by 
Ένα ιδανικό ελατήριο στηρίζεται στο έδαφος σε κατακόρυφη θέση. Από μια θέση Γ σε ύψος h πάνω από το ελεύθερο άκρο του αφήνουμε να πέσει ένα σώμα, το οποίο αφού συμπιέσει το ελατήριο, μετά από λίγο επιστρέφει στην θέση Γ.
i) Για την ενέργεια της ταλάντωσης που πραγματοποιεί το σώμα, όσο χρόνο βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο, ισχύει:
α) Ε < mgh, β) Ε = mgh, γ) Ε > mgh.
ii) Αν Τ η περίοδος της παραπάνω ταλάντωσης, τότε ο χρόνος που το σώμα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο είναι ίσος:
α) t= ½ Τ, β) ½ Τ < t < Τ, γ) t= Τ.
iii) Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις, παριστάνει την ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t2 που σταματά η προς τα κάτω κίνησή του (θετική φορά προς τα πάνω);
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
Καλημέρα Διονύση
Σταθερός στην θεματοδοσία σου ,νομίζω στέλνεις τροχιοδεικτικά προς θεματοδότες, για αξιοπρεπή θέματα…
Αν ήμουν υποψήφιος και συναντούσα το θέμα αυτό σαν Β1 …π.χ,
σίγουρα θα έλεγα μπράβο στους θεματοδότες, ευτυχώς που οι Δάσκαλοι με δίδαξαν το στρεφόμενο για να τεκμηριώσω το ii) ερώτημα ,γιατί πηγαίνοντας μέσω εξισώσεων παρά λίγο να αγχωθώ.
Μετρημένο και ότι πρέπει στην περιοχή του, για “μετρημένους” υποψήφιους που νομίζω παρακολουθώντας την “ταλάντωση” βλέπουν τα αποτελέσματα και αρκεί να βρουν τον τρόπο να αποδώσουν αυτό που βλέπουν γραπτώς.
Να είσαι καλά
Kαλημερα Διονυση.Ωραια ασκηση και για μενα πιο πολυ το πρωτο ερωτημα.
Η γνωμη μου ειναι οτι το στρεφομενο ειναι αρκετα τεχνικη μεθοδος και πρεπει να την χρησιμοποιουμε μονο οταν απλοποιει καποιους τριγωνομετρικους υπολογισμους.Οταν η απαντηση ειναι τελειως προφανης και ειναι μπροστα στα ματια μας δεν καταλαβαινω γιατι πρεπει να δειχνουμε στον μαθητη μια μεθοδο που χρειαζεται πολυ περισσοτερα βηματα μεχρι να καταληξουμε στο αποτελεσμα.Εδω στο ερωτημα ii) δεν χρειαζεται κανενας υπολογισμος.Ισοδυναμει με το ερωτημα ποσο χρονο θελει ενας ταλαντωτης για να παει απο την θεση ισοροπιας στην θεση μεγιστης απομακρυνσης,να επιστρεψει στην θεση ισορροπιας και εκτος απο.αυτο,να διανυσει και καποιο επιπλεον διαστημα,χωρις ομως να εχει ολοκληρωσει μια πληρη ταλαντωση. Οποτε η απαντηση β) ειναι προφανης διοτι ειναι Τ/2 συν κατι ακομα. Δεν νομιζω οτι χρειαζονται κυκλοι και γωνιες για να το δουμε αυτο.
Καλό μεσημέρι Κωνσταντίνε.
Σ’ένα διάλειμμα από αγροτικές ασχολίες είδα το σχόλιο σου και ήθελα να πω
την σκέψη μου πάνω σ’αυτό.
Γράφεις …’’Η γνωμη μου ειναι οτι το στρεφομενο ειναι αρκετα τεχνικη μεθοδος και πρεπει να την χρησιμοποιουμε μονο οταν απλοποιει καποιους τριγωνομετρικους υπολογισμους.’’
Συμφωνώ ως προς το ‘’τεχνική’’ αλλά νομίζω αντιφάσκεις εν προκειμένω λέγοντας ότι …’’ να την χρησιμοποιουμε μονο οταν απλοποιει καποιους τριγωνομετρικους υπολογισμους.’’
