by Το πόσο σπουδαία είναι η θεωρητική μηχανική, δεν περιμένετε να το μάθετε από μένα! Αλλά εγώ θα ήθελα να κάνω μια ακόμη προσπάθεια αποσαφήνισης κάποιων πραγμάτων, επί του πρακτέου. Για την διδασκαλία τη Φυσικής στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση…
Έτσι ας αφήσουμε τους ορισμούς που κυκλοφορούν, τα πολύπλοκα μαθηματικά, που πολλές φορές μας μπερδεύουν, και, ας μιλήσουμε συγκεκριμένα. Ποιες συντηρητικές δυνάμεις διδάσκουμε στο σχολείο;
Αν αφήσουμε στην άκρη τις πυρηνικές, διδάσκουμε τις βαρυτικές δυνάμεις, τις ηλεκτροστατικές και τις δυνάμεις των ελαστικών παραμορφώσεων (δύναμη του ελατηρίου). Αυτές τις τρεις κατηγορίες δυνάμεων ονομάζουμε διατηρητικές (συντηρητικές…) και τα έργα αυτών των δυνάμεων συνδέονται με κάποια μορφή δυναμικής ενέργειας. Όταν μιλάμε για μηχανική ενέργεια και για ΑΔΜΕ, μορφές ενέργειας που συνδέονται με αυτές τις δυνάμεις έχουμε. Αν σε ένα σύστημα ασκούνται μόνο τέτοιες δυνάμεις, τότε διατηρείται η μηχανική ενέργεια. Αν σε αυτό υπάρχει διαφωνία, ας διατυπωθεί και ας μην διαβαστεί το κείμενο παρακάτω… Η συζήτηση τελειώνει εδώ.
Δεν μπορεί ο καθένας μας να θεωρεί οποιαδήποτε δύναμη ως συντηρητική και να την συνδέει με δυναμική ενέργεια και να μιλάει για διατήρηση μηχανικής ενέργειας. Αν το κάνει ουσιαστικά χάνει κάθε νόημα η συζήτηση και η διάκριση της μηχανικής ενέργειας. Ας μιλάμε τότε για ενέργεια και διατήρησή της, αλλά όχι για μηχανική ενέργεια.
Και ας έρθουμε τώρα στις ταλαντώσεις. Το πρώτο που μας ενδιαφέρει είναι ποιες δυνάμεις ασκούνται στο σώμα και είναι υπεύθυνες για την ταλάντωσή του. Ο στόχος μας είναι να καταλήξουμε στην εξίσωση:
ΣF=-Dx (1)
Αφού η εξίσωση αυτή, καθορίζει μονοσήμαντα την επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώμα και στην συνέχεια θα μπορέσουμε να γράψουμε τις γνωστές εξισώσεις x=Α∙ημ(ωt+φ), υ=υ(t) και α=α(t). Ολοκληρώνουμε δηλαδή την κινηματική και δυναμική μελέτη του σώματος που ταλαντώνεται, χωρίς καμιά αναφορά στην φύση των ασκούμενων δυνάμεων. Ας είναι οποιεσδήποτε δυνάμεις και οποιαδήποτε η φύση τους…
Την παραπάνω κίνηση, έχω προτείνει από το 2010 να ονομάζουμε «αρμονική ταλάντωση», στην ανάρτηση:
Υπέρ Κινηματικής ο λόγος, αλλά και μια διδακτική πρόταση…(αατ και αρμονική ταλάντωση)
Δεν θα είχα κανένα πρόβλημα βέβαια να πάρει οποιοδήποτε άλλο όνομα, αρκεί να είναι σαφές, ότι μέχρι εδώ δεν έχουμε μιλήσει για ενέργειες. Είναι μια γενική κίνηση, όπως μια γενική κίνηση είναι η ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Και όταν μιλάμε γι΄ αυτήν την κίνηση δεν σκεφτόμαστε μόνο την ελεύθερη πτώση…
Αν θέλουμε να μιλήσουμε για ενέργειες, πρέπει να επιστρέψουμε στην εξίσωση (1). Ποιες δυνάμεις είναι αυτές που μας δίνουν την συνισταμένη αυτή; Ας δούμε στο παρακάτω σχήμα, μερικές περιπτώσεις και τις ασκούμενες δυνάμεις.
