Μπατατέγας Νικόλαος

Καλημέρα Νικόλαε.

Το ερώτημα δεν είναι "εκτός ύλης" αλλά τι ακριβώς αναζητούμε;

Καλησπέρα Νικόλαε.

Ένα σώμα που εκτελεί ταλάντωση που παρουσιάζει διακροτήματα έχει κινητική ενέργεια, η οποία δίνεται από την γνωστή μας σχέση.

Αλλά ΔΕΝ έχει δυναμική ενέργεια!

Δεν υπάρχει στην περίπτωση αυτή καμιά "ενέργεια ταλάντωσης" όπως έχουμε σε μια ΑΑΤ, ούτε καμιά μετατροπή ενέργειας από κινητική σε δυναμική.

Καλησπέρα Νίκο. Η κίνηση ενός σώματος, που δημιουργούνται διακροτήματα, δεν είναι α.α.τ., άρα δεν υπάρχει δύναμη επαναφοράς της μορφής F = -Dx, που θα δώσει (από τη σχέση F = -dU/dx) δυναμική ενέργεια. Και αφού δεν ορίζεται δυναμική ενέργεια, δεν υπάρχει και μέγιστη τιμή της.

Σωστά όλα αυτά.Αλλά το ερώτημα παραμένει .Αφού η ταχύτητα του σώματος αλλάζει, θα αλλάζει και η κινητική του ενέργεια( θα αυξομειώνεται και σε ορισμένες στιγμές θα μηδενίζεται).Επομένως στα χρονικά διαστήματα που μειώνεται , ένα μέρος αυτής σε τι μετατρέπεται;;;

Καλησπέρα Νίκο.

Αν το διακρότημα έχει προκύψει από εξαναγκασμένη ταλάντωση, τότε ο διεγέρτης προσθαφερεί ενέργεια από ή στον ταλαντωτή.

Αν πρόκειται για συζευγμένες ταλαντώσεις, η ενέργεια του ταλαντωτή έχει μεταφερθεί στον άλλον ταλαντωτή.

Η απάντηση εξαρτάται από την περίπτωση που έχουμε.

Καλησπέρα Νικόλαε, καλησπέρα Γιάννη.

Το ότι αυξομειώνεται η κινητική ενέργεια, δεν σημαίνει ότι υποχρεωτικά πρέπει να έχω και δυναμική ενέργεια, στην οποία μετατρέεπται η κινητική. Ας δούμε το σχήμα:

 Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή δέχεται μια μεταβλητή δύναμη, η οποία αλλάζει κάποια στιγμή και κατεύθυνση (εκτός του μέτρου που είναι μεταβλητό…). Το σώμα αρχικά επιταχύνεται η κινητική του ενέργεια αυξάνεται, αλλά στη συνέχεια η δύναμη του αφαιρεί ενέργεια (αρνητικό έργο) με αποτέλεσμα να επιβραδύνεται …

Σε όλη αυτή την αυξομείωση της κινητικής ενέργειας, υπάρχει και μια παρόμοια μεταβολή δυναμικής; Όχι δεν υπάρχει τέτοια ενέργεια…

Στο παράδειγμα το σώμα χάνει ή κερδίζει κινητική ενέργεια μέσω του έργου της δύναμης.( εφόσον δεν υπάρχουν άλλες δυνάμεις που να παράγουν έργο). Στο διακρότημα από ποιον κερδίζει  ή χάνει κινητική ενέργεια το σώμα ;;;Μια απάντηση έδωσε ο συνάδελφος Γιάννης.Το σχολικό βιβλίο αναφέρει σύνθεση 2 Α.Α.Τ. και όχι υποχρεωτικά εξαναγκασμένων ή συζευγμένων.Μπορείς συνάδελφε Γιάννη να δώσεις μια τέτοια διάταξη και στις δυο περιπτώσεις που αναφέρεις.Τέλος πως μεταβάλλεται η δύναμη που ασκείται στο σώμα όταν εκτελεί την σύνθετη ιδιόμορφη ταλάντωση;;; Τι είδους δύναμη είναι αυτή και δεν είναι ανάλογη της απομάκρυνσης;;; Ευχαριστώ και πάλι.

