by 
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στην θέση Α, ηρεμεί μια σφαίρα μάζας 4kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, δεμένη στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=50Ν/m, με φυσικό μήκος lο=3m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σημείο Ο του επιπέδου. Σε μια στιγμή η σφαίρα δέχεται ένα στιγμιαίο κτύπημα αποκτώντας ταχύτητα υο=10m/s, κάθετη στον άξονα του ελατηρίου, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Η σφαίρα ακολουθώντας μια καμπύλη τροχιά, μετά από λίγο περνά από την θέση Β, όπου το μήκος του ελατηρίου είναι l1=5m.
- Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας υ1 της σφαίρας στο σημείο Β.
- Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ταχύτητα υ1 με τον άξονα του ελατηρίου.
- Να υπολογισθεί η επιτάχυνση της σφαίρας στις θέσεις Α και Β.
- Να υπολογισθεί η ακτίνα R ενός κύκλου και να προσδιορισθεί το κέντρο του Κ, ο οποίος μπορεί να προσεγγίσει την τροχιά της σφαίρας στη θέση Β (η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς στο Β).
- Να εξετάσετε τον ρόλο της επιτάχυνσης στη θέση Β, όπως την ερμηνεύει ένας παρατηρητής στο Ο και ένας άλλος παρατηρητής στο κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, του παραπάνω κύκλου.
- Να υπολογισθεί η στροφορμή της σφαίρας και ο ρυθμός μεταβολής της, ως προς το Κ, τη στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση Β.
Δίνεται ότι ένα υλικό σημείο το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, ευρισκόμενο σε σημείο Α, που απέχει r από το τυχαίο σημείο Μ παρουσιάζει ως προς το M, στροφορμή μέτρου L=mυ1r, όπου υ1 η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη στην απόσταση r, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα.
Καλημέρα και καλή Κυριακή σε όλους.
Πριν λίγες μέρες, ένας φίλος μου έστειλε ένα αρχείο που περιείχε κάποια θέματα της τράπεζας θεμάτων, με κοινό στοιχείο την ελλειπτική τροχιά της Γης, γύρω από τον Ήλιο (ή δορυφόρου γύρω από τη Γη), από όπου και το σχήμα.
Τα ερωτήματα που μου έθεσε, πέρα από τα… συνήθη, όπως ότι δεν αναφέρεται κάτι για τις μάζες, λαμβάνοντας το κέντρο του Ήλιου σαν το κ.μ. του συστήματος ή θεωρώντας ότι η στροφορμή της Γης παραμένει σταθερή επειδή η βαρυτική δύναμη που της ασκεί ο Ήλιος περνά από το κέντρο μάζας της, (λες και αναφερόμαστε στην ιδιοστροφορμή…), ήταν δυο:
1) Δίνει τη Γη σε θέσεις που η ταχύτητα είναι κάθετη στην απόσταση Ήλιος – Γη. Και αν πάρουμε άλλη θέση ο μαθητής τι θα καταλάβει; Μπορεί με βάση την θεωρία του βιβλίου του να υπολογίσει στροφορμή σε άλλη θέση; Είναι εντός ύλης ο υπολογισμός στροφορμής σε θέση που η ταχύτητα δεν είναι κάθετη στην ακτίνα;
2) Όταν αναφερόμαστε σε γωνιακή ταχύτητα της Γης, στην θέση π.χ. του περιήλιου για τι ακριβώς πράγμα μιλάμε; Αναφερόμαστε σε κάποια κυκλική κίνηση όπου το κέντρο της τροχιάς είναι το κέντρο του Ήλιου;
Με άλλα λόγια ισχύει η σχέση υ=ωrπ, όπως και στην κυκλική κίνηση;
Σκέφτηκα για να μην μπούμε σε μια συζήτηση, για το σωστό και το λάθος κάθε ερώτησης, να γράψω κάτι για την εφαρμογή της ΑΔΣ, στην περίπτωση μιας καμπυλόγραμμης κίνησης, αλλά να υπενθυμίσω και την ακτίνα καμπυλότητας σε ένα σημείο μιας καμπύλης, όπου εκεί υπεισέρχεται και η γωνιακή ταχύτητα.
