Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Γεια σου Παύλο. Ωραια ασκηση. Στην λυση του β) δεν καταλαβα για ποιο λογο χρειαζονται οι εξισωσεις για τα μετρα των Τστ και Ν αφου ο λογος τους ισουται με εφ30=1/ριζα3. Δηλαδη για την λυση του β) θα εγραφα μονο οτι αφου η Α ειναι αναγκαστικα συγγραμικη με τις F,W ισχυει Τστ<μΝ ή μ>Τστ/Ν=εφ30=1/ριζα3

Γεια σου Κωνσταντίνε, ευχαριστώ για το σχόλιο.
Συμφωνώ ότι δεν χρειάζεται να υπολογιστούν χωριστά τα μέτρα της στατικής τριβής και της κάθετης αντίδρασης, αφού από τη διεύθυνση της Α προκύπτει αμέσως ότι (Tστ/N = εφ30⁰ , επομένως μs ≥ 1/√3).
Στην αναλυτική λύση είχα περισσότερο στο μυαλό μου την πορεία σκέψης ενός μαθητή: παίρνοντας ροπές ως προς το κέντρο, βρίσκει (Tστ = F) και ενδέχεται να θεωρήσει ότι μπορεί να αυξάνει την F, διατηρώντας την ισορροπία, μέχρι η τριβή να γίνει οριακή. Ήθελα να αναδειχθεί γιατί αυτή η σκέψη δεν εξασφαλίζει την ταυτόχρονη ικανοποίηση όλων των συνθηκών ισορροπίας.
Για το σκέλος του β που αφορά τη μεταβολή της F, θεωρώ ότι η συντομότερη αιτιολόγηση προκύπτει από τις ροπές ως προς το σημείο επαφής Ε: στη συγκεκριμένη γεωμετρία, η ροπή του βάρους και ο μοχλοβραχίονας της F είναι σταθερά, οπότε η συνθήκη ισορροπίας καθορίζει μία μοναδική τιμή της F. Συνεπώς, δεν μπορούμε να μεταβάλλουμε την F και να εξετάζουμε διαδοχικές καταστάσεις ισορροπίας, ώστε να προσδιορίσουμε τον συντελεστή στατικής τριβής.

Καλησπέρα, όμορφη άσκηση Παύλο. Πρέπει λοιπόν να συντρέχουν ταυτόχρονα δύο λόγοι: μορ ≥ 1/√3 και F = w/3. Αν επιχειρήσουμε να αλλάξουμε την F, το σύστημα χαλάει αυτόματα την ισορροπία των δυνάμεων στον κατακόρυφο άξονα. Άρα η δύναμη F είναι μοναδική (F = W/3)· δεν μπορούμε να τη αυξήσουμε σταδιακά μέχρι να φτάσουμε σε οριακή τριβή.
·        Διδακτικό συμπέρασμα: Η φυσική διαίσθηση συχνά μας ξεγελάει, κάνοντας μας να πιστεύουμε ότι επειδή μια σχέση (όπως η Tστ = F) φαίνεται να επιτρέπει αύξηση της τριβής, η υπόλοιπη γεωμετρία του προβλήματος μας αφήνει ελεύθερους να το κάνουμε. Ο αυστηρός ταυτόχρονος έλεγχος όλων των συνθηκών ισορροπίας ΣFx = 0, ΣFy = 0, Στ = 0) είναι ο μόνος τρόπος να αποφύγουμε ψευδείς γενικεύσεις.

Γεια σου Τάσο, συμφωνώ απόλυτα, σε ευχαριστώ για το σχόλιο.

Καλησπέρα Παύλο. ‘Ομορφη. Μια άλλη προσέγγιση: https://i.ibb.co/ZzXnRpKt/SEP-60.png

Καλησπερα Παύλο και Τάσο. Μιας και το συζηταμε θα ηθελα να πω μερικα πραγματα ακομα,αφου ειδα την ασκηση πιο προσεκτικα.
Οταν διαβασα την λυση του β) νομισα οτι ο ερωτημα ηταν να βρεθει ελαχιστος συντελεστης στατικης τριβης ωστε να εχουμε ισορροπια. Tι σημαινει αυτο; Οτι εχουμε πετυχει την ισορροπια,χωρις να μας ενδιαφερει πως και με καποιο μαγικο τροπο μειωνουμε τον συντελεστη τριβης μεχρι η ισορροπια να χαλασει. Σε ποια τιμη του μ γινεται αυτο; Για να το βρουμε δεν χρειαζεται να γραψουμε καμια συνθηκη ισορροπιας παρα μονο οτι για την ισορροπια ειναι αναγκαια συνθηκη οι F,W,A να ειναι παραλληλες και άμεσα προκυπτει οτι μ>1/ριζα3.
Βλεποντας τωρα με προσοχη την εκφωνηση του β) ερωτηματος καταλαβαινω οτι ολοκληρη η λυση που βλεπω για το β) δεν χρειαζεται. Στο σημειο οπου στην λυση του α) βρισκεις F=W/3,το ερωτημα β) εχει ηδη απαντηθει διοτι οπως ειπες η ισορροπια εξασφαλιζεται για μια μοναδικη τιμη της F. Αρα τιποτα απο αυτα που βλεπω στην λυση του β) δεν χρειαζεται.
Συμφωνω με ολες τις παρατηρησεις τις δικες σου και του Τασου. Ομως η ασκηση δεν λεει να μελετηθουν οι αναγκαιες και οι ικανες συνθηκες για ισορροπια. Λεει να απαντησετε στα ερωτηματα που βλεπετε.

Καλησπέρα. Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ για την διαφορετική προσέγγιση. Κωνσταντίνε σε ευχαριστώ για την παρατήρηση. Συμφωνώ ότι η πιο σύντομη λύση του β ερωτήματος είναι να αξιοποιηθεί το αποτέλεσμα του α. Ωστόσο, η μοναδικότητα της F δεν θεωρείται εξαρχής δεδομένη· προκύπτει από την εξίσωση ισορροπίας των ροπών ως προς το σημείο επαφής E. Επειδή η γεωμετρία της διάταξης παραμένει σταθερή, η ροπή του βάρους και ο μοχλοβραχίονας της F είναι σταθερά. Επομένως, η εξίσωση των ροπών προσδιορίζει μία συγκεκριμένη τιμή της F, δηλαδή F=W/3. Αυτό ακριβώς είναι το βασικό σημείο στο οποίο στηρίζεται το β ερώτημα. Δεν θεωρώ, όμως, αυτονόητο ότι ένας μαθητής, έχοντας βρει την F στο α, θα αναγνωρίσει αμέσως τη σημασία αυτού του αποτελέσματος για το β.
Η λύση που έδωσα, όμως, δεν είχε στόχο να παρουσιάσει την απλούστερη δυνατή απάντηση. Είχα στο μυαλό μου μια πιθανή πορεία σκέψης ενός μαθητή, την οποία ενδεχομένως θα ακολουθούσε, ίσως αυτό να το πιστεύω εγώ λανθασμένα: παίρνοντας ροπές ως προς το κέντρο K, βρίσκει Tστ = F και μπορεί να θεωρήσει ότι, αυξάνοντας τη F, αυξάνεται αντίστοιχα και η στατική τριβή, μέχρι να γίνει οριακή. Γι’ αυτό πρόσθεσα τις επόμενες σχέσεις, ώστε να φανεί ότι η σκέψη αυτή δεν εξασφαλίζει από μόνη της την ταυτόχρονη ικανοποίηση όλων των συνθηκών ισορροπίας.
Άρα συμφωνώ ότι η λύση μπορεί να συντομευθεί σημαντικά. Η αναλυτική μορφή που έδωσα ήταν κυρίως διδακτική και διερευνητική, με αφετηρία τον τρόπο με τον οποίο ενδέχεται να σκεφτεί ένας μαθητής.

