by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 25 Οκτώβριος 2013 και ώρα 21:00
Στην προηγούμενη τοποθέτησή μου, με τίτλο «Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.» είχα περιλάβει το παρακάτω απόσπασμα:
Ας πάρουμε το παράδειγμα των δύο ελατηρίων, που είχα δώσει στο 6) ερώτημα της προηγούμενης τοποθέτησης. Και ας εφαρμόσουμε τη λογική που λέει, όλες οι ενέργειες, ως προς το ίδιο επίπεδο (και κυρίως όσον αφορά την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου).
Τα δυο σώματα ηρεμούν και εμείς υπολογίζουμε τις μηχανικές ενέργειες κάθε συστήματος, ως προς το ίδιο οριζόντιο επίπεδο.
Στο (α) σχήμα, η μηχανική ενέργεια του συστήματος, είναι:
Εμ/1=0.
Στο (β) σχήμα αντίστοιχα για την μηχανική ενέργεια του συστήματος έχουμε:
Η συνέχεια:
η
Γειά σου Γρηγόρη. Ο ορισμός της δυναμικής ενέργειας από την οποία προέρχεται μια συντηρητική δύναμη είναι ένας και μοναδικός και ισχύει για όλες τις συντηρητικές δυνάμεις. Δεν ενδείκνυται θεωρώ σε επίπεδο λυκείου να ορίζουμε άλλο σημείο μηδενικής δυναμικής ενέργειας και να δίνουμε τη γενικότερη σχέση για την Uελ που έχει ως παράμετρο την αυθαίρετη σταθερά x0. Το μόνο που μπορώ να σκεφτώ τώρα για λυκειακο επίπεδο είναι το γνωστό σύστημα ελατήριο – σώμα με το ελατήριο κατακόρυφο. Τότε ή σχέση Uταλ =Uβαρ+ Uελ (1) αποδεικνύεται ότι ισχύει όταν παίρνουμε το ίδιο σημείο μηδενικής δυναμικής ενέργειας και για τις τρείς μορφές της. Με δεδομένο ότι το σύνηθες είναι για τη Uταλ το μηδέν της είναι στη θέση ισορροπίας και για την Uελ η θέση φυσικού μήκους αν θέλουμε να ισχύει η (1) κάτι από τα δύο πρέπει να αλλάξουμε. Αν βρω χρόνο μπορεί να ανεβάσω κάπως τροποποιημένη μια παλιότερη σχετική δημοσίευση μου. Μπορεί να σκεφτώ και κάτι άλλο αν βρω χρόνο. Για πανεπιστημιακό επίπεδο υπάρχουν πολλά θέματα που εφαρμόζεται η σχέση για τη δυναμική ενέργεια και ζητείται υπό προϋποθέσεις ή χρειάζεται ο καθορισμός της αυθαίρετης σταθεράς .
Γρηγόρη
στο απόσπασμα που παραθέτεις από το πανεπιστημιακό σου βιβλίο υπολογίζει τη δυναμική ενέργεια του συστήματος ενός σώματος με δύο ελατήρια, μέχρι μία σταθερά ολοκλήρωσης c και αναφέρει:
“όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, δηλαδή η δυναμική ενέργεια για x = 0,
που είναι φανερό ότι είναι μηδέν.” Αν εννοεί ότι η δυναμική ενέργεια για x=0 είναι υποχρεωτικά μηδέν, τότε αυτός ο ισχυρισμός δεν είναι συμβατός με τον γενικό ορισμό της δυναμικής ενέργειας όπως φαίνεται εδώ: Έχει ενέργεια ένα χαλαρό ελατήριο; Δηλαδή θα πρέπει να δώσουμε ειδικό ορισμό για τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. Αλλά δεν βλέπω κάποιο λόγο για να το κάνουμε.
Επειδή στο εξάλεπτο της μεγάλης κακοκαιρίας ήμουν στο δρόμο τελικά επέστρεψα και όλα καλά, και επειδή εξαιτίας της όλης συζήτησης γύρισα πολύ πίσω στα περασμένα όμορφα φοιτητικά χρόνια,
Αφιερωμένο σε όλους
Καλό βράδυ
Μπράβο Γρηγόρη! Χρειαζόταν! Προσθέτει νοσταλγία στο βροχερό καιρό!
Αγαπητοί συνάδελφοι καλημέρα
Πριν μιλήσουμε για τη δυναμική ενέργεια, ας θυμηθούμε κάτι απλούστερο: τη θερμοκρασία (θεμελιώδες φυσικό μέγεθος).