Καλημέρα Νικόλαε.

Έχεις δίκιο ότι το βιβλίο μιλάει για 2 ΑΑΤ.

Και όμως δεν υπάρχουν ΑΑΤ.

Διακροτήματα παράγονται (ο όρος παραπέμπει σε ήχο) κυρίως σε εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (ο Γιάννης ανέφερε και τις συζευγμένες παραπάνω…).

Αν στο τύμπανο του αυτιού μου πέσουν δυο ήχοι με παραπλήσια συχνότητα:

Εξαιτίας κάθε ήχου το τύμπανο δεν εκτελεί ΑΑΤ, αλλά εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Η παραμόρφωση του τυμπάνου συνοδεύεται από κάποια δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης, αλλά αυτή δεν συνδέεται άμεσα με αυτό που λέμε δυναμική ενέργεια στην ΑΑΤ.

Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, κάποια στιγμή το ταλαντούμενο σύστημα  μπορεί να δίνει ενέργεια στο διεγέρτη. Έτσι και το τύμπανο μπορεί να λειτουργήσει ως πηγή, παράγοντας δευτερογενές κύμα και αποβάλλοντας ενέργεια, πέρα από τις υπάρχουσες αποσβέσεις.

Αλλά δίνω και μια παλιότερη συζητήση, πάνω στο ίδιο θέμα:
Διακρότημα και ενέργεια
 

Μια προσομοίωση εξαναγκασμένης ταλάντωσης.

Αν τρέξει όπως είναι θα έχουμε ένα διακρότημα.

Καλησπέρα. Ας μου επιτραπεί να διαφωνήσω με την θέση ότι δεν ορίζεται δυναμική ενέργεια σ’ ένα μηχανικό διακρότημα. Ας πάρουμε το παράδειγμα του ταλαντωτή ελατηρίου μάζας σε οριζόντιο λείο επίπεδο. Αν κάποια στιγμή αρχίσει να δρα στον ταλαντωτή δύναμη διέγερσης Fδ=F0ημωt τότε όπως προκύπτει από την αντίστοιχη ΔΕ ο ταλαντωτής θα αρχίσει να κάνει ταλάντωση που είναι συνισταμένη δύο αατ. Μιας με συχνότητα την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή και μιας με την συχνότητα του διεγέρτη. Αν οι συχνότητες είναι παραπλήσιες η ταλάντωση θα έχει αυξομειούμενο πλάτος (διακρότημα). Η ολική δύναμη στη μάζα είναι         F = -kx+ F0ημωt η οποία προφανώς μπορεί να προκύψει  (F = -dU/dx) από την συνάρτηση δυναμικής ενέργειας   U = 1/2kx^2-xF0ημωt.  Βέβαια επειδή η δυναμική αυτή ενέργεια έχει άμεση εξάρτηση από το χρόνο , η μηχανική ενέργεια K+U  δεν διατηρείται.

Καλημέρα Ιάκωβε.

Να ξεκινήσω από το τελευταίο, όπου υπάρχει συμφωνία και να έλθουμε αργότερα στη …διαφωνία!

Στο λίνγκ που έδωσα παραπάνω, είχα γράψει, το σχόλιο εδώ.

Αν υπολογίσουμε το «πλάτος» της ιδιόμορφης αυτής ταλάντωσης τη στιγμή t=15s, θα το βρούμε μηδενικό.

Δηλαδή, έστω ότι κάποιος υποθέτει ότι υπάρχει ντε καλά δυναμική ενέργεια. Δεν υπάρχει όμως καμιά ενέργεια η οποία να διατηρείται κατά τη διάρκεια της παραπάνω κίνησης.

Και πρέπει να είναι σαφές, γιατί μιλάμε, γιατί χρησιμοποιούμε την ενεργειακή μελέτη!

