by 
Η κυρία κινείται ευθύγραμμα και κατά τη θετική φορά.
Το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου είναι:
Εύκολα ένας μαθητής της Α΄ Λυκείου κατασκευάζει το διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου. Είναι κάπως έτσι:
Η επιτάχυνση τη στιγμή 4 s:
- Είναι 2 m/s2.
- Είναι 1 m/s2.
- Έχει τιμή μεταξύ 1 m/s2 και 2 m/s2.
- Δεν ορίζεται.
Το ξέρω ότι έχει ξανασυζητηθεί αλλά η επανάληψη…
Πράγματι κινείται και η σκιά της σελήνης πάνω στη Γη κατά τη διάρκεια μιας έκλειψης ηλίου με ταχύτητα που υπολογίζεται με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Κινείται και η προβολή πάνω σε μια διάμετρο, ενός σφαιριδιου που κάνει ΟΚΚ . Κινείται και το είδωλο ενός αντικειμένου όταν κινείται ο καθρέφτης. Βέβαια εδώ βλέπουμε μια κυρία να κινείται οδηγώντας το ποδήλατο της. Στην Α λυκείου μπαίνουν θέματα με ασυνέχεια/-ες στα διαγράμματα υ-t και α-t. Δύο ερωτήματα: Το ένα τίθεται στην παρούσα δημοσίευση. Το άλλο είναι αυτή καθεαυτή η ασυνέχεια: Το τι συμβαίνει τη στιγμή t=4s ή στη διάρκεια ενός πολύ μικρού χρονικού διαστήματος Δt που περιλαμβάνει τη στιγμή αυτή. Τι απάντηση δίνουμε στο δεύτερο ερώτημα; Ως προς το πρώτο ερώτημα συμφωνώ με την άποψη ότι από καθαρά μαθηματική σκοπιά, με δεδομένη τη γραφική παράσταση υ-t, η επιτάχυνση δεν ορίζεται τη στιγμή αυτή. Γιατί διαφορετικά θα οδηγουμασταν στο “παράδοξο” συμπέρασμα ότι αυτή η συνάρτηση υ-t είναι παραγωγίσιμη για t=4s. Αν όμως η φύση “απεχθάνεται” αυτές τις ασυνέχειες τότε οι δύο κλάδοι της γραφικής παράστασης υ-t μπορούν να προσεγγίζονται με μια συνεχή και παραγωγίσιμη καμπύλη με πεδίο ορισμού της το παραπάνω μικρό χρονικό διάστημα Δt. Έτσι το αρχικό ερώτημα παύει να υφίσταται. Δεν θα μπορούσε να είναι και αυτό μια βάσιμη εκδοχή; Μήπως αυτό είναι το νόημα της παραίνεσης των Χαλινταιι και Ρεσνικ για μη ενασχόληση με τα άκρα των χρονικών διαστημάτων ;
Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Στο “ξεκινάει συμφωνούμε”.
-Για κάθε χρονικό διάστημα dt, οσοδήποτε μικρό, υπάρχει μετατόπιση από την αρχική θέση.
Γεια σου Γιώργο.
Λες:
Γιατί διαφορετικά θα οδηγουμασταν στο “παράδοξο” συμπέρασμα ότι αυτή η συνάρτηση υ-t είναι παραγωγίσιμη για t=4s.
Σωστά αν οριστεί σαν πρώτη παράγωγος της ταχύτητας. Επισύναψα ορισμούς από βιβλία, τροποποιημένους ορισμούς.
Η φύση Γιώργο μπορεί να απεχθάνεται τις ασυνέχειες, εγώ όχι. (Γκιουζέπε Κολίτζι).
Έτσι έστειλα ένα κυκλάκι που κινείται και ασυνέχειες έχουμε ακόμα και στη θέση. Δηλαδή που πήγαινε ακαριαία από το σημείο Α(8,0) στο σημείο Β(8,4).
Αυτό είναι υπαρκτή περίπτωση κίνησης μια και το βλέπουμε. Υπάρχει διότι το έφτιαξα.
Εκτός από τις Λυκειακές ασυνέχειες βλέπουμε και μία (τουλάχιστον) ασυνέχεια σε άσκηση των Χαλιντέυ – Ρέσνικ που ανέφερα σε προηγούμενο σχόλιο.
Μπορούμε να δούμε ότι ασυνέχειες θέλουμε με κατασκευές στο Geogebra.
Το Geogebra αποκτά κίνηση (Γεωμετρία μετά χρόνου) αν βάλλεις μεταβολέα.