Ο Διονύσης είναι βέβαιος ότι το νερό παγώνει στους 0 βαθμούς. Έρχεται όμως ο Ανδρέας και του λέει: «Όχι. Στη δική μου κλίμακα παγώνει περίπου στους 273 βαθμούς (Kelvin)».
Οι δύο αριθμοί είναι διαφορετικοί, αλλά δεν περιγράφουν διαφορετική φυσική κατάσταση. Πρόκειται για την ίδια ακριβώς θερμοκρασία, εκφρασμένη σε διαφορετικές κλίμακες.
Αν κάποιος ακούσει απλώς «σήμερα η θερμοκρασία είναι 38 βαθμοί», χωρίς να γνωρίζει την κλίμακα, μπορεί να σχηματίσει εντελώς λανθασμένη εικόνα. Οι 38 βαθμοί Celsius σημαίνουν μεγάλη ζέστη, ενώ οι 38 βαθμοί Kelvin αντιστοιχούν σε ακραίο ψύχος. Αυτό είναι το πρόβλημα που δημιουργείται όταν δεν δηλώνεται η σύμβαση μηδενικής αναφοράς. Άρα η αριθμητική τιμή από μόνη της δεν αρκεί. Πρέπει να γνωρίζουμε και τον τρόπο με τον οποίο έχει βαθμονομηθεί η κλίμακα.
Η αναλογία με τη δυναμική ενέργεια γίνεται ακόμη ακριβέστερη αν διατηρήσουμε την ίδια μονάδα μέτρησης και αλλάξουμε μόνο το σημείο μηδενισμού. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι σε μια περιοχή η θερμοκρασία μεταβάλλεται σε ένα μικρό εύρος γύρω από τους 123 βαθμούς μιας ορισμένης κλίμακας. Θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε μια νέα κλίμακα, με την ίδια ακριβώς μονάδα, αφαιρώντας από όλες τις ενδείξεις 110 βαθμούς. Τότε η θερμοκρασία που πριν γραφόταν 123 βαθμοί θα γραφόταν 13 βαθμοί.
Η φυσική κατάσταση δεν θα είχε αλλάξει. Θα είχαμε αλλάξει μόνο τη βαθμονόμηση. Όλες οι θερμοκρασίες θα ήταν μικρότερες κατά 110 μονάδες, ενώ όλες οι διαφορές θερμοκρασίας θα παρέμεναν ακριβώς ίδιες. Αν, για παράδειγμα, δύο ημέρες είχαν θερμοκρασίες 123 και 128 βαθμούς στην αρχική κλίμακα, στη νέα θα είχαν 13 και 18 βαθμούς. Η διαφορά θα παρέμενε 5 βαθμοί. Η νέα κλίμακα θα μπορούσε μάλιστα να είναι πρακτικότερη για τη συγκεκριμένη περιοχή, επειδή θα χρησιμοποιούσε μικρότερους αριθμούς. Αυτό όμως δεν θα σήμαινε ότι η αρχική κλίμακα ήταν λανθασμένη ή ότι η νέα περιέγραφε διαφορετική θερμοκρασία.
Κάτι ανάλογο συμβαίνει και με τη δυναμική ενέργεια. Η επιλογή του μηδενός της δυναμικής ενέργειας αλλάζει ΟΛΕΣ τις αριθμητικές τιμές κατά την ίδια προσθετική σταθερά, χωρίς να μεταβάλλει τις διαφορές δυναμικής ενέργειας και χωρίς να αλλάζει τη φυσική συμπεριφορά του συστήματος.
Ορισμένες επιλογές μηδενισμού συμφωνούν περισσότερο με τη φυσική μας διαίσθηση. Άλλες κάνουν τους υπολογισμούς απλούστερους. Καμία όμως δεν δημιουργεί διαφορετική δυναμική ενέργεια, εφόσον όλοι οι υπολογισμοί γίνονται με συνέπεια μέσα στην ίδια βαθμονόμηση.
Ανάμεσα στις ισοδύναμες αριθμητικές αναπαραστάσεις της δυναμικής ενέργειας, ορισμένες μπορεί να είναι προτιμητέες για διδακτικούς ή ερμηνευτικούς λόγους, επειδή συνδέουν το μηδέν με μια φυσικά αναγνωρίσιμη κατάσταση. Η προτίμηση αυτή όμως δεν καταργεί τη φυσική ισοδυναμία των υπόλοιπων αναπαραστάσεων, δεν ορίζει τη μόνη φυσικά επιτρεπτή βαθμονόμηση ούτε καθιστά τη συγκεκριμένη αναπαράσταση τη μοναδική «πραγματική» δυναμική ενέργεια.
