by 
Μια μπάλα την στιγμή μηδέν έχει ορμή 14 kg.m/s και μηδενική γωνιακή ταχύτητα, σε οριζόντιο δάπεδο.
Η τριβή μειώνει την ορμή της και αυξάνει την γωνιακή της ταχύτητα, μέχρι να αρχίσει να κυλίεται.
Το διάγραμμα της ορμής της μπάλας συναρτήσει του χρόνου:
Την στιγμή 2 s η τριβή:
- Έχει μέτρο 2Ν.
- Είναι μηδέν.
- Έχει μέτρο 1 Ν
- Δεν ορίζεται διότι η συνάρτηση της ορμής δεν είναι παραγωγίσιμη.
Επιλέξατε και προαιρετικώς αιτιολογήσατε.
Καλημέρα σε όλους.
Πολύ ωραία συζήτηση.
Έχω να προσθέσω το εξής:
Αν θεωρήσω ότι η συνάρτηση που δίνει ο Γιάννης είναι x – t τι συμβαίνει με την ταχύτητα;
Βασίλη θα είχαμε μια απειρη επιτάχυνση, κάτι αφύσικο.
Όμως προσπερνώντας το πρόβλημα αυτό ας δούμε τον ορισμό της ταχύτητας:
-Την στιγγμή 2s έχει μία θέση x. Μια μεταγενέστερη στιγμή 2s+dt έχει θέση x+dx.
Η στιγμιαία ταχύτητα είναι υ=dx/dt.
Με το διάγραμμα αυτό dx=0. Έτσι υ=0.
Γιατί επιμένω στο “μεταγενέστερη”;
Διότι το τονίζουν και ο Αλεξόπουλος και οι Χαλιντευ-Ρέσνικ. Οι δεύτεροι γράφουν το σαφέστατο “έπεται της στιγμής t”. Για να μην υπάρξει η παραμικρή αμφιβολία παραθέτουν πίνακα με μετατοπίσεις (μειούμενες συνεχώς) που όλες ξεκινούν από τα 100 cm και την στιγμή 1s (σελίδα 37 Ελληνικής μετάφρασης). Η μικρότερη τιμή στον πίνακα είναι 101 cm την στιγμή 1,14s.
Ας υποθέσουμε ότι είναι της πλάκας ως βιβλία Γενικής Φυσικής.
Πάμε στον Σπήγκελ. Είναι σαφέστατο το ότι η t+Δt είναι μεταγενέστερη της t. Και το λέει και το δείχνει στο σχήμα.
Έτσι λύνονται πολλές ασάφειες:
Την στιγμή που απελευθερώνεται η πέτρα δέχεται μόνο το βαρος της και η επιτάχυνση είναι g. Πριν η δύναμη που δεχόταν ήταν πολύ μεγαλύτερη και ίση με την συνισταμένη κεντρομόλου-επιτροχίου.
Αντιλαμβάνεσθε ότι αντιλαμβάνομαι το ότι θα περάσει ένα χρονικό διάστημα στο οποίο η σφεντόνα θα ολισθαίνει στα δάχτυλα του Δαβίδ και ότι θα υπάρξει ομαλή μετάβαση διότι η φύση απεχθάνεται τις γωνίες.
Η ερώτησή σου Διονύση είναι εύκολη.
Η επιτάχυνση είναι g.
Όπως και αν ορισθεί η επιτάχυνση.
Αν ορισθεί ως δεξιά παράγωγος είναι g.
Αν ορισθεί ως παράγωγος πάλι είναι g.
Σχήμα:
Η κλίση αριστερά είναι -10m/s^2. Η κλίση αριστερά είναι -10m/s^2.
Η κλίση είναι γενικώς -10m/s^2.
Η συνάρτηση της ταχύτητας είναι παραγωγίσιμη. Η δεξιά και η αριστερή παράγωγος ταυτίζονται. Ετσι δεν θα διαφωνήσουν δύο όταν ο ένας θεωρεί ταχύτητα την δεξιά παράγωγο και ο άλλος την παράγωγο.
