Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Ωραίο Κωνσταντίνε.

Χωρίς αντίσταση του αέρα προφανώς ο συνολικός χρόνος είναι 2υ0/g

Με αντίσταση από τον αέρα μεγαλώνει ο χρόνος καθόδου, νομίζω, άρα και ο συνολικός χρόνος κίνησης.

Η μορφή της αντίστασης του αέρα είναι της μορφής Fαντ = – bυ ;

Γεια σου Κώστα,ναι -bυ,b>0. Τα παιδια πρεπει να απαντησουν με βαση τις γνωσεις τους στο σταδιο σπουδων που βρισκονται. Ο Διονυσης γνωριζει Διαφορικο και Ολοκληρωτικο Λογισμο ενω η Κέλλυ οχι.

Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Μια απάντηση, χωρίς χρήση χαρτιού και μολυβιού (καλοκαίρι γαρ…)
Για το κορίτσι:
Η άνοδος είναι πιο σύντομη αφού η επιτάχυνση είναι μεγαλύτερη από g, ενώ κατά την κάθοδο η επιτάχυνση είναι διαρκώς μικρότερη από g, για την ίδια απόσταση.
Για το αγόρι.
Ο χρόνος κίνησης παρουσία αέρα είναι μεγαλύτερος, αφού στην κάθοδο είναι πολύ μεγαλύτερος ο χρόνος πτώσης, αφού πιθανόν το σώμα θα αποκτήσει και οριακή ταχύτητα, οπότε θα πάψει και να επιταχύνεται…

καλησπέρα σε όλους
πολύ καλή Κωνσταντίνε
(αν την είχα σκεφτεί το βιβλίο μου θα έχε τίτλο 183 Σπαζοκεφαλιές…)
συμφωνώ με τον Διονύση διότι προτιμώ τις απαντήσεις “με το νου”
με δύο μικροδιαφορές: επιβράδυνση και όχι επιτάχυνση κατά την άνοδο και ίδια απάντηση και για το αγόρι, διότι δεν ξέχασε αυτά που έμαθε στην Α Λυκείου

Καλησπέρα σε ολη την παρεα που μου κανει την τιμη να επισκεφθει την αναρτηση. Ως προς την ερωτηση στο αγορι ο Διονυσης απανταει διαισθητικα. Δεν λεω οτι κανει λαθος ομως καμια φορα η διαισθηση ξεγελαει. Υπαρχουν αντικρουομενοι παραγοντες που επηρεαζουν τον χρονο κινησεως. Οταν υπαρχει αντισταση αερα η μπαλα κινειται πιο αργα και για αυτο ο χρονος κινησεως μεγαλωνει. Ομως η μπαλα δεν φτανει τοσο ψηλα και για αυτο ο χρονος κινησεως μικραινει. Μαλλον δυσκολο με την διαισθηση να δουμε ποιος παραγοντας υπερισχυει. Αν καταλαβα καλα Διονύση συγκρινεις τους δυο χρονους πτωσεως,με ή χωρις αντισταση αερα.Αυτο που λες οτι κατα την καθοδο παρουσια αερα είναι πολύ μεγαλύτερος ο χρόνος πτώσεως, δεν προκυπτει απο καπου για τους λογους που εγραψα πριν. Αλλα και μεγαλυτερος να ειναι αυτος ο χρονος,δεν ξερουμε τι συμβαινει κατα την ανοδο,οπου πιθανον ο χρονος να ειναι αρκετα μικροτερος,οποτε συμπερασμα ουδεν!
Παρτε ως δεδομενο οτι η μπαλα δεν αποκταει οριακη ταχυτητα.

Βαγγελη και εγω προτιμω τις απαντησεις με το νου και μαλιστα φανατικά. Οπως οι απαντησεις του Χρηστου και του Διονυση στο ερωτημα προς το κοριτσι ή ας πουμε οπως η απαντηση σε αυτο το ερωτημα: Μία γνωστή άσκηση χωρίς χαρτί και μολύβι. Oμως μια απαντηση με το νου πρεπει να ειναι αυστηρη και χωρις κενά. Ως προς την ερωτηση προς το αγορι,μαλλον πρεπει κανεις να κανει αναλυτικο υπολογισμο για να ειναι σιγουρος.

