by 
Σαν συνέχεια των σχολίων που έγιναν κάτω από την ανάρτηση:
Ας συνεχίσουμε στο χώρο του φόρουμ, οπότε να έχουμε και την σύνδεση…
- Έστω τρεις δεξαμενές που περιέχουν νερό στο ίδιο ύψος h, από τις οποίες εκρέει το νερό μέσω οριζόντιου σωλήνα.
i) Πόση η ταχύτητα εκροής στα σχήματα Α, Β και Γ;
ii) Στο Α σχήμα, όπου ο σωλήνας έχει σταθερή διατομή, πόση είναι η πίεση στο σημείο 1;
iii) Αν ο οριζόντιος σωλήνας παρουσιάζει ένα στένωμα (σχήμα Β) ή μια πλάτυνση (σχήμα Γ), πώς αυτό θα επηρεάσει την πίεση στο σημείο 1;
iv) Η πίεση στα σημεία 3 και 4 είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη της ατμοσφαιρικής και ποια η φυσική σημασία της τιμής αυτής;
Απάντηση:
i) Η ταχύτητα εκροής του νερού, δεν εξαρτάται από το σχήμα του σωλήνα, οπότε και στα 3 σχήματα έχουμε την ίδια ταχύτητα εκροής:
ii) Από την εξίσωση τη συνέχειας προκύπτει ότι στα σημεία 1 και 2, έχουμε ίσες ταχύτητες ροής και από την εξίσωση Bernoulli, θα έχουμε και ίσες πιέσεις p1=p2=pατμ.
iii) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα, δεν αλλάζει η πίεση στο σημείο 1. Έτσι και στην Β περίπτωση και στην Γ θα ισχύει p1=p2=pατμ.
iv) Στο σχήμα Β, το νερό κατά την μετακίνησή του από τη θέση 1 στη θέση 3 θα πρέπει να επιταχυνθεί, αφού πρέπει να αυξηθεί η ταχύτητα ροής (εξίσωση συνέχειας). Η επιτάχυνση αυτή θα προκληθεί από τη διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο θέσεων. Αλλά για να συμβεί αυτό, πρέπει η πίεση στο σημείο 3 να είναι μικρότερη από την ατμοσφαιρική.
Από την άλλη, εξαιτίας αυτής της μικρότερης πίεσης στο σημείο 3, το νερό επιβραδύνεται κατά την μετάβασή του από τη θέση 3 στη θέση 2, αφού τελικά θα έχει την ταχύτητα που έχει κατά την εκροή και στο Α δοχείο.
Με την ίδια λογική το νερό επιβραδύνεται κατά τη μετάβαση από τη θέση 1 στη θέση 4 (από εξίσωση της συνέχειας η ταχύτητα στο σημείο 4 είναι μικρότερη από την αντίστοιχη στο σημείο 1), στο σχήμα Γ, αλλά αυτό συνεπάγεται ότι η πίεση στο σημείο 4 είναι μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική πίεση.
2. Θα έλεγα να συγκρίνουμε:
i) τις ταχύτητες εκροής και
ii) τις πιέσεις στα σημεία 1, 2 και 3 στα σχήματα Α και Β το παραπάνω σχήματος, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο βάθος και στα δύο σχήματα. Στο δοχείο Β, ο οριζόντιος σωλήνας καμπυλώνεται και εισχωρεί στο δοχείο διατηρώντας σταθερή την διατομή του.
Σημείωση: Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και οι ροές μόνιμες και στρωτές.
Καλημέρα Διονύση.
Δύσκολα βάζεις!
Ας αρχίσω από το ευκολότερο, δηλαδή το 2i.
Όταν ζορίζομαι εγκαταλείπω τον δυσανάγνωστο νόμο Bernoulli και πιάνω διατήρηση ενέργειας.
Σε χρόνο dt μια μάζα dm “χάνεται” από την επιφάνεια. Η δυναμική ενέργεια όλου του συστήματος μειώνεται κατά dm.g.H.
Ταυτόχρονα ίση μάζα αποκτά ταχύτητα υ. Οι άλλες μάζες που είναι μέσα στον σωλήνα διατηρούν την ταχύτητα και την κινητική τους ενέργεια. Έτσι:
dm.g.H=1/2dm.υ^2=>υ=ρίζα(2.g.H).
Το τελευταίο θα μπορούσαμε να το βγάλουμε και με νόμο Bernoulli και θεωρώντας ως δοχείο το πάνω μόνο μέρος, μέχρι εκεί που αρχίζει ο σωλήνας (στο σχήμα Β). Εφαρμογή του θεωρήματος Totticelli θα έδινε το ίδιο.
Σύγκριση πιέσεων σημείων ίδιου βάθους:
Στο Α η πίεση στο 1 είναι (πιστεύω) Pατμ+ρ.g.h1.