Αυτό ακριβώς δεν κάνει στη λύση του ο Διονύσης;
Εσύ όπως και κάθε λύτης θα ακολουθήσει το δικό του τρόπο να απαντήσει που μπορεί να ταυτίζεται με την λύση μέσω του στρεφόμενου …η με την δική σου που όμως δεν κατάλαβα πως ακριβώς θα την έδινες σε γραπτή εξέταση , για να φανεί αυτό που γράφεις…’’ δεν χρειαζεται κανενας υπολογισμος’’ και σε κάθε περίπτωση σε μια λύση νομίζω, δεν μετράμε τις αράδες …
Τώρα μην παρεξηγηθώ αλλά η υπενθύμιση χρήσης του στρεφόμενου είναι νομίζω ενέργεια ουσίας που σε άλλη δυσκολότερη περίπτωση οι ‘’αράδες’’ δύσκολα για ένα μαθητή θα αποδώσουν τεκμηριωμένη απάντηση.
Στο σχόλιό μου στο τέλος σε προσέγγισα γράφοντας… ‘’…παρακολουθώντας την “ταλάντωση” βλέπουν τα αποτελέσματα και αρκεί να βρουν τον τρόπο να αποδώσουν αυτό που βλέπουν γραπτώς.’’
Να είσαι καλά
Γεια σου Παντελη. Εδω δεν χρειαζεται υπολογισμος διοτι αρκει να δειξουμε μια ανισοτητα. Πως θα αποδοθει? Χρησιμοποιωντας απλα ελληνικα:
“To σωμα αρχικα βρισκεται πανω απο την θεση ισορροπιας του και θα επιστρεψει στην ιδια θεση. Αρα θα διανυσει την αποσταση απο την θεση ισορροπιας εως την ακραια θεση και παλι πισω στην θεση ισορροπιας(χρονος Τ/2),συν ενα επιπλεον διαστημα που οφειλεται στην αποσταση της αρχικης του θεσεως απο την θεση ισορροπιας η οποια βρισκεται χαμηλοτερα.Ο απαιτουμενος χρονος εινα Τ/2 συν κατι ακομα και επισης μικροτερος απο Τ διοτι το σωμα δεν εχει ολοκληρωσει μια πληρη ταλαντωση.Αρα σωστο το β).”
Ετσι θα την εγραφα ως απαντηση σε εξεταση.
Δεν καταλαβαινω σε τι χρειαζεται μια configuration με στρεφομενα,γωνιες κλπ η καποια εξισωση που λες οτι σε αγχωσε για κατι τοσο εξωφθαλμα προφανες.Κατα την γνωμη μου δεν ειναι σωστο να δινουμε την εντυπωση στους μαθητες οτι για να τεκμηριωθει κατι αυστηρα ειναι παντα αναγκαια η χρηση εξισωσεων η εστω καποιας μορφης φορμαλισμος.
Οσον αφορα το σχολιο σου Παντελή οτι σε αλλη δυσκολοτερη περιπτωση ισως να ηταν δυσκολο να διατυπωθει η απαντηση με απλη περιγραφη και χωρις καθολου Μαθηματικα, καμμια αντίρρηση συμφωνω. Εγω μιλαω μονο για την συγκεκριμενη περιπτωση. Το οτι η μεθοδος των στρεφομενων διανυσματων ειναι γενικα χρησιμη ειναι γνωστο .Το να την χρησιμοποιουμε ομως παντου μου θυμιζει λιγο την παροιμια “Τωρα που βρηκαμε παπά να θάψουμε” 🙂
Γεια σου Διονύση. Όμορφο θέμα, το οποίο μπορεί να βοηθήσει ένα μαθητή και στην “έκφραση”, καθώς και τη διατύπωση της σκέψης του χωρίς κατ’ ανάγκη μαθηματικό φορμαλισμό.
Στο ερώτημα (iii), θα μπορούσε κάποιος να επικαλεστεί και την αναγκαία παραγωγισιμότητα της συνάρτησης της ταχύτητας (συνέχεια της επιτάχυνσης) τη χρονική στιγμή t1 ώστε να διακρίνει το πρώτο με το τρίτο διάγραμμα.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Παντελή, Κωνσταντίνε και Μίλτο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και την κατάθεση της σκέψης σας.
Κωνσταντίνε γράφεις:
““To σωμα αρχικα βρισκεται πανω απο την θεση ισορροπιας του και θα επιστρεψει στην ιδια θεση. Αρα θα διανυσει την αποσταση απο την θεση ισορροπιας εως την ακραια θεση και παλι πισω στην θεση ισορροπιας(χρονος Τ/2),συν ενα επιπλεον διαστημα που οφειλεται στην αποσταση της αρχικης του θεσεως απο την θεση ισορροπιας η οποια βρισκεται χαμηλοτερα.Ο απαιτουμενος χρονος εινα Τ/2 συν κατι ακομα και επισης μικροτερος απο Τ διοτι το σωμα δεν εχει ολοκληρωσει μια πληρη ταλαντωση.Αρα σωστο το β).”