Παύλο εχει εναν ενδιαφερον προβληματισμο το θεμα (βλέπω την σκεψη του Κωστα…) .

Από τη στιγμη που η F ειναι κατακορυφη και εχω ισορροπία αυτό αρχικα κανει και την Α κατακορυφη. Επομένως το μ=εφφ=1/sqrt(3) . To οτι έχω ισορροπία για αυτή τη δύναμη F σημαίνει , οπως βρίσκεις , ότι F = W/3 . Στη συνεχεια η ισορροπία αυτή δίνει τη σχεση στα μετρα των δυναμεων που έχεις βρει.

Αν οι επιφανειες που ειναι σε επαφη ειναι τετοιες ωστε ο συντελεστης οριακής τριβής να είναι μ=εφφ τότε η στατική τριβή που υπολογίζεις θα είναι Τστ = Τορ = W/3

Αν όμως είχαμε ενα μ = 1.5/sqrt(3) τότε θα είχαμε Τστ = W/3 (εφόσον η F ειναι τετοια ωστε να εξασφαλιζει ισορροπία) και τότε το Τορ = [1.5/sqrt(3)] * Ν όπου Ν = W/sqrt(3) άρα Tορ = W/2 .

Γεια σου Κώστα, σε ευχαριστώ για το σχόλιο και για την κατάθεση της σκέψη σου.

Καλησπέρα Διονύση. Πολύ διδακτική.
Φαίνεται όμως περίεργο ότι
Δx1 > Δx2 όταν |Δx1| < |Δx2|, αφού αν ρωτάγαμε για ταχύτητες:
Το σώμα Σ1 περνάει από έναν παρατηρητή με υ1 = -4m/s και το Σ2 με υ2 = +2m/s. Ποιο έχει μεγαλύτερη ταχύτητα; Πόσοι θα έλεγαν το Σ2;
Από του χρόνου το βιβλίο έχει Δr και πάει σε 2 διαστάσεις. Να δούμε τι θα καταλαβαίνουν…

Καλημέρα Ανδρέα και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό, αλλά και την ευκαιρία που μου δινεις, να πω ποια ήταν η σκέψη μου.
Λες: “αφού αν ρωτάγαμε για ταχύτητες: Το σώμα Σ1 περνάει από έναν παρατηρητή με υ1 = -4m/s και το Σ2 με υ2 = +2m/s. Ποιο έχει μεγαλύτερη ταχύτητα;”
Εδώ είναι το πρόβλημα. Κάνουμε την λάθος ερώτηση, περιμένοντας να πάρουμε την σωστή απάντηση!
Δεν ρωτάμε ποιο σώμα τρέχει πιο γρήγορα, αλλά ποιο έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα, όταν δίνουμε την αλγεβρική τιμή και όχι τα μέτρα!
Αν χρησιμοποιούμε αλγεβρικές τιμές, θεωρώ ότι πρέπει να είμαστε συνεπείς με την άλγεβρα. Και ένας θετικός αριθμός είναι πάντα μεγαλύτερος από έναν αρνητικό.
Θα μου πεις και η φυσική; Αν θέλουμε να κρατάμε την ουσία του μεγέθους, δεν έχουμε παρά να χρησιμοποιήσουμε το μέτρο της ταχύτητας! Αυτό μας δείχνει το ποιο σώμα κινείται γρηγορότερα… Γιατί να μην το χρησιμοποιούμε;

Αγαπητέ Διονύση καλησπέρα.
Αν ένα κινητό έχει -2m/s και το άλλο -4m/s, ποιο έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα; Η χρήση της αλγεβρικής τιμής οδηγεί σε αντίφαση (το κινητό με τη μεγαλύτερη ταχύτητα, το-2>-4 έχει μικρότερο μέτρο).
Αφορμή μου έδωσε αντίστοιχο ερώτημα στη θερμοχημεία. ΔΗ1f=-100kJ/mol και ΔΗ2f=-200KJ/mol. Που έχουμε μεγαλύτερη ενθαλπία σχηματισμού;
Με το παράδειγμα που έδωσες έχεις δίκιο, ωστόσο το πρόσημο δεν είναι τμήμα του φυσικού μεγέθους. Δεν υπάρχει αρνητική ταχύτητα, όπως δεν υπάρχει αρνητική ενέργεια, οπότε αλγεβρική σύγκριση σημαίνει ότι προσπαθούμε να συγκρίνουμε δύο πράγματα ταυτόχρονα με μία πράξη, κάτι που γενικά δεν γίνεται (όχι τουλάχιστον σε όλες τις περιπτώσεις).
Επομένως η συμβουλή “τις αλγεβρικές τιμές τις χρησιμοποιούμε με αλγεβρική συνέπεια” δεν νομίζω ότι είναι σωστή.
Ποια είναι η γνώμη σου;

Καλημέρα Διονύση.
Πολύ όμορφη ανάρτηση, με εύστοχα ερωτήματα που βοηθούν τον μαθητή να σκεφτεί τις κατευθύνσεις των δυνάμεων πριν προχωρήσει στους υπολογισμούς.
Με αφορμή την άσκησή σου, παραθέτω μια γενίκευση για ομόσημα και ετερόσημα φορτία, με δύο τρόπους επίλυσης και έμφαση στην ερμηνεία των ριζών. Τονίζεται επίσης ότι η θέση ισορροπίας δεν εξαρτάται από το φορτίο που τοποθετούμε εκεί, ως προετοιμασία για την έννοια του ηλεκτρικού πεδίου.
Ισορροπία φορτίου: δύο μέθοδοι και η σημασία των ριζών

Καλο απογευμα Διονυση. Εξυπνα ερωτηματα.Και ενα δικο μου ερωτημα. Αφου η απαντηση στο i) ειναι η γ) αυτο σημαινει οτι δεν υπαρχει καμια διαφορά αναμεσα στις καταστασεις που δειχνουν τα δυο σχηματακια της απαντησης; H διαφορά που υπαρχει,ειναι οτι η μια ειναι κατασταση ευσταθους ισορροπιας κατα μηκος του ΑΒ,ενω η αλλη ειναι κατασταση ασταθους ισορροπιας. Ποιά ειναι ποιά;

Καλό απόγευμα Παύλο και Κωνσταντίνε και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Αν εκτρέψουμε τη σφαίρα από την θέση ισορροπίας της και αυτή τείνει να επιστρέψει σε αυτήν, τότε έχουμε ευσταθή ισορροπία.
Αυτό συμβαίνει αν οι δυνάμεις είναι απωστικές, όπως στο 2ο σχήμα.

