-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Απλή αλλά ωραία ασκησούλα πριν από 1 εβδομάδα, 2 μέρες
Kαλημερα συναδελφοι και καλη Ανάσταση.Ελπιζω να δωσετε όμορφες λύσεις (όπως λέει και ο Γιάννης 🙂 )
-
H/o Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος έγραψε ένα νέο άρθρο πριν από 1 εβδομάδα, 2 μέρες
Απλή αλλά ωραία ασκησούλα
Αν η ευθεία y=kx διχοτομεί την γωνία μεταξύ των ευθειών y=3x και y=x ,να βρεθεί το k. -
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Aπόδειξη μόνο με μία εικόνα. πριν από 1 εβδομάδα, 5 μέρες
Ευχαριστω Γρηγορη.Χαιρομαι που σου αρεσει.
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Aπόδειξη μόνο με μία εικόνα. πριν από 1 εβδομάδα, 6 μέρες
Μαλλον η αναρτηση αυτη δεν ταιριαζει στο Φόρουμ, που οπως λέει και ο Γιάννης ειναι το καφενειο μας,αφου ειναι μονο ενα σχήμα,χωρις καθολου λόγια,ενω στα καφενεια γινεται κουβεντούλα. 🙂
Δεν ξερω πως κατασκευασε καποιος αυτην την λυση,(Μαλλον συμπτωματικα ενω δουλευε πανω σε κατι αλλο),ομως το σχημα μόνο του, ειναι πολυ ισχυρο Hint για να τη…[Περισσότερα] -
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Aπόδειξη μόνο με μία εικόνα. πριν από 2 εβδομάδες
Καλησπερα Διονύση Αποστόλη και Γιάννη.
Ειπε ο Γιάννης τι ειναι. Με τι ισουται η Γεωμετρικη σειρα στην περιπτωση που ο λόγος ειναι μικροτερος της μοναδας και θετικος. -
H/o Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος έγραψε ένα νέο άρθρο πριν από 2 εβδομάδες
Aπόδειξη μόνο με μία εικόνα.
Ανάρτηση κατά της πολυλογίας. -
Καλό απόγευμα Κωνσταντίνε.
Τώρα πες μας και το θέμα 🙂 -
Γεια σου Διονύση. Όπως λέει κι ο Στέφανος Τραχανάς: Ιδού η απάντηση. Ποιο είναι το ερώτημα;
-
Αν κατάλαβα αποδεικνύεται μια ταυτότητα με σχήμα. Ωραίο.
-
Καλησπερα Διονύση Αποστόλη και Γιάννη.
Ειπε ο Γιάννης τι ειναι. Με τι ισουται η Γεωμετρικη σειρα στην περιπτωση που ο λόγος ειναι μικροτερος της μοναδας και θετικος. -
Μαλλον η αναρτηση αυτη δεν ταιριαζει στο Φόρουμ, που οπως λέει και ο Γιάννης ειναι το καφενειο μας,αφου ειναι μονο ενα σχήμα,χωρις καθολου λόγια,ενω στα καφενεια γινεται κουβεντούλα. 🙂
Δεν ξερω πως κατασκευασε καποιος αυτην την λυση,(Μαλλον συμπτωματικα ενω δουλευε πανω σε κατι αλλο),ομως το σχημα μόνο του, ειναι πολυ ισχυρο Hint για να την καταλαβουμε,σχεδον ισοδυναμο με την λυση αυτη καθαυτη.
Μια ωραια ασκηση σε μαθητη Λυκειου που του αρεσουν τα Μαθηματικα,ειναι να δωσει κανεις το σχημα και να του πει να γραψει αναλυτικα την λυση εξηγωντας καθε λεπτομερεια που υπαρχει στο σχημα. -
Γεια σου Κωνσταντίνε. Ωραίο.
-
Ευχαριστω Γρηγορη.Χαιρομαι που σου αρεσει.
-
Κωνσταντίνε, καλησπέρα
Πρωτότυπος και ευφυέστατος τρόπος υπολογισμού του αθροίσματος άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο μικρότερο από τη μονάδα. Αν θυμάμαι καλά προόδους (εκτός από αρμονικές) κάνουν στη 2η Λυκείου. -
Καλημέρα Ντίνο. Ναι πολυ εξυπνη λυση. Την ειδα καπου ανώνυμα. Ναι προόδους κανουν στην Β’ Λυκείου. Σε ευχαριστώ πολύ γιά το σχόλιο. Καλή Ανάσταση.