Γεια σου Παύλο. Μαλλον πρεπει να μεγαλωσει λιγο το σχημα σου διοτι δυσκολευομαι να δω τις γραφικες παραστασεις. Παντως απ οτι βλεπω διαφωνεις με την υπολοιπη παρεα. 🙂

Γεια σου Κωνσταντίνε για την απάντηση του αγοριού έχω κάνει κάποιες σκέψεις χωρίς να θεωρώ πως είναι απόδειξη προσπαθώντας να χρησιμοποιήσω κάποια δεδομένα και την γραφική παρασταση υ – t. Πολύ πιθανό να μην μπορώ να εξάγω ένα γενικό συμπέρασμα αφού χρησιμοποιώ ποιοτικές γραφικές παραστάσεις θεωρώντας την γραφική παράσταση υ – t της κίνησης του σώματος με αέρα – αντιστάσεις καμπύλη.

https://i.ibb.co/5gRTC7SW/IMG-3977-1753394686-6077.jpg

Βάζω την λύση και σε σύνδεσμο για να είναι πιο ευδιάκριτα τα σχήματα. Να προσθέσω ότι την θεώρηση που έκανα και στην οποία αντιστοιχεί το δεύτερο σχήμα την επαναλαμβάνω για όλο και μεγαλύτερα b. Διαφωνώ Κωνσταντίνε αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρος 🙂 .
https://drive.google.com/file/d/1vmaXreSqIObBSog7KS-a1VyXdZ8v2Izd/view?usp=drivesdk

«Κι εσύ δίκιο έχεις»! (Νασρεντίν Χότζα) 🙂

Καλησπέρα σε όλους.
Η καλοκαιρινη ραστωνη δε με αφηνει να ασχοληθω συστηματικα!με τα ωραια θεματα που εχουν αναρτηθεί. Αναφερομαι στις ασκησεις του Διονυση που δεν εχω καταφέρει να δω.
Τωρα βρηκα λιγο χρονο και βρηκα και σήμα ! (ειμαι απέναντι στον Διονύση στην Κεφαλονιά) και ειδα το ερωτημα του Κωνσταντίνου.
Κωνσταντινε συμφωνώ απόλυτα με τον Διονύση. Να συμπληρώσω σε καθε ιδια θεση που θα βρεθεί το σωμα στην ανοδο και περνώντας στην καθοδο στη φαση ανοδου θα έχει μεγαλύτερο μετρο ταχύτητας απο ΑΔΕ.
u=dx/dt=>dt=dx/u για καθε ιδιο dx στην ανοδο το dt θα ειναι μικρότερο. Οποτε και συνολικα ταν<τκαθ.
Κατι παρόμοιο εδω

Καλημέρα Κωνσταντίνε, καλημέρα σε όλους.
Κωνσταντίνε, είπαμε φυσική διακοπών!!! Οπότε πράγματι διαισθητικά απάντησα.
Αφού με … αποπήρες, το έριξα πρωί-πρωί, εν μέσω καύσωνα με τις διαφορικές !!!
Δουλεύω με σώμα μάζας 1kg, με  υο=20m/s και δύναμη αντίστασης F=-kυ=-0,1υ.
Χωρίς αντίσταση προφανώς tαν=tκ=2s και hmax=20m
Για την άνοδο:
https://i.ibb.co/7tz5hFDd/55.jpg
Αλλά εδώ … κόλλησα…
Δεν νομίζω ότι λύνεται αναλυτικά η εξίσωση αυτή.
Πάντως με αντικατάσταση t=2s βρίσκω y= 200-1000(1-0,82)=200-180=20m, συνεπώς ο χρόνος πτώσης είναι μικρότερος από 2s, οπότε ο συνολικός χρόνος είναι μικρότερος από 3,8s.

καλό μεσημέρι σε όλους,
τώρα είδα την, πολύ καλή, παλιά Κωνσταντίνε και δεν πολυκατάλαβα τη λύση,
(ίσως διότι Ίλιον, 41ο C)
η δική μου προσέγγιση
για να μόλις και το κάτω σώμα, πρέπει το ελατήριο, που αρχικά είναι συμπιεσμένο κατά (F+mg)/k, να επιμηκυνθεί κατά mg/k
μόλις φύγει η F, το πάνω σώμα θα βρίσκεται σε θέση όπου το ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά (F+mg)/k, θα εκτελέσει ταλάντωση με ΘΙ όπου το ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά mg/k, θα βρίσκεται πιο κάτω από τη ΘΙ του κατά F/k και θα βρεθεί πιο πάνω κατά 2mg/k, όπου το ελατήριο θα είναι επιμηκυμένο κατά mg/k, και επειδή F/k=2mg/k προκύπτει ότι F =2mg
(προσθέτω και μια ερώτηση: πόση δύναμη δέχεται αρχικά το κάτω σώμα από το δάπεδο;
απάντηση: 4mg)

