by 
Ή τι σημαίνει δουλεύουμε με χρήση αλγεβρικών τιμών.
Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και σε μια στιγμή t0=0, περνά από ένα σημείο Α, κινούμενο προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου 10m/s, ενώ έχει σταθερή επιτάχυνση με φορά προς τα αριστερά, μέτρου 2m/s2.
i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές:
α) t1=4s και β) t2=7s.
ii) Ποια χρονική στιγμή το σώμα αλλάζει κατεύθυνση κίνησης;
iii) Πόσο απέχει το σώμα από την αρχική θέση Α, τη χρονική στιγμή που ενώ κινείται προς τα αριστερά έχει ταχύτητα μέτρου 10m/s;
Οι απαντήσεις να δοθούν:
Α) Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.
Β) Θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική.
ή
Πώς υπολογίζουμε ταχύτητες σε μια ΕΟΜΚ
Πώς υπολογίζουμε ταχύτητες σε μια ΕΟΜΚ
Αφιερωμένη στο Γιώργο Φασουλόπουλο και Γιάννη Κυριακόπουλο, σαν μια συνέχεια του προβληματισμού που εκφράστηκε στη διάρκεια της συζήτησης:
Το μέτρο και η αλγεβρική τιμή φυσικού μεγέθους
Αλλά δεν μπορώ να μην θέσω και μερικά ερωτήματα όπως:
Είναι τόσο δύσκολη η παραπάνω λύση η οποία, υποτίθεται ότι, χρησιμοποιεί “δυσκολότερα μαθηματικά”, παρά αν χρησιμοποιούσαμε μέτρα;
Πότε θα πάψουμε να χρησιμοποιούμε ένα μίγμα πραγμάτων που μάθαμε μαθητές όντες, μαζί με πλέον σύγχρονες αντιμετωπίσεις;
Σαν μαθητής, το ’70, προφανώς δεν θα έκανα αυτή τη λύση. Αλλά η λύση με το να κόψω την κίνηση σε δύο, μια αρχικά επιβραδυνόμενη και στη συνέχεια μια “άλλη” επιταχυνόμενη, νομίζετε ότι ήταν προσφορότερη και απευθυνόταν σε περισσότερους μαθητές, από όσους απευθύνεται η παραπάνω;
Πότε θα σταματήσουμε να γράφουμε ότι υ=υ0-αt και να υποστηρίζουμε ότι δουλεύουμε με (αλγεβρικές) τιμές ταχύτητας;
Καλησπέρα Διονύση ..ποτέ δεν έχω δεί γραμμένη την εξίσωση υ=υ0-γt ..
Όταν α<0 τότε συνηθίζεται να γράφουμε το αρνητικό πρόσημο στην εξίσωση αλλά αντί για γ γράφουμε ΙγΙ ..
Αυτό κάνουμε όταν γράφουμε την εξίσωση της κατακόρυφης βολής υ=υο-gt .Ομως το σύμβολο g νομίζω πως αναφέρεται στο μέτρο ..Μπορούμε και να το γράψουμε υ=υο+(-g)t.
Ποτέ δεν έχεις δει γραμμένη Γιάννη;
Και η παρακάτω εικόνα, τι δείχνει;
Δεν ξέρω αν υπήρχε λάθος που μπορούσαν να κάνουν και δεν το έκαναν ..Αυτοί δεν γράφουν με γ την επιτάχυνση ..είναι μοντέρνοι!
Αγαπητέ κ. Μάργαρη,
Συμφωνώ απολύτως και συνυπογράφω όλους τους προβληματισμούς σας και σε αυτή την ανάρτηση, αλλά και στην έτερη με τίλτο " Το μέτρο και η αλγεβρική τιμή φυσικού μεγέθους ".
Ειδικά η εικόνα με τις εξισώσεις ταχύτητας, που παραθέτετε από το σχολικό βιβλίο, είναι πέρα για πέρα λανθασμένη. Η φυσική και μαθηματική απόρροια της διαφορικής εξίσωσεις a = dv/dt με a = σταθ., είναι η Εξ. (1.1.7). Η Εξ. (1.1.8) δεν συνάγεται από πουθενά.
