Τάκης Χρονόπουλος

Γειά σου Τάκη.
Έπιασε τόπο η πρότασή σου …
Έστειλα σαν αρχή, προς την εγγονή που τέλειωσε την Αβάθμια εκπαίδευσή της , από τα της 1ης εβδομάδας τα 1, 3 και από την 4η το 3.
Τα έλυσε λέγοντάς μου ότι της φάνηκαν γνωστά!
Τις είπα ότι θα ακολουθήσουν και άγνωστα.
Ευχαριστώ από μεριάς μου για το υλικό μεσω του …”υλικο”
Καλό καλοκαίρι

Φέτος, έδινα κάθε βδομάδα για να ακονίζουν το μυαλό τους σε μαθητές Α Γυμνασίου τις παρακάτω ασκήσεις. Αυτές προέρχονται από μαθηματικούς διαγωνισμούς που διοργανώνουν τοπικά παραρτήματα της ΕΜΕ , μιας και η ΕΜΕ δεν διοργανώνει διαγωνισμούς για την Α Γυμνασίου, παρά ξεκινάει από Β Γυμνασίου.

Οι εν λόγω ασκήσεις με πηγές βρίσκονται εδώ.

Στο eclass που τις ανέβαζα (επειδή έχαναν τα φυλλάδια που τους έδινα και ήθελα να τα έχουν συγκεντρωμένα ) είχα γράψει και το εξής κείμενο:

<< Σχετικά με τα προβλήματα διαγωνισμών

Δεν πρέπει να απογοητεύεται κάποιο παιδί, όταν δεν καταφέρνει να λύσει τις ασκήσεις στο φυλλάδιο “πρόβληματα διαγωνισμών”. Τα συγκεκριμένα πρόβληματα τα έχω επιλέξει, ώστε είτε τα λύσει κάποιο παιδί είτε όχι αλλά προσπαθήσει, να τα κάνει πιο έξυπνα. Όταν με το καλό, τα λύσουμε στην τάξη, θα δείτε πόσες διαφορετικές ιδέες περιέχουν και πως όλα λύνονται με την ύλη που ήδη ξέρετε, δίχως εξισώσεις. Σημασία έχει μερικές φορές το ταξίδι, η διαδρομή και όχι ο προορισμός.

Αν ζητάτε βοήθεια από τους γονείς σας, πιο πολυ πιστεύω στα προβλήματα διαγωνισμών θα σας ωφελήσει να κουβεντιάζετε μαζί τους, τι έχετε καταλάβει εσείς από το πρόβλημα, και να συζητάτε μαζί τους τις σκέψεις σας, και ενδεχομένως να σας καθοδηγούν, παρά να σας το λύνουν οι γονείς και να σας εξηγούν μετά την λύση που εκείνοι σκέφτηκαν. Τα προβλήματα που δεν είναι διαγωνισμών, νομίζω είναι πιο προσιτά, πιο εύκολα και δεν χρειάζεστε βοήθεια. >>

Πολύ όμορφες Τάκη!!
Ασχολήθηκα αρχικά με το Μπάμπη και τη Μαριάννα.
Όταν ο Μπάμπης βρίσκεται σε ένα σημείο Σ ανακοινώνει πως θα κινηθεί κάθετα στην ΚΣ (Κ το κέντρο). Όπως και να του επιτραπεί να κινηθεί απομακρύνεται από το κέντρο. Κάνοντας αυτό διαδοχικά δραπετεύει.

Ο Αναστάσης αν θέλει να δραπετεύσει από το δάσος πρέπει να κινηθεί 1,5 km προς τυχαία κατεύθυνση και 1,5 km κάθετα στην προηγούμενη.

Ακόμα (αν δεν κάνω λάθος) θα παραμείνει Γερμανός κρατούμενος διότι το πλήθος των Γερμανών είναι περιττός αριθμός και σε κάθε έξοδο ελευθερώνονται δύο.
Δηλαδή το πλήθος αυτών που ελευθερώνονται είναι άρτιο.

