“Πλάτος” στη φθίνουσα ταλάντωση

Καλημέρα συνάδελφοι,

Φοβάμαι ότι με το πρώτο μου σχόλιο άναψα … φυτίλι στο θέμα με τις φθίνουσες, αλλά διευκρίνισα από την αρχή ότι θα κάνω τον … δικηγόρο του διαβόλου 🙂

Αυτό που με προβληματίζει περισσότερο στο ερώτημα «πώς θα βαθμολογούσα την απάντηση του μαθητή», είναι το γεγονός ότι, σύμφωνα με το σχολικό (και συχνά και τη δική μας υπαιτιότητα), ο μαθητής διδάσκεται τη φθίνουσα με τρόπο που να του δημιουργεί αρκετές παρανοήσεις!

1) Η x(t) στη φθίνουσα δεν είναι περιοδική συνάρτηση. Εντούτοις ο μαθητής διδάσκεται ότι «η περίοδος παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης» και μάλιστα (για μικρές τιμές της b), «η περίοδος παρουσιάζει μια μικρή αύξηση που στα πλαίσια αυτού του βιβλίου θεωρείται αμελητέα»

(παρ.1-5).

Και βέβαια περίοδος εδώ, δεν σημαίνει «πανομοιότυπα επαναλαμβανόμενη κίνηση», αλλά μόνο σταθερή χρονική διάρκεια του «πήγαινε – έλα», σταθερό χρόνο ανάμεσα στους μηδενισμούς της ταχύτητας.

2) Η έννοια του «πλάτους» δεν υφίσταται στη φθίνουσα, όπως την ξέρουμε από την ΑΑΤ. Υπάρχουν μόνο διαδοχικές μέγιστες απομακρύνσεις +Α₀, –Α₁, +Α₂, –Α₃, … που τα μέτρα τους αποτελούν φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο με λόγο Αₙ₊₁/Αₙ = exp(–ΛT/2) ή, αν προτιμάτε τα διαδοχικά μέγιστα προς την ίδια κατεύθυνση,

Αₙ₊₁/Αₙ = exp(–ΛT)

Η σχέση δηλαδή Α = Α₀∙exp(–Λt) με t ≥ 0, δεν αποτελεί χρονική συνάρτηση «στιγμιαίου πλάτους», αλλά μόνο μια συνάρτηση που κάποια σημεία του πεδίου τιμών της συμπίπτουν με τα μέγιστα της φθίνουσας.

Σε παλαιότερες εκδόσεις του σχολικού έδινε τουλάχιστον:

Αₙ = Α₀∙exp(–Λt) με t = n∙T, αλλά το κατάργησαν κι αυτό …

Έτσι ο μαθητής διδάσκεται ότι «το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Ισχύει δηλαδή η σχέση Α = Α₀∙exp(–Λt).» (παρ.1-5), και μένει με την εντύπωση ότι πρόκειται για μια συνεχή εκθετική φθίνουσα συνάρτηση «στιγμιαίου πλάτους».

Και γιατί να μιλάμε για «στιγμιαίο πλάτος», αν όχι για να το συσχετίσουμε με την μηχανική ενέργεια;

Στην παρ.1-5 το σχολικό γράφει: «Έτσι, η μηχανική ενέργεια του συστήματος με την πάροδο του χρόνου ελαττώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται.»

Δεν σπρώχνεται έτσι ο μαθητής στον συσχετισμό Ε = ½∙D∙A² ;

Έχει ακούσει ποτέ ότι, ααα, εδώ δεν εννοούμε το «πλάτος της φθίνουσας» αλλά το πλάτος που θα έχει η ΑΑΤ εάν καταργήσουμε ακαριαία την απόσβεση; Και μάλιστα ότι το υποθετικό αυτό πλάτος δεν ικανοποιεί την εκθετική Α = Α₀∙exp(–Λt), παρά μόνο τις στιγμές που μηδενίζεται η ταχύτητα;

Ισχύει δηλαδή πάντα Ε = Κ + U, αλλά μόνο όταν υ = 0, ισχύει:

Εₙ = Uₙ ̩ ₘₐₓ + 0 = ½∙D∙Aₙ² = ½∙D∙Α₀²∙exp(–2Λt) με t = n∙T ;

Ότι δηλαδή η πιο πάνω χρονική ακολουθία τιμών ενέργειας ισχύει, όπως επεσήμανε κι ο Θοδωρής, μόνο για τα μέγιστα της δυναμικής ενέργειας και όχι κάθε στιγμή;

3) Κοιτάξτε τις Ερωτήσεις 1.18, 1.19 στο σχολικό:

1.18 Σε μία φθίνουσα ταλάντωση, η ενέργεια της ταλάντωσης,
α) παραμένει σταθερή. β) μειώνεται με σταθερό ρυθμό.
γ) μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. δ) αυξάνεται.

