by 
ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Η θεωρητική και πειραματική μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η απομάκρυνση του ταλαντούμενου σώματος είναι της μορφής x=Aημ(ωδt+φ) , όπου ωδ η γωνιακή συχνότητα του διεγέρτη. Πρόκειται για τη λεγόμενη σταθερή κατάσταση του συστήματος που ακολουθεί τα αρχικά παροδικά φαινόμενα τα οποία παραβλέπουμε. Σε αυτή τη περίπτωση, εκτός της δύναμης επαναφοράς Fεπ =-D0x ενεργούν η δύναμη απόσβεσης Fαπ =-bυ και η δύναμη του διεγέρτη Fδ που η αλγεβρική τιμή της είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Στην παρακάτω θεωρητική περιγραφή της εξαναγκασμένης ταλάντωσης ακολουθούμε την αντίστροφη διαδικασία εκκινώντας από τη κινηματική προσέγγιση και συγκεκριμένα από την εξίσωση απομάκρυνσης – χρόνου. Ακολουθούμε δηλαδή και για την εξαναγκασμένη ταλάντωση την περιγραφή – μεθοδολογία της απλής αρμονικής ταλάντωσης του σχολικού βιβλίου .Η αναλυτική μαθηματική περιγραφή που ακολουθεί είναι οικεία στους υποψήφιους των Επιστημών υγείας .
Καλημέρα Γιώργο.
Γράφεις
Η δυναμική ενέργεια είναι συνάρτηση της ωδ; Αφού προέρχεται από τη δύναμη επαναφοράς δεν πρέπει να έχει ω0;
U = 1/2 k x^2 = 1/2 mω0^2 χ^2
Ας δούμε και μια προσομοίωση
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση
και μια εικόνα από την προσομοίωση που δείχνει την ενέργεια ταλάντωσης
Στην ανάρτηση
Η εξίσωση μιας παλινδρομικής κίνησης
η εξίσωση της ενέργειας ταλάντωσης είναι
και η γραφική παράσταση
Υπάρχει κάποιο λάθος;
Ας δούμε στιγμιότυπο από εξαναγκασμένη ταλάντωση:
Δεν έχουμε συντονισμό.
Τη στιγμή αυτήν η δύναμη του διεγέρτη είναι αντίθετη της ταχύτητας.
Αφαιρεί (μαζί με την αντίσταση) ενέργεια από τον ταλαντωτή.
Έτσι η ενέργεια του ταλαντωτή δεν μένει σταθερή.
Μεταβάλλεται με τον χρόνο:
Η παράσταση όμως 1/2m.ω^2.x^2 + 1/2m.υ^2 μένει σταθερή.
Καλό μεσημέρι Γιώργο.
Στην απάντησή σου εδώ, υποστηρίζεις ότι επειδή βρήκες ΣF=-Dx εξασφάλισες ότι η δύναμη είναι συντηρητική. Αυτό δεν είναι σωστό.
Αρκεί να δεις την εικόνα που ανέβασε ο Γιάννης παραπάνω:
Η συνισταμένη μπορεί να ικανοποιεί την μαθηματική σχέση ΣF=-Dx, αλλά είναι η τριβή ολίσθησης!!! Θα ορίσουμε δυναμική ενέργεια που θα την αποδόσουμε στην τριβή ολίσθησης;
Η σχέση ΣF=-Dx οδηγεί στα γνωστά περί δυναμικής ενέργειας, αν προηγούμενα εξασφαλίσουμε ότι η δύναμη είναι ανεξάρτητη του χρόνου και χωροεξαρτώμενη.