Και ο νοών νοήτω…
Γειά σου Διονύση με τα ωραία σου. Διάκριση μεταξύ τροχιακής στροφορμής και στροφορμής από ιδιοπεριστροφή, ξεχασμένη ακτίνα καμπυλότητας, επιτρόχια και κεντρομόλος επιτάχυνση ως προς το στιγμιαίο κέντρο του κύκλου καμπυλότητας όλα στη θέση τους. Απλά να συμπληρώσω ότι η σταθερή στροφορμή στην ελλειπτική τροχιά σε πεδίο κεντρικών δυνάμεων ορίζεται κυρίως για χρήση σε πολικό σύστημα συντεταγμένων r,θ όπου r το διάνυσμα θέσης ως προς το ελκτικό κέντρο και θ η γωνία του με τον άξονα Χ. Προφανώς για την κάθετη στο r συνιστώσα της ταχύτητας ισχύει υ = ωr όπου ω η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα η οποία όμως δεν έχει κανένα νόημα και έτσι λέμε υ =rdθ/dt και L = mr^2dθ/dt = ct ώστε στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί το dθ/dt στην εξαγωγή της εξίσωσης κίνησης με βάση τις σταθερές ποσότητες ολική ενέργεια Ε και στροφορμή L. Τέλος είχα βρει μια άσκηση στο βιβλίο κατεύθυνσης Β που έδινε τις ταχύτητες στο περιήλιο και στο αφηλιο ή σε δορυφόρο δε θυμάμαι και δεν ίσχυε η αρχή διατήρησης στροφορμής, όχι ότι επηρέαζε κάπου αλλά για το γαμωτο, να θυμόμαστε που και που ότι το μάθημα που διδάσκουμε λέγεται φυσική.
Διονύση καλησπέρα.
Είναι εξαιρετική. Προτείνεται οπωσδήποτε για καθηγητές.
Να θυμίσω τρεις συνδέσμους σχετικά με αυτό που γράφεις.
Η μία του Γιάννη οπου έγινε συζήτηση πέρυσι με αφορμή την άσκηση Μια διατήρηση στροφορμής
Οι άλλες δύο δίκες σου
το μήκος του ελατηρίου και η ακτίνα καμπυλότητας
Μια κρυμμένη στροφορμή
Καλησπέρα Διονύση, υψηλού επιπέδου ανάρτηση που ξεφεύγει από ερωτήματα «στημένα» από ανάγκη εξέτασης της διατήρησης της στροφορμής υλικού σημείου.
Μια και αφορμή για την ανάρτηση στάθηκε δική μου “ενόχληση”, ας καταθέσω και εγώ τις σκέψεις μου
Η διδασκαλία της στροφορμής υλικού σημείου και κυρίως η διδασκαλία διατήρησης της στροφορμής ακροβατεί ανάμεσα στο επιτρεπτό, στο διδακτικά ωφέλιμο και στο «στημένο».
Όταν εφαρμόζουμε διατήρηση της στροφορμής συστήματος δύο σφαιριδίων που κινούνται σε κατακόρυφες κυκλικές τροχιές δεμένα σε νήματα, διατήρηση στροφορμής ως προς το σημείο πρόσδεσης των νημάτων, στήνουμε ερωτήματα όπου στα ίδια αποτελέσματα θα μπορούσαμε να φθάσουμε απλά με διατήρηση της ορμής του συστήματος κατά την κρούση. Προφανώς ένα τέτοιο παράδειγμα διατήρησης ελάχιστα έχει να προσφέρει εννοιολογικά στο μαθητή.
Όταν εφαρμόζουμε διατήρηση στροφορμής ως προς το ελκτικό κέντρο δορυφόρου σε ελλειπτική τροχιά γύρω από αυτό, τις στιγμές που διέρχεται από το περιήλιο και το αφήλιο, «καμαρώνουμε» πως εισάγουμε παράδειγμα διατήρησης στροφορμής, αλλά αν δεν πάμε σε τυχαία θέση της τροχιάς να μελετήσουμε τη διατήρηση ως προς το ελκτικό κέντρο, μάλλον ελάχιστα έχουμε πετύχει….
Άσε που αν δεν σχολιάσουμε, ο μαθητής θα μείνει με την εσφαλμένη εντύπωση πως η στροφορμή του δορυφόρου ως προς το ελκτικό κέντρο υπολογίζεται σε κάθε θέση από τη σχέση L=mυr όπου r η απόσταση από το ελκτικό κέντρο και υ η ταχύτητα του δορυφόρου η εφαπτόμενη στην τροχιά.
Όταν επίσης ζητάμε γωνιακή ταχύτητα, στο περιήλιο και στο αφήλιο, νομίζω ότι προκαλούμε απόλυτη τρικυμία στη σκέψη του μαθητή…….