-
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Πως πρέπει να κινηθεί το καγιάκ; πριν από 2 εβδομάδες
Αυτο που ειναι σημαντικο ειναι οτι οταν κανεις διαβαζει αρκετά και ασχολειται,το μυαλο βρισκει τον τροπο να ανακαλυπτει διαδρόμους κανοντας απιθανους συσχετισμους με φαινομενικα ασχετες περιπτωσεις. Και μετα σου λεει ο αλλος μα πως το σκεφτηκε? Η απαντηση ειναι,μετα απο ατελειωτες ωρες ενασχολησης.Δεν εννοω οτι το συγκεκριμενο προβλημα ειναι π…[Περισσότερα]
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Πως πρέπει να κινηθεί το καγιάκ; πριν από 2 εβδομάδες
Θελουμε την μεγιστη γωνιακη αποκλιση σε σχεση με την ταχυτητα του ρευματος. Εχει καμια σχεση αυτο με κρουσεις? Οχι! Ομως τα σχηματα στην σελιδα 4 της λυσεως του προβληματος Mέγιστη γωνιακή απόκλιση σε ελαστική κρούση. με βοηθησαν να σκεφτω την λυση! Εντυπωσιακο αφου σου αρεσουν οι αναλογιες ετσι?
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Πως πρέπει να κινηθεί το καγιάκ; πριν από 2 εβδομάδες
Γεια σου Γιαννη. Επειδη μου φανηκε σχετικα απλο εχω την υποψια οτι υπαρχει πιθανοτητα να κανω λαθος.
Αν ο κωπηλατης δεν κωπηλατησει καθολου,θα εχει την ταχυτητα 4m/s παραλληλα με το ποταμι. Αν κωπηλατησει θα εχει το αθροισμα της δικης του που ειναι 2m/s με οποιαδηποτε διευθυνση συν αυτη που θα ειχε αν δεν κωπηλατουσε.Αρα για να φτασει απεναντι…[Περισσότερα] -
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Σε πόσο χρόνο θα φτάσει στο άλλο άκρο; πριν από 2 εβδομάδες, 6 μέρες
Καλημέρα Γιάννη. Ωραιο θεμα που αν και δυσκολο,αν δεν ηταν το στερεό εκτος, θα μπορουσε να ειναι εντος υλης. Την ταχυτητα που αποκτα η μπαλα,και τον απαιτουμενο χρονο εως την στιγμη που θα σταματησει η ολισθηση,εγω τα βρήκα,οχι τοσο ωραια οπως εσυ,αλλα ως εξης: Aν υποθεσω οτι R=1 για ευκολια,τοτε η επιταχυνση ειναι οπως λες και εσυ α=Τ/m…[Περισσότερα]
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Κύλιση χωρίς ολίσθηση πριν από 3 εβδομάδες, 2 μέρες
Γεια σας Παύλο,Γιάννη Διονύση ,Παντελή.Παυλο πολυ ωραια ασκηση. Γραφεις στην λυση :”Το σημείο επαφής Ε του δίσκου με το οριζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο κυλιέται χωρίς
να ολισθαίνει έχει κάθε χρονική στιγμή επιτάχυνση ίση με την κεντρομόλο επιτάχυνση
που έχει κατακόρυφη διεύθυνση.”
Αυτο κατα την γνωμη μου δεν ειναι τοσο προφανες και θελει καπο…[Περισσότερα] -
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Αβαρές και μη εκτατό νήμα πριν από 3 εβδομάδες, 3 μέρες
Δεν λεω Γιαννη οτι οι προσομοιωσεις δεν εχουν αξια. Η προσομοιωση μας καθοδηγει οταν δεν εχουμε ιδεα τι προκειται να συμβει,ειναι μεν χρησιμο εργαλειο,αλλα χωρις την θεωρητικη τεκμηριωση,ενα ερωτημα δεν εχει απαντηθει. Η απαντηση οτι θα γινει αυτο ή το αλλο διοτι το δειχνει η προσομειωση,δεν ειναι αποδεκτη απαντηση κατα την γνωμη μου.