Στο Β στο ίδιο σημείο για να βρούμε την πίεση:
P1+ρ.g.h1+1/2ρ.υ^2=Pατμ+0+1/2ρ.υ^2=>P1=Pατμ-ρ.g.h1
Ανάλογα βλέπω και στα 2 και 3.
Ελπίζω πως δεν κάνω λάθος. Σε αντίθετη περίπτωση το εντοπίζεις.
Στην πρώτη βλέπω ένα προβληματάκι στο Β σχήμα, αυτό με τη στένωση.
Αν κάνω λάθος ας το εντοπίσουμε.
Σε χρόνο dt μια μάζα dm χάνεται από ύψος Η και η δυναμική ενέργεια του συστήματος μειώνεται κατά dm.g.H.
Μια ίση μάζα dm αποκτά ταχύτητα υ μπαίνοντας στον σωλήνα 1. Αύξηση κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά 1/2dm.υ^2.
Μια ίση μάζα μπαίνει στον 3 όπου η ταχύτητα είναι u και η κινητική ενέργεια του συστήματος αυξάνεται κατά 1/2dm.u^2 – 1/2dm.υ^2.
Η μάζα που εκρέει από τον 2 εκρέει με ταχύτητα όση είχε πριν. Ανήκει στο σύστημα και έτσι δεν συμβάλλει σε κάποια μεταβολή στην κινητική του ενέργεια.
Η διατήρηση της ενέργειας επιβάλλει:
dm.g.H = 1/2dm.υ^2 + 1/2dm.u^2 – 1/2dm.υ^2 =>u = ρίζα(2g.H)
Έτσι η υ είναι μικρότερη από ρίζα(2g.H) και η πίεση στο 1 μικρότερη της ατμοσφαιρικής.
Αν δεχόμασταν υ =ρίζα(2g.H) τότε η μεταβολή της κινητικής ενέργειας θα ήταν:
1/2dm.υ^2 + 1/2dm.u^2 – 1/2dm.υ^2 = 1/2dm.u^2>dm.g.H
Αυτό όμως θα παραβίαζε την αρχή διατήρησης της ενέργειας του συστήματος.
Θα μειωνόταν η δυναμική του κατά dm.g.H και θα αυξανόταν η κινητική του περισσότερο από τόσο.
Όλα αυτά με κάθε επιφύλαξη διότι το θέμα είναι ζόρικο. Αναμένω διόρθωση ή σχόλιο.
Ήδη βρήκα το λάθος μου. Δεν σβήνω πάντως το σχόλιο.
Υπάρχει και μια άλλη μάζα που επιβραδύνεται από u σε υ. Η μεταβολή της κινητικής της ενέργειας είναι αρνητική και ίση με
1/2dm.υ^2 – 1/2dm.u^2. Έτσι η συνολική μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι 1/2dm.υ^2 .
Έτσι ορθώς υ = ρίζα(2g.H) και΄όχι μικρότερη όπως προείπα κάνοντας λάθος.
Καλησπέρα Γιάννη και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Εσύ πάντα προτιμάς ΑΔΕ, αλλά ο Θοδωρής έβαλε άλλα ζητήματα δίπλα:
“Το ρgh, δλδ η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου έγινε 1/2 ρυ^2,
δλδ κινητική ανά μονάδα όγκου, κάτι σύμφωνο με την ΑΔΜΕ
Αλλά……η βαθμίδα πίεσης….δεν εξηγείται επαρκώς….
ή τουλάχιστον εγώ ακόμα δεν το έχω καταλάβει….”
και παρακάτω:
“Νομίζω πως πρέπει να ξεκαθαρίσουμε τι εκφράζουν οι τρεις προσθετέοι
στην εξίσωση Μπερνούλι….διότι ναι μεν την εφαρμόζουμε
και βρίσκουμε…αλλά …..μέχρι εκεί…..”
Πάμε στις απαντήσεις σου. Εντάξει το λάθος το βρήκες. Δεν υπάρχει διαφορά στην ταχύτητα εκροής ανάλογα αν στενεύει ή όχι ένας σωλήνας… (μιλάμε για ιδανικό ρευστό).
Όσον αφορά το 2. καλά τα λες, αρκεί να ερμηνευτούν ή να κατανοηθούν τα αποτελέσματα. Πόση είναι η πίεση στο Α και πόση στο Β; Τη μια φορά μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική και μάλιστα εξαρτώμενη από το βάθος την άλλη (στο Β) μικρότερη από την ατμοσφαιρική και μάλιστα εξαρτώμενη από το ύψος σε σχέση με το σημείο εκροής!!!
Τρελλό;
Kαλησπέρα Διονύση.
Στο πρώτο δοχείο οι ταχύτητεs στα σημεία 1,2 και 3 είναι σχεδόν μηδενικέs λόγω τηs μεγάληs διατομήs
του δοχείου ενώ οι πιέσειs θα είναι Patm +ρgh1. Patm + ρgh2 και Patm+ ρgh3 όπου h1,2,3 τα αντίστοιχα βάθη.