Καλησπέρα Διονύση. Ωραίες ερωτήσεις. Ξεκινάς και φέτος να δίνεις βοήθεια στην “ανεξεταστέα” Φυσική Γενικής. Μακάρι να την δεχτούν οι μαθητές.
Φοβάμαι ότι σε κάποιους από αυτούς, μετά από λίγα χρόνια, θα πλασάρουν ένα απλό όργανο με δείχτη που μετράει ρεύμα, ως “βιοσυντονιστικό”.

Καλησπέρα. Ίσως πρέπει να επισημανθεί (κάτι άσχετο βέβαια με την στόχευση της άσκησης) ότι μόνο αν η σφαίρα είναι υποχρεωμένη να κινείται στην ευθεία των άλλων φορτίων είναι δυνατόν να υπάρξει θέση ευσταθούς ισορροπίας. Γενικά σε ηλεκτροστατικό πεδίο δεν υπάρχει θέση ευσταθούς ισορροπίας για φορτισμένο σωματίδιο που δεν υπόκειται σε συνδέσμους.

Καλημέρα Ανδρέα, καλημέρα Δημήτρη. Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ανδρέα, τα τελευταία χρόνια είχα σταματήσει, ουσιαστικά, να ασχολούμαι με ύλη Β΄γενικής, αφού ήταν φανερό ότι δεν ενδιέφερε κανέναν…
Η παρούσα ανάρτηση, λες να με κάνει να το επαναλάβω το εγχείρημα;
Δημήτρη έχεις δίκιο για την ισορροπία. Αυτό που έγραψα παραπάνω ήταν για την ισορροπία όταν και τα τρία φορτία είναι συνευθειακά. Αν το φορτίο q μετακινηθεί σε άλλη διεύθυνση δεν πρόκειται να επιστρέψει στην θέση ισορροπίας. Το σημείο Μ, είναι ένα σημείο σαγμάτωσης!
(Τώρα αλήθεια τι καταλαβαίνουν οι νέοι φοιτητές όταν ακούνε για το σαμάρι, το οποίο δεν έχουν δει ποτέ τους, είναι άλλη ιστορία…)

Kαλημερα. Σωστη η παρατηρηση του κυριου Βλάχου. Για να επεκτεινω λιγο το σχόλιο,μονο για καθηγητες,οι συναρτησεις που ειναι λυσεις της εξισωσεως Laplace,εχουν την ιδιοτητα η τιμη τους σε καπoιο σημειο,να ισουται με την μεση τιμη τους,πανω σε μια σφαιρα με κεντρο το σημειο. Αμεσο συμπερασμα ειναι οτι δεν μπορει οι συναρτησεις αυτες να εχουν τοπικα ακροτατα.(γιατι;) Eπομενως το ηλεκτρικο δυναμικο,σε χωρο οπου δεν υπαρχουν άλλα φορτια δεν μπορει να εχει μεγιστο ή ελαχιστο και άρα δεν μπορει να υπαρχει θεση ισορροπιας για καποιο φορτιο που θα τοποθετησουμε στον χώρο.
Ομως αν για μετακινησεις φορτιου κατα μια συγκεκριμενη διευθυνση,ολες οι δυναμεις τεινουν να επαναφερουν το φορτιο στην αρχικη του θεση,τοτε θα μπορουσαμε να πουμε οτι για την συγκεκριμενη διευθυνση η θεση ειναι θεση ισορροπιας. Κατι τετοιο συμβαινει στο σχημα απο κατω. Για αυτον τον λογο στο αρχικο μου σχολιο εγραψα για κατασταση ισορροπιας μόνο κατα μηκος του ΑΒ και οχι για κατασταση ισορροπιας σκέτο.
Διονυση ειδες πως εξελισονται οι συζητησεις και απο την ασκησουλα φτασαμε στο βιβλιο του Jackson 🙂
https://i.ibb.co/F4jnPtxQ/3410.jpg

Διονυση καλημερα και παλι. Γραφαμε μαζι. Την λεξη “σαγματωσης” πρωτη φορα την ακουω. Saddle point το λενε στην Ζακυνθο. 🙂

Το σαμάρι το έχεις ακούσει Κωνσταντίνε;
https://i.ibb.co/sp41ZPYK/2026-09-23-091533.png

Σαμαρι εχω ακουσει,σαμαροειδες σημειο εχω ακουσει,σάγμα όχι.

Από το βικιλεξικό, με αναφορά στο Παπαδιαμάντη:
Ἐκεῖ, μὲ τὸ λεπτὸν ραβδίον του, ρεμβός, χωρὶς νὰ τὸ σκεφθῇ, ἐκέντησε τὸ ζῷον ὑπὸ τὸ σάγμα ὄπισθεν, εἰς τὰ νεφρά.

Διονύση δεν διαβαζω Παπαδιαμαντη,δεν τον καταλαβαινω αφου στην ωρα των αρχαιων παντα διαβαζα Μαθηματικα (ειμαι πολυ μονοπλευρος) και οταν με ρωταγε κατι ο καθηγητης ειχα τον Πατάκη απο κατω. Εχω διαβασει ομως Σκαρίμπα:
Kι όλο να λες, να λες, στα θάμβη της νυκτός
για ένα —με γυάλινα πανιά— πλοίο που πάει
όλο βαθιά, όλο βαθιά, όσο που πέφτει εκτός:
όξ’ απ’ τον κύκλο των νερών — στα χάη. (Ασχετο) 🙂

Καλό μεσημέρι Διονύση .
Με σύνδεσες με το “σάγμα” και θυμήθηκα του φίλου μου
του Γιάννη τον πατέρα τον κ.Στέλιο, ο οποίος στα “πεταλάδικα” στο Ρέθεμνος είχε ΣΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΟ.
Ο Λαϊκός ζωγράφος Δημήτρης Τεργιακής ή Μούρμουρας
ζωγράφιζε με πενιχρό αντίτιμο ή χάριζε έργα του ,όπως
η ανυπόγραφη επιγραφή
https://i.ibb.co/DDf7w1hW/image.png

Καλό απόγευμα Παντελή με την … αποδεικτική επιγραφή, με το τέλειο αλογάκι!
Δεν είχα ξαναδεί το “σαγματοποιείον”!
Πολύ καλός ο Σκαρίμπας Κωνσταντίνε, τον διάβαζα κάποτε και γω, αλλά ο Παπαδιαμάντης, πρώτον δεν είναι Αρχαίος και δεύτερον είναι μια κατηγορία μόνος του και μάλιστα “κορυφαία κατηγορία”!

Καλησπέρα Παύλο. Μαγικά “εξαφάνισες” τη στατική τριβή και από την παραπάνω εβδομάδα, που θα μπω στο στερεό, θα βάλω τους μαθητές μου να το εξηγήσουν.

Ευχαριστώ για το σχόλιο Ανδρέα, χαίρομαι να φανεί χρήσιμη η άσκηση.

Γεια σου Παύλο. Θα συμφωνήσω με τον Ανδρέα, όμορφο “μαγικό”!

Γεια σου Μίλτο σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σ’ αρέσει η άσκηση.

Kαλημέρα Παύλο.
Η Τστ προσφέρεται για τα “μαγικά”, που λένε από τους πάνω “ορόφους” !
Ωραίο το θέμα

Καλημέρα Παντελή, χαίρομαι που σου αρέσει , ευχαριστώ για το σχόλιο.