ωραίος 3/3, πάνε οι ασκήσεις 2, 3, 4 με την σειρά αυτή

ήμουν βέβαιος πως θα τσιμπήσεις στις ασκήσεις αυτές

καλό θα ήταν αν υπήρχε στις δυνατότητες απάντησης σε απόκρυψη, για να απαντάς πχ. την άσκηση 3 και να γράφεις μέσα στην απόκρυψη την απάντησή σου, για να μην κλέβεις την μπουκιά από το στόμα των υπολοίπων αλλά δεν ξέρω αν είναι εφικτό στο site αυτό

7 έμειναν

Τάκη ξέρω και τη γέφυρα (από το mind your decisions) έτσι δεν απαντώ.

Καλησπέρα . Όμορφες. Για την 5η: Μηπως ο γιος γτανει στη μέρση και φεγγει κατα μηκος της γεφυρας και περνανε διαδοχικά οι υπόλοιπι και στο τέλος περνα και αυτός;. Ετσι είναι 15 λεπτά συνολικά,

(5η) Όχι, δεν φέγγει στην γέφυρα. Κάθε λύση είναι τίμια, δίχως τεχνάσματα.

Αλλιως!
1η διαδρομη : 1+2 μενει ο 2 επιστρεφει ο 1 => 3λεπτα
2η διαδρομη : 8+4 , μενουν και οι δυο επιστρεφει ο 2 => 10 λεπτα
3η διαδρομή : 1+2 => 2 λεπτά
συνολο 15 λεπτά

μια χαρά η 5η, δεν κρύβω οτι αμφέβαλλα οτι λύνεται όταν την πέτυχα και αναζήτησα την λύση

Καλημέρα παιδιά.
Και εγώ είχα δει τη λύση. Είναι η έξυπνη κίνηση να βάλεις μαζί τους δύο αργούς.

Νομίζω ότι έχω απάντηση για τους χαμαιλέοντες.
Θα μείνουν δύο χρώματα μια και για να μείνει ένα χρώμα θα πρέπει δύο ομάδες να γίνουν ισάριθμες. Αυτό όμως δεν γίνεται με κανένα συνδυασμό.

Η απάντηση είναι όντως αρνητική αλλά κάτι δεν με πείθει στον συλλογισμό σου. Πως ξέρεις πχ. οτι αποκλειεται να φτάσεις σε περίπτωση 22-22-1 ;

Καλημέρα σε όλους. Για την 8η:https://i.ibb.co/HDJRCSYw/10.png

Τάκη για να κάνουμε ισάριθμους τους 13 γκρι και τους 15 μπεζ πρέπει να αυξήσουμε τους γκρι κατά 1 και να μειώσουμε τους μπεζ κατά 1.
1.     Δεν έχει νόημα συνάντηση ενός γκρι με έναν μπεζ διότι μειώνονται και οι δύο κατά 1 γενόμενοι πράσινοι.
2.     Συνάντηση ενός μπεζ με έναν πράσινο αυξάνει τους γκρι κατά 2 και μειώνει τους μπεζ κατά 1. Έτσι οι γκρι υπερβαίνουν τους μπεζ κατά 1.
3.     Συνάντηση ενός γκρι με έναν πράσινο αυξάνει τους μπεζ κατά 2 και μειώνει τους γρι κατά 1. Οι μπεζ τώρα υπερβαίνουν τους γκρι κατά 1.
4.     Είμαστε σε φαύλο κύκλο.

Και εγω πιστέυω ότι στην περιπτωση με τους χαμελαίοντες είναι αδύνατον να υπάρχει συνδυασμός αρφου ζητάμε αριθμό πολλαπλάσι του τρία και οι διαφορές είναι ζυγός αριθμός
σε καθε περίπτωση π.χ. :
Γ=γκρι Μ = μπεζ π= πρασινο
Γ-χ=Μ+3χ => Γ-Μ =3χ με Γ-Μ αρτιο, σε οποιαδηποτε συνδυασμό Γ,Μ,Π

Το ίδιο πιστεύω και για την 6η. Εχουμε δυνατότητα πoλλαπλασιο του 3 ή του 6. Το 100 δεν είναι πoλλαπλασιο του 3 ή του 6.

