by 
Μια μικρή λεία σφαίρα Σ1 μάζας m, κρέμεται από ακλόνητο σημείο Ο, μήκους l = 3,6m. Δεύτερη σφαίρα Σ2 ίδιας μάζας m, αφήνεται ελεύθερη να πέσει παράλληλα στο νήμα, έτσι ώστε οριακά να μην αγγίζει το νήμα και η τροχιά της να τη φέρει σε θέση να συγκρουστεί ελαστικά και πλάγια με την Σ1, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το διάστημα που διανύσει η σφαίρα Σ2 πριν την κρούση είναι h = 1,8m, ενώ ξέρουμε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10m/s2. Οι συνθήκες είναι τέτοιες που μετά την κρούση η κόκκινη μπάλα κινείται οριζόντια.
α) Μπορεί το σύστημα να θεωρηθεί μονωμένο κατά τη διάρκεια της κρούσης;
β) Αν η ταχύτητα της σφαίρας Σ2 αμέσως μετά την κρούση, σχηματίζει γωνία θ με τον ορίζοντα, με συνθ = 0,97, να υπολογίστε τα μέτρα |υ1΄| και |υ2΄|των ταχυτήτων των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση.
γ) Ποιο είναι το μέτρο της τάσης του νήματος αμέσως μετά την κρούση και ποιο το μέγιστο ύψος από την αρχική θέση που θα ανέλθει το κέντρο μάζας της σφαίρας Σ1;
δ) Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο u1΄ της ταχύτητας της σφαίρας Σ1 μετά την κρούση, ώστε μόλις που να εκτελέσει ανακύκλωση;
Καλημέρα σε όλους και καλό ΣΚ.
Για να έχουμε μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα, πάνω στο θέμα της ανάρτησης:
Μια παλιότερη άσκηση του Δημήτρη Αναγνώστου, η οποία προκάλεσε μια προέκταση από τον Γιάννη Κυριακόπουλο:
Παραλλαγή άσκησης του Δημήτρη Αναγνώστου.
Και με την ευκαιρία Γιάννη, βρήκα και τα αρχεία και διόρθωσα τους συνδέσμους…
Ευχαριστώ Διονύση.
Βέβαια η άσκηση αυτή και η ημετέρα παραλλαγή της θα συναντήσουν τις ίδιες ενστάσεις ως προς την ορθότητα της καθετότητας ταχύτητας-νήματος.
Καλημέρα Διονύση και Γιάννη. Δεν τις ήξερα τις συγκεκριμένες αναρτήσεις.
Διαβάζω στη λύση του Γιάννη: “Ο κρεμασμένος δίσκος θα κινηθεί με ταχύτητα κάθετη στο νήμα διότι ταχύτητα άλλης διεύθυνσης θα σήμαινε μεταβολή του μήκους του νήματος. ”
Διαβάζω στη λύση του Δημήτρη:
Τι άλλο να πούμε; Τι άλλη Φυσική να εφαρμόσουμε; Ένα απλό μοντέλο χρησιμοποιούμε.
Καλημέρα Ανδρέα.
Πιστεύω πως το μοντέλο στέκει. Ενστάσεις για τη συμπεριφορά των νημάτων υπήρξαν πολλές στο παρελθόν, όμοιες με την ένσταση του Κωνσταντίνου.
Γεια σου Ανδρέα, ωραία άσκηση. Θα ήθελα να εκφράσω έναν προβληματισμό. Αν προσπαθήσουμε να αντιμετωπίσουμε την άσκηση σου με το ίδιο σκεπτικό που ακολουθήθηκε στις ασκήσεις των συναδέλφων Αναγνώστου και Μουστάκα νομίζω πως καταλήγω σε διαφορετικά συμπεράσματα εκτός αν κάνω κάπου λάθος. Λόγω των ίδιων μαζών που έχουν τα σφαιρίδια δεν θα πρέπει η ταχύτητα που έχει το σφαιρίδιο Α μετά την κρούση στην κάθετο στην διεύθυνση της διάκεντρου να έχει ταχύτητα ίση με μηδέν σύμφωνα με την εξίσωση (5) στην μελέτη της άσκησης (3) του κυρίου Μουστάκα; Αν κινηθούμε με το ίδιο σκεπτικό στην άσκησή σου όπως φαίνεται στο σχήμα που έχω αναρτήσει η ταχύτητα του σφαιριδίου Α μετά την κρούση θα είναι όπως έχει σχεδιαστεί στο σχήμα. Μάλλον σε κάποιο σημείο κάνω κάποιο λάθος αλλά δεν μπορώ να βρω που είναι αυτό.