Χρησιμοποιούμε όρους ενεργειακούς για να έχουμε να υπολογίζουμε ποσότητες; Να τις κάνουμε τι;

Τότε να ζητήσω και γω να υπολογιστεί η ποσότητα Ε= 3/4 mω5χ3, την οποία θα ονομάσουμε:

αειγρενεκημινάδυ

Τι λέτε παιδιά, έχει καμιά αξία η ποσότητα αυτή; Να την κάνουμε τι; Ποιο φυσικό περιεχόμενο θα της αποδώσουμε;

Αν λοιπόν δεν έχουμε καμιά διατήρηση του αθροίσματος Κ+U, γιατί καθόμαστε και σκεφτόμαστε ενεργειακά στην περίπτωση του διακροτήματος; Εντάξει το υλικό σημείο θα έχει κινητική ενέργεια. Ε!!! και λοιπόν, ας υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια, αν θέλουμε και τέλος…

Καλημέρα και πάλι Ιάκωβε.

1) Μας δίνεται ότι ένα σώμα μάζας m=1kg εκτελεί μια ΑΑΤ της μορφής του σχήματος:

-Τι ενέργεια έχει το σώμα στη θέση Γ; Προφανώς μόνο κινητική. Πόση; Ίση με 12,5J!

Νομίζω ότι όλοι συμφωνούμε σε αυτό.

2) Ένα σώμα μάζας m=1kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση της μορφής:

Έχει κάποιο νόημα να εμπλέξουμε στη συζήτησή μας τη δυναμική ενέργεια; Γιατί;

3) Ας έρθουμε τώρα σε ένα σώμα μάζας m=1kg το οποίο εκτελεί κίνηση της μορφής

Όπου προέκυψε όταν ένα σώμα δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου μάζας m=1kg τέθηκε σε ταλάντωση με την επίδραση αρμονικής δύναμης. Η γωνιακή συχνότητα της κίνησης είναι 200rad/s και η περίοδος του διακροτήματος είναι Τδ=0,1π. Η απομάκρυνση στη θέση Β είναι 0,5m.
-Έχει δυναμική ενέργεια το σώμα στη θέση Β; Προφανώς το ελατήριο έχει παραμορφωθεί κατά 0,5m άρα έχει.
Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του σώματος στη θέση Β; Μήπως είναι ίση με:

Αλλά έστω ότι γνωρίζαμε τη σταθερά του ελατηρίου. Πόση είναι η δυναμική και η κινητική ενέργεια στη θέση Γ; Προφανώς είναι μηδενική!!! Δεν υπάρχει κάποια διατήρηση ενέργειας, αφού η εξωτερική περιοδική δύναμη αφαίρεσε την ενέργεια που είχε το σώμα στη θέση Β, μέχρι να φτάσει  στη θέση Γ…
4) Τα πράγματα θα γίνουν ακόμη χειρότερα αν μιλήσουμε για δυο ήχους με συχνότητες 30Ηz και 34Ηz που πέφτουν στο τύμπανο του αυτιού μας και εμείς ακούμε ένα ήχο με συχνότητα 32Ηz με αυξομοιώσεις. Για ποια δυναμική ενέργεια θα μιλήσουμε; Προφανώς του τυμπάνου.
Και τι σχέση έχει η δυναμική ενέργεια αυτή με τους  δυο παραπάνω ήχους στην περίπτωση που x=0,02m;
Αν δηλαδή οι δυο αυτοί ήχοι αντικατασταθούν με δυο άλλους με συχνότητες 40Ηz και 43Ηz, τότε για απομάκρυνση x=0,02m θα είχαμε διαφορετική δυναμική ενέργεια;

Ιάκωβε, δεν συζητάμε γιατί και πότε έχει νόημα να μιλάμε για δυναμική ενέργεια.

Προφανώς υπάρχει και συνδέεται με την συντηρητική δύναμη που ασκείται στο σώμα.

Παραπάνω έγραψα μερικά πράγματα αναλυτικά.

Μην μου απαντάς με παραπομπές από βιβλία.

Ή αυτά που γράφω έχουν λογική ή είναι λάθος, οπότε περιμένω να μου πεις πού είναι το λάθος.

Όχι πώς συνδέεται  η δυναμική ενέργεια με την συντηρητική δύναμη!!!

Όσον αφορά τα παραδείγματα σου. Εκτός από την δυναμική ενέργεια λόγω της δύναμης του ελατηρίου υπάρχει και δυναμική ενέργεια (χρονοεξαρτώμενη) λόγω της δύναμης του διεγέρτη.