Έτσι ένα αντικείμενο κινείται όπως θέλουμε. Έχει νόημα να μιλάμε για την ταχύτητά του, την επιτάχυνσή του και την γωνιακή του ταχύτητα;
Γιάννη, στη κβαντομηχανική δεν υπάρχει η έννοια της τροχιάς. Στην κλασική φυσική υπάρχει . Μία ερώτηση: Μπορεί η τροχιά ενός υλικού σημείου μάζας m να είναι ασυνεχής σύμφωνα με τη κλασική φυσική; Κατανοώ τη άποψη σου για ορισμό της επιτάχυνσης ως η από δεξιά παραγωγός της ταχύτητας .Για αυτό προσπέρνα αυτό που ανέφερα στο προηγούμενο σχόλιο μου ( συγκεκριμένα την πρόταση: “Γιατί διαφορετικά θα οδηγουμασταν στο παράδοξο….”) μιας και πρόκειται για διαφορετική ερμηνεία του ορισμού της επιτάχυνσης.
Όχι Γιώργο. Φυσικά είναι αδύνατον η τροχιά ενός υλικού σημείου να είναι ασυνεχής.
Η κίνηση όμως εμφανίζεται και σε άλλες οντότητες:
Η άποψη μου Γιάννη για τον ορισμό της επιτάχυνσης συμπίπτει με αυτή του Κωνσταντίνου. Η τοποθέτηση μου για την φυσική σημασία των ασυνεχειων θεωρώ ότι ενισχύεται από το φαινόμενο της κρούσης και τη γραφική παράσταση της εικόνας που επισυνάπτω από το βιβλίο των Xaliday- Resnick. Στις ασκήσεις κρούσης είναι σύνηθες να θεωρούμε ότι έχουμε μεταβολές της ταχύτητας χωρίς μεταβολή της θέσης . Θεωρούμε σε πολλές περιπτώσεις τη διάρκεια της αμελητέα. Ότι γίνεται μια ορισμένη χρονική στιγμή σε ένα σημείο του χώρου. Όμως διαρκεί κάποιο πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt κατά το οποίο το υλικό σημείο μετατοπίζεται πολύ λίγο , κατά Δx , και η ταχύτητα μεταβάλλεται συνεχώς από την τιμή που είχε πριν την κρούση στην τιμή που έχει μετά. Έτσι αίρεται η ασυνέχεια της ταχύτητας και της επιτάχυνσης! Οπότε δεν υφίσταται το ερώτημα που έθεσες για την περίπτωση υλικών σημείων. Για άλλες οντότητες όταν δεν υπάρχει η έννοια της αδράνειας και της αλληλεπίδρασης τα πράγματα αλλάζουν.
Η εικόνα στην οποία αναφέρθηκα στο προηγούμενο σχόλιό μου.
Καλημέρα Γιώργο.
Δεν έχω αντίρρηση σε όσα λες για τα υλικά αντικείμενα.
Παρέθεσα όμως τμήμα από παρουσίαση του Ανδρέα Κασσέτα.
Τα “αντικείμενα” που αναφέρει δεν συμπεριφέρονται έτσι. Εκεί βρίσκουμε ασυνέχειες κάθε είδους. Εκεί δεν αίρεται η ασυνέχεια της ταχύτητας ούτε αυτή της επιτάχυνσης.
Μας ενδιαφέρουν αυτά τα κινητά;
Επίσης Γιώργο υφίστανται ασυνέχειες στην επιτάχυνση;
Ίσως όχι στα πραγματικά στερεά. Όμως χρησιμοποιούμε ένα μοντέλο, το rigid bodie.
Ας δούμε μια περίπτωση:
Η σφαίρα αρχικά έχει υο = 4 m/s και ωο = 0. Δρα η τριβή ολίσθησης που μειώνει την υ και αυξάνει την ω. Κάποια στιγμή ω.R=υ. Τότε η τριβή μηδενίζεται ακαριαία και η ταχύτητα σταθεροποιείται στα (5/7)υο.
Αυτά τα εφαρμόζουμε στο μοντέλο rigid bodie χωρίς να εξετάζουμε αν οι δράση της τριβής κύλισης (παραμορφώσεις σφαίρας και δαπέδου ευθύνονται) εξομαλύνει την ασυνέχεια.
Αν μας ενδιαφέρει το μοντέλο πρέπει να συμφιλιωθούμε με τέτοιες ασυνέχειες.
