by 
Ένας πανεπιστημιακός βάζει μια άσκηση στους φοιτητές του:
Το δυναμικό πεδίο F = i.4 N για κάθε z≥0 και F = 0 για κάθε z<0 είναι συντηρητικό;
Δύο από αυτούς προσεγγίζοντας διαφορετικά το θέμα δίνουν δύο διαφορετικές απαντήσεις.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Ένας πανεπιστημιακός βάζει μια άσκηση στους φοιτητές του:
Το δυναμικό πεδίο F = i.4 N για κάθε z≥0 και F = 0 για κάθε z<0 είναι συντηρητικό;
Δύο από αυτούς προσεγγίζοντας διαφορετικά το θέμα δίνουν δύο διαφορετικές απαντήσεις.
Γεια σου Γιαννη. Η curl F=0 ειναι τοπικη ιδιοτητα και δεν ισχυει πανω σε σημεια του επιπεδου xy οπου το πεδιο εχει ασυνεχεια. Ποτέ ενα ασυνεχες πεδιο δεν ειναι συντηρητικο.Πρεπει να θεωρησει σωστη την δευτερη και λαθος την πρωτη.
Υποθέτοντας ότι το μυστήριο F = i.4 N σημαίνει F κάθετη στον άξονα z
Το πεδίο δυνάμεων έχει ασυνέχεια στο z=0.
Εξαιτίας αυτής της ασυνέχειας, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε άμεσα το τεστ με την στροφή του F (curl F) σε όλο το χώρο – το πεδίο δεν είναι συνεχές στο z=0.
Δεδομένου ότι το έργο σε έναν κλειστό βρόχο δεν είναι μηδενικό, το πεδίο δυνάμεων δεν είναι συντηρητικό.
Επιλογή του καθηγητή
4. Να θεωρήσει σωστή τη δεύτερη και λάθος την πρώτη.
Καλησπέρα Κωνσταντίνε και Άρη.
Συμφωνώ.
Καλησπέρα Γιάννη, καλησπέρα σε όλους.
Γιάννη τώρα γράψε και το “ηθικό δίδαγμα” ή αν προτιμάς το συμπέρασμα…
Γεια σου Διονύση.
Το συμπέρασμα το έχει παραθέσει ο Άρης αναφερόμενος σε εδάφιο του Χάρβαρντ:
https://abel.math.harvard.edu/archive/21a_summer_04/handouts/conservative.pdf
In a simply connected region D, a vector field F is conservative if and only if curl(F) = ~0 everywhere inside D.
Εδώ δεν έχουμε απλώς συνεκτική περιοχή (το επίπεδο z=0 γαρ) και ο στροβιλισμός έχει πρόβλημα στα σημεία του επιπέδου αυτού.
Γιαννη δεν νομιζω οτι το παραδειγμα αυτο εχει σχεση με τοπολογικα ζητηματα περι συνεκτικοτητας ή με το αν ο μηδενισμος του στροβιλισμου σε καθε σημειο στο οποιο οριζεται το πεδιο ειναι ικανη συνθηκη ή οχι για να ειναι το πεδιο συντηρητικο. Εδω ο χωρος στον οποιο οριζεται το πεδιο ειναι απλα συνεκτικος αλλα λογω καποιας ασυνεχειας, ο στροβιλισμος δεν ειναι μηδεν παντου και ο μηδενισμος του ειναι αναγκαια συνθηκη για να ειναι το πεδιο συντηρητικο.
Αρα Διονυση και Γιαννη το συμπερασμα ειναι απλως οτι ενα ασυνεχες διανυσματικο πεδιο δεν ειναι ποτέ συντηρητικο. Αυτο επισης εξηγειται απο το οτι αν ενα ασυνεχες πεδιο ηταν συντηρητικο θα επρεπε να μπορει να παραχθει απο την κλιση ενος βαθμωτου δυναμικου. Η κλιση ενος βαθμωτου δυναμικου ομως δεν εχει ποτέ ασυνεχειες,οπερ ατοπον.
Γεια σας. Δυναμικό πεδίο και μάλιστα ομογενές υπάρχει για z≥0 (περιοχή Α) . Για z<0 (περιοχή Β) ο χώρος δεν είναι δυναμικό πεδίο. Ένα κινούμενο ελεύθερο σωμάτιο στη περιοχή Β κάνει ΕΟΚ . Η μελέτη της κίνησης του σωματίου σε χώρο με τα χαρακτηριστικά του εν λόγω θέματος είναι γνωστή. Είναι για παράδειγμα η κίνηση σωματίου που εισέρχεται στο, ή τοποθετείται σε – εκτοξεύεται από σημείο ΟΗΠ. Στη περιοχή Α οι δύο τρόποι (στροβιλισμός της F μηδέν και έργο μηδέν κατά μήκος κλειστής διαδρομής)
είναι σε πλήρη συμφωνία . Συνεπώς για z≥0 υπάρχει ένα ομογενές – συντηρητικό – πεδίο ενώ στη περιοχή Β δεν υπάρχει δυναμικό πεδίο συνεπώς το ερώτημα αν είναι συντηρητικό ή όχι δεν τίθεται για κάτι που δεν υπάρχει . Αν στη περιοχή Β υπήρχε ένα άλλο πεδίο διαφορετικό του υπάρχοντος στη περιοχή Α το αντιμετωπίζουμε όπως το 1ο ελέγχοντας αν είναι ή όχι συντηρητικό αν χρειάζεται ή ζητείται. Όμως τα δύο διαφορετικά πεδία δεν τα ενοποιούμε, δεν τα συγχωνεύουμε σε ένα κατά τη γνώμη μου . Μελετάμε ξεχωριστά την κίνηση σε κάθε πεδίο. Όπως κάνουμε με σωματίδιο που εξέρχεται από ΟΗΠ και εισέρχεται σε ΟΜΠ. Μπορεί στην ίδια περιοχή του χώρου να συνυπάρχουν δύο πεδία π.χ. επιλογέας ταχυτήτων ή κίνηση σωματίου σε χώρο που συνυπάρχει βαρυτικό και ηλεκτροστατικό πεδίο. Το κάθε πεδίο διατηρεί την ανεξαρτησία του. Η δυναμική ενέργεια του ομογενούς πεδίου της περιοχής Α δίνεται από την εξίσωση V=-Fx , όπου F η σταθερή αλγεβρική τιμή της δύναμης. Βέβαια σε πραγματικά φυσικά συστήματα το πεδίο δεν μηδενίζεται απότομα όπως συμβαίνει εδώ κατά το πέρασμα από τη περιοχή Α στη περιοχή Β. Το όριο δεν είναι μια επίπεδη επιφάνεια όπως το επίπεδο xOy.