Όλα αυτά δεν τα “λέει” η εξίσωση… Δεν τα δίνει καμιά εξίσωση…
Δεν είναι δυνατόν να δίνω στον μαθητή το σχήμα εδώ:
στο οποίο να λέμε στο μαθητή και για δυναμική ενέργεια ελατηρίου 1/2 Κx^2 και για μια άλλη διαφορετική δυναμική ενέργεια που στη σχέση 1/2 Dx^2 αυτό το D να μην είναι η σταθερά του ελατηρίου Κ, αλλά κάποια άλλη που καθορίζεται από τον διεγέρτη…
Τέτοια δυναμική ενέργεια που δεν ανήκει και δεν καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά του ταλαντούμενου συστήματος, αλλά από κάποιο εξωτερικό (ως προς το σύστημα) αίτιο, απλά δεν υπάρχει… Η δυναμική ενέργεια είναι ενέργεια του συστήματος που ταλαντώνεται και ο διεγέρτης ασκεί εξωτερική δύναμη, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος είναι έξω από το σύστημα. Μπορεί ο διεγέρτης να καθορίσει την περίοδο και το πλάτος ταλάντωσης, αλλά όχι το πόση ενέργεια θα αποθηκεύει το ελατήριο για δεδομένη παραμόρφωση.
Γεια Σου Γιωργο γεια σε ολους. Σχετικα με το σχημα του Γιαννη με τους κυλινδρους,εφοσον η κινηση που προκυπτει ειναι της μορφης sinωt μπορω να χρησιμοποιησω ενεργειες για να κανω υπολογισμους και να βρισκω σωστα νουμερα χωρις να φοβαμαι μην με αφορισει ο Πατριαρχης Ιεροσολυμων.Αυτο δεν σημαινει οτι οι τριβες ολισθησεως συνδεονται με συναρτησεις δυναμικου. Εξηγω πως γινεται αυτο στα σχολια μου στην δευτερη σελιδα της αναρτησης
Πρέπει να βγεί ο λογαριασμός Νο2.
Γεια σου Κωνσταντίνε.
Δεν είναι θέμα αφορισμού από Πατριάρχη.
Οι λογαριασμοί θα βγουν αλλά κάποτε θα πάμε στα κύματα. Εκεί θα μιλήσουμε για σταθερή ενέργεια τμήματος χορδής αντί για διαδιδόμενη ενέργεια.
Θα πάμε εδώ:
Θα ρωτήσουμε “Πόσο έργο προσφέραμε για να οπλίσουμε τον ταλαντωτή” και θα μας απαντήσουν “Όση η ενέργεια ταλάντωσης, δηλαδή 1/2D.A^2″ αντί ” 1/2 k.A^2″.
Καλησπέρα Γιώργο , θα θελα εδω να πω απλά οτι μια εξαναγκασμένη υπό σταθερή b και σταθερή ω διεγέρτη έχει στις ακραίες θέσεις την ίδια ενέργεια ταλάντωσης , όμως όταν μετακινηθεί από μια ακραία σε μια ενδιάμεση θέση ο διεγέρτης δεν έχει προσφέρει το ποσό ενέργειας που έχει καταναλώσει η δύναμη απόσβεσης άρα η ενέργεια ταλάντωσης δεν είναι αμετάβλητη.
Ο διεγέρτης προσφέρει το ίδιο ποσό ενέργειας με το καταναλισκόμενο έργο της απόσβεσης σε μια περίοδο και όχι πχ στα 3/4 μιας περιόδου
Καλησπέρα σας! Πολύ ενδιαφέρουσες οι τοποθετήσεις τα σχόλια και οι προσομοιώσεις.Το λέω και το εννοώ και σας ευχαριστώ για το χρόνο σας. Αυτό που δεν έχει απαντηθεί για να με πείσει είναι πως είναι δυνατό η ίδιας ακριβώς μορφής μαθηματικά συνισταμένη δύναμη, να μην οδηγεί σε συντηρητική δύναμη ενώ στην αατ οδηγεί, από τη στιγμή που είναι καθαρά μαθηματικός ο τρόπος υπολογισμού της αντίστοιχης μορφής δυναμικής ενέργειας. Υπάρχει μήπως αντίρρηση στην παραγωγή της σχέσης ΣF=-Dx; Και για τα υπόλοιπα ερωτήματα της παρούσας δημοσίευσης ήθελα να ακούσω με ενδιαφέρον τη γνώμη σας. Υπαρχει και ένα μικρό μαθηματικό λάθος στο Δ ερώτημα που δεν αλλάζει την ουσία των συμπερασμάτων και που μόλις βρώ λίγο περισσότερο χρόνο θα επανέλθω.