Γεια σου Αντρέα.
Επειδή έκανα μια πρόταση στην συγκεκριμένη συζήτηση, να πω την συνολική γνώμη μου χωρίς να θέλω να επαναπυροδοτήσω νέες τοποθετήσεις.
Το θέμα, κατά την γνώμη μου, είναι βασικά διδακτικό, όχι πραγματικής μελέτης της συμπεριφοράς οποιουδήποτε νήματος.
Αν ήταν ένα πραγματικό πρόβλημα ενός μηχανικού θα δοκίμαζε διάφορα υλικά για το νήμα θα μετρούσε την συμπεριφορά τους στην άσκηση δύναμης κατά την διεύθυνση τους και θα χρησιμοποιούσε την διάταξη με την καλλίτερη προσέγγιση στην ακρίβεια που απαιτείτο στην περίπτωση που τον απασχολεί. Ούτε ορισμούς ούτε μοντέλα ούτε θεωρητικούς προβληματισμούς.
Στην περίπτωση ενός φυσικού που θέλει να διαχειριστεί διδακτικά την συμπεριφορά ενός «Ιδανικού μη εκτατού νήματος» υπάρχουν οι δυνατότητες:
1. Στηριγμένοι στο μη εκτατό του νήματος –τονίζουμε ότι πρόκειται για ιδανικό μοντέλο- που αναφέρεται στο βιβλίο της Α’:
Λέμε απλά, στη μόνη διεύθυνση που μπορεί να κινηθεί είναι κάθετα προς αυτό, στην διεύθυνση x, οπότε διαγράφει κύκλο ακτίνας ίσο με το μήκος του νήματος.
2. Να προχωρήσει στο τι θα συνέβαινε στην περίπτωση που το μοντέλο μη εκτατού νήματος ήταν πραγματικότητα.
Αν σχεδιάσουμε την δύναμη που ασκεί στην κόκκινη σφαίρα η προσπίπτουσα κίτρινη, θα έχουμε αυτήν του σχήματος.
Η συνιστώσα της F, στην διεύθυνση x θα επιταχύνει τη σφαίρα.
Στην κατακόρυφη διεύθυνση το νήμα είναι εκεί, για να ασκεί την απαιτούμενη δύναμη, δηλαδή, κάθε στιγμή, τόση όσο το άθροισμα της κατακόρυφης συνιστώσας της F και του βάρους της σφαίρας, ώστε να εξασφαλίζεται το ΣF=0 για τη σφαίρα στην κατακόρυφο διεύθυνση αρχικά και το μέτρο της να αυξάνεται στη συνέχεια, μέχρι να ολοκληρωθεί η κρούση οπότε ΣF=mυ^2/R στο τέλος.
Εδώ τότε νομίζω θέλει να δοθεί: δίνεται ότι δεν έχουμε μεταφορική κίνηση των σφαιρών στην διάρκεια Δt της κρούσης. Διαφορετικά μπλέκουμε.
3. Αν το μη εκτατό του νήματος δεν είναι κυρίαρχος διδακτικός στόχος, όπως στην συγκεκριμένη άσκηση κατά την γνώμη μου, δίνουμε ότι το κρεμασμένο σώμα φεύγει κάθετα προς το νήμα και βοηθάμε το μαθητή να προχωρήσει.
Τι θα επιλέξει ο κάθε διδάσκων εξαρτάται από το τι θέλει να τονίσει.
Περί μοντέλων.
Πόσοι και πόσο τονίζουν ότι στην περίπτωση κύλισης χωρίς ολίσθηση το «δάπεδο» πρέπει να είναι αυτό που διεθνώς είναι γνωστό ως rigid body δηλαδή ένα υλικό απόλυτα ανελαστικό όπου οι αποστάσεις μεταξύ των δομικών του λίθων είναι σταθερές, στην ιδανική αυτή περίπτωση το αποτέλεσμα θα είναι ο τροχός θα κυλίεται επ’ άπειρον.