Αλλο όμως η επιτάχυνση (που είναι g) και άλλο ο ρυθμος μεταβολής του μέτρου. Αυτός είναι παράγωγος κανονική και όχι δεξιά παράγωγος.
Έτσι κατά την άνοδο αυτός είναι -10m/s^2 και κατά την κάθοδο είναι +10m/s^2.
Ο ρυθμός αυτός δεν ορίζεται την στιγμή 1s διότι η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη:
Βλέπουμε ότι η παράγωγος δεν ορίζεται την στιγμή 1s. Η αριστερή είναι -10m/s^2 και η δεξιά +10m/s^2.
Όχι Γιάννη, δεν ρώτησα αυτό.
Ρώτησα για την περίπτωση που στην ανώτερη θέση βρίσκεται τη στιγμή μηδέν.
Αν δεν έχεις πληροφορίες για το τι συμβαίνει πριν τη στιγμή μηδέν.
Ας το πω αλλιώς.
Με κάποιο μηχανισμό συγκρατείται σε κάποιο ύψος ένα σώμα. Τη στιγμή που ο μηχανισμός ελευθερώνει το σώμα, αυτό έχει επιτάχυνση;
Όσο για το επόμενο σχόλιό σου, ας το αφήσουμε προς στιγμήν.
Καλησπέρα Γιάννη. Σε ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.
Αυτό ακριβώς λέω κι εγώ. Θα είχαμε άπειρο Δυ/Δt, αφύσικο.
Στη δική σου γραφική έχουμε άπειρο ΔF/Δt. Αυτό ευσταθεί;
Γιατί κατά τη γνώμη μου παρά την προσομοίωση και τη συνάρτηση που είναι συνεχής δε μπορούμε να αποδεχτούμε, μοντελικά, όχι πραγματικά τέτοια περίπτωση.
Ωστόσο το επεξεργάζομαι ακόμη.
Καλησπερα Γιάννη.Kαλησπερα σε ολους.Γιάννη μαλλον προσπαθεις να εκμαιευσεις τον ορισμο της επιταχυνσεως απο μια συζητηση που κανει ο Ηalliday για να κανει πιο κατανοητο τον ορισμο sε πρωτοετεις φοιτητες που ισως δεν ξερουν ακομα αρκετα μαθηματικα .Η χρονικη στιγμη t+dt οντως επεται της χρονικης στιγμης t αλλα δεν μιλαει για αοριστιες.Εννοει περιπτωση οπου η επιταχυνση υπαρχει οποτε ειτε επεται ειτε προηγειται,ειτε παρεις δυο dt εκατερωθεν,ειναι το ιδιο.Το τελικο δεδομενο ειναι οτι a=du/dt και αυτο δεν σημαινει δεξια παραγωγο.Οι ορισμοι δεν εκμαιευονται πρεπει να ειναι σαφως διατυπωμενοι,ωστε να τους καταλαβαινει κανεις με την πρωτη.Εχω κοιταξει πολλα βιβλια και πουθενα δεν εχω δει να γραφει ρητως για δεξια παραγωγο.Αν ηθελαν να την ορισουν ετσι,υπαρχει τετοιος συμβολισμος στα μαθηματικα
https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-differentiability και θα μπορουσαν τα βιβλια καλλιστα να γραφουν αυτον,ομως δεν υπαρχει πουθενα γραμμενος.
Απο την στιγμη που χρησιμοποιουμε την εννοια ενος γεγονοτος που συμβαινει σε μια χρονικη στιγμη,τοτε δεν γλυτωνουμε τις αοριστιες.Δες το εξης:Ενα σωμα κανει ελαστικη κρουση η οποια διαρκει χρονο μηδεν πεφτοντας καθετα σε τοιχο και ανακλαται με αντιθετη ταχυτητα.Ποση ειναι η επιταχυνση την στιγμη της κρουσης? Εδω η δεξια παραγωγος της ταχυτητας ειναι μηδεν αρα η επιταχυνση ειναι μηδεν .Ομως η παραγωγος δεν υπαρχει την χρονικη στιγμη της κρουσης διοτι η συναρτηση ειναι ασυνεχης. Τι θα πεις? Οτι η επιταχυνση δεν οριζεται που αυτο ειναι συνεπες με το πλαισιο στο οποιο δουλευουμε,η θα πεις οτι η επιταχυνση την στιγμη της κρουσης ειναι μηδεν?Absurd! Δεν μπορουμε να κανουμε τριπλες και να βγαζουμε δικα μας πραγματα του στυλ η επιταχυνση καθοριζει το μελλον η οτι η επιταχυνση τελικα δεν ειναι η παραγωγος της ταχυτητας,αλλα κατι αλλο,ωστε να αποφυγουμε τις αοριστιες οι οποιες ειναι ενσωματωμενες στο οικοδομημα που εχουμε φτιαξει.
