by 
Ένα σώμα μάζας 1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, με την επίδραση δύναμης επαναφοράς, η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν:
- Το πλάτος και η ορμή του σώματος την στιγμή t1=0,25s.
- Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (x=f(t)).
- Το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη στιγμή t1=0,25s έως την στιγμή t2=0,5s.
- Να γίνει η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της (της δυναμικής ενέργειας) την στιγμή t2.
Δίνεται π2 ≈10.
Καλημέρα, ενδιαφέρον θέμα με ουσιαστικά ερωτήματα. Θα προσέθετα δύο ακόμη τρόπους υπολογισμού του έργου :
1.WFεπ=-ΔU,
2.WFεπ=Εμβ(Fεπ-x).
Διονύση να είσαι γερός και πάντα χαλκέντερος.
Καλό απόγευμα Ξενοφώντα.
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο και τις δύο εναλλακτικές οδούς για τον υπολογισμό του έργου.
Καλησπέρα Διονύση, καλησπέρα Ξενοφώντα
Ας παίξουμε το «παιχνίδι» αλλιώς…
«Σώμα μάζας m=1Kg εκτελεί ευθύγραμμη παλινδρομική κίνηση γύρω από τη θέση χ=0 και η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης για την κίνηση αυτή, είναι: χ=0,5ημ(2πt+π/2) (S.I)
Να υπολογίσετε το έργο της συνισταμένης δύναμης στο σώμα από τη στιγμή t1=0,25s έως την στιγμή t2=0,5s.»
1η Λύση: υ=dx/dt=πσυν(2πt+π/2) (S.I)
Την t1=0,25s à υ1=πσυνπ=-π m/s
Την t2=0,5s à υ2=πσυν(3π/2)=0
ΘΜΚΕ W(ΣF)=K2-K1=-5J
2η Λύση:
Την t1=0,25s à x1=0,5ημπ=0
Την t2=0,5s à x2=0,5ημ(3π/2)=-0,5m
WΣF=Uαρχ-Uτελ=-ΔU=0-1/2Dx^2=-1/2mω^2x^2=-1/2 (4π^2) (0,5)^2=-5J
Θα ήθελα σας παρακαλώ να βαθμολογήσετε τις δύο λύσεις.
Το ερώτημα ανήκει σε υποθετικό θέμα εισαγωγικών εξετάσεων όπου στην Γ Λυκείου διδάσκεται το πολλαπλό βιβλίο.
Έστω ένα από τα βιβλία αναφοράς το σημερινό και ένα άλλο όπου οι κινήσεις έχουν σαφή δυναμικό ορισμό…
Διονύση, μην κουράζεσαι, γνωρίζουμε τη θέση σου, την έχεις αναφέρει πολλές φορές.
Θα ήθελα τη γνώμη του Ξενοφώντα, ενός δασκάλου Φυσικής με 35+ χρόνια εμπειρίας και παρουσίας στα εκπαιδευτικά δρώμενα.
Καλημέρα Διονύση, Θοδωρή και Ξενοφώντα.
“Σύμφωνα με την εκφώνηση η επιτάχυνση ισούται με
α=-0.5 4π^2 ημ(2πt+ π/2)=-4π^2χ.
