by 
Μια ομογενής ράβδος μήκους 2m κινείται οριζόντια, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στο σχήμα φαίνεται η θέση της ράβδου, τη στιγμή t0=0, όπου το μέσον της Ο περνά από την αρχή ενός οριζόντιου συστήματος ορθογωνίων αξόνων x,y, ενώ η ράβδος ταυτίζεται κατά μήκος της, με τον άξονα x. Τη στιγμή αυτή το Ο έχει ταχύτητα υ0=2,5m/s στη διεύθυνση y και επιτάχυνση α1 στη διεύθυνση x, ενώ την ίδια στιγμή το άκρο Α της ράβδου, έχει επιτάχυνση α2, μέτρου α2=(π/4) m/s2, όπως στο σχήμα, κάθετη στην ράβδο. Ταυτόχρονα η ράβδος έχει γωνιακή ταχύτητα περιστροφής μέτρου ω= (π/4) rad/s, κάθετη στο επίπεδο του σχήματος με φορά προς τα μέσα.
i) Να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνσης α1 του μέσου Ο της ράβδου καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.
Αν η επιτάχυνση το κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου παραμένουν σταθερές, ζητούνται, για τη χρονική στιγμή t1=2s:
ii) Η θέση του μέσου Ο της ράβδου, καθώς το μέτρο της ταχύτητάς του.
iii) Ποιος ο προσανατολισμός της ράβδου και ποιο το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας;
iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες υAx και υAy, καθώς και οι αντίστοιχες επιταχύνσεις στους δυο άξονες, του άκρου Α της ράβδου.
Δίνεται π2=10.
Αφιερωμένη στον Θοδωρή Παπασγουρίδη.
Όταν η εικόνα μιας στιγμής, γίνεται κίνηση για χρονικό διάστημα 2s.
Γειά σου Διονύση.
Υψηλότατου επιπέδου σενάριο κατά τη γνώμη μου και η λύση να απαιτεί ψυχραιμία, υπομονή και βηματισμό συντονισμένο στα ερωτήματα!
Να είσαι καλά
Πολύ ωραία άσκηση Διονύση που έχει «διάρκεια» στην μελέτη της κίνησης και ξεφεύγει από την ενασχόληση με μια χρονική στιγμή του φαινομένου.
Καλημέρα σε όλους, ευχαριστώ Διονύση για την ανάρτηση και τον χρόνο που αφιέρωσες. Την είδα “διαγώνια”, θα την δω μέσα στην μέρα πιο προσεχτικά και θα επανέλθω. Μία φράση, με προβληματίζει…
Διονύση, καλημέρα.
Πιο όμορφη και πιο δύσκολη από την προηγούμενη, αν και στο ίδιο μοτίβο.
Ο υπαινιγμός σου ότι η περιγραφή της μεταφορικής κίνησης μπορεί να γίνει με επιλογή οποιουδήποτε σημείου της ράβδου (ή σημείου άσχετου με τη ράβδο) και ότι τα υπόλοιπα σημεία εκτελούν κυκλικές κινήσεις γύρω απ’ αυτό, πως μπορεί να γίνει αποδεκτός αν δεν έχει θεμελιωθεί μαθηματικά; Οι μαθητές έχουν το κέντρο μάζας ως τέτοιο που βολεύει στη δυναμική της κίνησης, αλλά στην κινηματική της είναι ισότιμο με τα υπόλοιπα.
Να ‘σαι καλά.
Πολύ καλή Διονύση!
Καλημέρα Ντίνο.
Έχεις απαντήσει ο ίδιος σε σχόλιό σου σε άλλη συζήτηση:
-Σχετική ταχύτητα.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Παντελή, Παύλο, Θοδωρή, Ντίνο και Γιάννη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ντίνο, ο “υπαινιγμός” έγινε επειδή δεν είναι προς χρήση από μαθητές, αλλά για μυημένους…
Οι μαθητές διδάσκονται την περιστροφή γύρω από το cm και αυτό έκανα και παραπάνω στην απάντηση…
Καλημέρα σε όλους. Διδακτικότατη Διονύση!
Ευχαριστώ Αποστόλη.
