by 
Στο σχήμα απεικονίζονται:
ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m, τρία σώματα Σ1, Σ2 , Σ3 ίσων μαζών m1=m2=m3=m=1kg , αβαρής τροχαλία που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Τα σώματα Σ1 και Σ2 ισορροπούν πάνω στο ελατήριο, και το νήμα είναι χαλαρό . Αρχικά κρατάμε το σώμα Σ3 . Τη χρονική στιγμή to=0 αφήνουμε ελεύθερο το Σ3 , οπότε το σύστημα κινείται, και σε κάποια θέση το Σ2 χάνει την επαφή του με το Σ1, και κινείται μαζί με το Σ3 .
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας : g=10m/s2 και h=0,4m.
Υπολογίστε
1. τη θέση , την τάση του νήματος και τη χρονική στιγμή που χάθηκε η επαφή των Σ1 και Σ2 .
2. το πλάτος ταλάντωσης του Σ1 μετά το χάσιμο επαφής του με το Σ2
3. την απόσταση των d των Σ1 και Σ2, και τη χρονική στιγμή t2 που το Σ1 σταματά για 1η φορά στιγμιαία
4. τη χρονική στιγμή που χτυπάει στο έδαφος το Σ3 .
Απαντήσεις: σε word και σε pdf
αφιερωμένη στον Γιάννη Πανανά με εκτίμηση.
Καλημέρα Στάθη. Το θέμα πολυσυζητημένο και όχι μόνο πριν μια δεκαετία που μας απασχόλησε εξαντλητικά, αλλά και στη συνέχεια και σε συζητήσεις στις οποίες, αν θυμάμαι καλά, συμμετείχες και συ!!
Παρόλα αυτά δεν μπορώ να μην γράψω και εδώ δυο λόγια… και όχι για να πω ότι δεν θα συμφωνήσουμε, όπως λέει ο Γιάννης, αλλά έτσι για να υπάρχει η θέση μου…
Μια κίνηση που ονομάζεται ως ΑΑΤ, πρέπει να έχει κάποια χαρακτηριστικά και όχι μόνο το να υπακούει στην εξίσωση x=Aημ(ωt) ή στη διαφορική εξίσωση F=-Dx.
Η διαφορική εξίσωση F=ma, για σταθερή δύναμη οδηγεί στην εξίσωση Δx= 1/2 at^2 (ας πάρουμε αρχική ταχύτητα μηδενική), πράγμα που σημαίνει ότι η δύναμη επιβάλλει μια ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.
Άρα αυτό σημαίνει ότι κάθε τέτοια κίνηση είναι και "ελεύθερη πτώση";
Και στην ελεύθερη πτώση, από μικρό ύψος, ισχύει η ίδια διαφορική και η ίδια εξίσωση μετατόπισης. Αλλά ισχύουν και κάποια άλλα πράγματα που εμφανίζονται, όταν πάψουμε να ασχολούμαστε με κινηματική και περάσουμε στις ενέργειες. Και τα χαρακτηριστικά που έχει η ελεύθερη πτώση, δεν τα έχουν όλες οι ευθύγραμμες ομαλά επιταχυνόμενες κινήσεις.
Πάμε τώρα στην εξίσωση x=Aημ(ωt). Τι κίνηση περιγράφει; Μια αρμονική ταλάντωση.
Δηλαδή είναι ΑΑΤ;
Μπορεί και να είναι. Μπορεί να είναι όμως και η απομάκρυνση ενός σώματος που εκτελεί εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση, μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων ή να είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός σημείου ενός ελαστικού μέσου, κατά μήκος του οποίου διαδίδεται ένα κύμα.
Τα τρία αυτά φαινόμενα, που περιγράφονται από την ίδια εξίσωση κίνησης, ταυτίζονται; Είναι και τα τρία ΑΑΤ;
Για μένα όχι και πρέπει να γίνεται η διάκριση.
Μια παλιότερη τοποθέτησή μου για διάκριση της "αρμονικής ταλάντωσης" και της ΑΑΤ, εδώ:
Υπέρ Κινηματικής…
Καλημέρα παιδιά.
