by 
Η κυρία κινείται ευθύγραμμα και κατά τη θετική φορά.
Το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου είναι:
Εύκολα ένας μαθητής της Α΄ Λυκείου κατασκευάζει το διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου. Είναι κάπως έτσι:
Η επιτάχυνση τη στιγμή 4 s:
- Είναι 2 m/s2.
- Είναι 1 m/s2.
- Έχει τιμή μεταξύ 1 m/s2 και 2 m/s2.
- Δεν ορίζεται.
Το ξέρω ότι έχει ξανασυζητηθεί αλλά η επανάληψη…
Χαιρετώ και πάλι.
Γιάννη αναγκάζομαι να εξετάσω το ότι δεν ασκείται ακαριαία η δύναμη εξαιτίας του θέματος που θίγεται.
Συνήθως λέμε ότι ασκούμε δύναμη στο σώμα 4 Ν. Ασχολούμαστε με το ότι η ράβδος παραμορφώνεται για μικρότατο χρονικό διάστημα;
Στα προβλήματα της Α Λυκείου δεν ασχολούμαστε. Εδώ δε γίνεται να μην το κάνουμε.
Δε συσχετίζω κάτι με τους ορισμούς των συγγραφέων.
Σε μια πρώτη εκτίμηση δε νομίζω ότι υπάρχει κίνηση που ταυτόχρονα το ον είναι στη θέση μηδέν, τέσσερα και όλες τις ενδιάμεσες. Μπορεί φυσικά να κάνω λάθος.
Φυσικά και σέβομαι τον Αντρέα και δε διαφωνώ σε κάτι με τη λογική των Γάλλων.
Και “καθαρή” κινηματική να πάρουμε, δεν αλλάζει κάτι. Η επιτάχυνση δε θα γίνει ακαριαία από μηδέν 2/s^2. Θα γίνει σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα.
καλό μεσημέρι σε όλους
κατ΄ αρχήν χαίρομαι που συμμετέχω σε έναν χώρο, όπου πολλές οι απόψεις, και αλληλοσυγκρουόμενες πολλές φορές, αλλά απλά απόψεις είναι, την απόλυτη αλήθεια δεν την κατέχει κανείς,
ίσως, μόνο, ο κατασκευαστής του Σύμπαντός, αλλά κι αυτός δεν μας κάνει την τιμή…
(“κι αυτός ο Γκόρτζος όλο λόγια είναι, έκανες παπά τον γιό του Γιακουμή; δεν τον έκανες!”, Διονύσης Παπαγιαννόπουλος, ο αγαπημένος)
συμφωνώ, Γιάννη, με τον Κωνσταντίνο ότι ο ορισμός είναι παντοδύναμος
έχω γράψει άλλωστε σχετικά και εδώ περί ορισμού σχόλια τινά
“επειδή κάποιες φορές σε διάφορα βιβλία υπάρχουν διαφορετικοί ορισμοί του
ιδίου μεγέθους, σπάνια και της ονομασίας του, νόμιμος, αποδεκτός,
παντοδύναμος, κυρίαρχος και διδακτέος είναι αυτός που γράφεται στο
επίσημο και εγκεκριμένο σχολικό βιβλίο, ακόμα και αν δίκαια ή άδικα δεν
αρέσει, ώσπου να, και αν, αλλαχθεί, και, βέβαια η αμφισβήτησή του, αν
υπάρχει, καλώς, αλλά μέχρις εκεί”
και μερικά ακόμη
Α. στο επίσημο σχολικό βιβλίο της Α Τάξης (αλλά και στο “δικό” μας)
α. ονομάζεται επιτάχυνση το πηλίκο Δυ/Δt,
παρατήρηση: αυτό είναι η μέση επιτάχυνση
β. δεν προσδιορίζεται η χρονική στιγμή στην οποία αυτή αντιστοιχίζεται
Β. στο Πανεπιστημιακό βιβλίο του Καίσαρα ορίζεται ως du/dt, με το dt μετά τη χρονική στιγμή t και αντιστοιχίζεται στη χρονική στιγμή t
στο βιβλίο, όμως, που έχει γράψει με τον Μαρίνο ορίζεται ως du/dt, με το dt “φλου” σε σχέση με τη χρονική στιγμή t και δεν αντιστοιχίζεται σε καμία χρονική στιγμή
η θέση μου, την έγραψα και στην πρώτη μου τοποθέτηση: δεν μπορεί να γίνει κάτι τέτοιο στη πράξη
και μετά: τα διαγράμματα είναι για να επικοινωνούμε μεταξύ μας, εγώ το παρακάνω άλλωστε δεν δέχομαι αρνητικές τιμές
και πιο μετά: η φύση απεχθάνεται το κενό και το ακαριαίο, (άρα, συμφωνώ με όσους το γράφουν),
και πιο μετά από μετά: νταξ επειδή εγώ ο ίδιος, εκ γενετής, γιατί έστω μισό dt από Αριστερά και μισό από δεξιά; (γειά σου Διονύση…)
Καλημέρα Γιάννη.