Στο πρώτο σχήμα (απλό εκκρεμές) ασκείται στο σώμα το βάρος, δύναμη συντηρητική η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U=mgh). Στο μεσαίο, στην διεύθυνση κίνησης (οι κατακόρυφες δίνουν μηδενική συνισταμένη και δεν καθορίζουν την κίνηση) ασκείται η δύναμη του ελατηρίου και αυτή συντηρητική, η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U= ½ k(Δl)2). Στο δεξιό σχήμα ασκούνται δύο ηλεκτροστατικές δυνάμεις από ακίνητα φορτία, δυνάμεις συντηρητικές, οπότε και η συνισταμένη τους είναι επίσης συντηρητική η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U=kcqq1/r).
Συμπέρασμα, και στις τρεις αυτές περιπτώσεις ορίζουμε δυναμική ενέργεια για την ταλάντωση, αφού η συνισταμένη ΣF είναι συντηρητική, οπότε η κίνηση είναι μια ΑΑΤ (με τα… όλα της). Το ίδιο συμβαίνει και στα παρακάτω σχήματα, όπου στο σώμα δεν ασκείται μια συντηρητική δύναμη, αλλά περισσότερες.
Αλλά αν οι επιμέρους συνιστώσες είναι συντηρητικές και η συνισταμένη θα είναι συντηρητική και θα ορίζεται δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U= ½ Dx2.
Σχεδιάστε σχήμα με 23 ελατήρια, δύο βαρυτικά πεδία και 34 ακίνητα φορτία, ενώ είναι φορτισμένο το ταλαντούμενο σώμα. Όλες οι δυνάμεις αυτές είναι συντηρητικές, οπότε συντηρητική θα είναι και η συνισταμένη ΣF=-Dx, οπότε ορίζεται η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και η κίνηση είναι ΑΑΤ.
Αν όμως στο σώμα ασκείται για παράδειγμα μια αντίσταση του αέρα, όπως στο σχήμα, τότε η συνισταμένη θα έχει τρεις συνιστώσες, δύο συντηρητικές (w και Fελ) και μια μη συντηρητική (Fαπ=-b∙υ). Αλλά τότε ΔΕΝ διατηρείται η μηχανική ενέργεια και η συνισταμένη δύναμη δεν συνδέεται με κάποια δυναμική ενέργεια, όπου WΣF Α→Β=UΑ-UΒ.
Θα ρωτήσει κάποιος δηλαδή τώρα δεν έχουμε δυναμική ενέργεια ταλάντωσης;
Και βέβαια έχουμε, αλλά αυτή συνδέεται με τις συντηρητικές συνιστώσες (w και Fελ, δηλαδή την δύναμη επαναφοράς -kx και όχι με κάποιο D, το οποίο καθορίζεται και από την μη συντηρητική δύναμη Fαπ. Να θυμίσω ότι στην φθίνουσα ταλάντωση έχουμε μια μικρή αύξηση της περιόδου σε σχέση με την αμείωτη, άλλο αν την προσεγγίζουμε, κατά την διδασκαλία μας).
Έτσι αν φτάσουμε στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, όπου επιπλέον ασκείται στο σώμα και μια εξωτερική δύναμη Fεξ από τον διεγέρτη;
Τώρα η συνισταμένη προκύπτει από δύο συντηρητικές δυνάμεις (w και Fελ), όπου η συνισταμένη τους F1=Fελ-w=-kx, είναι επίσης συντηρητική, και συνδέονται με δυναμική ενέργεια U= ½ k∙x2 και δύο μη συντηρητικές (Fεξ, Fαπ), οι οποίες δεν συνδέονται με δυναμικές ενέργειες.
Η κίνηση είναι μια αρμονική εξαναγκασμένη ταλάντωση (μετά τα μεταβατικά φαινόμενα), αλλά δεν είναι η γνωστή μας ΑΑΤ με ενέργεια ταλάντωσης σταθερή και ίση με ½ DΑ2= ½ mω2∙Α2, αφού αυτή η σταθερά D καθορίζεται και από δύο μη συντηρητικές δυνάμεις.
ΥΓ
Νόμιζα ότι το ζήτημα είχε διευκρινιστεί, άσχετα με την θέση που παίρνει ο καθένας μας πάνω στο ζήτημα.