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Αβαρές και μη εκτατό νήμα πριν από 3 εβδομάδες, 3 μέρες
Οχι απλως μονοδιαστατη κινηση Γιάννη. Εννοεις οι σφαιρες να κινουνται στον ιδιο αξονα. Γιατι αν κινουνται σε παραλληλους αξονες οταν το νημα δεν ειναι τεντωμενο,παλι η κινηση μονοδιαστατη ειναι αλλα oταν το νημα τεντωθει,τοτε οι ταχυτητες σχηματιζουν γωνια με το νημα..
Το θεμα ειναι οτι σε αυτη την περιπτωση ολοι παιρνουμε το τεντωμα του ιδα…[Περισσότερα] -
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Αβαρές και μη εκτατό νήμα πριν από 3 εβδομάδες, 3 μέρες
Καλημερα Γιαννη. Mη εκτατο σημαινει εξ ορισμου οτι εχει σταθερο μηκος. Ειτε οταν εχει το σχημα μιας καμπυλης ειτε οταν τεντωνεται και εχει το σχημα ενος ευθυγραμμου τμηματος.Το τι συμβαινει με τις ταχυτητες δεν μπορει να περιεχεται στον ορισμο, πρεπει να ειναι συμπερασμα που προκυπτει απο το σταθερο μηκος. Εγω δεν εχω καταλαβει γιατι οταν ενα…[Περισσότερα]
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Αβαρές και μη εκτατό νήμα πριν από 3 εβδομάδες, 3 μέρες
Kαλησπερα σε ολους.Κατ αρχην συμφωνω με τον Διονύση. Νομιζω επισης οτι μεταξυ χιλιαδων εξεταστων θα βρεθει σιγουρα και ο παλαβος που θα κοψει μορια για τον πιο απιθανο λογο.Δεν ειναι δυνατον να γραφουμε εχοντας στο μυαλο μας εναν τετοιο εξεταστη. Ενας κανονικος εξεταστης ακομα και απλώς να φαινονται δυο αντιθετες δυναμεις στα ακρα ενος αβαρους…[Περισσότερα]
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Αβαρές και μη εκτατό νήμα πριν από 3 εβδομάδες, 4 μέρες
Καλημερα Γιωργο. Και εγω συμφωνω μαζι σου και η λογικη του γιατι οι δυναμεις που δεχονται τα δυο σωματα στα ακρα του νηματος ειναι αντιθετη,φαινεται και στο πρωτο σχόλιο του Γιαννη με τα σχηματα. Ομως ειμαι της αποψης οτι δεν χρειαζεται να επαναλαμβανουμε αυτη την λογικη καθε φορα που συνανταμε την περιπτωση,δηλαδη στην ουσια να αποδεικ…[Περισσότερα]
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Αβαρές και μη εκτατό νήμα πριν από 3 εβδομάδες, 5 μέρες
Καλημερα Μανώλη, Γιάννη και σε ολη την παρεα και καλή Κυριακη. Το αβαρές και μη εκτατό νημα ειναι ενα φανταστικο αντικειμενο το οποιο εχει καποιους κανονες χειρισμου τους οποιους αφου οι μαθητες καταλαβουν την λογική τους, πρεπει να τους μαθουν και να τους εφαρμοζουν.To τεντωμενο άμαζο νημα ειναι ενα αντικειμενο το οποιο δεν ασκει το ιδι…[Περισσότερα]
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Ένας χαριτωμένος γρίφος. πριν από 1 μήνα
Kαλημερα Γιαννη. Αυτη η ερωτηση τυπου PISA που προτεινεις εχει μεγαλυτερο εκπαιδευτικο ενδιαφερον απο το αρχικο προβλημα το οποιο με τον ενα η με τον αλλο τροπο τελικα λυνεται μαλλον ευκολα. Ολοι οι μαθητες με το ματι θα απαντησουν οτι τα κοκκινα εχουν μεγαλυτερο συνολικο εμβαδον . Πως ομως θα το δικαιολογησουν? Ειναι ενα ωραιο παραδειγμα πρ…[Περισσότερα]
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Ξεκινάει κι έχει ο …καιρός γυρίσματα. πριν από 1 μήνα
Kαλημερα Παντελή και σε ολη την παρεα και καλη Κυριακή . Κατ αρχην Παντελη η ασκηση ειναι μια χαρα δεν θεωρω οτι πρεπει να διορθώσεις κατι,απλως με ενδιαφερει το θεμα της χρήσεως λεξεων εκ της καθομιλουμένης,οι οποιες ομως στην περιπτωση μας εχουν αυστηρο μαθηματικο περιεχομενο,χωρις προηγουμενως να εχουν οριστει. Ειχαμε μια συζητηση στην οποια…[Περισσότερα]
-
Ο/η Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος σχολίασε το άρθρο Ξεκινάει κι έχει ο …καιρός γυρίσματα. πριν από 1 μήνα
Καλημερα Παντελή. Ωραια ασκηση και δύσκολη,καλή και για παιδιά που ψάχνονται και για καθηγητές που ψάχνονται. 🙂 .