Καλημέρα Κωνσταντίνε και Γιώργο.
Κωνσταντίνε κάτι δεν μου κάθεται καλά.
Βαρυτικό πεδίο περί λεπτότατο σφαιρικό φλοιό:
Φυσικά υπάρχει ασυνέχεια μια και μέσα είναι μηδέν.
Δεν είναι συντηρητικό;
Ηλεκτρικό πεδίο περί μεταλλική φορτισμένη πλάκα απείρου μήκους:
Μέσα στην πλάκα το πεδίο είναι μηδέν και έξω Ε. Ασυνέχεια.
Το ηλεκτροστατικό αυτό πεδίο δεν είναι συντηρητικό;
Γιώργο οι παραπάνω εικόνες απαντούν και στο σχόλιό σου.
Έχουμε ένα πεδίο που έχει δύο περιοχές. Π.χ. το βαρυτικό πεδίο περί τον φλοιό.
Φυσικά μπορείς να τα μελετήσεις ως δύο ή όπως θέλεις.
Όμως εμένα με απασχολεί το εξής:
Κατά μήκος της κλειστής αυτής διαδρομής, το έργο είναι μηδέν;
Υπάρχει διαδρομή με μη μηδενικό έργο;
Αν ναι τότε θα πούμε ότι βρήκαμε ένα βαρυτικό πεδίο μη συντηρητικό.
Πεδίο είναι μια συνάρτηση από τον R3 στον R3. Η συνάρτηση αυτή μπορεί να παρουσιάζει ασυνέχειες. Είναι ένα πεδίο, άλλο αν μπορούμε να το μελετήσουμε σπάζοντάς το σε δύο ή περισσότερα.
Δες σε όλα τα βιβλία γραφική παράσταση της έντασης του βαρυτικού πεδίου της γης αν ανοίξουμε τη γνωστή σήραγγα:
Αν κάνω λάθος έχω καλή παρέα.
Το Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο:
Κάνουν τη γραφική παράσταση του ηλεκτρικού πεδίου.
Τώρα για τη συνύπαρξη:
Άλλο η συνύπαρξη βαρυτικού, ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου και άλλο η συνύπαρξη δύο ηλεκτρικών πεδίων. Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε ένα πεδίο, το διανυσματικό τους άθροισμα. Το ίδιο για δύο μαγνητικά ή δύο βαρυτικά.
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα στην υπόλοιπη παρέα.
Ο χώρος στο εξωτερικό ενός σφαιρικού φλοιού είναι απλά συνεκτικός, όπως και ο χώρος στο εσωτερικό του. Αυτό γιατί μία καμπύλη μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο, χωρίς να περάσει από το όριο της επιφάνειας του φλοιού. Επίοης εκτός του φλοιού ο στροβιλισμός ισούται με το μηδέν, άρα το πεδίο εκτός είναι συντηρητικό.
Ομοίως στο βαρυτικό πεδίο σημειακής μάζας. Το πεδίο δεν ορίζεται στην αρχή των αξόνων (θέση σημειακλης μάζας), αλλά ο χώρος γύρω από αυτό είναι απλά συνεκτικός με μ
ηδενικό στροβιλισιμό. Συντηρητικό πεδίο.
Στο παράδειγμα της σταθερής δύναμης, ο χώρος είναι απλά συνεκτικός παντού, αλλά ο στροβιλισμός διάφορος του μηδενός. Μη συντηρητικό πεδίο.
Καλημέρα Στάθη.
Υποθέτω πως συμφωνείς ότι το έργο είναι μηδέν σε κάθε τέτοια κλειστή τροχιά:
Στο πεδίο D’ Alembert (με άξονα συμμετρίας τον άξονα z), ο χώρος είναι μη συνεκτικός γιατί αν έχουμε μια κλειστή καμπύλη πέριξ του άξονα, δεν μπορώ να την συρρικνώσω σε ένα σημείο, χωρίς να περάσω από τον άξονα.
Ο στροβιλσιμός όμως ισούται με το μηδέν. Αν και μπορώ να ορίσω συνάρτηση “δυναμικής ενέργειας”, η συνάρτηση αυτήν δεν είναι καλά ορισμένη (προκύπτει η τοξοεφ(y/x) )
Μη συντηρητικό πεδίο.
Συμφωνώ Γιάννη.
Αυτό που με προβληματίζει Γιάννη είναι ότι η συγκεκριμένη τροχιά (από έξω, μέσα στον φλοιό και τούμπαλιν), διέρχεται από την πηγή του πεδίου (τον φλοιό). Έχει νόημα να αναφερόμαστε στα σημεία -πηγές του πεδίο;