Φαίνεται ότι έκανα λάθος, πράγμα που με οδήγησε στην παρούσα ανάρτηση.
Μέχρι την επόμενη φορά…
Διονύση καλημέρα!
Αναφέρεις: ““Αυτές τις τρεις κατηγορίες δυνάμεων ονομάζουμε διατηρητικές (συντηρητικές…)”.
Στην ερώτηση: “Τι ονομάζουμε διατηρητική δύναμη;” πώς απαντά ο μαθητής;
Διονύση, καλημέρα. Συμφωνώ απολύτως.
Στην εξαναγκασμένη η δύναμη διέγερσης εξαρτάται από το χρόνο και εν τέλει επιβάλλεται στο σύστημα που βέβαια αντιδρά. Στη μόνιμη κατάσταση η ενεργειακή της δράση αναιρείται από τη δράση της απόσβεσης και αυτό στη διάρκεια της περιόδου και όχι κάθε χρονική στιγμή (εξαίρεση στο συντονισμό ταχύτητας). Έτσι και η ενέργεια του συστήματος διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της περιόδου και όχι κάθε χρονική στιγμή (οι απώλειες από την απόσβεση ίσες απολύτως με τις αναπληρώσεις από τη διέγερση στο σύνολό τους στη διάρκεια της περιόδου). Και η γωνία φάσης που εμφανίζεται πχ. στην απομάκρυνση στη μόνιμη κατάσταση ως προς την εξωτερική διέγερση εξαρτάται από τα κ, b και ω και όχι από το πότε αρχίζουμε να μετράμε το χρόνο (πόσο μέρος της περιόδου πέρασε μέχρι να αρχίσει η ταλάντωση), όπως στην απλή αρμονική ταλάντωση (τρόπο διέγερσης του συστήματος).
Και στη διαφορική εξίσωση το mα ίδιο αλλά η συνισταμένη δύναμη τόσο διαφορετική στις δύο περιπτώσεις. Ειδικά στην εξαναγκασμένη αμελούμε τον φθίνοντα όρο (λύση ομογενούς) και παραμένουμε στη μερική της μη ομογενούς.
Να είσαι καλά
Ντίνο καλημέρα!
Νομίζω ότι δεν υπάρχει διαφωνία ως προς αυτά που αναφέρεις: Οι μαθηματικές εκφράσεις δεν επιδέχονται αμφισβήτηση.
Η διαφωνία αφορά την ερώτηση που απευθύνουμε προς το μαθητή: “Τι ονομάζουμε διατηρητική δύναμη;”
Αντρέα καλημέρα
Μια διατηρητική δύναμη είναι συνάρτηση της θέσης, οπότε σε κλειστό δρόμο το έργο της είναι μηδενικό και σε ανοικτό δεν εξαρτάται από το δρόμο. Έτσι θα ισούται και με το μείον του χωρικού ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης δυναμικής ενέργειας. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση η διέγερση επιβάλλεται καθοριστικά στο σύστημα (είδος κίνησης) και είναι συνάρτηση του χρόνου και όχι της θέσης και συνεπώς δεν μπορεί να δεθεί με δυναμική ενέργεια. Έτσι αν η διέγερση είναι ημιτονοειδώς – συνημιτονοειδώς μεταβαλλόμενη το ίδιο θα συμβαίνει (εν τέλει) και με την κίνηση. Προφανώς λόγω περιοδικότητας των τριγωνομετριών συναρτήσεων θα βρίσκεται στην ίδια θέση μετά από μια περίοδο και θα έχει την ίδια τιμή. Αλλά δεν μπορεί (η διέγερση) να συνδεθεί με δυναμική ενέργεια.
Καλημέρα Ανδρέα, καλημέρα Ντίνο και καλή βδομάδα.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό, αλλά και για την αναλυτική τοποθέτηση Ντίνο.