Μαθηματικά από το διάγραμμα προφανώς δεν ορίζεται η επιτάχυνση τη στιγμή t=4s.
Όμως από τη μεριά της φυσικής κάθε χρονική στιγμή το κινητό έχει μια επιτάχυνση, άρα και τη χρονική στιγμή t=4s πρέπει να βρεθεί η επιτάχυνση.
Το διάγραμμα u-t δεν φτάνει για να απαντηθεί το ερώτημα που βάζεις.
Θα πρέπει να δώσεις τον τύπο της συνάρτησης της ταχύτητας για κάθε διάστημα.
Δηλαδή θα πρέπει να ξεκαθαρίσεις αν ο τύπος u=2t ορίζεται στο διάστημα [0,4) ή [0,4] δηλ. αν είναι ανοιχτό ή κλειστό το διάστημα, οπότε για τον άλλο τύπο u=t+ 4 αντίστοιχα θα ορίζεται στο [4,8] ή (4,8].
Για μια συνάρτηση f(x) ορισμένη π.χ. στο διάστημα [α,β) στο σημείο α η παράγωγος ορίζεται ως lim(x->α+) (f(x)-f(α))/(x-α) όταν αυτό υπάρχει.
Ως φυσικοί μελετάμε την κίνηση στα διαστήματα ξεχωριστά επομένως δύο γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας
Άρα αν τα αντίστοιχα διαστήματα [0,4] και (4,8] η απάντηση είναι 2m/s2
και αν είναι [0,4) και [4,8] η απάντηση είναι 1m/s2.
Το άλμα στην παράγωγο της επιτάχυνσης επιτρέπεται στη φύση π.χ. κόβω το σχοινί από το οποίο κρέμεται μια πέτρα, ακαριαία η επιτάχυνση γίνεται g. Η παράγωγος της επιτάχυνσης δεν έχει φυσικό περιεχόμενο άρα και να απειρίζεται δεν είναι πρόβλημα, σε αντίθεση με την ταχύτητα όπου για άλμα προκύπτει ότι απαιτείται άπειρη δύναμη.
Καλό μεσημέρι Βαγγέλη.
Σεβαστά όσα γράφεις. Διαφωνώ.
Βασίλη το ερώτημα “Υπάρχει η κίνηση;” ήταν ρητορικό.
Φυσικά υπάρχει αφού το είδες.
Ήταν ένα κυκλάκι που κινήθηκε στην οθόνη σου. Μπορείς να μετρήσεις την ταχύτητά του με ένα υποδεκάμετρο και ένα ρολόι. Η ταχύτητα που θα βρεις δεν είναι ίδια με αυτήν στη δική μου οθόνη.
Τι άλλο θα μπορούσε να είναι;
Αυτό:
Με απασχολεί μόνο το ίχνος του laser.
Νίκο βάζεις πολλά.
Αρχικά:
Μαθηματικά από το διάγραμμα προφανώς δεν ορίζεται η επιτάχυνση τη στιγμή t=4s.
Τα Μαθηματικά είναι μια επιστήμη. Με τις μεθόδους της υπολογίζουμε οτιδήποτε έχει αυστηρά ορισθεί.
Ο ορισμός που παρέθεσα από τους Χαλιντέυ – Ρέσνικ είναι σαφής και αυστηρός.
Τα Μαθηματικά δεν είναι ότι έχουμε στο μυαλό μας. Ορίζουν και την παράγωγο και τις πλευρικές παραγώγους.
Κυρίως θα διαφωνήσω με το «προφανώς» που είπες. Προφανώς ο ορισμός που παρέθεσα λέει άλλα. Υποθέτω πως διάβασες για τη διαφορά από το βουνό.
Έπειτα:
Θα πρέπει να δώσεις τον τύπο της συνάρτησης της ταχύτητας για κάθε διάστημα…..
Σωστό αυτό αλλά έγινε. Έγινε όταν τέθηκε το σχόλιο του Κώστα Ψυλάκου αλλά έγινε και στην αρχή. Από το διάγραμμα. Ο ορισμός της ταχύτητας και της επιτάχυνσης (κατά τους συγγραφείς) αφορούν το μέλλον. Ανεβαίνουμε (και μόνο ανεβαίνουμε) ένα dt και υπολογίζουμε το dυ/dt. Ο υπολογισμός έγινε στο pdf που παρέθεσα.