Καλημέρα Διονύση. Ωραίο το παιχνίδι με τα ποσοστά. Για το 2ο ερώτημα μπορούμε να γράψουμε και Κα = p^2 /2m, Κτ = p^2 /2(M+m) και αφού η ορμή του συστήματος διατηρείται, Κα / Κτ = (Μ+m) / m.

Καλημέρα Διονύση.
Συνειδητά να χρησιμοποιούν τις εκφράσεις,
“σχεδόν”, περίπου, “τείνει” ώστε να αποφεύγονται τα άτοπα.
Ωραία η τριλογία!
Καλή Κυριακή

Καλημέρα Διονύση.
Πολύ χρήσιμη και ουσιαστική ανάλυση των κεντρικών κρούσεων όσον αφορά την ενέργεια. Δυστυχώς οι διερευνήσεις τείνουν σε αποκλεισμό στο υπάρχον σύστημα. Ακόμα θυμάμαι το πολύ ωραίο θέμα του 2005 με την σφήνα που πολύ εμίσησαν…

Καλησπέρα Διονύση. Πολύ καλή εργασία και πολύ χρήσιμη για τη μελέτη κρούσεων και ενεργειών.
Με την ευκαιρία ένα ζήτημα που ακόμα δεν είμαι σίγουρος πως αντιμετωπίζετε από όλους τους συναδέλφους, αντικαθιστάς ΔΚ με Κα-Κτ , ενώ μεταβολή ορίζουμε τελική μείον αρχική τιμή , είναι τελικά πρόβλημα ή όχι , γενικά μιλάω.

Kαλησπερα Διονυση. Χρησιμη αναρτηση. Μια παρατηρηση που μαλλον αξιζει τον κοπο να λεγεται στους μαθητες, ειναι οτι στην πλαστικη κρουση οπου το ενα εκ των Μ,m ειναι αρχικα ακινητο,το κλασμα
Μ/Μ+m που δειχνει το ποσοστο απωλειας, γινεται m/M+m οταν ο ρολος των δυο σωματων αντιστραφει,(δηλαδη ακινητο και κινουμενο) και επισης το αθροισμα αυτων των δυο κλασματων ισουται με την μοναδα,οποτε για παραδειγμα αν στην μια κρουση το ποσοστο απωλειας ειναι 40%,τοτε στην αλλη κρουση θα ειναι 60% και αν στην μια κρουση το ποσοστο ειναι οριακα μηδεν,τοτε στην αλλη κρουση θα χαθει ολη η ενεργεια.

Καλησπέρα Διονύση. Ευχαριστούμε που ένωσες συμπεράσματα, που βρίσκονται σε διάφορες αναρτήσεις σου, σε ένα συμπαγές πακέτο, έτοιμο για την τάξη. Θα τη δώσω αύριο, να δω αντιδράσεις στο μέγιστο-ελάχιστο.
Κάπου έγραψες m >>> M. Στο στρατό ήσουν επιλοχίας σωστά; Έγώ μέχρι > έφτασα και το μετάνιωσα, όταν έγινα αρχιφύλακας σε φυλάκιο στην Κω…

Καλημέρα συνάδελφοι.
Αποστόλη, Παντελή, Στάθη, Γρηγόρη, Κωνσταντίνε και Ανδρέα σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ανδρέα, ούτε υποδεκανέας δεν έγινα…

Καλησπέρα Διονύση. Πολύ όμορφη και κυρίως διδακτική.
Για τα ερωτηματα 1iiκαι 2iii μια αμιγως μαθηματική προσεγγιση:https://i.ibb.co/cS58kMgc/SEP-47.png

Καλημέρα Γιώργο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την γενική μαθηματική απόδειξη.

Καλημέρα.
Όμορφα μέγιστα και ελάχιστα στις κρούσεις , Διονύση.
Στην ερώτηση 3 όμως ένα μέγιστο δεν θέλησες να το αναφέρεις…..

Καλημέρα Γιώργο και σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Στο 3ο ερώτημα, έχω δώσει τιμές σε μάζες και ταχύτητες, άρα “δεν παίζει” κάποιο μέγιστο!
Φαντάζομαι αναφέρεσαι στην περίπτωση αντίθετων ορμών, όπου κάποια στιγμή θα μηδενιστούν ταυτόχρονα και οι ταχύτητες των δύο σωμάτων και όπου το 100% της μηχανικής ενέργειας, θα εμφανίζεται με τη μορφή της δυναμικής ενέργειας…

Διονύση αυτό εννοώ
https://i.ibb.co/KYXQQWH/max-4.jpg

Καλημέρα και πάλι Γιώργο.
Ναι, υπάρχει και αυτό το μέγιστο με το 96%, υπάρχει όμως και το … άλλο που ανέφερα πριν, με 100%!

Γεια σου Γιώργο χαίρομαι που σου αρέσει και ευχαριστώ για την όμορφη λύση που μας δίνεις.

Καλημέρα Παύλο. Πολύ όμορφη. Μια άλλη , αρκετα πιο δυσκολη λυση που απαντά ομως και στα τρια πρωτα ερωτηματα:
https://i.ibb.co/JwpcDsXT/SEP-30-1.png

και..
https://i.ibb.co/F4v5jsf1/SEP-31-1.png

Καλησπέρα Παύλο. Πολύ καλή. Όμως υπάρχει ένα σημείο, που οι μαθητές δεν γνωρίζουν, όπως διαπίστωσα κάνοντας τις βολές στην τάξη. Εφαπτόμενη σε παραβολή. Πως την κατασκευάζουμε;
Αναγκαστικά πρέπει να πούμε για στιγμιαίο εφαπτόμενο κύκλο – και προαιρετικά για ακτίνα καμπυλότητας, αφού η κεντρομόλος επιταχυνση θα διδαχτεί αργότερα.

Καλησπέρα Ανδρέα και σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Σωστή η παρατήρηση. Πράγματι, το πρόβλημα είναι ότι οι μαθητές δεν έχουν διδαχθεί μαθηματικά πώς κατασκευάζεται η εφαπτόμενη σε μια παραβολή.
Νομίζω όμως ότι από πλευράς Φυσικής μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε χωρίς να εισαγάγουμε στιγμιαίο εφαπτόμενο κύκλο και ακτίνα καμπυλότητας. Στο σημείο Μ της τροχιάς η εφαπτομένη έχει τη διεύθυνση της στιγμιαίας ταχύτητας υ. Επομένως, από τις συνιστώσες υx και υy μπορούμε να προσδιορίσουμε τη διεύθυνση της:
εφθ = υy/υx
Το ζήτημα είναι ότι, ψάχνοντας το σχολικό βιβλίο, διαπιστώνω πως η ιδιότητα «η στιγμιαία ταχύτητα είναι εφαπτόμενη στην τροχιά» αναφέρεται ρητά στην κυκλική κίνηση, αλλά δεν τη βρίσκω να διατυπώνεται γενικά για οποιαδήποτε καμπυλόγραμμη κίνηση ή ειδικά για την παραβολική τροχιά της οριζόντιας βολής.
Οπότε, για να είναι το θέμα απολύτως συμβατό με τις γνώσεις των μαθητών, ίσως είναι προτιμότερο να δοθεί στην εκφώνηση ως πληροφορία ότι «σε κάθε σημείο της τροχιάς, η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος έχει τη διεύθυνση της εφαπτομένης στην τροχιά στο σημείο αυτό» ή η άσκηση να δοθεί αργότερα αφού έχουν διδαχθεί οι μαθητές την προηγούμενη πρόταση. Έτσι δεν απαιτείται ούτε μαθηματική θεωρία εφαπτομένης παραβολής ούτε έννοια ακτίνας καμπυλότητας.

