι εντός πεδίου, και ..εκτός των διαθέσεων αυτού που επέλεξε την ύλη στο Στερεό. Να είσαι καλά.
Καλημέρα Διονύση. Ζωγράφισες!
Καλημέρα Διονύση
Αξιοποίησες το ημισφαίριο και σύνθεσες κάτι καινούργιο.
Σκεφτόμουνα αυτό που λες…”Το σύστημα αυτό αφήνεται να κινηθεί στο εσωτερικό…”
προσπαθώντας να “δω” την m1 να αποκτά ταχύτητα μεγαλύτερη της m2…
Φαντάστηκα πως με την ας πούμε ταλαντωτική κίνηση των σφαιρών αφήνοντας το σύστημα θα αποκτήσουν αυτές τις ταχύτητες ως προς τη σχέση τους και εννοείται
αφου ο “συνθέτης” τις δίνει, τις δέχομαι…
Καλή Κυριακή
Καλημέρα σε όλους και καλή Κυριακή.
Χρήστο, Κωνσταντίνε, Πρόδρομε, Αποστόλη και Παντελή σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και χαίρομαι που …εγκρίνεται 🙂
Κωνσταντίνε αυτό που λες αυτό ισχύει, απλά το εξέφρασα μέσω των δύο έργων.
Παντελή, το “αφήνεται να κινηθεί” δεν καθορίζει απολύτως τις αρχικές συνθήκες. Μπορεί ας πούμε, το ελατήριο αρχικά να μην έχει το φυσικό μήκος του!
Οπότε, ό,τι δώσει η εκφώνηση ως δεδομένο, αυτό …ισχύει!
Καλημέρα Διονύση. Το ιδανικό ελατήριο έχει στροφορμή; Δεν θεωρείται ότι έχει μηδενική μάζα;
Ευχαριστώ Διονύση.
Σύμφωνος
Καλημέρα.
Όμορφη ασκηση!
Από την άλλη σκέφτομαι ότι είπε ο Πρόδρομος.
Καλό μεσημέρι παιδιά. Γιάννη σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ανδρέα και βέβαια θα μπορούσε να ειπωθεί ότι το ιδανικό ελατήριο, αφού θεωρείται μηδενικής μάζας, θα έχει και μηδενική στροφορμή. Αλλά ήταν άλλος ο στόχος.
Αν προσέξεις την απάντηση, ξεκινώ με λίγη θεωρία για την στροφορμή υλικού σημείου, αλλά δεν προχωρώ σε στροφορμή συστήματος. Αυτήν ουσιαστικά διαπραγματεύεται η παραπάνω ανάρτηση.
Δεν ξεκινώ δηλαδή από την σχέση dL/dt=Στεξ για το σύστημα, αλλά προσπαθώ να την κάνω να εμφανιστεί, από τις αντίστοιχες εξισώσεις για ένα υλικό σημείο.
Και το να βάλω και το ελατήριο στο σύστημα, μου δημιουργούσε επιπρόσθετη «φασαρία» που θα χανόταν η ουσία της ανάρτησης…
Γιάννη, καταλαβαίνω ότι στη σκέψη των εισηγητών, ήταν ότι θα αναφερθεί λίγη θεωρία, χωρίς να χρειάζεται καμιά εμβάθυνση, άρα επί της ουσίας καμιά ουσιαστική προσέγγιση του θέματος της στροφορμής συστήματος υλικών σημείων.
Και σε ρωτάω. Τι ακριβώς θα διδάξει ένας συνάδελφος, όταν δεν μπορεί να δώσει ένα παράδειγμα συστήματος υλικών σημείων, στο οποίο να εμπλέκονται εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις και έτσι να αναδειχθεί το τι ακριβώς λέει η εξίσωση dL/dt=Στεξ για το σύστημα;
Απλή αναφορά…
Απλή αναφορά ναι.
Όμως οι περιορισμοί δρουν σαν πρόκληση και η εφευρετικότητα δεν έχει όρια.
Έτσι θέματα που δεν επιθυμούν θα στηθούν αναπόφευκτα.
Πολύ ωραίες πινελιές στον καμβά της Φυσικής!