Ηθελα να κανω ενα σχόλιο σχετικα με το πρωτο ερωτημα. Η εννοια “ξεκινά”,κατα την γνώμη μου πρεπει να οριστει πριν χρησιμοποιηθει. Ειναι προφανης? Σου λεω οτι παλιά συζηταγαμε τρεις μέρες με τον Διονύση Μητρόπουλο και τον Γιάννη…[Περισσότερα] - Φόρτωσε Περισσότερα
Kαλημερα συναδελφοι και καλη Ανάσταση.Ελπιζω να δωσετε όμορφες λύσεις (όπως λέει και ο Γιάννης 🙂 )
Kαλημέρα Κωνσταντίνε.
Η (επ)ανάσταση τουλάχιστον στη Φυσική έρχεται οσονούπω.
Γνωρίζοντας την αγαπη του Γιάννη στην γεωμετρια χρησιμοποίησα το θεώρημα των διχοτόμων.
Αλλά είναι συνήθης. Μη μου πεις ότι χρησιμοποιησες ελατηρια…
Τα μεγαλα πνευματα συναντώνται Γιώργο! Και εγω με θεωρημα διχοτομων το εκανα.
Γεια σας παιδιά.
Φυσικά θεώρημα διχοτόμων και…
https://i.ibb.co/s9cyMgmP/44.png
Καλημέρα Κωνσταντινε. 1,618;
Τόσο είναι Γιώργο.
Εγω το εγραψα ετσι:Aν θεωρησουμε την γραμμη x=1 τοτε αυτη τεμνει τις x=y,x=ky x=3y στα σημεια A(1,1) B(1,k) , Γ(1,3) Απο θεωρημα διχοτομων εχουμε BΓ/BA=OΓ/OA ,οπου Ο ειναι η αρχη των αξονων.Αρα με ολιγο Πυθαγορα Σαμιο παιρνουμε 3-k/k-1=sqrt(10)/sqrt(2) ή k=(1+sqrt(5))/2 που με συζυγη παρασταση βγαίνει ιδιο με του Γιάννη.
Το ιδιο καναμε Γιάννη 🙂
Γεια σας Γιαννη και Γιωργο. Γιαννη το ιδιο βρισκουμε. Γιωργο ναι τοσο ειναι αλλα πρεπει να το λυσεις θεωρητικα χωρις να πας σε πινακες που να σου δινουν εφαπτομενες και τοξα εφαπτομενης γωνιων. Ειναι προφανες οτι η λυση ειναι tan((Arctan3-Αrctan1)/2).Θελουμε ομως θεωρητικη λυση.
Ακριβώς το ίδιο.
Όμως γράφαμε μαζί.
Γιάννη το μηκος 2-d ,στο σχημα σου που ειναι το ευθ. τμημα ΒΓ με την αγκύλη,το εχεις σημειωσει 3-d. Aν μπορεις διορθωσε το για να μην μπερδευει.
Μια λύση:
https://i.ibb.co/PspK2m4H/87.png
Διόρθωσα.
Σωστά Γιώργο.Το κλασμα με τις ριζες ειναι οκ μιά χαρά το εκανες.
Το αποτελεσμα με το ματι μόνο ειναι tan[π/4 +((Arctan3-Αrctan1)/2)]. Ενας υπολογιστης δινει 1,618,αυτο ομως δεν ειναι λυση,αυτο εννοουσα.