Στην ανάρτησή σου πετυχαίνεις ένα απόλυτο ξεκαθάρισμα των εννοιών…ιδιαίτερα χρήσιμο σε όσους πιστούς διδάσκουν ασκήσεις ΤΘΔΔ….. μόνο που δεν είμαι βέβαιος αν με το ξεκαθάρισμα παραβιάζεται το «επιτρεπτόν»….. του υπολογισμού της στροφορμής ως προς σημείο όταν η κίνηση δεν είναι κυκλική…
Η διατήρηση στροφορμής έχει τεράστια αξία και σημασία όταν εφαρμόζεται για στερεό σώμα όπου η μεταβολή της κατανομής της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής οδηγεί σε προβλέψιμες μεταβολές της γωνιακής ταχύτητας….Αυτό όμως μας τελείωσε…..
Αυτό που πρέπει να διδάξουμε από στροφορμή και διατήρηση στροφορμής υλικών σημείων είναι περιορισμένης έκτασης… ας το σεβαστούμε και ας μην προσπαθούμε να στήνουμε ερωτήματα που οδηγούν σε παρανοήσεις……
Γεια σου Άρη, μάλλον αναφέρεσαι σε αυτή την άσκηση
Νομίζω είναι θέμα προσέγγισης σε πρώτο δεκαδικό ψηφίο η όποια απόκλιση
Αν το 6,16 προσεγγιστεί ως 6,2 η διαφορά εξομαλύνεται …
Καλημέρα συνάδελφοι και καλή βδομάδα.
Άρη, Χρήστο και Θοδωρή σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και τις τοποθετήσεις σας.
Επειδή η χρήση των δύο παρατηρητών, μπορεί να μπερδέψει να ξεκαθαρίσουμε ότι μιλάμε για δύο ακίνητους παρατηρητές, που απλά «βλέπουν” την ίδια εικόνα, έχουν τις ίδιες μετρήσεις για ταχύτητες-δυνάμεις -επιταχύνσεις αλλά προβαίνουν σε διαφορετικές ερμηνείες, με βάση τους άξονες x,y που χρησιμοποιούν για να μελετήσουν την κίνηση. Ας δούμε κάτι ανάλογο από μια πιο γνωστή περίπτωση.
Ας έρθουμε στην γνωστή μας οριζόντια βολή, τη στιγμή που η μπάλα βρίσκεται στη θέση Β, έχοντας την ταχύτητα και την επιτάχυνση που δείχνει το σχήμα.
Έχουμε δύο ακίνητους παρατηρητές. Έναν στο Ο και έναν στο σημείο Κ, όπου την παραπάνω στιγμή είναι το κέντρο του κύκλου, ο οποίος προσεγγίζει την παραβολή στο σημείο Β.
Και οι δύο παρατηρητές βλέπουν την ίδια ταχύτητα και την ίδια επιτάχυνση.
Αν τους καλέσουμε να ερμηνεύσουν το τι συμβαίνει;
Ο παρατηρητής στο Ο, προτιμά να πει όλα αυτά τα γνωστά περί οριζόντιας βολής, μιλώντας για οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα… Αυτό κάνουμε όλοι μας μελετώντας την οριζόντια βολή.
Ο παρατηρητής στο Κ, έχει δικαίωμα να βλέπει κυκλική κίνηση, όπου αναλύοντας ταχύτητα (έτοιμη η ανάλυση…) και επιτάχυνση σε δύο άξονες, ο ένας στη διεύθυνση της ταχύτητα και ο άλλος στην διεύθυνση της ακτίνας ΚΒ, θα μιλήσει για επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση… για κεντρομόλο επιτάχυνση και για επιτρόχια επιτάχυνση. Ουσιαστικά άλλαξε άξονες ανάλυσης και εξηγεί τι συμβαίνει στους νέους άξονες που πήρε.
Ποιος έχει δίκιο;
Προφανώς οι δυο οπτικές γωνίες είναι ισοδύναμες, το τι επιλέγουμε εξαρτάται από το τι μας βολεύει και το τι ψάχνουμε…
Να επιστρέψω με κάτι ακόμη, συμφωνώντας με τον Άρη, που έγραψε παραπάνω ότι δεν χρησιμοποιείται η γωνιακή ταχύτητα στην πράξη. Και δεν χρησιμοποιείται αφού δεν εξυπηρετεί σε τίποτα, αντίθετα φέρνει άλλα προβλήματα. Ποια προβλήματα;
Ας δούμε την παρακάτω εικόνα που δείχνει την έλλειψη που διαγράφει η Γη κατά την περιφορά της γύρω από τον Ήλιο (όχι ακριβής ο σχεδιασμός της έλλειψης…)
Να τονίσω ποια ακτίνα μπαίνει στις παραπάνω εξισώσεις! Η ακτίνα καμπυλότητας, η ίδια και στα δυο σημεία (Π,Α) και όχι οι αποστάσεις της Γης από τον Ήλιο (ΠΗ) και (ΑΗ).