Άντε να συμφωνήσω με τον Διονύση:
Μια κίνηση που ονομάζεται ως ΑΑΤ, πρέπει να έχει κάποια χαρακτηριστικά και όχι μόνο το να υπακούει στην εξίσωση x=Aημ(ωt) ή στη διαφορική εξίσωση F=-Dx.
Αφού υπακούει σε διαφορική εξίσωση, είναι φαινόμενο συνδεδεμένο με σύστημα.
Καλησπέρα παιδιά.
Διονύση κοντέβω τα 50 και φαίνεται ότι άρχισα να ξεχνάω, δεν θυμάμαι σε ποια συζήτηση αναφέρεσαι, στην οποία συμμετείχα! Δεν διαφωνώ με τίποτα από όσα έχουν λεχθεί μέχρι τώρα. Έχω μόνον κάποιες δεύτερες σκέψεις/προβληματισμούς σχετικά με τις δυνάμεις -Dx, για αυτό ζήτησα ορισμό της κίνησης της ΑΑΤ και της ΑΤ (υπέθεσα ότι είχε δοθεί κάποιος σε κάποια παλαιότερη συζήτηση). Λόγω της έλειψης χρόνου αυτήν την περίοδο, θα γράψω αναλυτικά τις σκέψεις μου μετά την Δευτέρα.
Καλησπέρα Στάθη.
Είχα υπόψη μου, την ανάρτηση του Γιάννη:
Ένα σώμα δέχεται χρονοεξαρτώμενη αρμονική δύναμη.
Καλησπέρα συνάδελφοι. Κάποιες σκέψεις στο συννημένο αρχείο ΑΑΤ και ΑΤ
Καλησπέρα Στάθη, ευχαριστώ για την ενασχόληση με το κείμενο που ανέβασα καθώς επίσης και για τις απαντήσεις.
Στάθη νομίζω ότι ξεχνάς ποιο είναι το ακροατήριο μας…που είναι μαθητές … και όχι μεταδιδακτορικοί φοιτητές…
Οι περισσότεροι σε αυτή την ηλικία ενδιαφέρονται για το αποτέλεσμα και μόνο, δηλαδή τη λύση της άσκησης.
Εκεί ακριβώς πατούν όλοι όσοι εν γνώση τους διδάσκουν εύκολες συνταγές…και αυτό είναι επικίνδυνο…
Δεν αναφέρομαι σε όσους δεν γνωρίζουν και θεωρούν πως διδάσκουν το σωστό….
Σε αυτή την κατηγορία δεν θα διστάσω να βάλω και τον εαυτό μου πριν το 2009….
Τότε εμφανίστηκε το ylikonet …Η προσωπική γνωριμία με το Διονύση μου έδωσε τη δυνατότητα να είμαι
από τους πρώτους που συμμετείχαν στο δίκτυο…. Η διαδικασία αυτή αποτελεί μια συνεχή επιμόρφωση σε
πολλά ….τουλάχιστον αυτά που μπορώ να αντιληφθώ….γιατί δεν κρύβω πως υπάρχουν και συζητήσεις
το επίπεδο των οποίων δεν μπορώ να ακολουθήσω….
Πιστεύω ακράδαντα …πως το εύκολο δεν είναι πάντα το καλύτερο….όπως το ίδιο ισχύει και για εσένα…
Προσπαθώ στους λίγους μαθητές που θα πέσουν στα χέρια μου και πραγματικά ενδιαφέρονται να λέω
αλήθειες με όποιο κόστος….
Διδάσκουμε πως οι δυναμικές ενέργειες συνδέονται με συντηρητικές χωροεξαρτώμενες δυνάμεις….
Ξοδεύουμε πολύ ενέργεια για να γίνει αυτό αντιληπτό και πάλι ξέρουμε πως δεν….αλλά πρέπει…
Επιμένουμε στον υπολογισμό του έργου συντηρητικών δυνάμεων ως διαφορά των αντίστοιχων δυναμικών ενεργειών
ανεξάρτητα της τροχιάς…. Διδάσκουμε έργο δύναμης επαναφοράς στην εξαναγκασμένη αρμονική και επιμένουμε
να γίνει κατανοητό πως ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης στην εξαναγκασμένη δεν είναι ο αντίθετος του ρυθμού μεταβολής της κινητικής που "ετοιματζίδικα" έχουν κρατήσει από την ΑΑΤ…..γιατί φοβόμαστε
στην ΑΑΤ να μιλήσουμε για ρυθμό μεταβολής δυναμικής ως το αντίθετο της ισχύος της αντίστοιχης συντηρητικής δύναμης….