Το απαράδεκτο από διδακτικής σκοπιάς φαινόμενο που υφίσταται στην Λυκειακή Φυσική, περί μη ξεκάθαρης αναγραφής και σωστού χειρισμού των διανυσματικών και των εξ' αυτών προκυπτουσών αλγεβρικών εξισώσεων, οφείλεται κατά την γνώμη μου στο ότι δεν χρησιμοποιείται σωστά η έννοια τού συστήματος συντεταγμένων και κατ' επάκτασιν η έννοια τής διανυσματικής βάσεως.
Ελπίζω κάποια στιγμή να επανέλθω αναλύοντας περαιτέρω τις σκέψεις μου.
Ευχαριστώ Διονύση.
Φυσικά εδώ βασιλεύουν οι αλγεβρικές τιμές. Οιαδήποτε λογική άλλη θα μπέρδευε την λύση.
Έτσι θα την έλυνα και στην τάξη. Έτσι την καταλαβαίνουν καλύτερα.
Στην Κινηματική των ευθύγραμμων κινήσεων είναι προτιμητέα μια λύση με αλγεβρικές τιμές. Ακόμα και στην Ε.Ο.Κ. , όταν κινούνται αντίθετα δύο κινητά.
Σε άλλα θέματα (λ.χ. διατήρηση ορμής) δεν υπάρχει πλεονέκτημα εμφανές κάποιας προτίμησης. Σε άλλες περιπτώσεις (όταν σχεδιάζονται διανύσματα σε 2D προβλήματα) είναι προτιμητέα η χρήση μέτρων.
Διονύση καλησπέρα και από εμένα, χαιρετώ επίσης και το μεγάλο Κυριακόπουλο αλλά και όλους τους φίλους. Το μεγάλο πρόβλημα για εμένα είναι ζητάμε από τα παιδιά να υπολογίσουν το διάστημα. Π.χ. Να υπολογίσετε το διάστημα όταν
1) uo=10m/s και α=-2m/s^2 για 2 sec (πόσο μάλλον αν t=6s)
2) uo=-10m/s και α=2m/s^2 για 2 sec
3) uo=-10m/s και α=-2m/s^2 για 2 sec
Για ρίξτε καμιά ιδέα
Καλησπέρα Γιάννη.
Στα παραδείγματά σου η ταχύτητα δεν αλλάζει φορά. Η απόλυτη τιμή είναι ίση με το διάστημα.
Όταν η ταχύτητα αλλάξει φορά ίσως βολεύει να υπολογίσουμε το άθροισμα των απολύτων τιμών των εμβαδών.
Αν κατάλαβα υπολογίζεις το Δx και μετά το βάζεις σε απόλυτο;
Καλησπέρα Διονύση, ενισχύοντας την άποψή σου,
υπενθυμίζω το επόμενο
μικρή ανασκόπηση της Βιβλιογραφίας της Διδακτικής των Φυσικών Επιστημών
επί του συγκεκριμένου
Ο ισχυρισμός ότι η μελέτη της κίνησης είναι μάλλον εύκολη υπόθεση για τον δάσκαλο, αντιμετωπίζεται με επιφύλαξη απ’ τον Arons (Οδηγός Διδασκαλίας της Φυσικής), που εκτιμά πώς το πρόβλημα βρίσκεται στην οικοδόμηση της έννοιας των στιγμιαίων τιμών από τους μαθητές, υπογραμμίζοντας ότι αυτό δεν το πέτυχαν ούτε οι Αρχαίοι Έλληνες με τον «εκλεπτυσμένο τρόπο σκέψης τους».
Η οικοδόμηση των εννοιών "στιγμιαία ταχύτητα" και "επιτάχυνση", που ανέμειναν τον 17ο αιώνα για να κατασκευαστούν, θα πρέπει πάντα σύμφωνα με τον Arons, να συγκροτηθούν με βάση τις έννοιες «θέση» και «χρονική στιγμή» (που την εισάγει ως ένδειξη χρονομέτρου).