Μάλλον Ιάκωβε δεν διαβάζεις καθόλου αυτά που γράφω… Απλά διαφωνείς!

Αν διάβαζες τις τοποθετήσεις μου θα είχες διαβάσει στο σχόλιό μου εδώ, ένα παράδειγμα που ΔΕΝ υπάρχει δυναμική ενέργεια:

" Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή δέχεται μια μεταβλητή δύναμη, η οποία αλλάζει κάποια στιγμή και κατεύθυνση (εκτός του μέτρου που είναι μεταβλητό…). Το σώμα αρχικά επιταχύνεται η κινητική του ενέργεια αυξάνεται, αλλά στη συνέχεια η δύναμη του αφαιρεί ενέργεια (αρνητικό έργο) με αποτέλεσμα να επιβραδύνεται …"

Αμέσως μετά εδώ, δέχομαι την δυναμική ενέργεια…

"Αν στο τύμπανο του αυτιού μου πέσουν δυο ήχοι με παραπλήσια συχνότητα:

Εξαιτίας κάθε ήχου το τύμπανο δεν εκτελεί ΑΑΤ, αλλά εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Η παραμόρφωση του τυμπάνου συνοδεύεται από κάποια δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης, αλλά αυτή δεν συνδέεται άμεσα με αυτό που λέμε δυναμική ενέργεια στην ΑΑΤ."

Στο σημερινό μου σχόλιο παραπάνω, δίνω παράδειγμα εξαναγκασμένης  όπου καταλήγω ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε δυναμική ενέργεια, παρότι υπάρχει.

Στο 3ο παράδειγμα αναφέρομαι σε διακρότημα και υποστηρίζω ξανά ότι υπάρχει αλλά δεν μας χρειάζεται και δεν πρέπει να μας απασχολεί.

Στο 4ο παράδειγμα επιστρέφω ξανά στο τύμπανο και θέτω θέμα ότι η δυναμική του ενέργεια δεν καθορίζεται από τις συχνότητες των δύο ήχων και δεν υπάρχει καμιά σύνδεση της μελέτης του διακροτήματος με την δυναμική ενέργεια του τυμπάνου…

Και μετά από όλα αυτά με καλείς να δηλώσω τι;  "αν υπάρχει δυναμική ενέργεια";

Μάλλον κακώς κάθομαι και γράφω τρεις ώρες από το πρωί…

Διαφωνώ ότι υπάρχει δυναμική ενέργεια που συνδέεται με χρονοεξαρτώμενη δύναμη.

Κάθετη διαφωνία…

Καλησπέρα συνάδελφοι.

Αν θυμάμαι καλά στο βιβλίο του Taylor, δίνεται ως παράδειγμα μίας χρονικά μεταβαλλόμενης δυναμικής ενέργειας, η περίπτωση όπου μία αγώγιμη φορτισμένη σφαίρα χάνει φορτία μέσω γείωσης. Έχω δε την εντύπωση ότι συστήματα χρονοεξαρτώμενων δυναμικών έχουν εφαρμογή κατά κύριο λόγο στην κβαντική θεωρία και ότι ο Taylor, ως καλός δάσκαλος, εισάγει αυτά τα ψευδο -δυναμικά σε ένα βιβλίο κλασσικής μηχανικής, κυρίως για εκπαιδευτικούς σκοπούς. 

Προσωπικά δεν έχω πρόβλημα στο αν θα ορίσουμε ένα τέτοιο δυναμικό σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, ως μια μαθηματική εξάσκηση, αρκεί να είμαστε προσεκτικοί στα συμπεράσματά μας. Αλλά δεν βλέπω άλλο λόγο πέραν αυτού για να το κάνουμε (ποια για παράδειγμα θα ήταν η φυσική σημασία αυτού του δυναμικού;). Αν θέλεις Νικόλαε θα μπορούσες να γράψεις ένα κείμενο με μία τέτοια ανάλυση, ώστε να τοποθετηθούμε εκ νέου και συγκεκριμένα. Μπορεί να έχεις κατα νού κάτι που διαφεύγει από τις εως τώρα τοποθετήσεις. 

Όσον αφορά στο ερώτημα, αν στο διακρότημα η ενεγειακή μελέτη είναι εντός ύλης, νομίζω πως είναι ξεκάθαρη η απάντηση: όχι!