Ανδρέα, τι απαντά ο μαθητής; Προφανώς ό,τι διδαχτεί από τον δάσκαλό του και ό,τι έχει το βιβλίο του. Τι γράφει;
Τα λέει καλά το βιβλίο ή αν δώσει την ίδια διατύπωση ο μαθητής, έχει ιδιαίτερη αξία;
Η διατύπωση έχει την αξία της, αλλά πολύ μεγαλύτερη αξία έχει να μπορεί ο μαθητής να βρίσκει ότι αν ένα σώμα κινείται με την επίδραση του βάρους, σαν μοναδική δύναμη που παράγει έργο, τότε η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή και απλά μετατρέπεται από κινητική σε δυναμική και αντίστροφα, όπου το έργο του βάρους μεταξύ δύο θέσεων δεν εξαρτάται από την διαδρομή, αλλά είναι ίσο με την διαφορά των δυναμικών ενεργειών σε αυτές τις δύο θέσεις.
Με άλλα λόγια ο στόχος δεν είναι να μπορεί να το διατυπώνει, όσο να το εφαρμόζει!
Να ξέρει και να μπορεί να διακρίνει ότι στο πρώτο σχήμα παρακάτω, όπου το επίπεδο είναι λείο η μηχανική ενέργεια διατηρείται, ενώ στο δεύτερο σχήμα, όπου ασκείται και τριβή η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται… Και να εφαρμόζει την κατάλληλη διαδικασία για να μπορεί να βρίσκει την ταχύτητα του σώματος στη βάση του επιπέδου…. Αλλά και να μπορεί να ερμηνεύει γιατί η τελική ταχύτητα στο δεξιό σχήμα είναι μικρότερη.
Από κει και πέρα στην Β΄τάξη θα πρέπει να προστεθεί στη φαρέτρα του μαθητή και η ηλεκτροστατική δύναμη και αντίστοιχες εφαρμογές της και … κάποια στιγμή να μπει και η δύναμη του ελατηρίου, στο παιχνίδι…
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η διαδικασία είναι διαρκείας και όχι στιγμιαία, αλλά προσωπικά δίνω ιδιαίτερη αξία στην κατανόηση και στο ξεκαθάρισμα ενός ανάλογου θέματος ενέργειας, παρά η επίλυση ενός πολυσύνθετου προβλήματος με εφαρμογή νόμων και εξισώσεων, που ο μαθητής εφαρμόζει τυπικά…
ΥΓ
Και προφανώς θα είναι λάθος η ενασχόληση και η μαθηματική απόδειξη για το αν το έργο κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδέν και η γενίκευση για… κάθε δύναμη, όπως μια σταθερή δύναμη, όπου δεν ορίζεται δυναμική ενέργεια.
Μένουμε στις τρεις κατηγορίες που αναφέρει το βιβλίο στο απόσπασμα που έδωσα και μόνο!
Καλημερα Διονύση. Ωραιο κειμενο γραμμενο με το προσωπικο σου επεξηγηματικο στυλ. Συμφωνω φυσικα μαζι σου οπως σχεδον πάντα. Στα συγκεκριμενα θεματα ουδεποτε διαφωνησαμε,ειναι βασικη θεωρια την οποια εσυ εμαθες νομιζω απο τον Καισαρα και απο βιβλια οταν ησουνα δεκαοκτω χρονων ,εγω απο τον Βέργαδο,και απο βιβλια στο πρωτο δευτερο ετος.Δεν μπορει να διαφωνουμε για τελειως βασικα θεματα θεωριας τα οποια υπαρχουν γραμμενα σε ολα τα βιβλια..
Ομως μπορει κανεις να χρησιμοποιησει ενεργειες για να κανει υπολογισμους ακομα και σε περιπτωσεις μη συντηρητικων δυναμεων χωρις να γραφει λαθος πραγματα.
Παραδειγμα η ασκηση με τους κυλινδρους.
Λυση:
1.Aποδεικνυω οτι F=-(2μmg/d)x=-Dx (S.I)
2. Θεωρω ενα διαφορετικο συστημα,το οποιο αποτελειται απο την σανιδα τοποθετημενη πανω σε ενα λειο δαπεδο συνδεδεμενη με ελατηριο σταθερας k=D
3. H κινηση των δυο συστηματων ειναι η ιδια. Με τις ιδιες αρχικες συνθηκες,θεσεις,ταχυτητες ,επιταχυνσεις ειναι ιδιες.Καθε σημειο της σανιδας (κατα Διονυση) κανει ΑΑΤ. Ολη η σανιδα κανει ΑΑΤλεω εγω.