Τελικά ολοι σκεφτηκαμε θεωρημα Διχοτόμων. Μας εχει εκπαιδευσει ο Κυριακοπουλος μου φαινεται 🙂
Aλλη λυση: To Μοναδιαιο διανυσμα κατα μηκος της y=3x ειναι α=(i+3j)/ριζα10
Το μοναδιαιο διανυσμα κατα μηκος της y=x ειναι b=(i+j)/ριζα2
Το διανυσμα α+b ειναι κατα μηκος της y=kx (γιατι;) η κλιση του οποιου ισουται με k. H κλιση ομως του α+b ισουται με το λογο των μετρων των y,x συνιστωσων του i.e. (3+ριζα5)/(1+ριζα5)
Κωνσταντίνε. Tο έκανα με το θεώρημα των διχοτόμων.
Από τη θέση x=1 φέρνω παράλληλη στον y και έχω από το θεώρημα τον λόγο των τμημάτων που κόβει η διχοτόμος όσο με ✓5 και την βάση του τριγώνου ίση με 2
Άρα το κάθετο τμήμα στον x είναι ,2(1/(✓5 +1))+1=(3+✓5)/(1+✓5)=1,618
Άρα κλίση =1,618/1=1,618.
Μετα το έκανα όπως το λες
Αρκεί σε σημείο χ του άξονα 0χ να φέρω κάθετο στον 0χ ή σε σημειο ψ του 0ψ κάθετο στον 0ψ για να σχηματιστει τριγωνο. συντεταγμένες χ,ψ απλοποιούνται.
Nαι Γιώργο σωστο. Η επιλογη x=1 ειναι προσωπικος τροπος διατυπωσης.Η πιο γενικη μεθοδος που λες ειναι πολυ καλη.
Καλημέρα σε όλους. Μια διαφορετική (όχι πιο απλή) λύση και από μένα στο ωραίο πρόβλημα του Κωνσταντίνου. Καλές γιορτές σε όλους.
https://i.ibb.co/Xfd97btP/kvn-nos-1775699071-2295.jpg
Συνέχεια: Η αρνητική τιμή του κ απορρίπτεται. Για Β(-1,-κ) κ>0, από τύπο απόστασης δεκτή η τιμή στο ggb.
A(1,k) στην y=kx =>d(A,y=3x)=d(A,y=x)<=>k=οι τιμές στο ggb.
https://i.ibb.co/35KVq05c/21.jpg
Μία τριγωνομετρική λύση, με δεδομένα εφ45=1, ημ45=συν45 (προκύπτουν γεωμετρικά). Ισχύει
εφ(α+β)=(ημασυνβ+ημβσυνα)/(συνασυνβ-ημαημβ).
Τότε:
εφ(45+2θ)=(ημ45συν2θ+ημ2θσυν45)/(συν45συν2θ-ημ2θημ45)=
(συν2θ+ημ2θ)/(συν2θ-ημ2θ)=3
Άρα συν2θ=2ημ2θ οπότε συν²θ-ημ²θ=4ημθσυνθ.
ή ημ²θ+4συνθημθ-συν²θ=0.
Με √Δ=2√5 συνθ.
Άρα ημθ=(√5-2)συνθ(1)
Τότε εφ(45+θ)=(συνθ+ημθ)/(συνθ-ημθ).
Με αντικατάσταση της(1) προκύπτει Κ=(√5-1)/(3-√5).
Διαδρομή Λαμία Γραβιά μέσω Αράχωβας και Δελφών
Καλησπερα Κωνσταντίνε, Σπύρο και Θύμιο.Ευχαριστω για τις Λυσεις σας με αναλυτικη Γεωμετρια,oλιγον γραμμικη αλγεβρα και τριγωνομετρια αντιστοιχα 🙂
Ετσι για παιχνιδι ψαχνοντας να δωσω λυση με εμβαδα κατεληγα στο αξιοπρεπες 0=0.
Αλλά αφου είχα βρει τα υψη d1, d2 ψάχνοντας γιατι η ταυτοτητα είπα προφανως αφου κάθε σημειο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές.
https://i.ibb.co/S4FC7RkK/Konst.jpg
Ωραίο Γιώργο.Το γενικεύσες και το έλυσες με αποσταση σημείου από ευθεία.