Αν g=10m/s^2 και οι συντελεστές τριβής είναι 0,5 τότε η ταχύτητα της σφαίρας μεταβάλλεται ως:
Τι συμβαίνει τη στιγμή 0,8s ;
Δεν ορίζεται δύναμη;
Ένα σώμα ή δεν δέχεται δύναμη κάποια στιγμή (F=0 δηλαδή) ή δέχεται κάποια δύναμη τη στιγμή εκείνη.
Αν η δύναμη έχει μια τιμή F τότε η επιτάχυνση είναι α=F/m.
Τα Μαθηματικά δεν έχουν κανένα πρόβλημα να πουν ότι στο σημείο Σ δεν ορίζεται κλίση:
Η Φυσική θα είχε πρόβλημα αν έλεγε ότι δεν ορίζεται δύναμη στη σφαίρα τη στιγμή 0,8s. Δεν είναι θεραπαινίδα των Μαθηματικών. Τα χρησιμοποιεί.
Γειά σου Γιάννη. Ποιο είναι το point σου στο τελευταίο παράδειγμα; Οτι πρέπει ντε και καλά την στιγμη 0,8 να ορίζεται δύναμη και επιτάχυνση; Από που προκύπτει αυτη η αναγκαιότητα; Το μοντελο που χρησιμοποιούμε δεν περιγράφει την Φυσική της μετάβασης σε μια πολύ μικρή περιοχή του 0,8.Αρα τίποτα δεν ορίζεται Εννοείς μήπως ότι μια λύση θα ηταν να χρησιμοποιήσουμε στους υπολογισμούς τις δεξιές παραγωγούς ώστε να άρουμε την απροσδιοριστια; Αυτό εγώ θα το ονόμαζα μια τρυπα στο νερο.Εκτός αν δεν κατάλαβα τι εννοείς.
Μια μικρή παρέμβαση.
Πρεπει να ξεχωρίσουμε για ποιο πράγμα μιλάμε. Διακρίνουμε 3 περιπτώσεις:
α) Μιλάμε για ¨Μοντέλα” . Τότε δεχόμαστε ακαριαίες μεταβολές στην Φυσική (κρουση , κίνηση στερεού από λειο σε οριζόντιο επίπεδο κλπ), μη παραμορφούμενα στερεα , έλειψη αντίστασης του αερα, κλπ.
Εδώ εχει δίκιο ο Γιάννης επειδή μας ενδιαφέρει το μετά (ο χρόνος συνεχώς αυξάνει) χρησιμοποιούμε τις τιμές των μεγεθών την t+.
β) Σε πιο πραγματικές καταστάσεις. Εδώ οποιαδήποτε μεταβολή έχουμε χρειάζεται κάποιο χρονο να συμβεί ,εστω και απειροελάχιστο.(Ακόμη και το νήμα που κοβεται σε κρεμασμένο σώμα ή στη μεταβολή της κινησης μια κηt-λίδας Laser κλπ).
Τότε η μεταβολή είναι συνεχής και οι τιμές που παίρναει το μέγεθος είναι συνεχείς απο την αρχική (t-) εως την τελική (t+).
γ) Αυστηρά μαθηματικά με συναρτήσεις, θα μιλήσουμε για ασυνέχεια με αποτέλεσμα
αδυναμίας ορισμού του μεγέθους εκείνη την χρονική στιγμή.
Άλλωστε όπως και στη συζήτηση για το θέμα Γ4 των μαθηματικών αλλιώς το αντιμετωπίζουν οι Φυσικοί και αλλιώς οι Μαθηματικοί οι οποίοι θα είχαν απορίψει τις λύσεις μας χωρίς περιστροφές!
Να θυμόμαστε ότι στα ¨Μοντέλα” εμείς έχουμε προσδιορίσει κάποιες συγκεκριμένες συνθήκες. Π.χ.
στην κρούση , μετά την κρούση τα σώματα ακαριαία αλλάζουν ταχύτητες
από λείο σε τραχύ έδαφος ακαριαία αλλάζει η ταχύτητα και δεχεται επιτάχυνση
στο παράδειγμα του Γιάννη (και αυτό στο μοντέλο της κινηματικής ανήκει ) ακαριαία αλλάζει η επιτάχυνση.
Σε όλες αυτές τις περιπτωσεις στο μοντέλο ενδιαφέρει στο μετά και για αυτό οι συγγραφείς των βιβλίων χρησιμοποιούν τις τιμές μετα την μεταβολή.