Από την άλλη, η ακαμψία απέναντι σε μια διδακτική πρακτική που συμφωνεί με τη φυσική διαίσθηση μπορεί να δημιουργήσει με τη σειρά της άλλες στρεβλώσεις. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η φράση που διαβάζουμε στην ανάρτηση «Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση»:
«Η ενέργεια ταλάντωσης είναι μηχανική ενέργεια, αλλά όχι η μηχανική ενέργεια».
Η διατύπωση αυτή αφήνει να εννοηθεί ότι, για το ίδιο φυσικό σύστημα, υπάρχουν δύο διαφορετικές μηχανικές ενέργειες: από τη μία η «κανονική» μηχανική ενέργεια και από την άλλη η ενέργεια ταλάντωσης ως κάποιο μέρος της.
Αυτό όμως δεν είναι σωστό, όταν και οι δύο περιγραφές αναφέρονται στο ίδιο πλήρες σύστημα σώμα–κατακόρυφο ελατήριο–Γη. Στην περίπτωση αυτή, η ενέργεια ταλάντωσης είναι η μηχανική ενέργεια του συστήματος, εκφρασμένη με διαφορετική βαθμονόμηση της συνολικής δυναμικής ενέργειας. Επιλέγεται ως μηδέν της συνολικής δυναμικής ενέργειας η θέση ισορροπίας και έτσι προκύπτει μια διαφορετική αριθμητική αναπαράσταση.
Δεν έχουμε δύο διαφορετικές μηχανικές ενέργειες, αλλά δύο διαφορετικές αριθμητικές αναπαραστάσεις της ΙΔΙΑΣ μηχανικής ενέργειας, οι οποίες διαφέρουν αριθμητικά κατά μία σταθερά.
Μιλτιάδη, προφανώς δεν με βρίσκει σύμφωνο η όλη συλλογιστική σου και η αναλογία με μια κλίμακα θερμοκρασίας! Η βαθμονόμηση ενός θερμομέτρου και η ενέργεια ενός συστήματος…
Δεν νομίζω ότι έχω να συνεισφέρω κάτι παραπάνω σε όσα έχουν ειπωθεί, απλά μια διευκρίνηση για τη μηχανική ενέργεια και την ενέργεια ταλάντωσης.
Πρόσφατα είχε κάνει ανάλογη ανάρτηση ο Θοδωρής.
Μιλάμε λοιπόν για διδασκαλία ταλαντώσεων και λέμε ότι έχουμε μηχανική ενέργεια, ενώ συνήθως την αποκαλούμε “ενέργεια ταλάντωσης”.
Αυτή την ενέργεια την ορίζουμε σαν την ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε σε ένα σώμα που ηρεμεί στη θέση ισορροπίας, για να εκτραπεί κατά Α και αφήνοντάς το να εκτελέσει ΑΑΤ. Δεχόμαστε δηλαδή από την αρχή, ότι “μηδενίζουμε” την υπάρχουσα ενέργεια που έχει ο ταλαντωτής στη θέση ισορροπίας του.
Και προφανώς αυτό το κάνουμε κατόπιν συμφωνίας και όχι επειδή πράγματι το σύστημα αρχικά δεν έχει ενέργεια.
Όλα αυτά τα διδάσκουμε στην Ελλάδα αλλά και παγκόσμια κατά τη μελέτη των ταλαντώσεων! Και προφανώς η ενέργεια αυτή είναι μηχανική, αλλά αδιαφορώντας για τις υπάρχουσες ενέργειες στην πράξη και τις τιμές τους που καθορίζουν την μηχανική ενέργεια, όπως θα την υπολογίσει κάποιος που δεν θέλει να χρησιμοποιήσει θεωρία ταλαντώσεων.
Τώρα τι σχέση η παραπάνω “συμφωνημένη ενέργεια” με την δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης ενός ελατηρίου, το οποίο δεν έχει καμιά παραμόρφωση μένει να απαντηθεί από τους αναγνώστες μας.
Διονύση ο υπολογισμός σου της μηχανικής ενέργειας του σώματος στο (β) είναι σωστός.
Καλημέρα συνάδελφοι !