Απάντηση σε Κώστα,Διονύση.Χρηστο.Βαγγελη.Παυλο. Καλησπέρα σε ολους.Κάνω αναλυτικό υπολογισμό του χρόνου κινήσεως της μπάλας,παρουσία αντίστασης αέρα η οποία κατά μέτρο είναι της μορφής bυ , b>0
Ότι βλέπετε στις διαφορικές εξισώσεις κινήσεως είναι μέτρα διανυσμάτων.Η λογική αυτή μου φαίνεται πιο απλή από ότι με αλγεβρικές τιμές.Δεν χρειάζεται να λύσουμε κάποια διαφορική εξίσωση,μια απ’ ευθείας ολοκλήρωση λύνει το πρόβλημα.
Τελικά αποδεικνύεται ότι ο χρόνος κινήσεως παρουσία αέρα είναι μικρότερος από ότι στο κενό.Ενας αναλυτικός υπολογισμός πολλές φορές διαψεύδει αυτό που λέει η διαίσθηση.Τα μαθηματικά μας τα λένε ολα.Αυτο είναι και η κεντρική ιδέα αυτής της αναρτήσεως.

Ο υπολογισμος
https://dmarg02.wordpress.com/wp-content/uploads/2025/07/98.jpg?

Διονύση τώρα είδα τα Μαθηματικά που έγραψες και από ότι βλέπω καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα

Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Για να σου πω την αλήθεια, είδα την απόδειξή σου, γενική λύση και πολύ στοχευμένη.
Αλλά στην ίδια λογική δούλεψα και γω το πρωί απλά έλυσα τις εξισώσεις για συγκεκριμένες τιμές, οπότε σκεφτόμουνα:
Την είδε ή δεν την είδε 🙂

Καλησπέρα Κωνσταντινε. ¨ομορφη η απόδειξή σου. Πάντως και η σκέψη του ¨Δημοτικού”, ότι αφού έχω δύναμη αντίθετη της ταχύτητας συνεχώς, αυτή θα σταματήσει το σώμα πιο γρήγορα, είναι πολύ καλή!

Γεια σου Γιώργο.Αυτο ισχύει μόνο για την άνοδο.
Στην κάθοδο μάλλον το σώμα θα καθυστερήσει.Τελικα ουδείς γνωρίζει τι θα υπερισχυσει αν δεν βάλει κάτω τα Μαθηματικά.

Όμορφη απόδειξη Κωνσταντίνε!

Ευχαριστώ Παύλο.

Καλημέρα Κωνσταντίνε.Συμφωνώ. Σίγουρα τα Μαθηματικά δίνουν σίγουρη λύση . Για αυτό ανέφερα “Δημοτικου”.

Γεια σου Διονυση που πιανεις τις Διαφορικες πρωι πρωι. Ειδα λιγο πιο προσεκτικα την αναλυση σου και βλεπω οτι βρισκεις οτι και οι δυο χρονοι,ανοδου και καθοδου,ειναι μειωμενοι σε σχεση με τους χρονους εν κενω αερος,κατι που δεν ειχα υπ οψιν μου. Στον υπολογισμο που κανω εγω δεν φαινεται αυτο. Επισης κατι αλλο. Η αποδειξη σου ειναι αυστηρη; Στα πλαισια της Φυσικης για μενα ναι με την εννοια οτι το τo αποκλειω αν εβαζες αλλες τιμες για m,b,υ0 να εβρισκες κατι διαφορετικο.Aρα η αναλυση σου με πείθει. Ομως απο μαθηματικης πλευρας αυτο θελει αποδειξη, το οτι δηλ οι χρονοι θα ειναι μειωμενοι για οποιεσδηποτε τιμες m,b,υ0. Ενας μαθηματικος θα θεωρουσε οτι αυτο χρειαζεται αποδειξη για να ειναι η λυση πληρης. Εχεις καμια ιδεα για αυτο; Εγω μεχρι στιγμης δεν σκεφτηκα κατι.