Στο δοχείο Β αφού ο σωλήναs έχει σταθερή διατομή οι ταχύτητεs στα σημεία 1,2 και 3 θα είναι ίδιεs και ίσεs κατά μέτρο με την ταχύτητα εκροήs( 2gh)1/2 λόγω συνέχειαs.
Oι πιέσειs στα αντίστοιχα σημεία θα είναι ίδιεs με αυτέs του πρώτου δοχείου όπωs προκύπτει από το νόμο Bernoulli.
Γιατί τρελλό;
Θυμήσου κάποια ανάρτηση δική σου που μιλούσες για μικρό μήκος σωλήνα ώστε να μην έχουμε σπηλαίωση.
Τα άλλα με την πίεση ως πυκνότητα ενέργειας είναι πιο πολύπλοκα.
Γιάννη δεν κατάλαβα τι εννοείς λέγοντας “Oι πιέσειs στα αντίστοιχα σημεία θα είναι ίδιεs με αυτέs του πρώτου δοχείου“.
Καλημέρα, ωραία πράγματα διαισθάνομαι…. Εσύ Διονύση τον εγγονό τον αφήνεις…..να περιμένει…
Εγώ τα γενέθλια της κόρης δεν μπορώ να τα αφήσω να περιμένουν…
Όταν το διαβασω θα τοποθετηθώ…
Ευχαριστώ πάντως εκ των προτέρων..
Να κάνω μια διόρθωση στο προηγούμενο σχόλιό μου:
Στο Α η πίεση στο 1 είναι (πιστεύω) Pατμ+ρ.g.(h-h1).
Στο Β στο ίδιο σημείο για να βρούμε την πίεση:
P1+ρ.g.h1+1/2ρ.υ^2=Pατμ+0+1/2ρ.υ^2=>P1=Pατμ-ρ.g.h1
Ανάλογα βλέπω και στα 2 και 3.
Η ουσία παραμένει. Η πίεση στο 1 του Α είναι μεγαλύτερη της ατμοσφαιρικής ενώ στο 1 του Β μικρότερη.
Να ζήσει η μικρά.
Γιάννη, δίκιο έχειs.
Ενώ λέω στο προηγούμενο σχόλιό μου ότι η ταχύτητα στα σημεία 1, 2 και 3 είναι ίδια για το σωλήνα σταθερήs διατομήs η πίεση στα αντίστοιχα σημεία θα είναι P1=Patm-ρgh1 για το σημείο 1 στο B δοχείο ενώ θα είναι Patm+ρgy1 για το A δοχείο όπου y1=h-h1.
Πωs διαπίστωσα ίσεs πιέσειs ούτε εγώ δε μπορώ να καταλάβω.Με συγχωρείs Γιάννη.
Τι θα πει “με συγχωρείς”;
Λάθος έκανα και εγώ πριν.
Όμως δεν έχω καταλάβει πως όσα έθεσε ο Διονύσης (που στέκουν φυσικά) θέλει να τα συσχετίσει με πυκνότητες ενέργειας και τις φράσεις του Θοδωρή.
Aυτό που σκέφτομαι είναι ότι στο δοχείο Α μετά την αποκατάσταση μόνιμηs ροήs το νερό παύει να επιταχύνεται στον οριζόντιο σωλήνα, όμωs πρέπει να επιταχυνθεί πιο αριστερά για να εξασφαλίσει την ταχύτητα στον οριζόντιο σωλήνα.Έτσι χρειαζόμαστε αυξημένη πίεση όσο ανεβαίνουμε.
Στο Β δοχείο με το σωλήνα σταθερήs διατομήs το νερό δεν επιταχύνεται στο εσωτερικό του μέχρι την έξοδο.Δεν απαιτείται δηλαδή προσφορά ενέργειαs από εξωτερικό παράγοντα.Αυτό δείχνει και η μείωση τηs πίεσηs με το ύψοs.
Καλησπέρα παιδιά.
Θοδωρή να τα εκατοστήσει η κούκλα σου, να είναι πάντα καλά και ευτυχισμένη και εσύ να είσαι καλά να την καμαρώνεις.
Βέβαια προηγούνται τα γενέθλια της Ελίνας, όπως ακολουθούν τώρα τα γενέθλια του μικρού… Διονύση!
Οπότε και ο δικός μου σχολιασμός, πάει για αργότερα…
Καλησπέρα . Χρόνια πολλά Θοδωρή να την χαίρεσαι την κόρη σου και συ Διονύση τον εγγονό σου.Να τα εκατοστήσουν τα παδάκια να είναι γερά και δυνατά. Ο δικός μου έχει τα πρώτα του γενέθλια αύριο……