Μετά:
Για μια συνάρτηση f(x) ορισμένη π.χ. στο διάστημα [α,β) στο σημείο α η παράγωγος ορίζεται ως lim(x->α+) (f(x)-f(α))/(x-α) όταν αυτό υπάρχει.
Πολύ σωστά αλλά για το βουνό.
Συζήτηση του τύπου:
-Επιτάχυνση είναι αυτό!
-Όχι είναι αυτό!
Θυμίζει συζητήσεις στις οποίες αντιπαραβάλλονται το Ευαγγέλιο του Λουκά με αυτό του Μάρκου.
Το θέμα το έθεσα εστιάζοντας στο κατηγορηματικό «έπεται» των Χαλιντέυ – Ρέσνικ.
Δεν έχει νόημα να πει κάποιος ότι ο καθηγητής Μύλλερ γράφει….
Και μόνο το ότι ένα σπουδαίο βιβλίο γράφει αυτά αξίζει να συζητηθεί. Ας πει κάποιος ότι κάνουν λάθος οι Χαλιντέυ και Ρέσνικ. (Όμως δεν κάνουν).
Δεν ξέρω τη σχέση σου με το interactive physics. Αν σου στείλω προσομοίωση ακρίβειας 1.000 κλειδωμένη με δύο μόνο μετρητές, χρόνου και ταχύτητας, τι θα κάνεις για να βρεις την επιτάχυνση τη στιγμή 4 s; Θα πας στο παρελθόν; Θα πας στο μέλλον; Θα μου πεις ότι δεν ορίζεται η επιτάχυνση; Θα μου πεις ότι δεν ξέρεις αν υπάρχει επιτάχυνση διότι δεν ξέρεις αν η ταχύτητα που σου έστειλα είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση;
Όσοι μαθητές μου το είχαν μάθει κάπως θα έπαιζαν με το δεξιό κουμπάκι του κασετόφωνου (ένα κλικ μόνο) και θα έκαναν διαίρεση. Το λέμε «λειτουργικό ορισμό».
Γειά σας και πάλι.
Γιάννη δεν είχα δει (δε μπορώ) το i.p.
Πιστεύω ότι κατάλαβα την κίνηση του ίχνους του laser από το σχήμα σου.
Η γνώμη μου είναι ότι δεν είναι ταυτόχρονα στα σημεία 0 και 4.
Το φως χρειάζεται κάποιο χρόνο (μικρό αλλά όχι 0) για να φτάσει.
Η γραφική παράσταση σε συνάρτηση με το χρόνο που έχεις δεν είναι κατακόρυφη.
Έχει κάποια κλίση.
Γιάννη φαίνεται να είναι μια δέσμη laser. Πού πήγε το φως στον άξονα y, πριν το πρώτο εμπόδιο και μετά το δεύτερο; Εξαφανίστηκε, απορροφήθηκε, ανακλάστηκε; Το ότι δεν το βλέπω, το φως, πριν και μετά στον άξονα y, σημαίνει ότι κάτι ξαφνικά έπιασε μια ταχύτητα και ξαφνικά την έχασε;
Δλδ αν πω εγώ ότι αυτό το κάτι, δεν έχει καλά ορισμένη ταχύτητα στα εμπόδια, είναι λάθος η χάνω κάποιο πλεονέκτημα στην περιγραφή;
Βασίλη μην πάμε στα φωτόνια.
Υπάρχουν κινήσεις σημείων ενός γεωμετρικού τόπου (δες τα δύο χαρακάκια και τα ξίφη που ανάρτησα πριν).
Έστω ας δούμε την κινούμενη εικόνα που έστειλα. Ένας κύκλος ακαριαία βρίσκεται από το σημείο Α στο σημείο Β. Δεν έχει νόημα να συζητήσουμε για το ρηφρές ρέητ της οθόνης μας.
Κουνάς την ευθεία και το ίχνος της πηγαίνει ακαριαία από το Κ στο Λ.
Το σημείο του γεωμετρικού τόπου δεν υπόκειται σε περιορισμούς που επιβάλλει η Σχετικότητα.
Στάθη αναφέρομαι στο ίχνος και όχι στα φωτόνια.
Αυτά ας κάνουν ότι θέλουν.
Για να μην μπλέξουμε στη συζήτηση ότι το φως θέλει κάποιο χρόνο για να πάει από το ένα εμπόδιο στο άλλο ας μιλήσουμε για το κυκλάκι που έστειλα με το i.p.