Για όλα αυτά και δεκάδες άλλα που γνωρίζεις καλύτερα από εμένα…..
Αρνούμαι το έργο της στατικής τριβής να το διδάξω ως 0.5mωω(x1^2-x2^2)….
Διότι τότε Στάθη, αυτοαναρούμαι και κάνω ανόμοια πράγματα να μοιάζουν ίδια στα μάτια 18χρονων
αλλά και στα μάτια πολλών συναδέλφων που περιμένουν να διαβάσουν τη λύση στο τάδε…βοήθημα
για να μπουν στην τάξη και να αναπαράγουν τα ίδια…
Διότι τότε Στάθη,δεν θα μπορώ να διαμαρτύρομαι για την προτεινόμενη λύση στο Γ Θέμα του 2017,
αφού στην εξαναγκασμένη αρμονική η ποσότητα 0,5mυ^2+0,5mω^2x^2 διατηρείται και είναι
ολόιδια η άτιμη με την ολική ενέργεια της ΑΑΤ….
Μόνο που η σχέση τους είναι όπως ακριβώς περιγράφει το γνωστό τραγούδι της δεκαετίας του 70
Να είσαι καλά Στάθη, θα διατηρήσω τις απόψεις μου στο ακέραιο
Καλησπέρα σε όλους.
Για να μην μένουν σκοτεινά σημεία για το τι υποστηρίζω, παραθέτω ένα ακόμα αρχείο , αυτήν την φορά δια χειρός …Κώστα Ψυλάκου.
(Συζητούσαμε τηλεφωνικά με τον Κώστα, και στο τέλος μου έστειλε το συννημένο άρχείο, στο οποίο είχε την καλοσύνη να συνοψίσει τον διάλογό μας. Δεν θα το απέδιδα καλύτερα, οπότε το παρουσιάζω όπως ακριβώς το έγραψε.)
Αξίζει να τονιστεί κατά πρώτον ότι οι σχέσεις (1) και (2) πηγάζουν από την εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας σε κάθε μάζα ξεχωριστά,
και κατά δεύτερον ότι ακόμη και η δυναμική ενέργεια της ΑΑΤ είναι προιόν έκπτωσης (έχει αναφερθεί πριν απο μένα σε αυτό το γεγονός ο πολύ καλός Γιάννης Μήτσης στην ανάρτηση που αναφέρθηκε ο Διονύσης παραπάνω).
Καλησπέρα Στάθη, θα ξεκινήσω και εγώ με ένα απόσπασμα παλαιότερου διαλόγου με το Θρασύβουλο
Και επειδή απόψε το βράδυ έχω περισσότερους από ένα λόγους να ξαναγυρίσω στο 2009, θα μου
επιτρέψεις να αναδημοσιεύσω απόσπασμα από τοποθέτηση του 2009
Ελπίζοντας ότι δεν κουράζω ένα τελευταίο
Καλημέρα Θοδωρή.
Έλεγξε και τα δύο αρχεία που δίνεις παραπάνω, ώστε να γίνουν κοινόχρηστα.
Έχει αλλάξει τα δικαιώματα η google και πρέπει να επιλέξεις "οποιοσδήποτε διαθέτει τον σύνδεσμο"…
Καλημέρα Θοδωρή, καλημέρα Διονύση.
Εν αναμονή της αλλαγής των δικαιωμάτων, ώστε να μπορέσω να δω τα αρχεία, ας πω τα εξής:
Μάλλον γράφω ακατανόητα και γεννώνται παρανοήσεις. Ας προσπαθήσω μία ακόμη φορά, αναδιατυπώνοντας το επιχείρημά μου.