Καλημέρα παιδιά. Η εμπειρία δέιχνει δυστυχώς ότι οι μαθητές στην Α Λυκείου δεν προλαβαίνουν να διδαχτούν στην Άλγεβρα την παραβολή κι ας είναι στο εξώφυλλο του σχολικού βιβλίου 🙂
Οι περισσότεροι μπαίνουν στη Β Λυκείου έχοντας ακούσει από εμάς μόνο την παραβολή στο διάγραμμα x-t της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης.

Καλημέρα .
Γιώργο στην απόδειξη που εχεις κάνει πρέπει να δεις ότι το σωμα δεν κτυπα τελικα στο Α αλλα στο Τ . Το κεκλιμενο επίπεδο σχηματιζει γωνια φ με την οριζόντια διευθυνση και επειδη όπως εχει πει ο Παυλος η παραβολικη τροχια εφπαπτεται στο σημείο Γ του κεκλιμένου θα έχουμε ότι εκει η ταχύτητα θα σχηματίζει γωνια φ με την οριζόντια διευθυνση όπως φαινεται στη λύση του Παύλου . Ετσι η εφφ = (H-yΓ) / (d-xΓ)

Κώστα Καλημέρα. Δεν ασχολήθηκα ποτε με το που πεφτει η σφαιρα.Οι χρονοι και οι αποστασεις αναφερονται στο σημείο Γ. Ασχοληθηκα μονο με Γεωμετρια. Οι σχεσεις μου (1) και (2) είναι σωστες.

Γιώργο μάλλον εννοεις :https://i.ibb.co/MxYfdnnh/1.png

Τωρα καταλαβα Κωστα που μπερδευτικες. Η απόδειξη που κανω στο τελος είναι γενική απόδειξη και δεν ειναι ενα προς ενα στην ασκηση. Αποδεικνύω απλα ότι η εφαπτομενη σε καποιο σημειο της τροχιας κοβει την οριζοντια μετατοπιση απο το σημειο βολης στη μεση.

Θα ήθελα να προσθέσω κάποιες σκέψεις οι οποίες φαίνονται στο αρχείο που ακολουθει. Εχω τερματίσει το κεκλιμένο επίπεδο στο σημείο Γ.Το σημείο Γ είναι το σημείο που η εκφώνηση δίνει ότι η ταχύτητα που έχει το σώμα διερχόμενο από το σημείο αυτό εφάπτεται του κεκλιμένου επιπέδου . Αρα για το σημείο αυτό ισχύει η σχέση (2) . Αν είχαμε δώσει κατάλληλο μέτρο αρχικής ταχύτητας ώστε το σώμα να έπεφτε στο κεκλιμένο τότε θα ίσχυε η σχέση (3) . Βλέπουμε δηλαδη τι συμβαίνει όταν η τροχια εφάπτεται με το κεκλιμένο επίπεδο και τι συμβαίνει όταν η τροχιά τέμνει το κεκλιμένο επίπεδο .

https://i.ibb.co/WvYPHV82/2.png

Γεια σου Κώστα, σε ευχαριστώ για τον σχολιασμό και την παράθεση των σκέψεων σου.

Γεια σου Γιώργο, σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου και για τα επιπλέον ερωτήματα. Νομίζω πως για για βρούμε την ελάχιστη απόσταση ενός τυχαίου σημείου Ζ της τροχιάς του σώματος από το Α θα πρέπει το ΑΖ να είναι κάθετο στην ταχύτητα του σώματος στο Ζ και όχι το ΑΖ να είναι κάθετο στο κεκλιμένο επίπεδο. Και πάλι σε ευχαριστώ για το χρόνο σου.

Καλησπέρα Παύλο. Εχεις δικιο. Για αυτο κατεβασα την προηγουμενη αποδειξη για την ελαχιστη απόσταση που περνα η σφαιρα από το Α και το ανεβάζω τωρα σωστα .Μονο που χρησιμοποιω περισσότερα μαθηματικα (και δεν είναι για τους μαθητές): https://i.ibb.co/cXK1pwv0/SEP-40.png

Γεια σου Γιώργο πολύ όμορφη λύση, σε ευχαριστώ πολύ!

Καλημέρα Διονύση.
Πρωινές διαδρομές για την Α΄ γνώριμες ίσως
από την Β΄του παρελθόντος!
Γιατί όχι λοιπόν και στη Β΄Γυμν.

Γεια σου Διονύση, πολύ σημαντική ανάρτηση αφού ασχολείται με τα μεγέθη που θέτουν τις βάσεις για την μελέτη της κίνησης των σωμάτων.

Καλημέρα Διονύση. Φέτος ο Γιάννης πηγαίνει Α’ Λυκείου και θα έχει να μελετά θέματα από καλό δάσκαλο…

Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Παντελή. Παύλο και Αποστόλη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Μεγάλωσε και ο Γιάννης…

Καλησπέρα Διονύση. Ωραία εργασία , της εποχής.
Θα μου επιτρέψεις όμως , αν τα καταφέρω, να δώσω την εργασία όπως είναι αλλάζοντας μόνο τα νούμερα . Τα διαιρούμε όλα με με το 25 τα κάνουμε cm και δουλεύουμε σε σελίδα Α4 με χάρακα ,πάνω σε μία ευθεία 25 cm .

Καλησπέρα Διονύση.Πολύ διδακτική πρόταση. Και ένας καλός μαθητής που μαθαίνει να τα ξεχωρίζει αυτά όλα, φτάνει στις Πανελλαδικές και διαβάζει Δ4
https://i.ibb.co/KpxtrrJ6/image.jpg

Γρηγόρη και Ανδρέα, καλό απόγευμα και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γρηγόρη προφανώς κάθε τροποποίηση του θέματος, για να έρθει στα μέτρα του συναδέλφου που διδάσκει, είναι όχι μόνο επιστρεπτή αλλά επιβεβλημένη…
Ανδρέα η συνέπεια όσων διδάσκουμε και όσων βλέπουμε στις πανελλαδικές, είναι πάντα ζητύμενο!

Καλημέρα Διονύση.

Πρωτότυπη με βαθμολογική διακριτική ικανότητα.

Διατηρείς αναλλοίωτη και θαυμαστή την ικανότητά σου, να διαμορφώνεις πρότυπα ερωτήματα και σε γνωστά μοντέλα!
Καλημέρα

Διονύση πολύ καλή άσκηση σε όλα τα σημεία!

Στο ερώτημα (iii) κάνεις αρχικά μια υπόθεση ότι αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του (l1), από τη γεωμετρία βρίσκεις το μήκος του l2 στη θέση (2) και μετά από ΑΔΜΕ βρίσκεις την παραμόρφωση στη θέση αυτή που είναι διαφορετική από από τη διαφορά l2 – l1 έτσι καταλήγεις σε άτοπο .
Θα μπορούσαμε να υποθέσουμε εξ αρχής ότι αρχικά το ελατήριο είναι σε επιμηκυνση και να κάνουμε το βήμα που έχεις κάνει στη συνέχεια ώστε να βρούμε το φυσικό μήκος του lo. Μου άρεσε όμως ο τρόπος που το χειρίστηκες!