Πηγαίνει ακαριαία από το Α στο Β διότι έχει προγραμματισμένη συμπεριφορά.
Εκτός πάλι αν εμπλέξουμε το ρηφρές ρέητ της οθόνης.
Ας ξαναβάλω το απόσπασμα:
Να συμπληρώσω ότι για τους λόγους αυτούς δεν υπακούει στους Νευτώνειους νόμους ούτε στους περιορισμούς της Σχετικότητας.
Παρότι έχω την αίσθηση πως υπάρχει διαφορά μεταξύ του τρόπου που παράγεται η επιστήμη και του τρόπου που διδάσκεται, επιλέγω να επαναφέρω κάποια εδάφια για τις απόψεις που είχε ένας σπουδαίος φυσικός και παράλληλα δεινός χειριστής των μαθηματικών της φυσικής.
Στο Ινστιτούτο του Sommerfeld το μαθηματικό μέρος έπρεπε να είναι τέλειο και σύμφωνο με τις συνηθισμένες μεθόδους. Όμως κάθε εξίσωση έπρεπε να κατανοείται, δηλαδή ο φοιτητής έπρεπε να είναι ικανός να πει για κάθε εξίσωση: «αυτός ο όρος σημαίνει αυτό».
Αργότερα στο Göttingen, ο Born ήταν περισσότερο μαθηματικός και τον ενδιέφερε αν μια λύση υπήρχε πραγματικά και πώς μπορεί να αποδείξει κανείς ότι μια εξίσωση πρέπει να έχει μια λύση ή περισσότερες – ερωτήματα δηλαδή μαθηματικής περισσότερο φύσης.
Η ύπαρξη λύσεων δεν ήταν ποτέ πρόβλημα για τον Sommerfeld. Θεωρούσε πάντοτε δεδομένο, ότι τα μαθηματικά θα δουλέψουν με κάποιο τρόπο, σε βαθμό που δεν φοβόταν καν τις ασυνέπειες του μαθηματικού σχήματος. Έλεγε: «Αν δεν δουλέψει αυτό, μπορούμε πάντα να υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα παρεμφερές που θα δουλέψει και το φυσικό περιεχόμενο θα είναι το ίδιο». Το πρόβλημα λοιπόν των αυστηρών μαθηματικών δεν ενδιέφερε τον Sommerfeld.
Επίσης, …
Υπήρχε κάποιος από τους μαθηματικούς, που του άρεσε ο τρόπος του Sommerfeld και τον υποστήριξε ενάντια στους άλλους. Ήταν ο Έλληνας μαθηματικός Καραθεοδωρή στο Μόναχο, στενός φίλος του Έλληνα υπουργού εξωτερικών. Άκουγα συζητήσεις μεταξύ του Καραθεοδωρή και των άλλων μαθηματικών και ο Καραθεοδωρή τόνιζε πάντα:
«ο Sommerfeld είναι εντάξει. Βλέπει ότι υπάρχουν ακόμη κάποιες αντιφάσεις αλλά πορεύεται στη φυσική με τον ίδιο τρόπο που ένας μαθηματικός το κάνει στα μαθηματικά. Γνωρίζει πρώτα τη λύση και στη συνέχεια προσπαθεί να το αποδείξει. Για ένα καλό μαθηματικό δεν ισχύει ποτέ το αντίστροφο – να βρει πρώτα την απόδειξη. Πρέπει πρώτα να γνωρίζεις τι πρέπει να αποδείξεις και μόνο τότε θα το κάνεις πολύ αργότερα».
Την ίδια στάση κρατούσε, απ’ ό,τι ξέρω, ο μαθηματικός Hardy στο Cambridge. Γνωρίζετε ότι υπήρχε μια μάλλον περίεργη σχέση μεταξύ του Hardy και του νεαρού Ινδού μαθηματικού Ramanujan. Ο Ramanujan ήταν περίπτωση ανθρώπου, που επινοούσε μαθηματικούς νόμους, οι οποίοι τις περισσότερες φορές ήταν απολύτως σωστοί, αλλά δεν μπορούσε να αποδείξει κανέναν από αυτούς. Ο Hardy πέρασε μεγάλο μέρος της ζωής του αποδεικνύοντας τα θεωρήματα του Ramanujan – o Hardy είδε αυτή την πλευρά του παιχνιδιού καθαρότερα από άλλους.