Η συζητηση που κανουμε εδω εχει πολλα κοινα με την συζητηση που καναμε στο
H Audrey θέλει να ξέρει την επιτάχυνση.
Αυτό για το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας, προφανώς δεν με αφορά.
Άλλο αν υπάρχει επιτάχυνση και άλλο αυτό, παρότι παρείσφρησε σε προηγούμενη συζήτηση, χωρίς να είναι δικός μου σκοπός…
Απλά εγώ υποστήριξα (όχι χθες αλλά πριν 12 χρόνια…) ότι αυτή η επιτάχυνση μπορεί να χαρακτηρισθεί επιτρόχια και πρόκειται να μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητας.
Αντί λοιπόν να μου απαντάς για το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας, θα περίμενα να μου πεις αν έχω το δικαίωμα να την χαρακτηρίσω επιτρόχια και αν, η επιτάχυνση αυτή θα μεταβάλλει την διεύθυνση της ταχύτητας ή το μέτρο της. Ή μεταβάλλει κάτι άλλο, οπότε δεν μπορεί να χαρακτηρισθεί επιτρόχια.
Γειά σου Γιάννη! Το λέω με την έννοια ότι προηγείται το φαινόμενο και ακολουθεί η μαθηματική περιγραφή του. Η επιλογή χωρικού και χρονικού συστήματος αναφοράς.Για την εξέλιξη του φαινομένου δεν βλέπω να υπάρχει καμμιά διαφωνία μεταξύ μας και με άλλους συναδέλφους. Το θέμα είναι αν επιλέγουμε ως χρονική στιγμή t=2s το τέλος της ολίσθησης,οπότε Τ=2Ν ή την αρχή της κύλισης, οπότε Τ=0Ν. Είναι δηλαδή θέμα παρατηρητή που ορίζει το χρονικό σύστημα αναφοράς. Αν το “σημείο” για t=2s είναι σημείο του πρώτου κλάδου της γραφικής παράστασης P-t, του πλάγιου, ή του δεύτερου – του οριζόντιου. Δεν μπορεί να είναι και των δυο …
Ναι Διονύση.
Θεωρώ πως έχει επιτάχυνση g και μηδενική ταχύτητα.
Δεν καταλαβαίνω που είναι το περίεργο.
Κωνσταντίνε ένα βιβλίο Γενικης Φυσικής παρουσιάζει απλούστερα κάτι, όμως δεν στερείται ακρίβειας.
Ας φύγουμε από τους Χαλιντέυ-Ρέσνικ και ας πάμε στον Σπήγκελ.
Δεν γράφει ρητά για δεξιά παράγωγο, όμως ο ορισμός του περιέχει ένα θετικό Δt.
Οι επιταχύνσεις στο i.p. (και σε άλλα προγράμματα) στις κρούσεις απειρίζονται, κάτι που ταιριάζει με το μοντέλο rigid bodie.
Γιώργο το σημείο (2s, 10kg.m/s) είναι κοινό σημείο και των δύο κλάδων.
Βασίζόμενος στον ορισμό F=dP/dt (με θετικό dt) υπολογίζω ότι F=0 την στιγμή 2s.
Ναι επιτρόχια την βλέπω μια και είναι εφαπτόμενη στην τροχιά.
Ρωτάς αυτό, ή κατι δεν καταλαβαίνω;