Καλημέρα Κωνσταντίνε και καλή Κυριακή.
Πράγματι η απόδειξη που έκανα είναι μέσω ενός παραδείγματος και όχι μια γενική λύση.
Μπορεί να γίνει μια γενική λύση υπολογισμού των χρόνων ανόδου-καθόδου;
Νομίζω ότι πέρα από την δυσκολία, είναι μάλλον αδύνατο. Γιατί; Γιατί το πρόβλημα είναι πολυπαραγοντικό. Τι θα γίνει για μεγάλη ταχύτητα, τι θα γίνει για μικρή αρχική ταχύτητα; Και αν σε αυτές τις περιτπωσεις έχουμε μεγάλο ή μικρό b;
Αλλά και για ένα ορισμένο b, αν για παράδειγμα F=-0,4υ, για αρχική ταχύτητα 20m/s προκύπτει αντίσταση 8Ν, η οποία άλλη επίδραση σε σώμα μάζας 0,2Kg και άλλη σε σώμα 2Kg. Στην πρώτη περίπτωση η άνοδος θα σταματήσει πολύ γρήγορα, στην δεύτερη όχι. Αλλά ακόμη χειρότερα, κατά την πτώση το σώμα θα αποκτήσει πολύ γρήγορα οριακή ταχύτητα 5m/s οπότε θα πάψει να επιταχύνεται…
Από κει και πέρα, κάποιος άλλος (ονόματα δεν λέμε…), που έχει μεγαλύτερες μαθηματικές ικανότητες από μένα, θα μπορούσε να δοκιμάσει…
Τι λες;

Καλό απόγευμα Στάθη και σε ευχαριστώ για την παρέμβαση.
Θα το μελετήσω.

Καλησπέρα σε όλους
Μία λύση στο πρόβλημα του χρόνου (στο ότι οι χρόνοι ανόδου και καθόδου είναι μειωμένοι εν συγκρίσει με τους χρόνους απουσία αέρα για οποιαδήποτε τιμή των σταθερών της κίνησης). Βασίζεται στις λύσεις του Διονύση και έχω διατηρήσει τον συμβολισμό του.
Ελπίζω να μην έχει ξεφύγει κάτι.
Καλό καλοκαίρι.

Μπράβο Στάθη.
Όπως πάντα, πολύ δυνατός…

Μπραβο Στάθη πολυ δυνατη αναλυση.

Καλησπέρα.
Είναι ενδιαφέρουσα αυτή η ανάρτηση ως μαθηματικός γρίφος. Αν όμως έχει και η φυσική κάποια σημασία, θα πρέπει να αναφερθεί ότι σε καμιά περίπτωση δεν μπορεί η μπάλα με το μέγεθος που έχει και τις ταχύτητες που κινείται να συναντά αντίσταση από τον αέρα ανάλογη της ταχύτητας (εκτός από κάποια ελάχιστα χρονικά διαστήματα λίγο πριν και λίγο μετά το ανώτατο ύψος. Είναι γνωστό ότι ο νόμος του Stokes (Fαντ = -6πηrυ)  ισχύει με την προϋπόθεση ότι ο αριθμός Reynolds Re=2rρυ/η  για την ροή του ρευστού γύρω από την σφαίρα είναι << 1 (r,υ ακτίνα και ταχύτητα σφαίρας , ρ,η  πυκνότητα και ιξώδες ρευστού).. Δηλαδή πρέπει η ταχύτητα της μπάλας να είναι υ << η/2rρ. Μπορούμε να βρούμε ότι για τον αέρα σε θερμοκρασία 20οC είναι  η/ρ = 0,15cm2/s. Οπότε για μια μικρή μπάλα με  r = 10cm προκύπτει ότι για να είναι η αντίσταση από τον αέρα ανάλογη της ταχύτητας θα πρέπει η ταχύτητα της μπάλας να είναι υ << 0,075mm/s !  Για μεγαλύτερες μπάλες η κατάσταση είναι προφανώς ‘χειρότερη’
 

Kαλησπερα. Ναι σωστα μια αντισταση αναλογη του τετραγωνου της ταχυτητας οταν η μπαλα δεν κινειται πολυ αργα ειναι πιο ρεαλιστικη,ομως η συγκεκριμενη αναρτηση ειναι ενα μαθηματικο προβλημα και ο στοχος της ειναι να δειξει οτι καποιες φορες μια μαθηματικη επεξεργασια δινει κατι αλλο απο αυτο που θα περιμεναμε.