by 
Καλημέρα σε όλους.
Πήρα στο email μου το παρακάτω μήνυμα:
Καλημέρα κ Μάργαρη
Είμαι εργαζόμενος σε φροντιστήριο και τις προάλλες ένας μαθητής μου έφερε από το σχολείο του την παρακάτω άσκηση.
Ένα σώμα μάζας 0,2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με απομακρύνσεις x1=0,1∙ημ(1,1πt) και x2=0,1∙ημ(0,9πt).
…………….
β) Ποια η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του;
γ) Να υπολογιστεί η μέγιστη δυναμική ενέργεια του σώματος.
δ) Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t1=15s.
…………………..
Τι απαντάτε συνάδελφοι στα παραπάνω ερωτήματα;
ΥΓ
Υπήρχαν και κάποιες άλλες ερωτήσεις, αλλά από ότι κατάλαβα η διαφωνία των συναδέλφων (σχολείου-φροντιστηρίου), στα παραπάνω εστιαζόταν…
Καλημέρα Διονύση
Χωρίς να κάνω πράξεις (τις έκανα νοερά) απαντάω
β. 0,2
γ. 0,04j
δ. Αν το πλάτος το βρώ με τη σχέση χ=χ1+χ2 βγαίνει μηδέν
Αν το βρώ χρησιμοποιώντας την περίοδο διακροτήματος βγαίνει 0,2 ..Κάπου εδώ πρέπει να βρίσκεται ο πυρήνας των διαφωνιών ..
Καλημέρα. Τα πιθανά λάθη στη λύση ξεκινούν από το γεγονός ότι στο διακρότημα η μέγιστη απομάκρυνση ποτέ δεν γίνεται 2Α. Για να συμβεί αυτό πρέπει η μια συχνότητα να είναι πενταπλάσια της άλλης. Αλλά τότε δεν έχουμε διακρότημα. Αν επιμένουμε να τη λύσουμε μεταφέροντας τα της αατ σε κάθε γραμμή της λύσης θα υπάρχουν ΛΑΘΗ…Τα υπόλοιπα μετά τις 10
Γιάννη και Γιώργο, καλό μεσημέρι και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γιώργο περιμένω το βράδυ, με μεγαλύτερη άνεση να την δεις.
Γιάννη, αν έκανες τις πράξεις, όχι γοερά, θα ήταν καλύτερα.
Αλλά θα ήθελα, για παράδειγμα, να δω πώς προκύπτει αυτό το 0,2m για την μέγιστη απομάκρυνση, πριν πάμε στη δυναμική ενέργεια…
Από αρχή επαλληλίας χ=χ1+χ2 αλλά δεν θυμάμαι πιο t έβαλα ..μάλλον δεν γίνεται σε κανένα t !!!
Τα είπε όλα ο Γιώργος ο Κόμης…..Μα όλα όμως…
Στις διαφάνειες 36-38 αποδεικνύεται ότι για να συμβεί χ=2Α θα πρέπει
ω2=(4κ+1)ω1 κ=0,1,2… με απλούστερη αναλογία ω2=5ω1…..αλλά τότε
για ποιες παραπλήσιες συχνότητες μιλάμε….
Το είχε αναφέρει πριν από εμένα ο Μιχάλης ο Μιχαήλ….
Όσο δε για το ταυτόχρονο των δύο ΑΑΤ η θέση μου είναι γνωστή…
Εξισώσεις συνθέτουμε….
Ελπίζω μόνο να μην είναι το επόμενο που θα δούμε σε θέμα πανελλαδικών
μετά την ΑΔΕΤ στο κύμα…..
Μια διόρθωση στις τιμές του κ
κ=1,2,3,….αφού τα ω1 και ω2 είναι διαφορετικά
……Το πρωί το έλεγα και με ρωτούσαν γιατί λέω κ θετικός ακέραιος
και όχι φυσικός…..
Η μέγιστη απομάκρυνση είναι 0,1975 m.
Οι εκφράσεις "μέγιστη δυναμική ενέργεια" και "ενέργεια ταλάντωσης" δεν έχουν νόημα.
Το διακρότημα αυτό μπορεί να προκύψει ως εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση. Ποια από τις δύο ω είναι η κυκλική ιδιοσυχνότητα;
Μπορούμε να κατασκευάσουμε το ίδιο διακρότημα με ωο=1,1π και ωδ= 0,9π ή με ωο=0,9π και ωδ=1,1π.
Ποιο είναι το k ;
Ο θέσας την άσκηση θέλει το ω να είναι ο μέσος όρος , δηλαδή, π rad/s.
Θέλει επομένως D = 0,2.π^2=2 Ν/m.
Θέλει δηλαδή ενέργεια μέγιστη 0,04 J.