Ιάκωβε, τι να γίνει;

Μπορεί να βρίσκομαι σε αντίθεση με την “παγκόσμια βιβλιογραφία”!!! αφού επιμένω ότι δεν ορίζεται δυναμική ενέργεια που να οφείλεται σε χρονοεξαρτώμενη δύναμη.

Ο Στάθης, προέβλεψε ” δίνεται ως παράδειγμα μίας χρονικά μεταβαλλόμενης δυναμικής ενέργειας, η περίπτωση όπου μία αγώγιμη φορτισμένη σφαίρα χάνει φορτία μέσω γείωσης….ότι ο Taylor, ως καλός δάσκαλος, εισάγει αυτά τα ψευδο -δυναμικά σε ένα βιβλίο κλασσικής μηχανικής, κυρίως για εκπαιδευτικούς σκοπούς. ” και επιβεβαιώθηκε…

Και αυτό το βάζεις σε αντιπαράθεση με όσα παραπάνω έγραψα για το διακρότημα, χωρίς να απαντάς σε τίποτα από τα συγκεκριμένα παραδείγματα που έδωσα.

Νικόλαε, λυπάμαι δεν μπορώ να γίνω περισσότερο διευκρινιστικός. Έδωσα τόσα παραδείγματα για να δείξω ότι δεν υπάρχει “ένα ενεργειακό περιεχόμενο”, χωρίς να σε πείθω, από ότι φαίνεται.

Δεν μπορώ να κάνω κάτι άλλο.

Ας απαντήσει κάποιος άλλος συνάδελφος…

Καλησπέρα σε όλους σας από Κέρκυρα

Το ερώτημα που έθεσες αγαπητέ Νίκο είναι "Ποιά είναι η ενεργειακή μελέτη ενός διακροτήματος;". Νομίζω ότι η ερώτηση είναι ελλειπής αφού η κινηματική μίας κίνησης δεν αρκεί για να απαντήσουμε ενεργειακά για το τι συμβαίνει σε αυτή την κίνηση.

Είναι σαν να ρωτάς ποιά είναι η ενεργειακή μελέτη μίας ευθύγραμμης ομαλής κίνησης. Η απάντηση δεν είναι μονοσήμαντη αφού δεν αναφέρεις τίποτα για τη δυναμική της κίνησης αυτής. Αν π.χ πρόκειται για ένα σώμα που κινείται ευθύγραμμα ομαλά σε ένα οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές τότε δεν έχουμε καμία ενεργειακή μετατροπή. Αντιθέτως αν είναι ένα σώμα που κατέρχεται με σταθερή ταχύτητα σε ένα κεκλιμένο επίπεδο με τριβές, τότε η δυναμική του ενέργεια ελαττώνεται και μέσω του έργου της τριβής μετατρέπεται σε θερμική.  

Γι αυτό και η απλή αρμονική ταλάντωση έχει την ίδια κινηματική ( ίδιες εξισώσεις απομάκρυνσης ταχύτητας και επιτάχυνσης)με την εξαναγκασμένη ταλάντωση (μετά την σταθεροποίηση της κατάστασης), η ενεργειακή τους μελέτη είναι πολύ διαφορετική. 

Όπως και να έχει σας ευχαριστώ όλους σας.Πάντως όπου και αν έχω ψάξει δεν βρήκα κάτι όσο αφορά την ενεργειακή μελέτη του διακροτήματος- γενικά-.Δεν ξέρω γιατί;;; Ίσως να είναι και δύσκολη η γενική μελέτη μιας τέτοιας περίπτωσης.Το σχολικό βιβλίο μελετά ως ένα σημείο την κινηματική μελέτη της σύνθεσης 2  ΑΑΤ  με" παραπλήσιες " συχνότητες και τίποτε παραπάνω.Ίσως έχεις δίκιο Γιάννη για ποιο λόγο χρειάζεται να ασχολούμαστε με αυτή την περίπτωση σύνθεσης,  που γίνεται αντιληπτή κυρίως στα ηχητικά κύματα.Διονύση έγινες σαφής με τα παραδείγματά σου.Το θέμα μου είναι η γενική αντιμετώπιση αυτής της περίπτωσης.