Kαλησπερα Διονυση,και σε ολη την παρέα.Πριν πω οτιδηποτε εχω να πω οτι η ασκηση ειναι πολυ δυσκολη αλλα και πολυ ωραια ομως.Υπαρχουν διαφορετικα σεναρια με το ιδιο στιγμιοτυπο που δινεις την στιγμη μηδεν.
Η κινηση της ραβδου μπορει να θεωρηθει μεταφορικη κατα μηκος του αξονα y,της οποιας την στιγμη μηδεν ολα τα σημεια της ραβδου εχουν την επιταχυνση που εχει και το σημειο Α και καταλληλη ταχυτητα και ταυτοχρονως στροφικη γυρω απο το Α ,με τετοια γωνιακη επιταχυνση,ωστε το κεντρο Ο να εχει εκτος της επιταχυνσης που εχει και το Α,και μια επιτροχια επιταχυνση αντιθετη αυτης του Α.Ετσι η μονη επιταχυνση που θα εχει το Ο θα ειναι η κεντρομολος ωωR=(5/8)m/ss και η γωνιακη επιταχυνση βγαινει (π/4)rad/ss
Aλλη υλοποιηση με το ιδιο αρχικο στιγμιοτυπο ειναι η ραβδος να κανει στροφικη κινηση γυρω απο το Ο και μεταφορικη κινηση της οποιας την στιγμη μηδεν ολα τα σημεια της ραβδου εχουν την επιταχυνση και την ταχυτητα που εχει και το σημειο Ο, οπως θεωρησες και εσυ,ομως η επιταχυνση του Ο να μην ειναι σταθερη αλλα να ειναι η κεντρομολος επιταχυνση κυκλικης κινησης του Ο σαν να ηταν η ραβδος πανω σε ρόδα του λουνα παρκ. κλπ κλπ.
Ειμαστε ακομα στο ερωτημα i).
Εν συνεχεια παμε στο ερωτημα ii) και ο μαθητης που σκεφτηκε ολα τα προηγουμενα,βλεπει το δεδομενο η επιταχυνση του κεντρου Ο να ειναι σταθερη παθαινει ενα ψυχολογικο σοκ. 🙂
Επισης θα ηθελα να παρατηρησω οτι στα προβληματα αυτου του τυπου,τα οποια ειναι προβληματα Γεωμετριας μετα χρονου οπως λεει και ο φιλος μου Γιαννης,δεν χρειαζεται να μιλαμε για ομογενη ραβδο,κεντρα μαζας δυναμεις κλπ. Στην εκφωνηση πολυ ωραια αναφερεσαι στο μεσον Ο της ραβδου. Γιατι στην λυση του αλλαζεις την ονομασια και το λες κεντρο μαζας;
Καλησπέρα Κωνσταντίνε και σε ευχαριστώ για την κατάθεση της σκέψης σου.
Η ανάρτηση αυτή έρχεται σαν συνέχεια της προηγούμενης και των σχολίων που ακολούθησαν, πάνω στο ζήτημα για το ποια κίνηση κάνει η ράβδος.
Αποφάσισα λοιπόν να γράψω μια άσκηση που να αναδεικνύει τη θέση μου ( δεν λέω αν είναι εύκολη ή δύσκολη, αλλά μια άσκηση που να μπορεί να αντιμετωπισθεί και από έναν μαθητή).
Άρα πάμε με βάση το τι διδάσκεται ένας μαθητής:
«Η κινηση της ραβδου μπορει να θεωρηθει μεταφορικη κατα μηκος του αξονα y,της οποιας την στιγμη μηδεν ολα τα σημεια της ραβδου εχουν την επιταχυνση που εχει και το σημειο Α»
Αυτό δεν ευσταθεί αφού «μεταφορική σημαίνει όλα τα σημεία να έχουν ίδια ταχύτητα και ίδια επιτάχυνση και στα δεδομένα έχουμε διαφορετικές επιταχύνσεις, αλλά και γωνιακή ταχύτητα!
Στη συνέχεια « και ταυτοχρονως στροφικη γυρω απο το Α, με τετοια γωνιακη επιταχυνση,ωστε το κεντρο Ο να εχει εκτος της επιταχυνσης που εχει και το Α,και μια επιτροχια επιταχυνση αντιθετη αυτης του Α.Ετσι η μονη επιταχυνση που θα εχει το Ο θα ειναι η κεντρομολος ωωR=(5/8)m/ss και η γωνιακη επιταχυνση βγαινει (π/4)rad/ss»
Εδώ δύο πράγματα. Το ταυτόχρονα στροφική σημαίνει όχι μεταφορική αλλά σύνθετη, συνεπώς η προηγούμενη πρότασή σου δεν ευσταθεί.