Ακόμα και έτσι (δηλαδή αν Ε = 0,5D.A^2) η ενέργεια είναι 0,039 J. Δηλαδή ένα λαθάκι 2,5%.
Γεια σου Θοδωρή.
Φουριόζο σε βλέπω
Πάμε λίγο πιο σιγά.
Από την αρχή της επαλληλίας παίρνουμε:
x= (0,2συν0,1πt)ημπt
Την ποσότητα μέσα στην παρένθεση το βιβλίο αποκαλεί "πλάτος", ενώ στην πραγματικότητα είναι η περιβάλλουσα της καμπύλης.
Η "εύκολη απάντηση" λοιπόν ότι η μέγιστη απομάκρυνση είναι ίση με 2Α=0,2m, δεν είναι σωστή και πρέπει να την αποφεύγουμε.
Αν κάποιος δεν θέλει να μπλέξει με τριγωνομετρία, η απλή απάντηση "κρύβεται" στην εικόνα που συνοδεύει το ερώτημα.
Δείτε πόση είναι η απομάκρυνση τη στιγμή μηδέν, όπου η ποσότητα 0,2συν0,1πt παίρνει την τιμή 0,2. Είναι μηδενική…
Οπότε, αφού αυτό το "λύσαμε", ας περάσουμε στο 2ο ερώτημα.
Πόση είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια του σώματος;
Και μην βιάζεσαι… Θοδωρή να τα πεις με τη μια όλα…
Να πω μια απλή κουβέντα.
Η πυτζάμες δεν φτιάχτηκαν για να τις φοράμε στο σχολείο. Έτσι και το κομμάτι της ύλης με τα διακροτήματα φτιάχτηκαν για να εξηγηθεί το ωραίο φαινόμενο που ο ένας ήχος σβήνει τον άλλον περιοδικά.
Δεν φτιάχτηκαν για να βρίσκουμε ενέργειες.
Όμως η μικρή ύλη αναγκάζει συναδέλφους σε πρωτοτυπίες, προκειμένου να γεμίσουμε τα βιβλία και τα φυλλάδια με καινούρια πράγματα.
Θυμάμαι αποστροφή του καθηγητή Χριστοδουλίδη:
-Το μόνο που μένει είναι να εκτοξεύσουμε ένα κύκλωμα L-C ώστε να εκτελέσει οριζόντια βολή!
Οι πρωτοτυπίες όμως είναι σαν τα φαρδομάνικα που απαιτούν δεσποτάδες ή σαν τα μεταξωτά βρακιά που είναι γνωστό τι απαιτούν.
Καλό απόγευμα Γιάννη. Γράφαμε μαζί.
Γιατί λες ότι " "μέγιστη δυναμική ενέργεια" και "ενέργεια ταλάντωσης" δεν έχουν νόημα.";
Αφού στο τέλος υπολογίζεις "δυναμική ενέργεια" ή όχι;
Γιατί να μην είναι το ω ο μέσος όρος των δύο και να υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια της "ιδιόμορφης" ταλάντωσης;
Εντάξει, "ιδιόμορφη", αλλά και οι ιδιόμορφες έχουν ψυχή… (δυναμική ενέργεια ήθελα να πω!).
Στα μαθηματικά, οι φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση ("υπάρχουν έξι νομίσματα στο τραπέζι") και για τη σύγκριση ("υπάρχουν περισσότερες καρέκλες από τους πίνακες"). Μια μεταγενέστερη έννοια είναι εκείνη ενός ονομαστικού αριθμού, ο οποίος χρησιμοποιείται μόνο για την ονομασία.
Δεν υπάρχει καθολική συμφωνία για το αν θα συμπεριλαμβάνεται το μηδέν στο σύνολο των φυσικών αριθμών: μερικοί ορίζουν τους φυσικούς αριθμούς να είναι οι θετικοί ακέραιοι 1, 2, 3,… ενώ για άλλους ο όρος προσδιορίζει τους μη-αρνητικούς ακέραιους 0, 1, 2, 3, …. Ο πρώτος ορισμός είναι ο παραδοσιακός, με τον τελευταίο ορισμό να εμφανίζεται για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο φυσικό αριθμό αποκλείοντας το 0 και ακέραιο αριθμό για να το συμπεριλάβουν. Άλλοι χρησιμοποιούν τον όρο ακέραιο αριθμό κατά τρόπο που να περιλαμβάνει τόσο το μηδέν όσο και τους αρνητικούς ακέραιους, δηλαδή ως ισοδύναμο του ακεραίου όρου.
περισσότερα…
Εγώ υπολογίζω;
Προσπαθώ να καταλάβω τι απάντηση θέλει ο συνάδελφος. Σκέφτηκα λοιπόν ότι θέλει ω να είναι ο μέσος όρος.