Οφείλω βέβαια κάποιες έστω και καθυστερημένες απαντήσεις. Γράφεις Διονύση μεταξύ άλλων «…χωρίς να απαντάς σε τίποτα από τα συγκεκριμένα παραδείγματα που έδωσα.» και «Μάλλον Ιάκωβε δεν διαβάζεις καθόλου αυτά που γράφω… Απλά διαφωνείς»  Για τα παραδείγματα αυτά σου είχα απαντήσει ότι δεν συμφωνώ με τον τρόπο που υπολογίζεις τις δυναμικές ενέργειες.  Επίσης έγραψες  «Αν διάβαζες τις τοποθετήσεις μου θα είχες διαβάσει στο σχόλιό μου εδώ, ένα παράδειγμα που ΔΕΝ υπάρχει δυναμική ενέργεια»  Έχεις καταλάβει Διονύση ότι υποστηρίζω πως σε κάθε δύναμη που αυξομειώνει την κινητική ενέργεια σώματος αντιστοιχεί δυναμική ενέργεια;

Μια και λες όμως ότι δεν σου έχω απαντήσει σε διάφορα να σου θυμίσω τα ακόλουθα. Σου είχα γράψει «Γράφεις ότι επειδή η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται δεν έχει νόημα να υπολογίζουμε δυναμική ενέργεια. Με την λογική αυτή όμως ούτε η κινητική ενέργεια έχει νόημα στην περίπτωση αυτή. Νομίζω ότι ο ουσιώδης ρόλος της δυναμικής ενέργειας είναι να εκφράζεται μέσω αυτής ( που είναι βαθμωτό μέγεθος) η δύναμη (που είναι διανυσματικό).»  Νομίζω ότι δεν απάντησες σε αυτό.

Επίσης στην ανάρτηση που έκανα και την βιβλιογραφική παραπομπή δεν απάντησες με επιχειρήματα που ακριβώς διαφωνείς.

Τέλος μια και μιλούσαμε για παραδείγματα επίτρεψέ μου την ακόλουθη ερώτηση. Μέσα σε πυκνωτή με μεγάλους επίπεδους οπλισμούς που τους έχουμε συνδέσει με πηγή εναλλασσόμενης τάσης εκτοξεύουμε φορτισμένο σωματίδιο.  Αν μας έχουν  δώσει τα απαραίτητα δεδομένα μπορούμε να γράψουμε την Lagrangian του σωματιδίου;      

Καλημέρα Ιάκωβε.

Να λοιπόν και σε ένα σημείο που θα συμφωνήσουμε!

Πράγματι δεν σχολίασα την ανάρτησή σου για το πότε ορίζεται η δυναμική ενέργεια και το τι γράφει η «παγκόσμια βιβλιογραφία» αφού στη θέση σου ότι:

«Εκτός από την δυναμική ενέργεια λόγω της δύναμης του ελατηρίου υπάρχει και δυναμική ενέργεια (χρονοεξαρτώμενη) λόγω της δύναμης του διεγέρτη.»

 είχα από την αρχή δηλώσει κάθετα ότι:

«Διαφωνώ ότι υπάρχει δυναμική ενέργεια που συνδέεται με χρονοεξαρτώμενη δύναμη».

Στη συνέχεια καλύφτηκα (το έγραψα εδώ), από το σχόλιο του Στάθη. Ο Στάθης είναι θεωρητικός Φυσικός γνωρίζοντας πολύ περισσότερα «γράμματα» από μένα και εμπιστεύομαι το λόγο του. Η προσθήκη δε του αποσπάσματος του Taylor, όπως ακριβώς το είχε προβλέψει ο Στάθης, με έπεισε να μην ασχοληθώ, αφού δεν αποδείχτηκε ότι η παγκόσμια βιβλιογραφία, γράφει κάτι αντίθετο από την θέση μου.  Άλλωστε σε άλλη συζήτηση νόμιζα ότι συμμετείχα…

Αλλά επειδή δεν θέλω να φανεί ότι δεν απαντώ, θα το κάνω άμεσα στον διπλανό χώρο.

Τα σχόλια εδώ.