Νομίζω ότι έχω ακόμη ένα βιβλίο του Snow, στο οποίο βρήκα μια δήλωση του Hardy, η οποία έλεγε περίπου, ότι εκείνα τα πράγματα στην επιστήμη, τα οποία γίνονται με λογικά επιχειρήματα, δεν αξίζουν τίποτα. Πρέπει να βρω το βιβλίο στη βιβλιοθήκη μου – θα το βρω σύντομα, διότι μου είχε κάνει τόση εντύπωση, που είχα υπογραμμίσει τη δήλωση του Hardy.
Και…
Ο Pauli, υπό αυτή την έννοια, ήταν γνήσιος μαθητής του Sommerfeld – δεν ενδιαφερόταν για αποδείξεις. Τον von Neumann, καθώς ήταν εξαιρετικός μαθηματικός, τον ενδιέφεραν φυσικά οι αυστηρές αποδείξεις. Ο von Neumann είπε στον Pauli: «μπορώ να δείξω αυτό κι αυτό» και ο Pauli απάντησε: «αν μια απόδειξη ήταν σπουδαία για τη φυσική, τότε θα γινόσουν εξαίρετος φυσικός».
Η προηγούμενη παράθεση αποσκοπεί να αναδείξει ότι η αυστηρή χρήση των μαθηματικών δεν υπήρξε προτεραιότητα στην ανάδειξη νέων ιδεών στη φυσική.
Για την εκπαιδευτική διαδικασία;
Προφανώς, η αυστηρή χρήση των μαθηματικών προφυλάσσει τυπικούς μαθητές και δάσκαλους από κακοτοπιές, αν και όταν προκληθούν τέτοιου τύπου αντιφάσεις όπως αυτές με τις οποίες μας προκαλεί ο Γιάννης.
Αν όμως αυτές οι αντιφάσεις δεν επισημανθούν απ’ τον δάσκαλο αλλά από κάποιους μαθητές, αυτοί οι μαθητές μάλλον θα χειριστούν τα μαθηματικά όπως ο Χάιζενμπεργκ, ο Μπορ, ο Πάουλι και ο Ζόμερφελντ. Όχι όπως ο φον Νόυμαν, ο Μπορν κι’ ο Χίλμπερτ.
Τέλος,
μου φαίνεται να έχει και πρακτική χρησιμότητα και για τη διδασκαλία η μετάφραση των συνεντεύξεων που επιμελείται ο Αποστόλης. Τουλάχιστον όσο μας προκαλεί με σχετικά ερωτήματα ο Γιάννης.
Η δική μου οπτικη γωνία:
Καλησπέρα.
Γιάννη νομίζω ότι κατάλαβα τι εννοείς για την κίνηση του ίχνους ως γεωμετρικού τόπου.
Όμως δεν είναι αυτή η κίνηση αυτό που εξετάζουμε εδώ.
Δε μπορώ να απομονώσω τη θέση του ίχνους από την ταχύτητα του φωτός που χρειάζεται για να φτάσει.
Έτσι δε δέχομαι ότι η σκέψη μου τρέχει πιο γρήγορα από το φως, επειδή τώρα σκέφτομαι την Ελλάδα και δυο sec μετά άλλο γαλαξία.
Για να συνοψίσω νομίζω ότι είπα αυτό που πιστεύω. Αυτά τα γωνιακά σημεία που δημιουργούν τα προβλήματα που εξετάζουμε είναι μικρά χρονικά διαστήματα, που δεν έχουμε ή δε χρησιμοποιούμε άλλες εξισώσεις.
Επεκτείνουμε τις εξισώσεις της μεγάλης – γνωστής περιοχής στο άκρο και έχουμε αδιέξοδο.
Να είσαι καλά για τη συζήτηση!
Καλησπέρα παιδιά.
Γιώργο (Χριστόπουλε) η Κινηματική δεν είναι μόνο για υλικά παραμορφώσιμα σώματα. Όταν χειριζόμαστε το μοντέλο “στερεό σώμα” (rigid bodie) έχουμε ακαριαίες αλλαγές στη δύναμη.
Όμως η Κινηματική ασχολείται και με κινήσεις κουκίδων στην οθόνη μας, σκιών στην άμμο, κινουμένων σχεδίων στην οθόνη του κινηματογράφου, σημείων ενός γεωμετρικού τόπου. Αυτά δεν δέχονται δυνάμεις ούτε παραμορφώνονται.
Είχα γράψει σε σχόλιο ότι όταν τραβάμε μια μπάλα η δύναμη θα αυξάνεται από το μηδέν ως μία τιμή όσο η μπάλα παραμορφώνεται. Το ίδιο συμβαίνει και όταν τραβάω σώμα δεμένο με νήμα. Η δύναμη αυξάνεται όσο παραμορφώνεται το νήμα.