Ο ίδιος συνιστά την αμφίδρομη επικοινωνία διαγραμμάτων και εξισώσεων θέσης – χρόνου, ως προνομιακό πλαίσιο οικοδόμησης των στιγμιαίων μεγεθών, γιατί έτσι αποδίδεται νόημα στις ολοκληρωμένες εκφράσεις των εξισώσεων κίνησης, τις οποίες προκρίνει έναντι των “σπασμένων” ανάλογα με την φορά της ταχύτητας.
Επιπλέον, κολάζει την εισαγωγή των εξισώσεων μέσω της μέσης τιμής, αφού αυτή η εισαγωγή ενέχει την επιστημολογική υπόθεση ότι η ταχύτητα αποτελεί το πρωταρχικό μέγεθος στην διαπραγμάτευση. Με έμφαση στο δόγμα «πρώτα η ιδέα – μετά η ονομασία», προτείνει να γίνεται μέσω πολλαπλών αναπαραστάσεων θέσης-χρονικής στιγμής η διερεύνηση του “πιο γρήγορα”. Εγώ θα προσθέσω τη δυσκολία απόδοσης φυσικού νοήματος στη μέση διανυσματική ταχύτητα, για να υπερθεματίσω στην προβληματική χρήση της ως "μαμής" των εξισώσεων κίνησης.
Για να γίνει όμως σαφές πως πρέπει να αναγιγνώσκονται οι διδακτικές παραινέσεις,
ο Knight (5 εύκολα μαθήματα) επισημαίνει τις παρανοήσεις που προκύπτουν από την πρωτόγονη αντιμετώπιση των διαγραμματικών παραστάσεων εκ μέρους μάλιστα κολεγιακών φοιτητών, όταν αυτές αναπαριστούν σύνθετες ή ασυνήθιστες κινήσεις, που χρήζουν ιδιαίτερης προσοχής.
Καλημέρα σε όλους.
Θεόκλητε, Γιάννη (Κυρ), Γιάννη (Αγ), Θοδωρή και Γιώργο, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Να ξεκινήσω από τον τελευταίο. Το θέμα μας δεν είναι γενικά το πρόβλημα το πως εισάγεται η ταχύτητα και τι και πώς κατανοούν οι μαθητές την κίνηση. Και ποιος είμαι εγώ που θα μπορούσα να βγω σε αντιπαράθεση με τον Arons; Όσο όμως ανοίγει το θέμα, τόσο δεν μπορούμε να εστιάσουμε στο επιμέρους και στο τέλος… όλα σωστά είναι, αλλά δεν μπορούμε ούτε καν να συμφωνήσουμε σε ποιο σημείο διαφωνούμε…
Γιάννη Αγγελόπουλε, στο ερώτημα που βάζεις.
1) Θεωρώ διδακτικά απαράδεκτο ένα τέτοιο θέμα. Αν θέλουμε τα παιδιά να ξεκαθαρίσουν τις βασικές έννοιες, θα πρέπει σε πρώτη φάση να εξαφανιστεί από τη γλώσσα που θα χρησιμοποιήσουμε ο όρος “διάστημα”. Αν δεν το κάνουμε ο μαθητής θα βρίσκεται διαρκώς σε σύγχιση. Διδάσκουμε, μιλάμε και ρωτάμε για θέσεις για μετατοπίσεις, αλλά όχι για διάστημα. Αυτό μπορεί να μπει στη συζήτηση, μόνο αφού μελετηθεί μια κίνηση, όπως η παραπάνω, που το κινητό αλλάζει κατεύθυνση κίνησης. Να έχει μελετηθεί το πρόβλημα με χρήση της θέσης και μετατόπισης και στη συνέχεια να δείξουμε την ανάγκη εισαγωγής του διαστήματος.
2) Σε μια τέτοια περίπτωση η άσκηση που προτείνεις τι στόχους έχει; Εμένα μου φαίνεται ότι απλά αντί να ζητηθεί η μετατόπιση, γράφτηκε διάστημα.