4.Μελεταω την κινηση του διαφορετικου συστηματος που κανει ΑΑΤ χρησιμοποιωντας ενεργειακες μεθοδους και τα αποτελεσματα που παιρνω ειναι ιδια με αυτα που αφορουν το αρχικο συστημα.
Για τετοιου ειδους λογικη μιλαμε.
Και εγω νομιζω οτι το ζητημα εχει διευκρινιστει αλλα τελικα μαλλον πρεπει να υπαρχει μια περιοδικοτητα με την οποια θα το συζηταμε.
Αυτα ως προς το τι ειναι επιστημονικως ορθον.
Τα ζητηματα διδακτικης ειναι υποκειμενικα και ο καθενας απο εμας κανει οτι νομιζει αυτος καλυτερο.
Καλημέρα σε όλους.
Κωνσταντίνε, εσύ που γνωρίζεις Φυσική, ξέρεις ότι η ενέργεια στην εξαναγκασμένη δεν διατηρείται, αλλά μπορείς να καταφύγεις σε μεθόδους που περιγράφεις, για να λύσεις γρήγορα μια άσκηση. Γρήγορα μπορεί να λυθεί και μια άσκηση με τροχαλία και σώμα που κρέμεται με σκοινί τυλιγμένο στην περιφέρειά της, χρησιμοποιώντας ισοδύναμη ροπή αδράνειας. Το ζήτημα είναι όμως τι θα διδαχτεί ένας μαθητής και τι θα απαντήσει στο ερώτημα περί διατήρησης της ενέργειας στην εξαναγκασμένη και όχι να του βγει το αποτέλεσμα. Στο φινάλε, όπως έχει επανειλημμένα γράψει ο Γιάννης, κάποιος χρησιμοποιεί τη σχέση υ^2 = ω^2 (Α^2 – x^2) και κάνει τη δουλειά του. Μας αρκεί αυτό;
Γεια σου Αποστολη. Αυτα που πρεπει να γνωριζει ενας μαθητης περι εξαναγκασμενης για να παει να δωσει γενικες εξετασεις,ειναι πολυ λιγα.Περι ενεργειων το πολυ πολυ να ερωτηθει Σ-Λ αν κατα τον συντονισμο η ενεργεια προσφερεται απο τον διεγερτη κατα τον βελτιστο τροπο.Ουτε προσημο ισχυος διεγερτη,ουτε αν σε χρονικο διαστημα μικροτερο της περιοδου και εκτος συντονισμου η ενεργεια του ταλαντωτη παραμενει σταθερη,ουτε φορά δυναμεως διεγερσης σε ακραιες θεσεις,ουτε τιποτα απο ολα αυτα.Ουτε εχουν ερωτηθει ποτε,ουτε προκειται να ερωτηθουν.Η ενεργεια του ταλαντωτη ιν δε λονγκ ραν,παραμενει σταθερη διοτι οση χανεται λογω αποσβεσεων,αντικαθισταται.Αυτο ειναι το μονο που πρεπει να ξερει απο ενεργειες.
Συμφωνώντας τελείως με αυτά που έγραψαν ο Ντίνος και ο Διονύσης και προκειμένου για διδασκαλία στο σχολείο θεωρώ απαραίτητο το:
«Τα λέει καλά το βιβλίο ή αν δώσει την ίδια διατύπωση ο μαθητής, έχει ιδιαίτερη αξία;
Η διατύπωση έχει την αξία της, αλλά πολύ μεγαλύτερη αξία έχει να μπορεί ο μαθητής να βρίσκει ότι αν ένα σώμα κινείται με την επίδραση του βάρους, σαν μοναδική δύναμη που παράγει έργο, τότε η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή και απλά μετατρέπεται από κινητική σε δυναμική και αντίστροφα, όπου το έργο του βάρους μεταξύ δύο θέσεων δεν εξαρτάται από την διαδρομή, αλλά είναι ίσο με την διαφορά των δυναμικών ενεργειών σε αυτές τις δύο θέσεις.
Και αυτό δεν είναι στόχος να μπορεί να το διατυπώνει, όσο να το εφαρμόζει!»
Αυτό που ο Κασσέτας ονόμαζε γενικά λειτουργικό ορισμό.