1.19. Ένας ταλαντωτής τη στιγμή t₁ έχει ενέργεια Ε και πλάτος ταλάντωσης Α. Η ενέργεια που έχει χάσει ο ταλαντωτής μέχρι τη στιγμή t₂, που το πλάτος της ταλάντωσης έχει μειωθεί στο μισό, είναι
α) Ε/2 β) Ε/4 γ) 3Ε/4

Περιμένουν δηλαδή να «καταλάβει» ο μαθητής (i) ότι η ενέργεια της ταλάντωσης είναι κάθε στιγμή Ε = ½∙D∙A² και (ii) ότι μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, προφανώς σύμφωνα με τη σχέση

Ε = Ε₀∙exp(–2Λt)

Μα και χωρίς πολλά μαθηματικά, είναι εμφανές ότι η Ε(t) δεν μπορεί να είναι η διακεκομμένη γραμμή αλλά η κόκκινη,

αφού η κλίση της dE/dt εκφράζει την ισχύ της δύναμης απόσβεσης: P = F∙υ = –b∙υ²

οπότε κάθε Τ/2 (στις ακραίες θέσεις, υ=0) η Ε(t) θα πρέπει να … οριζοντιώνεται!

Για να ανακεφαλαιώσουμε λοιπόν, ο μαθητής γνωρίζει ότι:

Ε = Κ + U (καλώς)

Ε = ½∙D∙A² (κακώς, για ποιο Α μιλάμε; Ο μαθητής όμως έχει μάθει για «στιγμιαίο Α»)

Ε = Ε₀∙exp(–2Λt) (ακόμη πιο κακώς, αλλά το έμαθε με το ζόρι!)

½∙D∙A² = ½∙m∙υ² + ½∙D∙x² (πάλι κακώς, ποιο Α;)

Ζητάει λοιπόν τη μηχανική ενέργεια σε δύο θέσεις:

1η θέση, εύκολη (x = xₘₐₓ = A₀ και υ = 0): Ε₀ = ½∙D∙A₀²

2η θέση, (x = 0). Θα μπορούσε να γράψει Ε₁ = Κ₁ + U₁ = Κ₁ = ½∙m∙υ² και να τέλειωνε.

Δεν το έκανε όμως, έμεινε κολλημένος στη σχέση Ε = ½∙D∙A², κακώς βέβαια, (αλλά πόσο είναι το δικό του μερίδιο ευθύνης;) και προσπάθησε να βρει το (ανυπόστατο) στιγμιαίο Α (που του έχει όμως υποβάλει το σχολικό).

Αν στη συνέχεια χρησιμοποιούσε την (επίσης κακή λόγω Α) σχέση:

½∙D∙A² = ½∙m∙υ² + ½∙D∙x² → (x=0) → √(D/m)∙A = υ → Α = υ/ω τι βαθμό θα βάζαμε;

(Να μην ξεχνάμε ότι σύμφωνα με το σχολικό η περίοδος παραμένει αμετάβλητη!)

Έγραψε όμως κατευθείαν ότι Α = υₘₐₓ/ω (που του έτυχε σωστό παρόλο που δεν πρόκειται για υₘₐₓ!)

Δηλαδή τα «παραπτώματα» για τα οποία ευθύνεται προσωπικά ήταν ότι ονόμασε την ταχύτητα … υₘₐₓ και χρησιμοποίησε τη σχέση Α = υₘₐₓ/ω νομίζοντας ότι πρόκειται για ΑΑΤ.

Πάλι κάνω το δικηγόρο του διαβόλου, αλλά είναι αποκλειστικά δική του υπαιτιότητα αυτή η λύση;

Πρέπει να χάσει όλα τα μόρια;

Προσωπικά, δεν θα μπορούσα να κόψω 6 μόρια.

Έγραψε ότι Wαπόσβ. = ΔΕ (αν το έγραψε)

Βρήκε την Εαρχ

Χρησιμοποίησε λάθος σχέσεις για να βρει την Ετελ και μάλιστα έμμεσα, μέσω ενός ανύπαρκτου πλάτους, ενώ την ήξερε ήδη (½∙m∙υ²). Την κύρια ευθύνη και εδώ την έχει το σχολικό.

Νομίζω ότι το σοβαρότερο λάθος του ήταν ότι δεν είχε την κρίση να παρατηρήσει ότι:

Ετελ = Κ + U = Κ = ½∙m∙υ²

Νομίζω ότι, με βαριά καρδιά, θα έδινα 3-4 μόρια από τα 6.