Έχουμε λύσει άπειρες ασκήσεις έκαστος για κύλιση χωρίς ολίσθηση. Κάθε πότε πόσο και πως τονίζουμε τα παραπάνω; Πόσοι κάνουμε και πόσο μνεία της τριβής κύλισης που είναι η μόνη που αφορά την πραγματικότητα;
Γεια σου και πάλι Ανδρέα νομίζω βρήκα το λάθος που έκανα με την βοήθεια του Ψυλάκου. Στην περίπτωση της ανάλυσης της ταχύτητας σε διεύθυνση κάθετη στην διάκεντρο θα έπρεπε να πάρω την οριζόντια συνιστώσα αυτής στην Α.Δ.Ο. στον άξονα x’x. κάτι που δεν έκανα!!!
Χαιρετώ. Η συζήτηση ειχε όντως αρκετο ενδιαφέρον. Αυτο που έγραψε ο Αρης στο τέλος το θεωρω αρκετα σημαντικο η διαρκεια των κρούσεων που συνηθως αντιμετωπίζουμε είναι εξαιρετικα μικρή , ακαριαια , και οι ωστικες δυναμεις επαφης προκαλουν απότομες μεταβολες στις ταχύτητες των δυο σωματων όχι ομως των θεσεων τους .
Παρακατω αντιμετωπιζω το προβλημα του Αντρεα με την Σ2 που κινειται αρχικα κατακορυφα να έχει ταχυτητα μετρου υο ( ειναι δηλαδη τα 6m/s του Αντρεα ) . Δεν θεωρω δεδομενο το συνθ που δινει ο Αντρεας διοτι θελω να το βρω . Καταληγουμε στα ιδια αποτελεσματα αν κανει καποιος αντικατασταση . Μαλιστα μετα το λυνω και με ΑΔΣτ ως προς το σημειο Ρ που είναι δεμενο το κατακορυφο νημα στη σφαιρα Σ1 . Στο τελος βρισκω και την ώθηση της τασης του νηματος .
Γιαννη εισαι ορθολογιστης.Ενα μεγαλο πληθος επαναληψεων των ιδιων επιχειρηματων ξανα και ξανα δεν ισχυροποιουν τους ισχυρισμους ουτε δινουν μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα
Η σφαιρα δεν δεσμευεται να διαγραψει τοξο,Ειναι ελευθερη να κινηθει στο εσωτερικο του κυκλου, Κανενας μεχρι τωρα δεν εχει αποδειξει οτι αυτο που λετε θα γινει.Κατα την γνωμη μου αυτο ειναι λαθος και παραβιαζει την αρχη διατηρησης της ενεργειας, Η αλληλεπιδραση του σφαιριδιου με το νημα ισοδυναμει με ελαστικη κρουση αν δεχθουμε οτι δεν παραγεται θερμοτητα.Και ενα σωμα που ηρεμει πανω σε λειο οριζοντιο επιπεδο σολιντ πατωμα,θεωρουμε οτι δεν δημιουργει βαθουλωμα το πατωμα δεν εχει ελαστικοτητα Η οπως ειπε και ο Αρης δεχομαστε τριβη κυλισεως μηδεν.Ομως δεχομαστε κρουσεις σωματων με το πατωμα,Αν ενα σωμα πεσει απο ψηλα,τοτε με την επιπολαια λογικη που ακουω περι μοντελων,αφου το πατωμα ειναι ακληρο,,αν το σωμα πεσει πλαγιως,τοτε θα συνεχισει παραλληλα με το πατωμα λογω κινηματικου συνδεσμου.Ξεχαστε τα γωνια προσπτωσεως ιση με γωνια ανακλασεως.Αν το σωμα πεσει κατακορυφα θα ακινητοποιηθει Τρελά πραγματα δηλαδη.Το ιδιο ειναι και με το νημα.Αν σηκωσω λιγο την μπαλιτσα με το χερι μου,τοτε αν την αφησω να πεσει,τοτε οταν θα τεντωσει το νημα,τοτε η μπαλιτσα θα ακινητοποιηθει αφου το νημα ειναι απολυτα μη εκτατο.Τι ετσι δεν δειχνει το ip? Mηπως ετσι παραβιαζεται η αρχη διατηρησης της ενεργειας? Τα μοντελα ειιναι για να τα χρησιμοποιουμε εκει που δουλευουν οχι παπαγαλία.
Ένα ερώτημα και από μένα, όχι μόνο στο Γιάννη, που είναι ορθολογιστής, αλλά σε όλους τους συμμετέχοντες στην παραπάνω συζήτηση.