Καλημέρα Διονύση . Εξαιρετική!!!
Στο (iii) ερώτημα μπορουμε να απαντήσουμε και στα δυο υποερωτηματα μαζί , θεωρώντας ότι αρχικά έχει αρχική επιμήμυνση L1-Lo=0,4-Lο ( και τελικη L2-Lo =0,5-Lo) και εφαρμοζοντας ΑΔΜΕ στη συνεχεια να βρουμε το Lo=0,3m , διαφορετικό από το L1.

Καλημέρα σε όλους. Πολύ καλή Διονύση!

Γεια σου Διονύση πολύ ωραία ανάρτηση!

Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Ανδρέα, Παντελή, Κώστα, Γιώργο, Αποστόλη και Παύλο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Κώστα και Γιώργο, θα μπορούσε ένας μαθητής να ακολουθήσει και αυτήν την πορεία.
Βέβαια η εκφώνηση λέει ρητά “Να αποδειχθεί ότι το ελατήριο στην αρχική θέση ισορροπίας της σφαίρας, θέση (1), δεν έχει το φυσικό μήκος του. Στη συνέχεια, με δεδομένο ότι το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί (l0<l1)να υπολογιστεί το φυσικό μήκος του.”
Ζητάει δηλαδή μια ανεξάρτητη απόδειξη πρώτα για το φυσικό μήκος και στη συνέχεια, σαν επόμενο βήμα, τον υπολογισμό του μήκους.

Καλησπέρα Διονύση. Να αποδειχτεί ότι…Βραχυκύκλωμα στον υποψήφιο,που έχει μάθει να χρησιμοποιεί τυπολόγια και εις άτοπο νομίζει ότι είναι μόνο στη μισητή Γεωμετρία. Πολύ καλό το ερώτημα της επιτάχυνσης σε μια θέση που είναι προσωρινά ακίνητο, παραπέμποντας σε ταλάντωση.

Καλημέρα Ανδρέα.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλημέρα Παύλο και καλή Κυριακή! Ενδιαφέρον σενάριο, που σίγουρα θα βοηθήσει κάνοντας και τις συνδέσεις από τα προηγούμενα χρόνια.

Στο ερώτημα (β), κάποιος θα μπορούσε να επικαλεσθεί και την ανταλλαγή ταχυτήτων. Επίσης, στο ερώτημα (δ), ο έλεγχος της πραγματοποίησης της κρούσης θα μπορούσε να γίνει με την εύρεση της χρονικής στιγμής ακινητοποίησης των σωμάτων.

Μία σχεδιαστική παρατήρηση. Στο γράφημα φαίνεται ότι οι ταχύτητες των σωμάτων πριν από την κρούση είναι περίπου μηδενικές.

Καλημέρα Μίλτο και καλή Κυριακή! Σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο και τις παρατηρήσεις.
Στο (β), η ανταλλαγή ταχυτήτων πράγματι ισχύει για κεντρική ελαστική κρούση ίσων μαζών. Στη συγκεκριμένη άσκηση όμως δεν γνωρίζουμε αρχικά ότι η κρούση είναι ελαστική, αυτό ζητείται να αποδειχθεί. Για τον λόγο αυτό βρίσκουμε πρώτα από την ΑΔΟ την ταχύτητα του Σ₂ μετά την κρούση και στη συνέχεια, με έλεγχο της κινητικής ενέργειας, διαπιστώνουμε ότι η κρούση ήταν ελαστική.
Όσον αφορά το (δ), οι χρόνοι ακινητοποίησης που θα προέκυπταν αμέσως μετά την πρώτη κρούση δεν αρκούν, κατά τη γνώμη μου, για να αποδείξουν ότι θα πραγματοποιηθεί δεύτερη κρούση. Η πραγματοποίησή της εξαρτάται από τη σχετική κίνηση των σωμάτων, δηλαδή τόσο από τις ταχύτητές τους όσο και από τις επιταχύνσεις τους. Επιπλέον, η δεύτερη κρούση συμβαίνει πριν προλάβει να ακινητοποιηθεί κάποιο από τα δύο σώματα, οπότε οι αρχικά υπολογισμένοι χρόνοι ακινητοποίησης δεν πραγματοποιούνται τελικά.
Για το διάγραμμα, οι καμπύλες έχουν σχεδιαστεί με βάση τις εξισώσεις κίνησης. Η εντύπωση ότι οι ταχύτητες κοντά στο σημείο K είναι μικρές οφείλεται στη διαφορετική βαθμονόμηση των δύο αξόνων. Η γωνία που σχηματίζει οπτικά η εφαπτομένη με τον οριζόντιο άξονα εξαρτάται από την κλίμακα των αξόνων και όχι μόνο από την τιμή της dx/dt.
Σε ευχαριστώ και πάλι για την προσεκτική ματιά!

Καλησπέρα Παύλο. Ωραία άσκηση , χρησιμοποιείς και την εξίσωση θέσης , γραφική παράσταση θέσης όχι συνηθισμένη και νομίζω είναι μια περίπτωση που μπορεί κανείς να δει την εικόνα της εκφώνησης και να σκεφτεί , ωχ δύσκολη, διαβάζοντας όμως προσεκτικά πρόκειται για μια κατανοητή και βατή όπως λέμε περίπτωση.
Να σημειώσω μόνο πως νομίζω η τιμή της μάζας 1 kg δεν χρειάζεται , δηλαδή και άλλη τιμή να είχαν οι δύο ίσες μάζες πάλι το ίδιο θα συνέβαινε.

Γεια σου Γρηγόρη, χαίρομαι που σου αρέσει. Έχεις δίκιο, δεν παίζει κάποιο ρόλο η τιμή των μαζών αυτό που μας ενδιαφέρεις είναι ότι είναι ίσες. Η τιμή των μαζών δόθηκε για να καταλήξουμε σε νούμερα στον υπολογισμό Kολ(Πριν) και Κολ(Mετά) και να μην έχουμε στο αποτέλεσμα την μεταβλητή m. Σε ευχαριστώ για το σχόλιο.

Καλημέρα Παύλο. Όμορφη!. Στους μαθητές ίσως ´φοβίσει’ το διάγραμα.
Επισης μπορούμε να ρωτήσουμε αν υπάρχει άλλη κρούση( που δεν υπάρχει αφου σταματανε (συγχρόνως!)τα δυο σώματα σε απόσταση 1m μεταξύ τους μετα 1 s απο την δευτερη κρούση.

Γεια σου Γιώργο σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει.

Καλημέρα Παύλο.
Παρ’όλο που κι εγώ αρχικά θεώρησα ότι στο Κ του διαγράμματος οι κλίσεις ήταν μηδενικές και μπερδεύτηκαν τα “πράγματα” παρακάτω ,θεωρώ την άσκηση όμορφη με προσοχή στην κατανόησή της κατά την επίλυση.
Να είσαι καλά

Γεια σου Παντελή και από εδώ, σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει.

Καλημέρα και καλή επιστροφή στα σχολεία.
Αφιερωμένη στους συναδέλφους και στους μαθητές τους, που σήμερα ξαναμπαίνουν στις αίθουσες…

Ευχαριστούμε Διονύση, καλή νέα σχολική χρονιά και στο ylikonet

Ευχαριστώ για το σχολιασμό Θοδωρή.