Αυτή την οπτική γωνία είχε παρουσιάσει δίπλα και ο Γιώργος Χριστόπουλος: «Ουσιαστικά η κίνηση που είπα είναι η κίνηση που θα έβλεπε ένας παρατηρητής στο Α.». Νομίζω οι μαθητές δεν γνωρίζουν τα περί κινούμενου παρατηρητή.
Άρα ο μαθητής έχει να αντιμετωπίσει μια σύνθετη κίνηση. Πώς διδάσκεται στο σχολείο η σύνθετη κίνηση;
Πέρα από το ότι οι υποψήφιοι διδάσκονται σύνθετη κίνηση γύρω από το κέντρο μάζας (γι΄ αυτό στη λύση αντικαθιστώ τη λέξη «μέσον» με το cm», για να είμαι πιο κοντά στη γλώσσα που έχουν καλώς ή κακώς διδαχτεί…), άρα η διαφορετική θεώρηση είναι έξω από την γνωστική περιοχή, δεν συμβιβάζεται με την εκφώνηση που μιλάει για:
«Αν η επιτάχυνση το κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου παραμένουν σταθερές, ζητούνται, για τη χρονική στιγμή t1=2s»
Αν η σύνθετη κίνηση δεν γίνεται με περιστροφή γύρω από το μέσον Ο, αλλά γύρω από το άκρο Α, τότε πώς παραμένει διαρκώς σταθερή η επιτάχυνση το Ο; Και η επιτάχυνση του Α τι κάνει (επιτάχυνση η οποία υποτίθεται ότι αποδίδεις στην «μεταφορική κίνηση»; Αλλάζει, μένει σταθερή;
Θεωρώ δηλαδή ότι απλά βάζεις προβλήματα και θεωρήσεις, όπου κανένας μαθητής, με βάση το τι έχει διδαχθεί και το τι καλείται να γνωρίζει για τις εξετάσεις του, δεν θα ασχοληθεί.
Ακόμη όμως και αν πάει να απαντήσει το 1ο ερώτημα χωρίς να έχει διαβάσει τη συνέχεια (για την σταθερή επιτάχυνση του Ο), θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει την δική σου θεώρηση. Ας το κάνει. Βέβαια αμέσως μετά στο ερώτημα ii) πρέπει να επιστρέψει σε πιο λογικές εκδοχές…
Αλλά και η 2η εκδοχή που βάζεις «ομως η επιταχυνση του Ο να μην ειναι σταθερη αλλα να ειναι η κεντρομολος επιταχυνση κυκλικης κινησης του Ο σαν να ηταν η ραβδος πανω σε ρόδα του λουνα παρκ. κλπ κλπ.» πάλι έρχεται σε αντίθεση με την σταθερή επιτάχυνση του Ο, της εκφώνησης, οπότε πάμε στα ίδια. Αλλά και αν το σκεφτεί ένας μαθητής; Ας το κάνει… Και πάλι θα υπολογίσει σωστά την επιτάχυνση και τη γωνιακή επιτάχυνση,
Όσο για το τελευταίο μέρος με το cm, απάντησα παραπάνω…
Διονυση ποτε δεν ειπα οτι η κινηση ειναι μεταφορικη σκετο.Μεταφορικη και ταυτοχρονως στροφικη ειπα δηλαδη Συνδιασμος μεταφορικης κατα μηκος του y και στροφικης γυρω απο το Α ειπα αρα συνθετη. Τι δεν ευσταθει?
Μαλλον δεν καταλαβες τι εχω γραψει ή εγω δεν το εξεφρασα απολυτως σωστα.