Γιάννη, ο συλλογισμός σου αποδεικνύει ότι όταν διαφέρουν κατά 2 δεν μπορούν να γίνουν όσοι.
Αν συμπληρωθεί από το ότι αν διαφέρουν κατά 4 δεν μπορούν να γίνουν ίσοι, τότε αποδεικνύεται ότι ποτέ 2 δεν γίνονται ίσοι.
Οπότε το τελευταίο βήμα πριν το 45-0-0 που είναι το 43-1-1 δεν θα είναι εφικτό.

Οι λύσεις του Γιώργου για την 6η και 8η είναι προφανώς μια χαρά.
Μένει να ξαναδιαβάσω την ιδέα του Γιώργου για την 1η.

Γιώργο δεν κατάλαβα ποια τακτική ακολουθεί κάθε παίκτης.
Αν ο μαθητής πάει από το Ο στο Ζ δεν θα μπορέσει να βγει.

Ας δούμε το:
Οι κυρίες και ο Σάτυρος.

Νομίζω πως η λογική του Γιώργου είναι αν θεωρήσουμε το worst case σενάριο ως θέση Α ο καθηγητής και Ο ο μαθητής. Ο μαθητής θα κινηθεί κατά την διαδρομή ΟΖΜ αν ο καθηγητής κάνει την διαδρομή ΑΔΓΜ είτε την συμμετρική της ως προς την διαγώνιο ΑΓ αν ο καθηγητής κινηθεί από Α -> Β κ.ο.κ.
Φθάνει στο σημείο Μ πριν φθάσει ο καθηγητής.
Αυτό κατάλαβα.

Καλησπερα Τακη.Για την 1 το παραπροτελευταιο βημα θα μπορουσε ναταν 13-16-16.Παρ ολαυτα ουτε αυτο δεν βγαινει

Για την 6η πολλαπλάσιο του 3 αρκεί, αφού κάθε πολλαπλάσιο του 6 είναι και του 3.

Γιαννη ο καθηγητής στην κορυφη Α αρχικά και ο μαθητης το κέντρο. Ο μαθητης παει από το Ο στο Z και ο καθηγητής έστω ότι πάει προς το Δ . Ακολουθως ο μαθητης από το Z πάει στο Μ πριν ο καθηγητης παει και αυτος στο Μ κινουμενος με το ρολοί.
Αν ο καθηγητης απο την αρχή παει δεξιόστροφα ο μαθητής στο Ζ ακολουθεί την αντιθετη διαδρομη απο την ΖΜ (στην προεκτασή της προς την ΔΓ) όπου φτάνει πάλι νωρίτερα από τον καθηγητη.

Για την 9η. Δεν είναι δυνατον .επανερχονται στις αρχικες τουσ θεσεις.
Α=>Α’=>Α´’ =Α´”=> Α´” ‘
Το ίδιο για Β και Γ.https://i.ibb.co/3yRqzhBH/11.png

Γιώργο γιατί ο καθηγητής να πάει στο Α και όχι στο μέσον της ΑΔ;

Το λεει στην εκφωνηση:Ένας καθηγητής κάθεται σε μια γωνιά της πισίνας

Ναι αλλά ο μαθητής που είναι;
Όντως η καλύτερη τακτική για τον μαθητή είναι να πάει στο κέντρο και ο καθηγητής να μείνει στη γωνία. Όταν ο μαθητής κινείται στη διαγώνιο ο καθηγητής αποφασίζει να κινηθεί με οποιαδήποτε φορά.
Η λύση σου είναι σωστή και η απόφαση του μαθητή να πάει στο Μ ισχύει αν ο καθηγητής επιλέξει τη φορά του ρολογιού.
Διαφορετικά θα κινηθεί όχι προς το Μ αλλά αντίθετα.