Ποιος τελικά Ανδρέα είναι ο ορισμός που θεωρείς κατάλληλο;
Γεια σας παιδιά.
Προσυπογράφω το κείμενο από την αρχή ως το τέλος.
Όμως αυτό δεν αρκεί διότι μοιάζει να συμφωνώ με έναν που έχει ίδια άποψη.
Και τι έγινε; θα πει ένας φίλος.
Έτσι θα παραθέσω πρόβλημα πολύ σύντομης λύσης σε ανεξάρτητη ανάρτηση στο φόρουμ. Πιστεύω πως θα φανούν τα προβλήματα της χρήσης της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης.
Στο ερώτημα “Τι ονομάζουμε διατηρητικές δυνάμεις;” η απάντση, όπως αναφέρεται στο βιβλίο: “Τις δυνάμεις
αυτές, όπως το βάρος, που το έργο τουςκατά μήκος μιας κλειστής διαδρομής είναι μηδέν και κατά
συνέπεια συντηρούν (διατηρούν) την ενέργεια του συστή-
ματος στο οποίο δρουν, τις ονομάζουμε συντηρητικές ή
διατηρητικές δυνάμεις.” νομίζω ότι είναι πλήρης.
Και σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό μια συνεχώς σταθερή δύναμη είναι διατηρητική.
Μας ενοχλεί ωστόσο διότι συμβατικά περιορίζουμε αυτόν το χαρακτηρισμό στη βαρυτική, την ηλεκτρική και την δύναμη του ελατηρίου. (Αν και θα προτιμούσα να περιοριζόμαστε, ακόμη περισσότερο, μόνο σε πεδιακές δυνάμεις, δηλαδή στη βαρυτική και την ηλεκτρική δύναμη και να αφήναμε απ’ έξω τη δύναμη του ελατηρίου. Εξ άλλου αναφερόμαστε σε διατηρητικά πεδία.)
Το πρόβλημα που υποσχέθηκα.
Πολύ σύντομες και οι δύο λύσεις του.
Διονύση, έδωσες για ακόμα μία φορά ένα εξαιρετικό εργαλείο διδασκαλίας
σωστής – κατανοητής φυσικής για ΟΛΟΥΣ τους μαθητές σε κάθε σχολείο
από τη Γαύδο στο Σουφλί και από τη Σύμη στην Κέρκυρα.
Εργαλείο διδασκαλίας που επειδή σε διαβάζω χρησιμοποιώ εδώ και αρκετά χρόνια.
Βέβαια, κάποιος μπορεί να το θεωρήσει ως ακόμα ένα μακροσκελές κείμενα λόγου όπου κατά Ασίμωφ “οι λέξεις είναι ατελές υποκατάστατο των μαθηματικών εκφράσεων”
Επιλογές είναι αυτές….
Καλησπέρα σε όλους!
Αυτό που πραγματικά δείχνει αν ένας μαθητής έχει κατανοήσει τη Φυσική, σχετικά με το θέμα που συζητάμε, είναι αν το έργο μιας δύναμης εξαρτάται ή όχι από τη διαδρομή. Τελικά μόνο αυτό ελέγχεται στο “εργαστήριο”, αν δεχτούμε βέβαια ότι αυτό ενδιαφέρει τον διδάσκοντα.
Το αν αυτή τη δύναμη την ονομάσουμε διατηρητική ή δύναμη-κονσέρβα δεν είναι Φυσική: οι ταμπέλες δεν κάνουν την καλή Φυσική (ούτε το καλό μαγαζί)!
Ομολογώ ότι κι εγώ είχα δυσκολευτεί αρκετά να αντιληφθώ τη διάκριση μεταξύ της Φυσικής και τη Γλώσσας, διότι είχα υποστεί, όπως λέει ο Φάινμαν, “πλύση εγκεφάλου” ως μαθητής και ως σπουδαστής. Κατόπιν με έκπληξη διαπίστωσα ότι οι μαθητές μου δεν είχαν τόσο μεγάλη δυσκολία!
Το ίδιο συνέβη με τη διάκριση μεταξύ του μέτρου ενός διανύσματος, της αλγεβρικής τιμής του και της απόλυτης τιμής.
Άρη καλησπέρα!
Εδώ δίνω την απάντηση.