Ετσι θα την εγραφα ως απαντηση σε εξεταση.”
Και αυτή είναι μια απόδειξη! Ευκολότερη από την δική μου, δυσκολότερη, πιο εύκολη πιο δύσκολη, πιο όμορφη, πιο άσχημη, ποιος θα δώσει μια μονοσήμαντη απάντηση;
Είναι όμως ΑΠΟΔΕΙΞΗ…
Μίλτο και ποιος μας λέει ότι δεν πρέπει η επιτάχυνση να παρουσιάζει ασυνέχεια; Το jerk δεν διδάσκεται στην ελληνική εκπαίδευση, οπότε δεν βλέπω γιατί να μην δεχτούμε την ύπαρξη ασυνέχειας στην επιτάχυνση.
Από Φυσικής άποψης, θα έλεγα ότι ένα “απότομο τίναγμα” δεν δείχνει αφύσικη συμπεριφορά.
Συμφωνώ απόλυτα Διονύση με το σχόλιο σου “Από Φυσικής άποψης, θα έλεγα ότι ένα “απότομο τίναγμα” δεν δείχνει αφύσικη συμπεριφορά.“.
Ίσως να μην διατύπωσα τη θέση μου αυστηρά πιο πριν, καθώς η παρατήρησή μου εννοείται ότι δεν είναι γενική.
Στην περίπτωση της άσκησής σου, το ελατήριο έχει αρχικά το φυσικό του μήκος. Άρα, αμέσως μετά τη στιγμή t1 που το σώμα έρχεται σε επαφή με αυτό, δέχεται μόνο το βάρος του και έχει επιτάχυνση α = -g όπως και ακριβώς πιο πριν.
Κωνσταντίνε γειά σου και συγνώμη που καθυστερημένα θα σχολιάσω τα εις διπλούν σχόλιά σου προς εμένα ,αλλά καθ’ότι μόνος στο χωριό έχω και τα οικοκυρικά της καθημερινότητας του … εργένη .
Κατ’αρχάς έγραψα…’’Αν ήμουν υποψήφιος και συναντούσα το θέμα αυτό σαν Β1 …π.χ,
σίγουρα θα έλεγα μπράβο στους θεματοδότες, ευτυχώς που οι Δάσκαλοι με δίδαξαν το στρεφόμενο για να τεκμηριώσω το ii) ερώτημα ,γιατί πηγαίνοντας μέσω εξισώσεων παρά λίγο να αγχωθώ.’’ Δεν έγραψα ότι αγχώθηκα
Διάβασα λοιπόν την απάντηση που όπως γράφεις θα έδινες σε εξέταση, ‘’χρησιμοποιώντας απλά ελληνικά’’ όπως λες, τα οποία σαν βαθμολογητής κατανοώ και σκέφτομαι να βαθμολογήσω με άριστα την απάντηση, όμως ας πούμε σαν αυστηρός κριτής έχω ένα ερωτηματικό (που μπορεί να στοιχίσει το min ) στην έκφρασή σου , ‘’…διοτι το σωμα δεν εχει ολοκληρωσει μια πληρη ταλαντωση’’ και εννοώ ότι θα έπρεπε να είσαι σαφέστερος στην έκφραση…’’To σωμα αρχικα βρισκεται πανω απο την θεση ισορροπιας του και θα επιστρεψει στην ιδια θεση. ‘’
Εννοώ ότι θα έπρεπε να θίξεις το γεγονός ότι με το ‘’αρχικά’’ εννοείς τη στιγμή που έρχεται σε επαφή με το ελατήριο το σώμα και ότι αυτή η θέση αφορά απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας χ<Α, εξηγώντας το γιατί. Απλό και εννοείται ; Μα στα γραπτά είναι ρίσκο το εννοείται.
Άραγε έχει δίκιο ο ‘’αυστηρός κριτής’’
Η αυστηρότητά δεν έχει να κάνει με το ότι δεν δέχομαι μια φραστική απάντηση.