Έστω ότι το σύστημα των δύο μαζών κινείται από την ακραία θέση προς την θέση ισορροπίας. Τότε η δύναμη της στατικής τριβής στην μάζα m παράγει θετικό έργο, αποδίδοντας κινητική ενέργεια στο σώμα. Ταυτόχρονα η αντίδρασή της παράγει αρνητικό έργο στην μάζα Μ, αφαιρώντας της μηχανική ενέργεια. Λόγω της μορφής της στατικής τριβής (προκύπτει πάντα ανάλογη της απομάκρυνσης από την ΘΙ), το έργο της ισούται με το ολοκλήρωμά της ως προς την μεταβλητή x και υπολογίζεται από την σχέση 0.5mω^2(xαρχ^2-xτελ^2). Αυτήν την συνάρτηση αποκαλώ ψευδό -δυναμική ενέργεια. Στις σχέσεις (1) και (2) εφαρμόζεται το θεώρημα έργου -ενέργειας σε κάθε μάζα ξεχωριστά, ξαναδές το συνημμένο αρχείο του Κώστα.
Δεν καταλαβαίνω λοιπόν Θοδωρή, καλή τη πίστη, σε ποια «τοπική διάλεκτο φυσικής» αναφέρεσαι ή σε ποιο σημείο «φτιάχνω ορισμούς και μαθηματικά».
Καλημέρα κι από εμένα , τον ..οικοδεσπότη της ανάρτησης!
Βλέπω ότι ..άναψε η συζήτηση, σε ένα θέμα που μας ταλανίζει εδώ και 10 χρόνια!
Παίρνω θέση κι εγώ: Θοδωρή μην είσαι και τόσο ..κάθετος στις απόψεις σου!
Αυτό που έκανε ο Στάθης και ο Ψυλλάκος, είναι ένα Θ,Μ.Κ.Ε. για κάθε σώμα ξεχωριστά!
Στο σύστημα ενεργούν συντηρητικές δυνάμεις, εφόσον η στατική τριβή είναι μικρότερη της οριακής της τιμής!
και γιατί υπάρχει η στατική τριβή; Μήπως βάζει το ''χεράκι'' της και η βαρύτητα (συντηρητική δύναμη); Αν έκανες το πείραμα σε χώρο όπου η βαρύτητα δεν υπάρχει, η οριακή στατική τριβή θα ήταν πολύ μικρή, αμελητέα θα έλεγα. Θα υπήρχαν αλληλεπιδράσεις ηλεκτρομαγνητικές , που η τιμή των στοιχειωδών δυνάμεων στο μικρόκοσμό τους , θα έδιναν αμελητέα συνισταμένη!
Επομένως στην μεταξύ των δύο σωμάτων αλληλεπίδραση, η βαρύτητα έχει σημαντικό ρόλο. Η στατική τριβή Τσ που εμφανίζεται μεταξύ τους, είναι και μια αλληλεπίδραση της βαρύτητας με το σύστημα. Εφόσον βέβαια δεν υπερβαίνουμε τα όριά της!
Που είναι το μεμπτό στη χρήση της στατικής τριβής ως δύναμης επαναφοράς στο πάνω σώμα; Έχει τη δυνατότητα από τη φύση της, να μεταβάλλεται με συνεχή τρόπο,από την τιμή -μ.mg έως την τιμή +μmg ! Δεν συμπεριφέρεται ως συντηρητική δύναμη με τη βοήθεια της βαρύτητας; Είναι ''εγκληματικό'' των νόμων της Φυσικής η χρήση της;
Μήπως η ύπαρξή της είναι και μια εμφάνιση της βαρύτητας στην μεταξύ των σωμάτων αλληλεπίδραση;
Αν τα όρια της στατικής τριβής δεν υπερβούν, έτσι ώστε να εμφανιστεί τριβή ολίσθησης, τότε η ενέργεια της ταλάντωσης του συστήματος (m1, m2, ελατηρίου) , διατηρείται!
Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης, όταν το ελατήριο είναι στην οριζόντια θέση, αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (συντηρητική δύναμη), και η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σωμάτων.