Σκέφτηκα επίσης ότι αφού δεν δίνει k θέλει D=m.ω^2.
Εσύ αν έδινες εξετάσεις και "ψώνιζες" κάτι τέτοιο, τι θα του απαντούσες.
Υποθέτω ότι κυνηγάς μέγιστη βαθμολογία και όχι να τους μάθεις την αλήθεια.
Αντιλαμβάνομαι ότι η τελευταία σου ερώτηση είναι ρητορικοπροβοκατόρικη.
Εν τούτοις απαντώ.
Έστω ότι παίζει ένα ελατήριο και ένας διεγέρτης. Ποια είναι η k του ελατηρίου;
Είναι k = m.(1,1π)^2 ;
Μήπως είναι k = m.(0,9π)^2 ;
Αυτές οι δύο περιπτώσεις δίνουν ίδια διακροτήματα (όχι με την ίδια διέγερση).
Μήπως όμως την κίνηση αυτήν την εκτελεί ένας κυλιόμενος κύλινδρος δεχόμενος περιοδική δύναμη, οπότε άλλο το k και άλλο το D;
Μήπως έχουμε καθίσει σε ένα υπόβαθρο ένα σώμα, οπότε στερείται δυναμικής ενέργειας;
Μήπως βρήκαμε κάποια χρονοεξαρτώμενη δύναμη που την ασκούμε σε κάποιο σώμα, οπότε πάλι δεν έχει δυναμική ενέργεια;
Μήπως πρόκειται για ένα πλωτήρα σε νερό όπου κάποιο κύμα διαδίδεται;
Γιάννη, μπορεί να είναι όλα αυτά που λες ή και άλλα.
αλλά εμένα με λένε Θωμά και "πιστεύω" ότι και η ιδιόμορφη έχει δυναμική ενέργεια.
Γιατί να μην της αποδώσουμε και αυτής, της καημενούλας, μια δυναμική ενέργεια, να έχει να πορεύεται;
Να βρούμε από ποιον τύπο θα την υπολογίσουμε, αλλά να έχει μια…
Εσύ καλαμπουρίζεις αλλά εγώ κάνοντας πως δεν καταλαβαίνω συνεχίζω.
Γράφει:
Ένα σώμα μάζας 0,2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με απομακρύνσεις ……
Το εκτελεί ταυτόχρονα ποιο περιεχόμενο έχει;
Έχει το περιεχόμενο:
Η θέση του γράφεται ως άθροισμα δύο προσθετέων, του …. και του……. ;
Ή μήπως:
Εκτελεί κίνηση αρμονική μέσα σε βαγόνι που εκτελεί επίσης αρμονική κίνηση παραπλήσιας συχνότητας;
Μήπως η κίνηση 0,1∙ημ(1,1πt) + 0,1∙ημ(0,9πt) είναι σχετική ως προς κάποιον;
Όταν ζητάς κινηματικά χαρακτηριστικά, όλες οι παραπάνω περιπτώσεις ταυτίζονται. Όταν μιλάς για ενέργεια όμως;
Τώρα αν (όπως ορίστηκε το ψευδοέργο) ορισθεί και η ψευδοενέργεια, λύνεται κάθε πρόβλημα.
Άλλως χρειάζεται μια πλήρης περιγραφή του συστήματος, ώστε να υπολογίσουμε ενέργεια, αν φυσικά διαθέτει.
Προ ημερών έγραψα μια άσκηση όπου έδινα ένα διάγραμμα δύναμης και ζήτησα χρόνο και ταχύτητα. Αν ζητούσα ενέργεια δυναμική, δεν θα έπρεπε να πω τι σόι δύναμη είναι αυτή;
Αν δηλαδή ήταν η τριβή του Πάνου Μουστάκα θα καθόμαστε να υπολογίσουμε δυναμική ενέργεια;
Δεν καλαμπουρίζω Γιάννη.
Αν με έβλεπες… θα διαπίστωνες ότι είμαι απόλυτα σοβαρός
Απλά θέλω να βρούμε τον τρόπο να πεισθεί και ο άπιστος Θωμάς, ότι αυτό που "πιστεύει" δεν είναι σωστό…
Και ο Θωμάς πιστεύει ότι μπορεί να βρει μια εξίσωση που να θυμίζει το 1/2DA^2 και τότε αυτή την ποσότητα θα την ονομάσει δυναμική ενέργεια για … να λύσει ασκήσεις.
Του το απαγορεύεις και γιατί;
Αλλά για να πάμε ένα βήμα παρακάτω, μήπως και συμφωνήσουμε.
Ας απαντηθεί και το 3ο ερώτημα…