Παρόλο που δεν συνηθίζω σχόλια επί σχολίων …με παρέσυρε εν προκειμένω το…
“Τωρα που βρηκαμε παπά να θάψουμε”
https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/1f60a.svg
Ελπίζω πως είναι κατανοητά τα ελληνικά μου και αν το ερωτηματικό μου δεν στέκει ας κριθώ αυστηρά
Υ.Γ
Ελπίζω ο μεταφραστής μου να έδωσε σωστή ερμηνεία της…
configuration =εγκατάσταση
Γεια σου και παλι Παντελή.Ειναι ευχαριστηση για μενα να μιλαμε.Ισως εχεις δικιο ως προς το ρισκο μιας απαντησης σαν την δικια μου.Για μενα μια απαντηση με αυστηρη λογικη που αποφευγει τελειως τους φορμαλισμους ειναι παντα καλυτερη αλλα αυτο ειναι και υποκειμενικο. Και στο λεω εγω που μαλλον εχω γινει περισσοτερο μαθηματικος, διοτι διδασκω αλγεβρα,μιγαδικη αναλυση και διαφορικη γεωμετρια σε φοιτητες,για περισσοτερα απο εικοσι χρονια.Αλλα μηπως νομιζεις οτι η πιθανοτητα να χασει μορια ο υποψηφιος επειδη χρησιμοποιησε στρεφομενα ειναι μηδεν? Τα στρεφομενα δεν υπαρχουν στο βιβλιο.Ρωτα τον Κυριακόπουλο τι του ειχε πει καποιος καθηγητης απο ενα βαθμολογικο και τον ειχε εκνευρισει..Αυτο βεβαια δεν σημαινει οτι ενας λογικος διορθωτης πρεπει να κοψει.Ομως δεν εισαι σιγουρος για τιποτα Καποιοι θα κοψουν.Θα βρει ο μαθητης το δικιο του? Παρ’ τ’ αυγό και κούρευτο!Δεν βγαζεις ακρη με τους βαθμολογητες. Ειναι παρακινδυνευμενο να συμβουλεψεις εναν μαθητη να χρησιμοποιησει στρεφομενα ειδικα εκει που δεν χρειαζονται Παρακάλα να πεσει το γραπτο στα χερια διορθωτη που να καταλαβαινει τι διαβαζει.Δεν γινεται ποτε να τα δικαιολογεις ολα διοτι τοτε μια αποδειξη κατανταει πολυλογια και γινεται κουραστικη .Για παραδειγμα η εκφραση: ’’To σωμα αρχικα βρισκεται πανω απο την θεση ισορροπιας του και θα επιστρεψει στην ιδια θεση”, ειναι προφανης διοτι η ερωτηση της ασκησης αφορα μονο τον χρονο διαρκειας της ταλαντωσης αρα η εναρξη του χρονου ειναι οταν ξεκιναει η ταλαντωση δηλαδη οταν το σωμα ερχεται σε επαφη με το ελατηριο.Ειναι πολυλογια να τα γραψει αυτα κανεις κατα την γνωμη μου.
Επισης η θεση εκινησης της ταλαντωσης δεν μπορει να ειναι θεση πλατους διοτι την στιγμη που το σωμα ερχεται σε επαφη με το ελατηριο, εχει ταχυτητα,αλλα ουτε και θεση ισορροπιας για προφανεις λογους.
Ομως αν επιμενεις δεν διαφωνω οτι θα επρεπε ισως να δικαιολογουνται και αυτες οι λεπτομερειες στην διατυπωση. Παντως σε καθε περιπτωση μια τετοια αποδειξη της ανισοτητας με τις βελτιωσεις που επεσημανες,ειναι αυστηρη, σαφης και πολυ προτιμοτερη απο καθε αποψη,απο μια αναφορα σε στρεφομενα διανυσματα γωνιες που αυτα διαγραφουν,κλπ,Ακομα και για λογους ασφαλειας εις οτι αφορα την βαθμολογηση.Εδω δεν μπορουμε να συννενοηθουμε μεταξυ μας για θεματα βαθμολογησης.Ριξε μια ματια στην συζητηση Μια δύσκολη(;) περίπτωση βαθμολόγησης.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
“Αλλα μηπως νομιζεις οτι η πιθανοτητα να χασει μορια ο υποψηφιος επειδη χρησιμοποιησε στρεφομενα ειναι μηδεν? Τα στρεφομενα δεν υπαρχουν στο βιβλιο.Ρωτα τον Κυριακόπουλο τι του ειχε πει καποιος καθηγητης απο ενα βαθμολογικο και τον ειχε εκνευρισει..”
Για ρώτησε ξανά τον Γιάννη.