Πολύ καλή. Ευχαριστούμε Διονύση. Ξεκινάμε μια σχολική χρονιά με τα ταμεία των σχολείων άδεια, σε αίθουσες με θερμοκρασίες πάνω από 40 βαθμούς, με 27άρια τμήματα και τις οδηγίες περί συμπερίληψης. Θα ξαλαφρώσουν τουλάχιστον λίγο οι γονείς, αφού θα κάνουμε εμείς παιδοφύλαξη…

Ωραία άσκηση Διονύση .
Καλή δύναμη σε όλους.

Γεια σου Διονύση, όμορφη άσκηση, ευχαριστούμε.

Καλησπέρα Διονύση. Όμορφη όπως πάντα. Μήπως , για το τρίτο ερώτημα πρεπει να πουμε ότι, το Γ ακινητοποιείται στιγμιαία πριν την συγκρουση των Α,Β. Είναι φανερό, αφού το ενα δευτερολεπτο είναι μεγάλος χρονος σχετικά με τον χρόνο ακινητοποιήσης του Γ μετά την κρούση ,αλλά τα παιδιά δεν μπορούν να το αποδείξουν.

Όχι , ζητάς την ορμή του συστηματος . Για αυτό δεν χρειάζεται. Νομιζα την ορμή της κάθε σφαίρας.

Καλησπέρα και καλή σχολική χρονιά σε όλους!
Ευχαριστούμε Διονύση. Ερώτημα συνάντησης όμως σε μαθητές που την είχαν εκτός στην Α Λυκείου…;;!!
Να είσαι καλά και καλή δύναμη σε όλους!

Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Ανδρέα, Γρηγόρη, Παύλο, Γιώργο και Μίλτο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Μια τέτοια συνάντηση, που η ενδεδειγμένη και ικανή απάντηση, είναι η πρώτη από τις παραπάνω, δεν πρέπει Μίλτο να μπορεί να επεξεργαστεί ένας υποψήφιος;

Φυσικά και πρέπει Διονύση, όπως φυσικά και πρέπει να διδάσκουμε τη συνάντηση στην Α΄ Λυκείου.

Διονύση καλησπέρα.
Ωραίο θα ηταν σαν θέμα καθως συνδυαζει και γνωσεις Α Λυκείου.

Καλημέρα Μίλτο και Χρήστο και σας ευχαριστώ για το σχόλιο…

Διονύση, τώρα διάβασα την ανάρτηση…..μας παραπλανάς… βάζεις τίτλο για δύο κρούσεις, ενώ εγώ μετράω τρεις….

Η ταχύτητα της Α θα μηδενιστεί κατά την 2η κρούση των Α, Β και 3η συνολικά, επιβεβαιώνοντας τη σχέση που αναφέρθηκε πρώτα από τον Ανδρέα (Βαλαδάκη) και μετά από εμένα (m1/m2)=3 και 1+2(<υ2>/υ1)=1+2=3, άρα (m1/m2)=1+2(<υ2>/υ1),
όπου <υ> απόλυτη τιμή ταχύτητας

Κάτι που ξεχάστηκε

https://i.ibb.co/ZPpV5Wg/image.png

Καλημέρα Παύλο . Καλή άσκηση για μελέτη πάνω στη μετατόπιση και το διάστημα.

Σε ευχαριστώ Γρηγόρη για το σχόλιο, χαίρομαι που δου αρέσει.

Καλησπέρα Παύλο. Εξαιρετική!.Νομίζω ότι δεν χρειάζεται τοση ανάλυση στην αρχή.Τα διαστηματα είναι θετικά αρα η μετατοπιση είναι η διαφορα του αθροίσματος των θετικων διαστηματων μειον το αθροισμα των διαστηματων που διηνήθηκαν στην αρνητική κατευθυνση.

Γεια σου Γιώργο σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει. Ναι όντως θα μπορούσα να το γράψω πιο γρήγορα αλλά ήθελα να είναι πιο αυστηρά διατυπωμένη από μαθηματικής άποψης η δικαιολόγηση.

Παύλο καλησπέρα.
Πολύ καλή. Για ανήσυχους μαθητές.

Γεια σου Χρήστο, σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει.

Μετά από μια κρούση, μπορεί το κινούμενο σώμα να παρασύρει ένα άλλο, με το οποίο βρίσκεται σε επαφή;
Η πρόσφατη ανάρτηση του Χρήστου “Ελάχιστος συντελεστής τριβής“, ήταν η αφορμή για την παρούσα διερεύνηση.
Οπότε δικαιωματικά του αφιερώνεται!

Γεια σου Διονύση, πολύ όμορφη άσκηση!

Καλημέρα Παύλο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλησπέρα Διονύση. Πολυ όμορφη οπως πάντα. Μια εναλλακτική οπτική:https://i.ibb.co/Dffd4Pg9/sep12.png

και…https://i.ibb.co/m5ZBRPYW/sep13.png

Ωραίο θέμα Διονύση με ενδιαφέροντα συμπεράσματα.
Προσωπικά χρησιμοποίησα το ΣF=ΔP/Δt στο κάτω σώμα.

Καλησπέρα Διονύση. Ωραία προσέγγιση – διερεύνηση σε ένα “απαγορευμένο” θέμα. Έτσι όπως το έστησες νομίζω ότι άρονται τα περιοριστικά μέτρα, αφού δεν υπάρχει ολίσθηση. 😉

Διονύση καλησπέρα.
Σε ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση.

Το κάλυψες πλήρως το θέμα με την κρούση και στο πάνω και στο κάτω σώμα!

Σκέφτομαι μήπως μπορούμε να αποδώσουμε κάποιο φυσικό νόημα στο συμπέρασμα ότι αν η κρούση γίνεται στο πάνω σώμα καταλήγουμε σε μέγιστη μάζα για το κάτω ενώ αν η κρούση γίνεται στο κάτω σώμα απαιτείται ελάχιστη μάζα στο πάνω.

Για την πρώτη περίπτωση θα μπορούσαμε να σκεφτούμε το εξής: Το σώμα Σ1 βρίσκεται πάνω στο Σ2 και για να το συμπαρασύρει πρέπει να έχει μικρή μάζα. Αν το κάτω σώμα έχει πολύ μεγάλη μάζα κατά πάσα πιθανότητα θα γλιστρήσει. Σαν να θέλει να συμπαρασύρει ένα αυτοκίνητο. Όπως εμείς με την παλάμη μας να θελουμε να σπρώξουμε ένα τραπέζι. Πιο ιθανό είναι να γλιστρήσει η παλάμη στο τραπέζι.

Στη δεύτερη περίπτωση το κάτω σώμα δέχεται την κρουστική δύναμη από το βλήμα η οποία είναι πολύ μεγάλη και για να συμπαρασύρει και το πάνω σώμα να κινηθεί μαζί με αυτό απαιτείται μία μεγάλη στατική τριβή. Αλλιώς το κάτω σώμα θα γλιστρήσει ανάμεσα στο δάπεδο και το πάνω σώμα. Με την αύξηση της μάζας του πάνω σώματος αυξάνουμε την τριβή και αποφεύγουμε την ολίσθηση.