Βέβαια η ταχύτητα στο αφήλιο έχει μικρότερο μέτρο από την αντίστοιχη στο περιήλιο, οπότε και η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα θα έχει μικρότερο μέτρο από την αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα στο περιήλιο.
Καλημέρα Διονύση. Σε ευχαριστούμε για το κατατοπιστικότατο θέμα, αλλά και για τα επιπλέον σχόλια που ξεκαθαρίζουν την κατάσταση. Και ο νοών νοείτω όπως γράφεις…
Καλημέρα Διονύση. Παρα πολύ καλή ανάλυση του αντίστοιχου θέματος και εξίσου καλές οι παρεμβάσεις σου μετά.Διαφωτίζουν πλήρως αυτή την περίπτωση.
Γεια σου Διονύση, η διδακτική αξία της άσκησης σε συνδυασμό με τα σχόλια που την ακολουθούν τεράστια. Σε ευχαριστώ πολύ για την προσφορά σου και σε συγχαίρω για τον μοναδικό τρόπο να παρουσιάζεις ένα θέμα με τον διδακτικότερο δυνατό τρόπο!
Καλημέρα συνάδελφοι,
η εκκεντρότητα της τροχιάς της γης γύρω από τον ήλιο είναι e=0.007, συνεπώς αν κάποιος τοποθετήσει την ήλιο ως το κέντρο της “κυκλικής τροχιάς” της γης θα πέσει έξω στην ταχύτητα στο περιήλιο και στο αφήλιο σε πολύ μικρό ποσοστό.
Συγκεκριμένα λαμβάνοντας υπόψιν την ελλειπτικότητα της τροχιάς υπολογίζω vmax=30504.9 m/s και vmin=29511.5 m/s.
Με το μοντέλο της κεντρομόλου με το κέντρο του ήλιου στο κέντρο, umax=30114.4 m/s και umin=29615.5 m/s.
Tο ποσοστό λάθους είναι 0.35% για την ελάχιστη ταχύτητα και 1.28% για την μέγιστη.
Συνεπώς θεωρώ ότι το μοντέλο με την κεντρομόλο στο κέντρο του ήλιου δίνει εξαιρετικά αποτελέσματα και καλώς προτείνεται για εκτιμήσεις της ταχύτητας της γης.
Καλό μεσημέρι συνάδελφοι.
Αποστόλη, Γιώργο, Παύλο και Στάθη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Στάθη, συμφωνώ ότι η τροχιά θα μπορούσε να θεωρηθεί ΚΥΚΛΙΚΗ.
Αλλά αν το κάνουμε, τότε σε τι ακριβώς αποσκοπεί η ερώτηση; Τι θα εξέταζε;
Όλο το θέμα μπήκε για να μελετηθεί η διατήρηση της στροφορμής σε ελλειπτικη τροχιά. Ας δούμε την εκφώνηση του θέματος:
Όλο το ζήτημα στήνεται πάνω στην διαφορετική απόσταση του Ήλιου από περιήλιο και αφήλιο και αυτή η διαφορά οδηγεί και σε διαφορετικές τιμές του ω…
Καλησπέρα Διονύση. Αυτό που λέω είναι ότι οι δύο κύκλοι του σχήματος σου και η τροχιά της γης σχεδόν επικαλύπτοντσι.
Στάθη η εκκεντρότητα είναι 0.0167 και πάλι όμως τα ποσοστά λάθους είναι όντως μικρά 1,5% και 2%. Εξαρτάται τι προσέγγιση θες. Για το σχολείο σαφώς και δεν υπάρχει ζήτημα να θεωρηθεί κυκλική τροχιά. Με τη σελήνη τα πράγματα είναι διαφορετικά. Παρά το γεγονός ότι η εκκεντρότητα είναι 0.055 επειδή η γη και η σελήνη δεν κινούνται στο ίδιο επίπεδο το περίγειο παίζει μεταξύ 356400 km και 370400 km ενώ το απόγειο μεταξύ 404000 km και 406700 km. Σε επίπεδο σχολείου με μια κυκλική τροχιά ακτίνας 384400 km τα σφάλματα είναι σχετικά μικρά γύρω στο 3 με 4 %.
Καλησπέρα Άρη, σωστά, είναι e=0.017