Άρα ΣF=mα=-Dχ, όπου D=mω^2=4π^2
και
W=(εμβαδόν)= 0-1/2Dx^2=-5J”
Θοδωρή αυτήν η λύση πόσο θα έπιανε;
Καλημερα σε ολους.Θοδωρη υποθετω οτι μπορω να πω την γνωμη μου ενω η ερωτηση σου απευθυνεται κυριως στον Ξενοφωντα,
Αν οι λυσεις αυτες βρεθουν σε γραπτο πανελληνιων τοτε ο καθηγητης οφειλει να τις βαθμολογησει και τις δυο με αριστα.Αν συζηταμε μεταξυ μας για την επιστημονικη ορθοτητα των λυσεων τοτε στην δευτερη λυση για να ειναι απολυτως σωστη η μαθηματικη λογικη του συλογισμου ο λυτης μεταξυ δευτερης και τριτης σειρας οφειλει να γραψει: “χωρις βλαβη της γενικοτητας υποθετω οτι η δυναμη που κινει το σωμα ειναι συντηρητικη” και συνεχιζει κανονικα. Το σχολικο βιβλιο εχει κανει ενα λαθος που οφειλεται σε αβλεψια,απροσεξια,βιασυνη των συγκραφεων δεν ξερω.Στην σελιδα 13 στην σειρα 4 μεταξυ των λεξεων “οτι” και “στη” επρεπε να γραφει:
“η κινηση γινεται υπο την επιδραση μιας συνισταμενης δυναμης για την οποια να μπορουμε να ορισουμε συναρτηση δυναμικης ενεργειας,πχ δυναμη ελατηριου,τοτε”
Αυτο ειναι το λαθος του σχολικου το οποιο δεν ειναι τραγικο με την εννοια οτι το βιβλιο δεν γραφτηκε για μαθημα εη αποστασεως.Υπαρχει καθηγητης απο πισω που εξηγει.Οσο για την λυση του Σταθη (Καλημερα Σταθη) ειναι απολυτα σωστη διοτι δεν εμπλεκει δυναμικες ενεργειες.Τον ορισμο του εργου χρησιμοποιει και αλγεβρα του Θεου.
Το συστημα δεν με αφηνει να κανω edit και να διορθωσω κατι στο κειμενο του σχολιου μου. Μου βγαζει οτι κανω πολυ γρηγορα
Καλημερα και παλι Στάθη. Αριστα θα επιανε.Αυτη ακριβως την λυση προτεινε και ο Ξενοφών στο σχολιο του.
Γειά σου Κωνσταντίνε
Την είδα την λύση του Ξενοφώντα. Την έγραψα για να χρησιμοποιήσω την συνάρτηση 0.5 Dx^2. Μια συνάρτηση οιονεί δυναμικής ενέργειας. Συμφωνώ απόλυτα με το σχόλιο σου
“η κινηση γινεται υπο την επιδραση μιας συνισταμενης δυναμης για την οποια να μπορουμε να ορισουμε συναρτηση δυναμικης ενεργειας,πχ δυναμη ελατηριου,τοτε”
Καλημέρα σ ‘όλους.Τώρα διάβασα τα σχόλια και το ερώτημα του Θοδωρή. Έχω από πολύ παλαιά υπεραμυνθεί της χρήσης του ΘΜΚΕ,χωρίς να θεωρώ ότι αποτελεί μια “αυτούσια” ενεργειακή αρχή ,καθώς στην ουσία αποτελεί μια επαναδιατύπωση του 2ου Νόμου , και ενώ έχω υπερθεματίσει για την αξία της ΑΔΕ,η “άλλη πλευρά” αντέτεινε το σχεδόν απαξιωτικό ΘΜΚΕδες,έκτοτε η “άλλη πλευρά “έκανε χρήση “a la carte” του ΘΜΚΕ.
Εδώ λοιπόν το ΘΜΚΕ αποτελεί την λύση “Uber alles” καθώς εφαρμόζεται ανεξάρτητα από τη φύση των δυνάμεων.
Για λόγους επιστημονικής ορθότητας θα προτιμούσα να
έχω την πληροφορία για τη φύση της δύναμης πριν χρησιμοποιήσω την γνωστή σχέση για το έργο συντηρητικής δύναμης. Επειδή όμως αποτελεί “εθιμικό δίκαιο ” η χρήση της ,θα αναγκαζόμουν να θεωρήσω τη χρήση της νόμιμη καθόσον έτσι θα θεράπευα τις μακροχρόνιες ανεπάρκειες των βιβλίων των προηγούμενων τάξεων(Εδώ είναι τα 35+).Επίσης τα τελευταία αρκετά χρόνια φθάνουν στην Γ Λυκείου τα παιδιά και ο υπολογισμός έργου δύναμης μεταβλητού μέτρου είναι για αυτά “terra ignonita”.