Καλησπέρα και πάλι Γιώργο. Ας δούμε τα δυο σώματα του σχήματος.
Η σφαίρα του σχήματος πέφτει ελεύθερα με την επίδραση μόνο του βάρους, με επιτάχυνση α=g, αφού ΣF=mα → mg=mα (1)
Το σώμα Σ σύρεται σε οριζόντιο επίπεδο, με την άσκηση σταθερής δύναμης F=1,2mg, ενώ δέχεται και τριβή Τ=0,2mg, όπως στο σχήμα.
Και για το σώμα Σ ισχύει ΣF=mα → F-Τ=mα → 1,2mg-0,2mg =mα → mg=mα (2)
Η σχέση (1) και η σχέση (2) είναι ίδια.
Και τα δυο σώματα αποκτούν την ίδια επιτάχυνση και η συνισταμένη δύναμη και στα δυο σώματα έχει μέτρο ΣF=mg
Εκτελούν και τα δυο σώματα ελεύθερη πτώση;
Έχουμε και στις δυο περιπτώσεις την μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική;
Ισχύει και στις δυο περιπτώσεις η ΑΔΜΕ;
Αν έχεις ακόμη διαφωνία Γιώργο για την αντιστοιχία, πάρε το σώμα Σ να πέφτει, ενώ δέχεται δύναμη αντίστασης ίση με 0,2mg, ενώ ταυτόχρονα ο άνθρωπος τραβά το σχοινί με τάση 0,2mg, οπότε το σώμα πέφτει με επιτάχυνση g.
Η κίνηση του σώματος Σ είναι ελεύθερη πτώση; Δεν κουράζεται ο άνθρωπος; Δεν καταναλώνει θερμίδες; Δεν μεταφέρει ενέργεια στο σώμα Σ; Υπάρχει μόνο το σώμα και το βαρυτικό πεδίο της Γης, όπου η μόνη μετατροπή ενέργειας είναι η δυναμική σε κινητική;
Το ότι ΣF=mg μας καθορίζει τι; Την επιτάχυνση που αποκτά το σώμα, ίδια με την σφαίρα; Σωστά. Την ίδια ταχύτητα μετά από χρόνο t; Σωστά. Τις ίδιες κατακόρυφες μετατοπίσεις των δύο σωμάτων; Σωστά!
Τις μετατροπές ενέργειας; Όχι βέβαια!!!
Γειά σου Γιάννη. Εφόσον ΣF= -Dx η κίνηση της λεπτής ράβδου είναι αατ. Η ΣF είναι η συνισταμένη των δυο τριβων και λόγω της μορφής της είναι συντηρητική οπποτε υπάρχει και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης που δίνεται από το γνωστό τύπο. Συνεπώς οι τριβές διατηρούν σταθερή την μηχανική ενέργεια της ράβδου. Αφαιρουν όμως οι αντιδράσεις τους ενέργεια από τους σρεφομενους δίσκους.η οποία πρέπει να αναπληρώνεται από τον μηχανισμό περιστροφής τους για να παραμένει το ω σταθερό. Είχα δημοσιεύσει θέμα τον Ιούνιο του 2021 με δύο σώματα το ένα πάνω στο άλλο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο που ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη στο κάτω.Υπαρχουν τριβές μεταξυ των σωμάτων.Αν η F είναι μεγαλύτερη μιας τιμής θα υπάρξει ολίσθηση του ενός σε σχέση με το άλλο και σε ορισμένο χρόνο το έργο της τριβής στο πάνω είναι θετικό (!)της αντίδρασης της στο κάτω όμως αρνητικό και του αθροίσματος τους φυσικά αρνητικό . Αυτό το άθροισμα εκφράζει την ενέργεια που αφαιρείται από το σύστημα των σωμάτων.