Αν ο καθηγητης είναι συη μέση της ΑΔ (στο Ν π,χ,)θα κινηθει αντιθετα στην ΟΝ προς τ κάτω κατα α/4 (α η πλευρα του τετραγώνου) και ανάλογα αν κινηθει ο καθηγητης δεξιοστροφα ή αριστερόστροφα ,ο μαθητης θα κινηθει παραλληλα στην ΑΔ προς τα δεξια ή αριστερά αντίστοιχα.
Αλλα και σε όποιο σημείο της ΑΔ και να είναι ο Καθηγητής θα κινηθεί αντίθετα του ευθύγραμμου τμηματος που ενώνει το κέντρο με τον καθηγητη για την μιση απόσταση από την οχθη και αναλογα πως κινείται ο καθηγητης δεξιοστροφα ή αριστερόστροφα ,ο μαθητης θα κινηθει καθετα στην αρχική διευθυνση προς τα δεξια ή αριστερά αντίστοιχα.

Για την 9η, δεν μας λέει με ποια σειρά γίνεται η διαδοχή, οπότε οι επιλογές είναι πολύ περισσότερες

πχ. Α -> Α’ (μέσω Β)
Β-> Β’ (μέσω Γ)
Α’ -> Α” (μέσω Β’)
Γ -> Γ’ (μέσω Α”) κ.ο.κ.

Για ην 9η οποια και αν είναι η σειρά φαινεται οτι δεν έχουμε σημειο για τα Α,Β,Γ συμμετρικο ως προς Δ.

Καλησπέρα .10η : Επειδή υπάρχει και δευτερη περιπτωση ξαναγραφω την λυση ολοκληρωμένα :https://i.ibb.co/kgRgcN40/13.png

https://i.ibb.co/Kp4FK2Q6/15.pngκαι..

Το σκέτο αλλάζω 2 στην άσκηση 10 δεν οδηγεί πάντα σε λύση γιατί αν σε κάθε κίνηση αλλάζει τα ίδια 2, το οποίο μπορεί να συμβεί λόγω των περιστροφών, τότε το παιχνίδι δεν τελειώνει ποτέ.

Σκεφτείτε το σενάριο ΑΓΓΑ και να αλλάζουν μια ζωή τα 2 τελευταία , να γίνεται ΑΓΑΓ και εναλλάξ ΑΓΓΑ , ΑΓΑΓ, ΑΓΓΑ ….

Ζητείται αλγόριθμος που να οδηγεί με βεβαιοτητα και όχι με πιθανότητα σε λύση.

Σχετικά με την άσκηση 7, την παραμελημένη, το αρχικό πρόβλημα είχε τα σημεία Α,Β,Γ σε διαφορετικές πλευρές ορθογωνίου. Εγώ το διατύπωσα με κύκλο αντι για ορθογώνιο γιατί επί της ουσίας η ίδια λύση το λύνει και στις 2 περιπτώσεις.

Καλησπέρα Τάκη.Κάνεις λάθος. Οι περιστροφές στη λυση μου δεν παιζουν ρόλο.
Αν έχω 3 ομοια και 1 διαφορετικό αλλάζοντας δυο έχεις παντα 3+1′
Όμως αν έχεις 2+2 και αλλάξεις 2 οι πιθανότητες είναι 66,7% να έχεις πάλι 2+2 και 33,3 % 4 ίδια. Αρα ο σκοπος είναι να φτασεις 2+2. Μετα παιζεις με πιθανότητες όπως σου ανέφερα.
https://i.ibb.co/4Zt4TYrm/16.png

και με μορφη διαγραμματος:https://i.ibb.co/3mJr8tV2/17.png

Καλησπέρα Τάκη , για τους γνωστούς λόγους είδα μόνο την τελευταία, την 61, μοιάζει με μία από τις 182 σπαζοκεφαλιες του πρόσφατα κυκλοφορησαντος βιβλίου μου από την ελληνοεκδοτικη, το εξώφυλλο υπάρχει στο δικό μου site ekountouris.blogspot.com, μια σκέψη, γεμίζουμε το δοχείο των εφτά κιλών και από εκεί γεμίζουμε το δοχείο των πέντε κιλών, άρα στο δοχείο των επτά έχουν μείνει δύο κιλά, τα οποία αδειάζουμε σε τρίτο δοχείο, μετά αδειάζουμε το δοχείο των πέντε κιλών στο βαρέλι και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία τρεις φορές, στο βαρέλι θα έχουν απομείνει έξι κιλά , γράφω από άθλιο κινητο