Ισχύει αυτό ή με βάση πρόσφατο θέμα πανελλαδικών, η ΚΕΕ έστειλε λύση με στρεφόμενα;
Μήπως έτσι νομιμοποιήθηκε η χρήση τους;
Καλημερα Διονυση.Εγω δεν χρησιμοποιησα ποτε την λεξη νομιμο η μη νομιμο.Εδω κανουμε Φυσικη και Μαθηματικα και απ οτι θυμαμαι και απο παλια το επισημο φυλαδιο των εξετασεων παντα στο τελος εγραφε οτι καθε επιστημονικα τεκμηριωμενη απαντηση ειναι αποδεκτη. Ολες οι σωστες λυσεις νομιμες ειναι.Το θεμα ειναι σε τι εξεταστη θα πεσεις.Η δικια μου λυση ειναι νομιμη? Εγω απ οτι καταλαβα απο αυτα που μου ειπες πριν,εσυ θα με εκοβες διοτι την διατυπωση μου δεν την θεωρεις αποδειξη. 🙂
Στις εξετάσεις του 2019 δόθηκε λύση από ΚΕΕ, που χρησιμοποιήθηκε το περιστρεφόμενο διάνυσμα.
Το σχόλιο του Γιάννη, εδώ:
Eνταξει συμφωνοι.Και εγω στο αρχικο μου σχολιο απλως ειπα για την αναγκαιοτητα χρησης του στρεφομενου στην ασκηση σου.Μετα με τον Παντελη η συζητηση πηγε στο που υπαρχει πιθανοτητα ενας εξεταστης να κοψει μοναδες.
Απ οτι καταλαβα επιμενεις οτι αν εχεις μια ερωτηση που λεει οτι ενας αρμονικος ταλαντωτης κανει την διαδρομη ας πουμε
Α/3-> 0-> -Α -> 0 ->Α/3 τοτε για να δικαιολογησεις οτι ο χρονος αυτης της διαδρομης θα ειναι κατι μεταξυ Τ/2 και Τ, πρεπει να χρησιμοποιησεις στρεφομενα. Οκ.
Καλημέρα Κωνσταντίνε και χρόνια πολλά.
Θα έγραφα το
δεδικασμένο πλέον που ανέφερε ο Διονύσης, καλημέρα Διονύση …και ο Γιάννης
(είδα μόλις)καλημέρα Γιάννη.
Αρκετά χρόνια
συντονιστής σε βαθμολογικό κέντρο ,έζησα την ευθύνη του ρόλου μας (δύο είμαστε)
κατά την διαδικασία της συνάντησης με τους βαθμολογητές πριν την έναρξη της
βαθμολόγησης στην οποία καταβαλλόταν προσπάθεια να κατατεθούν απόψεις
τεκμηριωμένες για τρόπους (μεθόδους) απάντησης σε θέματα που τις … σήκωναν
και με την κατάληξη (παράκληση) πάντα ότι αν κάποιος συνάδελφος έχει
ερωτηματικά στη πορεία της βαθμολόγησης, για την ορθότητα μιας λύσης σε
συγκεκριμένο γραπτό να απευθυνθεί στους συντονιστές για να λάβουν γνώση και να
πάρουν μαζί την απόφαση που “πρέπει” ,ακόμη και να ενημερωθούν οι συνάδελφοι
βαθμολογητές για την περίπτωση…με ευθύνη των συντονιστών οι οποίοι πρέπει να
είναι παρόντες σε όλη τη διαδικασία.
Έγραψα τα
παραπάνω για να πω ότι σε κάθε βαθμολογικό δημιουργείται ένα κλίμα με κάποιο
επίπεδο σοβαρότητας που όσο ψηλότερο είναι τόσο καλλίτερο για όλους και κύρια
για την αξιολόγηση των μαθητών.
Για το συγκεκριμένο τώρα η λύση με το στρεφόμενο δεν έχει ρίσκο (στην ορθή απόδοση),όπως κατά τη γνώμη μου και η φραστική σου Κωνσταντίνε με την αποδοχή της προσθήκης που αναφέρεις…’’ η θεση εκινησης της ταλαντωσης δεν μπορει να ειναι θεση πλατους διοτι την στιγμη που το σωμα ερχεται σε επαφη με το ελατηριο, εχει ταχυτητα,αλλα ουτε και θεση ισορροπιας για προφανεις λογους’’
Να είστε όλοι καλά και καλό Σαββατοκύριακο
ΥΓ
Είδα κι έπαθα με το προβληματικό internet αλλά πάλι καλά με το ρουτεράκι που με προμήθευσε η κορη .