Ευχαριστώ Διονύση για τον χρόνο που διαθέτεις. Πέραν των αναλυτικών ενεργειακών μετατροπών στις οποίες αναφέρεσαι και στα δύο παραδείγματα ,με την τριβή και τον άνθρωπο, επειδή ΣF=mg =σταθερό μπορούμε να θεωρήσουμε δυναμική ενέργεια mgl στη πρώτη και mgh στη δεύτερη και η ΑΔΜΕ θα λειτουργούσε κανονικά.Το l θεωρούμε ότι είναι πχ η απόσταση από ένα τοίχο κάθετο στην F όπου εκεί θεωρούμε U=0. Πέραν των παραδειγμάτων θα ήθελα να βρούμε σε γενικό θεωρητικό επίπεδο τι διάβολο συμβαίνει.ΓΙΑΤΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ΠΡΆΓΜΑΤΙ ΘΕΜΑ!
Γεια σου Γιώργο.
Με καλύπτει μεν ο Διονύσης όμως ας πω δυο πράγματα.
Η δύναμη πρέπει να είναι πεδιακή από προέλευση και όχι απλά να γράφεται -D.x
Διάφορα προβλήματα προκύπτουν όπως:
Πόσο έργο παράγω;
W=1/2D.A^2 = 1/2m.ω^2.Α^2 ή W= 1/2k.Α^2 ;;
Κάνει ένας μας το λάθος να θέσει σαν δεύτερο θέμα:
Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η απόσβεση αφαιρεί 2 J από τη στιγμή t1 ως την t2. Πόση ενέργεια πρόσφερε ο διεγέρτης από τη στιγμή t1 ως την t2;
Ένας μαθητής απαντά:
Αφού η ενέργεια του ταλαντωτή μένει σταθερή τότε όση ενέργεια αφαίρεσε η απόσβεση τόση πρόσφερε ο διεγέρτης. Δηλαδή 2 J.
Όταν ονομάζεις “Ενέργεια” κάτι που δεν έχει χαρακτηριστικά ενέργειας τέτοιες εννοιολογικές συγχίσεις θα προκύψουν.
Γιώργο μια λίγο πιο θεωρητική απάντηση, πέρα από αυτά που ο Διονύσης, ο Γιάννης, ο Θοδωρής, έγραψαν.
► Συντηρητικά πεδία
Από την θεωρητική μηχανική ξέρουμε ότι: Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα πεδίο Α να είναι συντηρητικό, είναι να ισούται με την κλίση μιας συνάρτησης φ
Α=gradφ
Αν πρόκειται για δυναμικό πεδίο τότε
F= – gradV
όπου γενικά V(x,y,z,t) το δυναμικό και gradV η βαθμίδα του πεδίου σε τρεις διαστάσεις .
Αν μια τέτοια δύναμη προέρχεται από δυναμικό ΜΗ εξαρτώμενο από το χρόνο, δηλαδή V(x,y,z), τότε κατά την μετακίνηση υλικού σημείου από μια θέση Α σε μια άλλη Β, το έργο της δύναμης εξαρτάται μόνο από τα Α και Β και όχι από τον δρόμο που θα ακολουθήσει το υλικό σημείο.
Επίσης τότε, δηλαδή όταν V(x,y,z) η ολική μηχανική ενέργεια κατά την μετακίνηση υλικού σημείου μένει σταθερή.
Πάμε τώρα λίγο ανάποδα.
Από τον ορισμό του διατηρητικού πεδίου
μπορούμε να γράψουμε άπειρα διατηρητικά πεδία θεωρώντας τυχαίες συναρτήσεις δυναμικής ενέργειας V(x, y, z) .
Από μαθηματική άποψη κανένα πρόβλημα. Ποιες φυσικές διεργασίες θα αντιπροσωπεύουν και ποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες θα έχουν όλα αυτά τα πεδία;
Καλησπέρα Άρη.Αυτα ακριβώς έχω υπόψη μου και δεν μπορώ να ερμηνεύσω κατά τρόπο οριστικό τις αντιφάσεις που οι συνάδελφοι προβάλλουν αλλά και ο ίδιος έχω. Τα άπειρα πεδία οφείλονται στο ότι για να προκύψει η δυναμική ενέργεια παίρνουμε το ολοκλήρωμα της δύναμης,και προκύπτει και μια σταθερά c ως προσθετεος που στη περίπτωση της δύναμης επαναφοράς είναι μηδέν.