Για την ασκηση 7:
Ας πουμε ότι κινειται το Α . Στο νεο τριγωνο η βαση ΒΓ είναι ίδια το δε υψος είναι το ίδιο αφου το Α κινηθηκε παραλληλα στη ΒΓ . Αρα το εμβαδόν είναι ίδιο.Κάθε φορα σταθερό . Αρα δεν γινεται ποτε να ευθυγραμισθούν.

εύγε για την 7
μάλλον δεν ήμουν σαφής στο σχόλιο μου για την άσκηση 10
ψάχνουμε μια στρατηγική που να δίνει πάντα λύση και όχι κατά πιθανότητα λύση
πχ. στο ενδεχόμενο 2+2 αν αλλάξω τυχαία 2 , μπορεί σε κάθε μου κίνηση να καταλήγω στο ίδιο σημείο 2+2 και να μην οδηγηθώ ποτέ σε λύση (4+0), αυτό είπα

Καλησπέρα Βαγγέλη, η άσκηση που αναφέρεσαι βρίσκεται εκεί, σε ανάρτηση σχετικά με ασκήσεις για Α’ Γυμνασίου. Οπότε μάλλον εκεί θα ήθελες να σχολιάσεις.

Εδώ σχολιάζουμε τις 10 παράξενες ασκήσεις (στο αρχικό pdf) που είναι λιγότερο …. σχολικές.

Για το 2+2 :Είναι απίθανο με πιθανότητα 33,3% κάθε φορά να μην έχεις αποτελεσμα συντομα

Καλημέρα Τάκη, ελπίζω να είναι σωστά εδώ, είδα την 4, δεν ξέρω αν έχεις και λύσεις, νομίζω ο Γερμανός, διότι το πλήθος τους είναι περιττός, και φεύγουν κάθε φορά άρτιος

Καλησπέρα. Επανέρχομαι για την 10. Παραθ3τω ένα μοτιβο με λυση σε οκτώ (8) κινησεις:https://i.ibb.co/tMrJdDDm/31.png

και…https://i.ibb.co/G1x9nxJ/32.png

και τελος:https://i.ibb.co/ynMzmxjr/33.png

Εύγε, αυτό είναι μια χαρά λύση…
μένει να δούμε αν γίνεται σε λιγότερες κινήσεις

μπορούσες να πεις για συντομία μετά την 5η κίνηση είναι η περίπτωση 2Δ η 2 Σ’ που επαναλαμβάνεις τα βήματα 2-4 για να ολοκληρωθεί

Καλησπέρα Τάκη. Δεν είχα προσέξει ότι η 9 έχει β και γ ερώτημα. Αυτά τα δύο είναι στην ίδια λογική με την 7 όπως είπες. Το εμβαδόν του τριγωνου των τριών βατράχων είναι το ίδιο κάθε φορά. Άρα δεν μπορούν να βρεθούν σε ευθεία ούτε να αυξηθεί το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι το διπλάσιο του εμβαδον του τριγωνου των βατράχων.

Για την ιστορια το Chatgpt, απέτυχε να λύσει την 10.

Και για την 9 α:https://i.ibb.co/04T8bHs/50.png

Για να είναι πιο προσιτή, συμπλήρωσα στην άσκηση 8 την φράση πως (ο μαθητής) ”βρίσκεται στο κέντρο της πισίνας”. Μένει να ελέγξω την λύση στο 9α . Εκκρεμεί το αν μπορεί να λυθεί με λιγότερο από 8 κινήσεις η άσκηση 10.

Καλημέρα Τακη. Για την 8η : Στη γενική της περίπτωση που ο Καθηγητής και ο μαθητης είναι σε τυχαίες θέσεις:https://i.ibb.co/7JBSCbR5/SCAN-IOYN-81.png