Να προσθέσω ένα ακόμη σχόλιο:
Ένα κεντρικό πεδίο δυνάμεων της μορφής -Dr, είναι συντηρητικό και μπορούμε να ορίσουμε δυναμική ενέργεια, αλλά όχι δυναμικό, για μια μάζα μέσα σε αυτό (βρισκόμαστε στην περίεργη κατάσταση η δυναμική ενέργεια να μην εξαρτάται από την μάζα και το δυναμικό να εξαρτάται από αυτήν).
Ένα απλό σύστημα ιδανικού ελατηρίου-μάζας, μιμείται το πεδίο αυτό σε μια διεύθυνση του χώρου, οπότε ορίζουμε δυναμική ενέργεια ως προσέγγιση. Αν μια άλλη δύναμη εμφανίζεται ως ψευδο συντηρητική σε μια διάσταση, πχ στατική τριβή, δεν έχω πρόβλημα αν κάποιος ορίσει μια συνάρτηση οιονει δυναμικής ενέργειας, αρκεί να ξέρει τι κάνει.
Τίποτα από τα παραπάνω δεν θα τα δίδασκα φυσικά στην Γ Λυκείου (μπορεί ως ανεξάρτητη του μαθήματος συζήτηση).
Καλησπέρα.
Κάθε φορά που διαβάζω την μια άποψη και τα αντίστοιχα επιχειρήματα λέω.
Δίκιο έχει.
Διαβάζω την άλλη λέω
Κι εσύ δίκιο έχεις.
Να πω και την δική μου.
Κι εγώ δίκιο θα έχω σύμφωνα με το γνωστό ανέκδοτο.
Θυμάμαι πόση προσπάθεια κάνω στην Α λυκείου να ξεκαθαρίσω της έννοιες έργου και ενέργειας και την σχέση μεταξύ τους και ιδρώνω.
Για να περάσει η πρόταση
Το έργο μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα Α από ένα σώμα Β αν είναι θετικό ισούται με την ενέργεια που μεταφέρεται στο Α ενώ αν είναι αρνητικό ισούται με την ενέργεια που αφαιρείται από το Α θέλει δουλειά πολύ.
Για να περάσει η πρόταση ότι την ΑΔΜΕ εφαρμόζουμε μόνο αν στο σώμα ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις και ευτυχώς έχουμε λίγες θέλει δουλειά περισσότερη.
Θέλω λοιπόν να είμαι συνεπής με τον εαυτό μου και με τους μαθητές μου γι αυτά που θα ακούσουν από μένα στην Γ
Παράδειγμα.
Σώμα είναι δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο και ισορροπεί.
Ασκώ δύναμη F τα γνωστά ερωτήματα.
Αν τους πω για να βρούμε το πλάτος της αρμονικής ταλάντωσης
θα βαρέσω μια ΑΔΜΕ και πεταχτεί κάποιος και μου πει άλλα μας λέγατε στην Α θα έχει δίκιο.
Θα το βρω το πλάτος της ταλάντωσης με τρεις τρόπους
Θα το βρω και με ΑΔΜΕ αλλά θα τους πω ότι τώρα έχω τύψεις και θα κάνω μια προσπάθεια να τους εξηγήσω.
Διαφορετικά θα πρέπει να κάνω εκπτώσεις.
Κι όταν δώσω μια άσκηση
Η εξίσωση θέσης είναι ψ = 1/2επι10tt ποια η ταχύτητα του όταν βρεθεί στην θέση ψ=5m και μου πει ο μαθητής εφάρμοσα ΑΔΜΕ
και βρήκα 10 είμαι υποχρεωμένος να του πω μπάβο
Καλησπέρα Διονύση. Πολύ ωραία άσκηση και επειδή ξεκινά με γραφική παράσταση έχει έναν επιπλέον βαθμό δυσκολίας. Είχα φτιάξει το 19 μια παρόμοια
Από τη γραφική παράσταση της δύναμης
αλλά είναι πλέον παράνομη, αφού έχει την ακατανόμαστη αρχική φάση 3π/2 🙂
Όσον αφορά αυτό που λέει ο Θοδωρής.