Καλημέρα συνάδελφοι.
Γιώργο, Γρηγόρη, Ανδρέα και Χρήστο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και τις τοποθετήσεις.
Χρήστο, τα συμπεράσματα που αναλύεις, είναι αυτά που και κατά την δική μου άποψη πρέπει να μείνουν, σαν συμπέρασμα…
Τα υπόλοιπα είναι πράξεις…

Καλημερα Παυλε
Ενδιαφερουσα η προσεγγιση σου.
Μια απορια μονο.Η σχεση στην οποια εκφραζεις τον ρυθμο μεταβολης της θεσης δεν πρεπει να γραφει στο δευτερο μελος 20i +30j ως διανυσματικο αθροισμα?

Καλημέρα σε όλους. Παρμενίωνα έκανα λάθος και έβαλα άλλο αρχείο. Για να έχει νόημα το ερώτημα σου επισυνάπτω σε φωτογραφία το τμήμα του αρχείου που αντικατέστησα.
Ναι συμφωνώ πως θα ήταν καλύτερο να ήταν bold τα μοναδιαία διανύσματα.
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο.

https://i.ibb.co/qLC8CwzP/IMG-5525-1788844926-8082.jpg

Καλησπερα Παύλο. Όμορφη και πολυ ενδιαφέρον το τελευταιο ερώτημα.
Μια μαθηματική προσεγγιση σε αυτό που απευθύνεται καλυτερα στα Μαθηματικά Γ’Λυκείου :https://i.ibb.co/qMyn0DBp/sep10.png

Γεια σου Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο και την όμορφη λύση του δεύτερου ερωτήματος.

Καλησπέρα Παύλο. Καλή σχολική χρονιά! Ωραία άσκηση. Πρωτότυπο τελευταίο ερώτημα, για πολύ καλούς μαθητές. Μακάρι να έχω φέτος από αυτούς…

Καλησπέρα. Σε ευχαριστώ για το σχόλιο Ανδρέα, χαίρομαι που την βρίσκεις ενδιαφέρουσα. Καλή σχολική χρονική να έχουμε!

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣΘΕΜΑ 1
1.      β
2.      α
3.      β
4.      β
5.      γ
6.      β
7.      γ
8.      γ
9.      β
10.   β
11.   γ
12.   β
13.   β
14.   α
15.   γ
16.   γ
17.   γ
18.   γ
19.   γ
20.   α
ΘΕΜΑ 2
1.      Σ
2.      Σ
3.      Σ
4.      Σ
5.      Λ
6.      Σ
7.      Λ
8.      Σ
9.      Λ
10.   Λ
11.   Λ
12.   Σ
13.   Σ
14.   Σ
15.   Σ
16.   Σ
17.   Σ
18.   Λ
19.   Σ
20.   Λ

Γεια σου Παύλο. Έξυπνο θέμα, όπου πρέπει να προσεχθεί ότι το σύστημα μετά την κρούση είναι συνεχώς μονωμένο. Να πούμε ότι η σχέση των ταχυτήτων που υπολογίζεις στο Β2 ισχύει κάθε στιγμή μετά την κρούση. Επίσης για το Β3 επειδή οι μαθητές δεν γνωρίζουν σχετικές ταχύτητες, θα αρκούσε μια αναφορά στη σχέση υ1+υ1′ = υ2+υ2′ του σχολικού.

Γεια σου Αποστόλη σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει. Πολύ σωστές οι παρατηρήσεις σου. Έκανα τις απαραίτητες διορθώσεις.

Καλησπέρα Παύλο.
Πολύ όμορφη. Όπως τονίζει ο Αποστόλης πρέπει να προσεχθεί ότι είναι συνεχώς μονωμένο το σύστημα. Μου θύμισε την ταυτόχρονη κίνηση δύο ράβδων σε μ.π.

Καλησπέρα !

Παύλο πολύ καλή σκέψη , πάρολο που υπάρχουν τριβές το έχεις ρυθμίση να δίνουν ΣFεξ=0 .

Θα σας πάω λίγο παλιότερα σε μια σχετική άσκηση που είχε ανεβάσει ο Δ. Πάλμος έχει πολύ ενδιαφέρον και αυτή !
Ε Δ Ω

Γεια σας Χρήστο και Κώστα, ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σας αρέσει. Χρήστο ναι υπάρχουν κάποια κοινά χαρακτηριστικά στα δύο φαινόμενα. Κώστα δεν την θυμόμουν την άσκηση του Δημήτρη (γεια σου Δημήτρη) η οποία είναι πάρα πολύ όμορφη, σε ευχαριστώ που την έφερες στο προσκήνιο.

Καλησπέρα στην παρέα. Τώρα που την ξαναβλέπω μήπως πρέπει να δοθει ότι τα δύο σώματα σταματούν ταυτόχρονα;

Γεια σου Αποστόλη και πάλι. Για να διατηρείται το σύστημα μονωμένο συνεχώς πρέπει να ακινητοποιούνται ταυτόχρονα. Σε αυτό το αποτέλεσμα καταλήγεις αν χρησιμοποιήσεις τα αποτελέσματα των Β₁ και Β₂.

Καλημέρα Παύλο. Σωστά, πρέπει κάθε στιγμή ΣFεξ = 0, άρα αναγκαστικά σταματούν ταυτόχρονα.

Γεια σου Διονύση και καλή σεζόν! Από τα κλασικά σου θέματα, που βάζουν το μαθητή να σκεφτεί. Επειδή μετά το i) η κρούση θεωρείται ελαστική, μήπως το δεδομένο αυτό έπρεπε να δοθεί πριν το ii) ;

Καλό απόγευμα Αποστόλη και σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Εννοείς να μην ανήκει η φράση “Αν η κρούση είναι ελαστική ” στο υποερώτημα ii), αλλά να δοθεί πριν; Τώρα που το σκέφτομαι, δίκιο έχεις. Θα το αλλάξω…

Καλησπέρα Διονύση. Εξαιρετική. Η κρούση δεν είναι ένα φαινόμενο, που απλώς υπάρχει για να έχουμε μετά κεκλιμένα επίπεδα, ελατήρια κ.λ.π. Έχει από μόνη της μια ιστορία, παρελθόν, μέλλον. Να δω πόσοι μαθητές θυμούνται από την Α΄την έννοια θέση και τα σχετικά διαγράμματα.

Καλησπέρα Διονύση.
Όπως αναφέρει ο Αποστόλης αυτά τα θέματα παραπέμπουν σε εσένα…
Άλλοι συμβουλεύονται το ΑΙ ενώ εμείς το ΔΙ

Καλησπέρα. Καλή σχολική χρονιά σε όλους.
Άσκηση που χρειάζεται να έχουμε καταλάβει στην Α΄ τη διαδικασία με τις θέσεις όπως είπε και ο Ανδρέας
Διονύση , νομίζω στη λύση στο ερώτημα iii) υποερώτημα , α) ενώ γράφεις σωστά x1=4m νομίζω μετά το αντικαθιστάς με x1=2m στους τύπους.

Συγνώμη , λάθος δικό μου το x1=2m είναι σωστό απλά αναφέρεις x1=4m αλλά στους τύπους είναι εντάξει.

Καλημέρα συνάδεφοι.
Ανδρέα, Χρήστο και Γρηγόρη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γρηγόρη διόρθωσα και την “ανορθογραφία”…