3) Το ίδιο είναι και το βασικό “μοτίβο” που χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο. Ίσως επειδή εκεί οι ερωτήσεις και οι ασκήσεις είχαν γραφτεί σε προηγούμενη φάση και για θεωρία που μιλούσαμε για διαστήματα.
4) Και τι τελικά κάνουμε Διονύση, αν (χωρίς δική μας ευθύνη) υποχρεωθούμε να λύσουμε μια τέτοια άσκηση;
α) Πρέπει ο μαθητής να ξεκαθαρίσει ότι “υπάρχει πρόβλημα” στην περίπτωση που το σώμα αλλάζει κατεύθυνση κίνησης και είναι το πρώτο που πρέπει να ελέγξει. Αν δεν υπάρχει, όπως στην άσκησή σου, θα υπολογίσει τη μετατόπιση, οπότε το διάστημα θα είναι το μέτρο της.
β) Αν έχουμε σημείο μηδενισμού της ταχύτητας, τότε υποχρεωτικά πρέπει να σπάσει την κίνηση και να υπολογίσει τις δυο μετατοπίσεις (με τις ίδιες εξισώσεις όπως στην παραπάνω άσκηση και όχι αλλάζοντας τρόπο και δουλεύοντας ας πούμε με μέτρα…). Το συνολικό διάστημα θα προκύψει ως s=|Δx1|+|Δx2|.
Προφανώς αν έχουμε διάγραμμα ταχύτητας, τότε το πρόβλημα επιλύεται ευκολότερα και γίνεται και πιο εύκολα κατανοητό. Αν δεν έχουμε όμως έτοιμο το διάγραμμα, δεν νομίζω ότι πρέπει να προτείνουμε την ενδιάμεση κατασκευή του, ώστε στη συνέχεια να το χρησιμοποιήσουμε στον υπολογισμό.
Διονύση Καλημερα συμφωνώ απολυτα μαζι σου σε αυτα που λες για το διαστημα , τωρα οσο αφορα την ασκηση, δεν την προτείνω και δεν κανω τετοια αακηση στη ταξη , απλά ειναι μια ασκηση που δυστυχως μπορει να ζητηθεί απο τα παιδιά. Πέρυσι στο τελικο διαγωνισμα ειχα βαλει μια ασκηση με σχεδιαγραμμα ταχυτη χρονου και το ερωτημα ηταν να βρεθει μετατοπιση κια διαστημα, αντι λοιπον να παρουν τα εμβαδα οπως καναμε ολοι τη χρονια μεσα στη τάξη υπηρξαν και καποιοι μαθητες που πηραν το "τύπο" του διαστήματος (καπου αλλου το ειχαν διδαχθει ετσι ) και επειδή η αρχικη ταχυτητα ηταν αρνητικη και την πατησαν.
βιαστικό αλλά ζεστό καλημέρα,
Διονύση,
ο Arons επικυρώνει με την πείρα του τη διδακτική άποψη που διαπραγματεύεσαι, ενάντια στην διατύπωση των εξισώσεων κίνησης ως “κουρελού” περιπτώσεων όποτε αλλάζει η φορά της κίνησης.
Η γενίκευση που επιχειρεί ο Arons και εσύ επιφυλάσσεσαι αφού εκτιμάς ότι ενδέχεται να αποπροσανατολίσει από το κρίσιμο ζήτημα, στοχεύει να εστιάσει στο πώς μπορεί να γίνει από τους μαθητές λειτουργικά και όχι κανονιστικά αποδεκτή η ενιαία περιγραφή.
Έχει και αυτή η αντιμετώπιση την αξία της, αφού επιχειρεί να θεωρεί το ζήτημα ιδωμένη από drone, ως “μεγάλη εικόνα”.
Καλή συνέχεια, ιδιαίτερα σ’ αυτούς που ρίχνουν “κλεφτές ματιές” στη συζήτηση στη διάρκεια του διαλείμματος.