Αν θέλουμε να βρούμε τα ''όρια'' του πλάτους της ταλάντωσης, ώστε να μην υπάρξει ολίσθηση μεταξύ των σωμάτων, μπορούμε να αποδώσουμε ''ψευδο-δυναμική ενέργεια ταλάντωσης'' στο πάνω σώμα, και στη δύναμη της στατικής τριβής το ρόλο της δύναμης επαναφοράς! Έτσι επιλύουμε το πρόβλημα που τίθεται: '' με δεδομένα τα μ(ορ.), m1, m2, g, k , πόσο είναι το μέγιστο πλάτος Α;''
Σε τέτοια προβλήματα αλληλεπίδρασης, νήματα, δυνάμεις επαφής κλπ. συστημάτων που κάνουν αρμονική ταλάντωση, μπορούμε για το σύστημα να θεωρήσουμε έναν ισοδύναμο απλό αρμονικό ταλαντωτή, με μάζα την ολική μάζα και σταθερά επαναφοράς D=k , και να επιλύσουμε το πρόβλημα. Δεν κάναμε κανένα ..έγκλημα εις βάρος των νόμων της Φυσικής! Ίσα-ίσα που κάναμε χρήση και των τριών νόμων του Νεύτωνα.
Αυτά είχα να πω.
καλό Σαββατοκύριακο.
Καλημέρα παιδιά.
Συζητώντας τότε και εγώ είχα την άποψη:
-Γιατί να μην προσάψουμε δυναμική ενέργεια στο υπερκείμενο σώμα;
-Γιατί όχι και στο υποκείμενο σώμα;
Επείσθην όμως. Και όχι για λόγους αισθητικής. Γεννώνται πολλά προβλήματα σε "κυλιόμενους ταλαντωτές" έτσι.
Προβλήματα που δεν αναδύονται στα παραδείγματα του κειμένου του Κώστα.
Γιάννη καλημέρα.
Απορώ που δεν βλέπει κανείς ότι στο κείμενο του Κώστα δεν υπάρχει πουθενά ορισμός δυναμικής ενέργειας για το πάνω σώμα. Μόνον κινητική, κοιτάξτε την μηχανική ενέργεια της m2 στην αρχή της σχέσης (1).
Δυναμική ενέργεια αποδίδεται μόνον στην κάτω μάζα m1, και αυτήν μόνον από το ελατήριο.
Τέλος το έργο της μη συντηρητικής δύναμης Τστ, υπολογίζεται από τον ορισμό του έργου (εμβαδόν -ολοκλήρωμα).
Αν πάλι ενοχλεί η απόδοση "ψευδό -δυναμική ενέργεια" για την ποσότητα 0.5mω^2x^2, τι να πω; Ποιο ξεκάθαρο από τον χαρακητρισμό "ψευδό" ή "οιονεί δυναμικής ενέργειας" που έγραψα σε άλλο σχόλιο, δεν μπορεί να γίνει για το ότι δεν της αποδίδεται κάποιο πεδίο δυνάμεων!
Γιάννη συμμερίζομαι την άποψη ότι η πάνω μάζα δεν έχει δυναμική ενέργεια, απλά δεν κλείνω τα μάταια στο ότι της προκύπτει μία διατηρησιμη ποσότητα με διαστάσεις ενέργειας.
Μετά είναι και το θέμα του "πεδίου" του ελατηρίου. Εκεί κανείς δεν ενοχλείται με το οτι το πεδίο αυτό είναι κάπως ιδιόμορφο, μοιάζει αλλά όχι απόλυτα με τα πραγματικά πεδία (και καλά κάνει αυτός ο κάποιος, κατά την γνώμη μου). Προς τι η ενόχληχη αν κάποιος άλλος γράψει τον τύπο του έργου και παρατηρήσει ότι μοιάζει με μια "δυναμική" ενέργεια; (ένα ενεργό δυναμικό όπως αποκαλείται συχνά σε άλλα προβλήματα);
Όπως ο πρώτος δεν μπορεί να αποδόσει στο πεδίο του ταλαντωτή ιδιότητες που δεν έχει (ένταση -δυναμικό), έτσι και ο δεύτερος δεν πρέπει να αποδώσει στην συνάρτηση 0.5mω^2x^2, χαρακτηριστικά που δεν έχει.