Στην συνεχεια γραφεις:
“Αν η σύνθετη κίνηση δεν γίνεται με περιστροφή γύρω από το μέσον Ο, αλλά γύρω από το άκρο Α, τότε πώς παραμένει διαρκώς σταθερή η επιτάχυνση το Ο; ”
Η επιταχυνση του Ο δεν ειναι σταθερη με βαση την εκφωνηση. Αυτο ισχυει για το ερωτημα ii). μονο. Δεν ειναι υποχρεωμενος ο μαθητης να διαβασει το ερωτημα ιι) για να απαντησει το ερωτημα i) Το ερωτημα i) για να απαντηθει χρειαζεται να σκεφτουμε μια υλοποιηση της οποιας το στιγμιοτυπο να ειναι αυτο που βλεπουμε στο σχημα σου και τα σεναρια δεν ειναι μοναδικα,αυτο εξηγω. Ηδη εχουμε περιγραψει τρια διαφορετικα σεναρια. Και η επιταχυνση του Α δεν ειναι υποχρεωτικο να ειναι σταθερη (σαν η ραβδος να επεφτε μεσα στο ομογενες πεδιο βαρυτητας),απλως την στιγμη μηδεν πρεπει να ειναι π/4 και αυτο συνδιαζεται με γωνιακη επιταχυνση π/4 την ιδια χρονικη στιγμη,άρα εχουμε και περισσοτερα σεναρια.
Δεν υπαρχει πιο λογικο και ευλογο σεναριο ,όλα ειναι εξισου λογικα.
Το προηγουμενο προβλημα σε προηγουμενη αναρτηση σου δεν το εχω διαβασει. Αυτο το προβλημα το θεωρω αυτοτελες.
Κωνσταντίνε, προφανώς διαφωνούμε για τα σενάρια.
Ο μαθητής που τυχόν θα ασχοληθεί, ένα σενάριο έχει διδαχθεί.
Δεν γνωρίζει τη θεωρία, που με αφορμή την παρατήρησή σου, επαναφέρω δίνοντας δύο δικές μου αναρτήσεις:
Γιατί το «να κόβεις δρόμο» είναι καλό…
Γιατί το «να κόβεις δρόμο» είναι καλό και για επιταχύνσεις…
Άλλωστε και οι δύο αναρτήσεις αυτές απευθύνονται σε καθηγητές.
Να προσθέσω ακόμη κάτι.
Δίνοντας ότι η ράβδος είναι ομογενής, αυτομάτως το μέσον της Ο, είναι και κέντρο μάζας. Άρα δεν είναι λάθος να το ονομάζω κέντρο μάζας.
Το ότι θα μπορούσα να μην βάλω στη συζήτηση τον όρο “κέντρο μάζας”, ναι θα μπορούσα, αλλά διδακτικά πάντα κάνουμε κάποιες τακτικές υποχωρήσεις, για κάποιο λόγο. Αν λοιπόν αύριο έμπαινα να διδάξω σε μια τάξη, όπου όλοι οι μαθητές έχουν πάει φροντιστήριο και έχουν μάθει να χρησιμοποιούν το cm, το πολύ – πολύ να έκανα μια αναφορά στο σωστό, αλλά δεν θα επέμενα από εκεί και πέρα να επαναλαμβάνω, σε κάθε περίπτωση, την μη απαραίτητη συνθήκη του cm.
Αυτή η επαναλαμβανόμενη επισήμανση, είναι σαν να είμαι υποχρεωμένος κάθε φορά που μπαίνω σε εκκλησία να εκφωνώ το πιστεύω: “πιστεύω σε ένα Θεό…”.
Και ξέρεις αυτό δεν ονομάζεται “πιστεύω”, επισήμως ονομάζεται “ομολογία πίστεως”!!!
Ψάχνοντας τις δύο παλιότερες αναρτήσεις, του προηγούμενου σχολίου, είδα και κάποια σχόλια.
Μεταφέρω τμήμα σχολίου του αείμνηστου Βαγγέλη Κορφιάτη:
“Βέβαια στην τάξη δεν τολμώ να ξεφύγω από το κέντρο μάζας.
Η οδηγία είναι:
¨όταν υπάρχει φυσικός άξονας περιστροφής (σούβλα ή καρφί ..) η περιστροφή γίνεται ως προς αυτόν. ¨
Όταν ο άξονας περιστροφής είναι νοητός, τότε θεωρούμε ότι διέρχεται από το κέντρο μάζας.
Ακόμη και κινηματικά δεν ξεφεύγω από αυτήν την λογική. Φοβάμαι ότι στην αντίθετη περίπτωση θα γίνει κομφούζιο.”