Αν ένα ελατήριο που βρίσκεται στο φυσικό του μήκος έχει ενέργεια λόγω ελαστικής παραμόρφωσης, τότε ανάλογα θα πούμε ότι ένας αφόρτιστος πυκνωτής έχει αποταμιευμένη ενέργεια λόγω ηλεκτρικού πεδίου και ένα πηνίο που δεν διαρρέεται από ρεύμα έχει ενέργεια λόγω μαγνητικού πεδίου;
Αν δεν υπάρχει παραμόρφωση δεν υπάρχει αποταμιευμένη ενέργεια λόγω παραμόρφωσης! Φυσικά, ενέργεια έχει το μη παραμορφωμένο ελατήριο αφού αποτελείται από σύστημα σωματιδίων τα οποία αλληλεπιδρούν (όχι όμως παραμόρφωσης), όπως εχει ενέργεια και ο αφόρτιστος πυκνωτής, (όχι όμως ηλεκτρική).
Αγαπητέ συνάδελφε Γιώργο
Όταν λέμε ότι ένα σώμα έχει μάζα m = 20 kg, η σχέση αυτή αντιστοιχεί άμεσα στη φυσική πραγματικότητα· για παράδειγμα, σε ένα τσουβάλι που περιέχει 20 kg αλεύρι.
Αν όμως πούμε ότι ένα σώμα έχει δυναμική ενέργεια U = 20 J, τότε, λόγω της αυθαιρεσίας στην επιλογή του μηδενός της δυναμικής ενέργειας, η τιμή αυτή αποτελεί μία αριθμητική αναπαράσταση της συγκεκριμένης φυσικής κατάστασης του συστήματος.
Δηλαδή, αν πω ότι στη θέση φυσικού μήκους το ελατήριο έχει δυναμική ενέργεια 20 J, αυτό δεν αλλάζει τη φυσική πραγματικότητα, που είναι ότι στη θέση αυτή το ελατήριο ΔΕΝ ΕΧΕΙ αποθηκευμένη ενέργεια λόγω παραμόρφωσης. Απλώς περιγράφει την ίδια φυσική κατάσταση με διαφορετική βαθμονόμηση.
Είναι σαν να ρωτάς, την ΙΔΙΑ χρονική στιγμή, έναν άνθρωπο που ζει στο Λος Άντζελες και έναν που ζει στο Τόκιο τι ώρα είναι. Δεν θα σου δώσουν την ίδια αριθμητική ένδειξη, αλλά θα αναφέρονται στην ίδια ακριβώς χρονική στιγμή.
Αυτή η λογική έχει εφαρμοστεί σιωπηρά στη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης, αλλά και σε άλλα, πιο προχωρημένα συγγράμματα. Και βέβαια, αφού αυτή η βαθμονόμηση χρησιμοποιείται, προφανώς κάπου χρειάζεται. Από αυτό όμως δεν προκύπτει ότι πρέπει να τη χρησιμοποιούμε παντού.
Καλησπέρα συνάδελφε Μιλτιάδη.
Ας δούμε αρχικά την ερμηνεία του όρου δυναμική ενέργεια.
Δυναμική ενέργεια (potential energy) ενός σώματος είναι η εν δυνάμει (δηλ. η δυνητική) ενέργεια που έχει “αποταμιευθεί” στο σώμα και μπορεί να τη μετατρέψει σε άλλη μορφή ή να την μεταφέρει σε άλλο σώμα.
Η επιπλέον ενέργεια που αποκτά ένα ελατήριο λόγω παραμόρφωσης οφείλεται μόνο στην παραμόρφωση.
Η ενέργεια που είχε πριν την παραμόρφωση δεν έχει σχέση με αυτό που ονομάζουμε αποθηκευμένη ενέργεια παραμόρφωσης ή δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης του ελατηρίου.
(Προσοχή! Δεν αναφέρομαι στον όρο δυναμική ενέργεια ταλάντωσης αλλά παραμόρφωσης ελατηρίου!)
Όπως ένας αφόρτιστος πυκνωτής (Q=0) δεν έχει αποθηκευμένη ηλεκτρική ενέργεια έτσι και ένα ελατήριο στο φυσικό του μήκος δεν έχει αποθηκευμένη ενέργεια λόγω παραμόρφωσης.
Οι αναλογίες είναι, νομίζω, ξεκάθαρες:
Ενέργεια παραμόρφωσης ελατηρίου : 0.5 k(Δl)^2
Ηλεκτρική ενέργεια πυκνωτή : 0,5 Q^2 /C
Ενέργεια μαγνητικού πεδίου πηνίου : 0,5 L I^2
Πού βρίσκεις λάθος; Θα έλεγες ότι ο αφόρτιστος πυκνωτής έχει αποταμιευμένη ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου;
Γιώργο μπορεί να σου φανεί περίεργο αλλά συμφωνώ απολύτως μαζί σου!