Αφήνουμε μια μπάλα να πέσει πάνω στο σώμα Σ, του αριστερού σχήματος, το οποίο ηρεμεί σε πολύ σκληρό οριζόντιο επίπεδο, το οποίο δεν πρόκειται να υποχωρήσει.
Στο σώμα Σ ασκείται η δύναμη από το έδαφος Ν. Προφανώς το μέτρο της δύναμης Ν, στη διάρκεια της κρούσης θα αυξηθεί πολύ, αφού το σώμα Σ θα δεχτεί κρουστική μεταβλητή δύναμη F από την μπάλα.
Θα υπάρξει κάποια στιγμή που το έδαφος θα ασκήσει στο σώμα Σ, μεγαλύτερη δύναμη από το άθροισμα του βάρους και της δύναμης F;
Αν ναι, τότε μετά την ελαστική κρούση, το σώμα Σ θα κινηθεί προς τα πάνω.
Θα συμβεί αυτό ή απλά το έδαφος θα ασκεί κάθετη δύναμη με τόσο μέτρο, ώστε το σώμα Σ να ισορροπεί;
Και αν αντί για το σώμα Σ, είχαμε την σφαίρα Σ η οποία κρέμεται από νήμα με σταθερό μήκος, όπως στο δεύτερο σχήμα, την θέση της Ν, παίρνει η τάση του νήματος Τ.
Μπορεί κάποιος να μου βρει σε τι θα διαφέρει η συμπεριφορά της δύναμης αυτής, από την δύναμη Ν;
Bεβαιως και το σωμα Σ θα κινηθει προσ τα πανω,Ειναι το ιδιο σαν να εχεις τρεις διαδοχικες κρουσεις.Σαν να μην υπηρχε επαφη μεταξυ Σ και επιπεδου αλλα ενα μικρο κενο ωστε οι κρουσεις μπαλα με σωμα και σωμα με εδαφος να γινουν διαδοχικα,Αυτο συμβαινει στην πραγματικοτητα,Αν μπαλα και σωμα εχουν ισες μαζες τοτε θα ακολουθηση και δευτερη κρουση μεταξυ τους οποτε θα ξαναανταλαξουν ταχυτητες καθως το σωμα θα ανεβαινει, οποτε το σωμα θα μεινει στην θεση του.Αυτη ειναι η καθαρη αντιμετωπιση αυτων των περιπτωσεων και οχι οτι το εδαφος η το νημα δρα παθητικα και τετοια.
Σε τιποτα δεν διαφερει η ταση του νηματος απο την δυναμη Ν,αυτο προσπαθω να εξηγησω απο προχθες,Ειναι σαν κατω απο την σφαιρα που κρεμεται να ειχαμε τοιχο και τις κρουσεις τις παιρνουμε διαδοχικα.Ετσι πρεπει να λυθει η ασκηση και η σφαιρα που κρεμεται φευγει υπο γωνια και οχι οριζοντια.Βεβαια αν ειναι ζητημα δημοκρατιας τοτε φευγει οριζοντια διοτι ετσι λενε ολοι και μονο εγω εχω αλλη αποψη 🙂
Καλησπέρα παιδιά.
Διονύση δεν αναπηδά στην προσομοίωση:
Το σώμα Σ και η μπάλα έχουν ίσες μάζες, 2 κιλά.
Και τα τρία σώματα (και το πάτωμα) είναι ελαστικά.
Γεια σου Παυλο.Ο μονος τροπος να λυθει η ασκηση ειναι να θεωρησουμε οτι κατω απο το σφαιριδιο Β υπαρχει ελαστικος τοιχος ο οποιος κανει την ιδια δουλεια με το ελαστικο νημα.Ο τοιχος για να ειναι καθαρη η λυση πρεπει να θεωρησουμε οτι απεχει λιγο απο το Β ωστε οι κρουσεις να γινουν διαδοχικα.Ετσι μετα την πρωτη κρουση η ταχυτητα του Α θα ειναι εφαπτομενικη οπως λες αλλα το Β προφανως μετα την κρουση με τον ελαστικο τοιχο δεν θα φυγει οριζοντια αλλα υπο γωνια οπως το βελος που εχω στο σχημα οποτε θα ακολουθησει και δευτερη κρουση μεταξυ Α και Β η οποια θα αλλαξει την ταχυτητα του Α και φυσικα και την ταχυτητα του Β.