by Ο τροχός του σχήματος έχει ακτίνα R. Είναι κατακόρυφος και από το κέντρο του περνάει ο οριζόντιος άξονας ΟΚ ο οποίος έχει επίσης μήκος R.
Ο άξονας ΟΚ περιστρέφεται αρθρωμένος στο Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, όπως στο σχήμα.
Ο τροχός κυλίεται.
Να υπολογστούν οι ταχύτητες των αντιδιαμετρικών σημείων Α και Β, αν το ΑΒ είναι την στιγμή εκείνη οριζόντιο.
ωR √3.Στα πολύ γρήγορα(χωρις μολύβι) και με χρηση του θεωρήματος των τριών καθέτων.
Καλημέρα σε όλους
Γιάννη, ωραίο πρόβλημα.
Πάω αργά σχολείο σήμερα
οπότε . . .
πρόλαβα να γράψω μια λύση. 🙂
Φιλικά,
Θ.Π.
Σύντομα η λύση: Αφ’ ενός έχουμε το ίδιο ω (κ.χ.ο τοτε υcm = υεπιτρόχιο και υ cm=ωR με το ω στην οριζόντια κινηση και υεπιτροχιο =ω’R στην κατακόρυφυ κίνηση .Αρα ω=ω’)
Αφ’ετερου το Α (και το Β) έχουν ακτίνα περιστροφής R√2. Λόγω του θεωρήματος των τριών καθέτων οι δύο συνιστώσες της ταχύτητας ρίναι κάθετες μεταξύ τους.Έτσι:
υΑ=✓(ωR✓2)2+ (ωR)2=ωR√3
Καλημέρα Γιώργο και Θρασύβουλε.
Συμφωνώ με τα αποτελέσματά σας.
Μια λύση:
Καλημέρα Γιάννη.
Βλέπω το προχώρησες σε μη επίπεδη κίνηση.
Οι ταχύτητες που ζήτησες θα μπορούσαν (με λίγο καλή θέληση…) να βρεθούν και από έναν μαθητή, αν γνώριζε λίγη στερεομετρία.
Ελπίζω να μην το προχωρήσεις άλλο, ζητώντας για παράδειγμα την κινητική ενέργεια του τροχού 🙂
Διονύση βγαίνουν από έναν μαθητή χωρίς γνώσεις Στερομετρίας.
Με χρήση της αρχής της επαλληλίας.
Πρώτα στρίβεις τον άξονα και μετά περιστρέφεις τον τροχό.
Έχω κάνει παλιότερα αυτό με την κινητική ενέργεια αλλά και με τη στροφορμή.
Είχα γράψει δύο λύσεις, τη μία με τανυστή αδράνειας και την άλλη (πολύ εύκολη) με “δύο μοτεράκια” τα οποια δεν αλληλεπιδρούν.
Ίσως τις βρω στο υλικονέτ.
Μια λύση με τανυστή αδράνειας:
Πόση είναι η κινητική ενέργεια;
Και μια απλή που μπορεί να κατανοήσει μαθητής:
Καλό μεσημέρι Γιάννη (είδες …. έκοψα το καλησπέρα) 🙂
Είπα να μην το προχωρήσεις, αφού θα έβαζες στο παιχνίδι τον τανυστή αδράνειας!
Αλλά εσύ βρήκες και άλλο μονοπάτι…
Διονύση δεν έγραψα τίποτα. Αυτά υπάρχουν στο υλικονέτ από παλιά.
Νομίζω πριν την αλλαγή της πλατόρφμας.
Τι δεύτερο είναι σκρην σοτ από συζήτηση με εισήγηση το πρώτο.
Είχαν συμμετάσχει πολλοί τότε.
Καλησπέρα Γιάννη,
κοιτάω τις δύο λύσεις (αυτήν με τον τανυστή και την άλλη την “μαθητική”), αλλά δεν βλέπω ουσιαστική διαφορά. Αν στην λύση του αρχείου αναρωτηθεί ο λύτης ποια η φυσική σημασία των δύο όρων με τα Ixx και Iyy, θα καταλήξει στην μαθητική. Ο δε υπολογισμός των ροπών αδρανείας και στις δύο περιπτώσεις παραλείπεται και ο τύπος δίνεται έτοιμος.
Θεωρώ λίγο υπερβολικό το τελευταίο σου σχόλιο
“…Γιατί, για να είμαι ειλικρινής, έβγαλα κάτι χωρίς να καταλάβω τι έκανα. Έχασα την ουσία του φαινομένου, χάριν του υπολογισμού.”
Φυσικά δεν λέω ότι το πρόβλημα είναι απλό και ότι δεν μπορεί πολύ έυκολα να γίνει λάθος.
Στάθη οιοσδήποτε, ακόμα και αν έχει ξεχάσει τις αποδείξεις τις σχετικές με τον τανυστή αδράνειας, μπορεί να τον χρησιμοποιήσει και να υπολογίσει στροφορμή και κινητική ενέργεια.
Τα κάναμε αυτά όταν μαθαίναμε κάτι σαν φοιτητές.
Βαθιά κατανόηση αποκτάς όταν προσπαθείς να παρουσιάσεις κάτι σε ένα μαθητή.
Αν λοιπόν σκεφτώ ότι πρώτα περιστρέφω τον άξονα (με μη στρεφόμενο τον δίσκο) , μετά στρέφω τον δίσκο και μετά προσθέτω τα δύο έργα, έχεις κάνει ένα βήμα βαθύτερης κατανόησης. Έχεις καταλάβει αρχικά ότι η δεύτερη περιστροφή δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της πρώτης, κάτι που θα συνέβαινε αν τροχός και άξονας ήταν στο ίδιο επίπεδο.
Τα ίδια συναντάμε και αλλού. Π.χ. γιατί σε κλειστό αγωγό η δύναμη Λαπλας είναι μηδέν;
Κάνεις ένα άθροισμα των i.dlxB και καθάρισες.
Γιατί η άνωση είναι τόση σε τυχαίο σχήμα;
Θεώρημα Γκάους και καθάρισες. Όμως κατάλαβες την ουσία της άνωσης ή απλά την υπολόγισες;
Τώρα που σου γράφω πατάω πλήκτρα και κάνω μια δουλειά.
Σημαίνει αυτό ότι έχω κατανοήσει τις διεργασίες που γίνονται στον υπολογιστή και στο διαδίκτυο μέχρι να διαβάσεις ότι έγραψα;
Καλό απόγεμα, Γιάννη.
Μ’άρεσε και με παρέπεμψε…
Beautiful! Στο ίδιο αποτέλεσμα κατέληξα χωρίς θεώρημα των τριών κάθετων . Με Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων . Κύλιση και περιστροφή του τροχού γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, με ίδια γωνιακή ταχύτητα. Έτσι ίσως γίνεται ευκολότερα κατανοητή από μαθητές.Στηριζομενοι στη θεωρία του σχολικού και ως προέκταση της ” επίπεδης” κύλισης.
Παντελή από τον Χρήστο Ελευθερίου ξεκίνησε. Μάλλον τέτοια ήταν η έμπνευση.
Ευχαριστώ Γιώργο.
Και εγώ την έλυσα χωρίς Στερεομετρία.