Για να συντονιστούμε όμως πρέπει να μου πεις πως καταλαβαίνεις την έκφραση που υπάρχει στον ορισμό της δυναμικής ενέργειας και λεει ότι:
Η δυναμική ενέργειας συστηματος μπλα μπλα συντηρητικές δυνάμεις μπλα μπλα
ορίζεται με αυθαιρεσία προσθετικής σταθερας.
Μιλτιάδη, ένα ελατήριο που δεν είναι παραμορφωμένο έχει κάποια εσωτερική ενέργεια Uo . Όταν παραμορφώνεται, αυξάνεται η ενέργειά του κατά το ποσό 0.5 k(Δl)^2. Η ποσότητα αυτή είναι η ενέργεια παραμόρφωσης, ενώ το άθροισμα αυτής με τη Uο είναι η ενέργεια του ελατηρίου.
Η Uo είναι κάπως αυθαίρετη γιατί π.χ. αν θεωρήσουμε τον θερμοδυναμικό ορισμό της (άθροισμα κινητικών ενεργειών σωματιδίων και ενέργειες αλληλεπίδρασής τους) θα πρέπει να αποφασίσουμε για παράδειγμα αν θα λάβουμε υπόψη τη δομή των ατόμων, των πυρήνων των ατόμων ή/και αν θα λάβουμε υπόψη την ενέργεια ηρεμίας, το σύστημα αναφοράς κλπ …
Η ενέργεια του ελατηρίου εμπεριέχει μία σταθερά (Uo), αλλά η ενέργεια παραμόρφωσης όχι.
Είναι όπως η ηλεκτρική ενέργεια σε πυκνωτή. Έχει σταθερά;
Γιώργο, εδώ νομίζω ότι χρησιμοποιείς διαφορετικό μοντέλο περιγραφής.
Εμείς βρισκόμαστε στον χώρο της κλασικής νευτώνειας μηχανικής και, ειδικότερα, χρησιμοποιούμε το πρότυπο του ιδανικού ελατηρίου. Στο μοντέλο αυτό δεν εισάγουμε άτομα, πυρήνες, θερμική κίνηση ή ενέργεια ηρεμίας. Το ελατήριο περιγράφεται μόνο μέσω της παραμόρφωσής του και της δύναμης Hooke.
Η αυθαιρεσία της προσθετικής σταθεράς στη δυναμική ενέργεια δεν οφείλεται στο ότι δεν έχουμε αποφασίσει ποιες μικροσκοπικές μορφές ενέργειας θα συμπεριλάβουμε. Προκύπτει από τον ίδιο τον ορισμό της δυναμικής ενέργειας: το έργο της συντηρητικής δύναμης κατά τη μετάβαση από μία θέση σε άλλη ισούται με την αντίθετη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας. Επομένως, καθορίζονται μόνο οι διαφορές των τιμών της και όχι η τιμή της σε μία μεμονωμένη θέση.
Γι’ αυτό μπορούμε να προσθέσουμε στη δυναμική ενέργεια οποιαδήποτε σταθερά, χωρίς να αλλάξει ούτε η δύναμη ούτε το έργο της μεταξύ δύο θέσεων. Έτσι, οι συναρτήσεις:
1/2 k(Δl)^2 και 1/2 k(Δl)^2 + c
περιγράφουν ακριβώς την ίδια ελαστική αλληλεπίδραση, αφού μαθηματικά παράγουν την ίδια δύναμη.
Όσα αναφέρεις για άτομα, πυρήνες, ενέργεια ηρεμίας και εσωτερική ενέργεια αφορούν μια μικροσκοπική ή θερμοδυναμική περιγραφή του πραγματικού υλικού ελατηρίου. Πρόκειται για άλλη ποσότητα και άλλο μοντέλο. Είναι ενδιαφέροντα, αλλά δεν είναι αυτή η αυθαιρεσία για την οποία μιλά ο ορισμός της δυναμικής ενέργειας.
Μιλτιάδη, το ελατήριο δεν είναι πεδίο δυνάμεων. Έχουμε δυνάμεις εφελκυσμού οι οποίες είναι ανάλογες της παραμόρφωσης. Δεν έχουμε δυναμική ενέργεια σώματος σε πεδίο αλλά αποταμιευμένη ενέργεια στο ελατήριο που δυνητικά θα αποδοθεί στο σώμα που συνδέεται με αυτό.