Aν η εξίσωση χ=0,5ημ(2πt+π/2) αναφέρεται σε εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση
το έργο της Fδ βρίσκεται από το εμβαδό π.χ. της γραφικής παράστασης Pδ = f(t). Το έργο της Fεπ βρίσκεται ως -ΔUταλ. Είναι ίσα; Περιοδικές δυνάμεις είναι και οι δύο.
Σε μια περίοδο εξαναγκασμένης, το WFδ = λ J (διάφορο 0), ενώ το WFεπ = 0.
Με την εξίσωση και μόνο του x, χωρίς πληροφορία για το είδος της παλινδρομικής κίνησης, πως υπολογίζουμε έργο;
Καλησπέρα σε όλους και σε καθέναν χωριστά.
Ο Θοδωρής ξαναέβαλε ένα πολυσυζητημένο θέμα στο ylikonet για το ποια λύση, που αφορά το έργο ή την ενέργεια, θα θεωρήσουμε σωστή στην περίπτωση που δεν είναι σαφές από την εκφώνηση ότι η δύναμη είναι συντηρητική, βεβαίως λαμβάνοντας υπόψη και τα γραφόμενα του σχολικού βιβλίου (φαντάζομαι το πρόβλημα αν στην περίπτωση πολλαπλού βιβλίου κάποιο ή κάποια διαφέρουν ή είναι πιο αναλυτικά από άλλα στο θέμα).
Το σωστό από αυστηρά φυσική άποψη βέβαια το γνωρίζουμε όλοι.
Νομίζω όμως ότι και όλοι συμφωνούμε ότι έτσι όπως έχουν τα πράγματα –αγία γραφή (σχολικό βιβλίο ) και ιερά παράδοση (θέματα πανελλαδικών όπου έγιναν δεκτές λύσεις με ΑΔΜΕ για έργα τριβών) αν πρόκειται για θέματα εξετάσεων όλες οι λύσεις πρέπει να βαθμολογηθούν ως σωστές. Θα με προδιέθετε θετικά ώστε να «παραβλέψω» ένα μικρολάθος του σε άλλο θέμα, μαθητής που θα μου εξηγούσε στο γραπτό γιατί χρησιμοποιεί το συγκεκριμένο και όχι το άλλο.
Μου μένουν τα λόγια του Γιώργου του Κόμη.
«Θυμάμαι πόση προσπάθεια κάνω στην Α λυκείου να ξεκαθαρίσω της έννοιες έργου και ενέργειας και την σχέση μεταξύ τους και ιδρώνω.
Για να περάσει η πρόταση
Το έργο μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα Α από ένα σώμα Β αν είναι θετικό ισούται με την ενέργεια που μεταφέρεται στο Α ενώ αν είναι αρνητικό ισούται με την ενέργεια που αφαιρείται από το Α θέλει δουλειά πολύ.
Για να περάσει η πρόταση ότι την ΑΔΜΕ εφαρμόζουμε μόνο αν στο σώμα ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις και ευτυχώς έχουμε λίγες θέλει δουλειά περισσότερη.
Θέλω λοιπόν να είμαι συνεπής με τον εαυτό μου και με τους μαθητές μου γι αυτά που θα ακούσουν από μένα στην Γ.»
Για φυσικούς τώρα μόνο, κοιτάξτε ότι οι «εκπτώσεις» στο θέμα φτάνουν και σε πιο υψηλό επίπεδο. Διαβάστε ειδικά την δεύτερη παράγραφο.
Θα μπορούσε κάποιος να αντιτείνει, τί γίνεται με τα μη συντηρητικά συστήματα; Εκεί μπορούμε να ορίσουμε επίσης την συνάρτηση Lagrange όπως και πριν (ως την διαφορά κινητικής και δυναμικής ενέργειας), αλλά τώρα οι εξισώσεις Euler -Lagrange οδηγούν στις μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις
όπου στο δεύτερο μέλος εμφανίζονται οι γενικευμένες μη συντηρητικές δυνάμεις Fμσ,i οι οποίες αναλογούν στην συντεταγμένη qi. Αυτές οι δυνάμεις θα οδηγήσουν σε ένα ρεύμα (ροή) ενέργειας και η μερική χρονική παράγωγος της συνάρτησης Hamilton θα οδηγήσει τώρα στην εξίσωση της συνέχειας για την ενέργεια στο σύστημα. Το λέω αυτό γιατί οι γενικευμένες μη συντηρητικές δυνάμεις ορίζονται μέσω των στοιχειωδών έργων των μη συντηρητικών δυνάμεων που δρουν στην συνοριακή επιφάνεια του συστήματος. Γίνεται όμως ξεκάθαρο ότι η διατήρηση της ενέργειας δεν προκύπτει από και δεν επικαλείται κανένα έργο, συνεπώς αυτό δείχνει ότι η ενέργεια είναι βασικότερο μέγεθος από το ίδιο το έργο. Το έργο το χρειαζόμαστε μόνον για να υπολογίσουμε κάποιες μεταβολές της ενέργειας από και προς το σύστημα, όχι για να ορίσουμε την ενέργεια.
Συχνά, ωστόσο, είμαστε σε θέση να βρούμε βαθμοτές συναρτήσεις (scalars functions) που κωδικοποιούν τις πληροφορίες της γενικευμένης δύναμης που δεν προέρχεται από ένα δυναμικό. Σε ορισμένες τέτοιες περιπτώσεις, μπορούμε να τους βάλουμε ας (πούμε καταχρηστικά) στη Λαγκρασιανή για να φτάσουμε στη σωστή εξίσωση κίνησης, αλλά τότε θα ήταν λανθασμένο να ονομάσουμε αυτή την βαθμοτή συνάρτηση δυναμικό.
Ανδρεα η εξισωση και μονο του x ειναι η πάσα πληροφορια για την κινηση.Τι ρωτας?
Απο την x(t) βρισκεις την α(t) και αρα γνωριζεις και την συνισταμενη F(t) και αρα και την F(x) της οποιας υπολογιζεις το εργο ολοκληρωνωντας την dW=Fdx.Το εκανε ο Σταθης λιγο πιο πανω και το εγραψε και ο Ξενοφωντας.
Καλησπέρα Άρη.
Κωνσταντίνε να συνεχίσω τον συλλογισμό σου στην απάντηση που έδωσες στον Ανδρέα.
Σ΄ένα ελαστικό γραμμικό μέσο έχει εγκατασταθεί ένα αρμονικό κύμα.
Μια μαζούλα του μέσου έχει εξίσωση θέσης
ψ = Αημ2π(t/Τ – χ/λ)
και ταχύτητας
υ = ωΑσυν2π(t/T – χ/λ)
Σύμφωνα με βιβλίο η μαζούλα κάνει αατ και εσύ θέλεις να είσαι συνεπής σε αυτό.
Άρα να της αποδώσουμε δυναμική ενέργεια όταν απέχει ψ από θέση ισορροπίας και να εφαρμόσουμε ΑΔΜΕ όταν ζητούν πχ την υ σε δεδομένη θέση, ενώ στην πραγματικότητα η μαζούλα έχει δυναμική ενέργεια λόγω ελαστικής παραμόρφωσης και επομένως όταν ειναι σε θεση πλάτους έχει δυναμική 0 και όταν διέρχεται από θεση ισορροπίας έχει μεγιστη παραμόρφωση άρα και δυναμική