Γιάννης Κυριακόπουλος

Kαλησπερα Γιάννη. Ειναι και αυτη μια αποψη.Απολυτα σεβαστη.Αν ο σκοπος οπως γραφεις ειναι να αποκτησουν τα παιδια μια λογικη χειρισμου,που εγω το λεω να μαθουν να κανουν πραξεις μηχανικα χρησιμοποιωντας τις ποσοτητες dx,dt dφ κλπ,τοτε καμια αντιρρηση.Αυτες οι πραξεις παντως δεν χρειαζονται στην Α Λυκειου οπου πρεπει να ορισουμε την στιγμιαια ταχυτητα. Εκει δεν υπαρχει κανενας λογος να την ορισεις σαν το πηλικο δυο ποσοτητων ντε.Εκτος του οτι ειναι λαθος,δεν χρησιμευει και σε κατι. Μπορει να οριστει με εναν κομπακτ τροπο χωρις πηλικο.
Στο παραδειγματα χρησης γραφεις υ=dx/dt=Rdφ/dt=Rω.Το οτι εχεις βαφτισει τις απειροστες ποσοτητες ντε και κανεις πραξεις με αυτες,δεν λεει κατι. Απο πουθενα δεν προκυπτει οτι το πηλικο τους ειναι οι στιγμιαιες ταχυτητες. Θα μπορουσες να γραψεις υ=Δx/Δt=RΔφ/Δt=Rω ή υ=δx/δt=Rδφ/δt=Rω Το να μπορει να τα κανει κανεις αυτα δεν σημαινει οτι καταλαβαινει κιολας. Μπορεις να κανει κανεις σωστους χειρισμους απο κεκτημενη ταχυτητα χωρις να εχει καταλαβει και πολλα πραγματα. Εμενα ομως δεν με ενδιαφερει τοσο αυτο.Αν το παιδι φτασει στην Γ Λυκειου,μπορει εκει να ορισει τα διαφορικα με σωστο τροπο αφου μαθαινει αυστηρα τον ορισμο της παραγωγου οπως τον μαθαινουν και οι πρωτοετεις φοιτητες. Κατα την γνωμη μου χρειαζεται να θεωρει κανεις τις ποσοτητες d πολυ μικρες,μονο οταν προκειται να ολοκληρωσει,οπως σε αυτο πιο κατω,οπου υπολογιζουμε την ροη του πεδιου Β=3rκ μεσα απο εναν μοναδιαιο κυκλο με κεντρο στην αρχη των αξονων. Η μεθοδος διδασκαλιας που βασιζεται στο οτι τα διαφορικα ειναι κατ αναγκην απειροστες ποσοτητες εχει καταδικασει πολλους καθηγητες οι οποιοι διδασκουν χρονια στα σχολεια,να νομιζουν απο τα σχολικα τους χρονια μεχρι τωρα,οτι αυτο ειναι το σωστο. Και αυτο δεν επιτρεπεται.Το εχω διαπιστωσει μεσα απο συζητησεις και στα σχολεια που δουλευω,και στους Φοιτητες που κανω φροντιστηριακα μαθηματα,αλλα και εδω.
Κατ αναλογιαν να θεωρουμε οτι η στατικη τριβη ως δυναμη επαναφορας ενος σωματος που κανει ΑΑΤ,εχει δυναμικη ενεργεια και να κανουμε πραξεις. Παλι ολα σωστα βγαινουν .
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFWerGH8kQU518goMRWTItQtU_GEqeRxS_uCH-KZl4lkDzG3R2e7GEiXptA67TkOQnxDsiQ5NmH4foopg8GLK9ouKDqWffg1ADElCBo9hP8_FeTy-V4KKZXcSJqk5T5izccZHvVQPvG00XAgswJRyanKASgHTigqkQoaia4amGDX3TonBfmxlX9nDhSK7b/w300-h400/3.jpg

Καλημέρα Γιάννη και Κωνσταντίνε.
Γιάννη απολαυστικός, αλλά όχι μόνο. Διαβάζοντας είδα τον εαυτόν μου να τα διδάσκει όλα αυτά, σε διάφορες φάσεις της ζωής μου.
Μπορεί Κωνσταντίνε, σαν μαθηματικός, να διατυπώνεις διαφωνία, αλλά το αποφεύγεις τη χρήση του d, επιμένοντας να συμβολίζεις με Δ, είτε η μεταβολή είναι “μεγάλη” είτε απειροστή, δεν βοηθάς το μαθητή να κατανοήσει τα πράγματα…
Άλλωστε μετά, κάποια στιγμή, θα πρέπει να υπολογίσεις τη ροή, όπως στο παράδειγμά σου και θα σημειώσεις στο σχήμα το dr σαν μια μικρή μεταβολή της ακτίνας και για να αποφύγεις την 1η λύση και το διπλό ολοκλήρωμα, θα πάρεις απευθείας το dA=2πrdr, όπως στη 2η λύση που θα καταλάβει εύκολα ένας μαθητής, που θα έχει διδαχτεί από το Γιάννη…

Γεια σου Γιάννη, πολύ ωραίο!

Καλημέρα Γιάννη.
Όταν μπαίνει το χιούμορ φυσικά και ντρέτα ,βοηθά να γελάσεις (δεν είναι κι εύκολο στις μέρες μας), να σκεφτείς και τελικά να καταλάβεις …ντε!
Άιντε ντε
Εγλάκηξε(νε)…
Νάσαι πάντα καλά Κυρ.

Καλημερα σε σε ολους. Διονυση μπορει καποιος μαθητης να εχει αποκτησει ικανοτητες υπολογισμων με μεγαλη ταχυτητα του στυλ
dx/dt=(dx/dφ)(dφ/dt)=x'(φ)ω=…..και ταυτοχρονα να μην εχει καταλαβει τι ειναι αυτα που γραφει. Επειτα αυτα ισως χρειαστει να τα κανει μονο στην Γ Λυκειου οπου οι κατευθυνσεις εχουν χωριστει και ειναι μαθηματικα ωριμος ωστε να μπορει να μαθει με σωστο τροπο τι ειναι τα διαφορικα αφου ασχολειται με ορια,παραγωγους κλπ. Η συζητηση ξεκινησε απο τους στιγμιαιους ρυθμους μεταβολης τους οποιους τους συναντα στην Α και οι ποσοτητες dx και dt αυτουσιες δεν χρειαζονται.Η αποψη μου ειναι οτι δεν τον βοηθαω μαθαινοντας του λαθος. Αν θελω να τον κανω απλως ξεφτερι στους υπολογισμους,αυτο ειναι το πιο ευκολο.Γινεται και χωρις να εχει καταλαβει τιποτα. Bεβαιως τωρα μιλαμε για μεθοδους διδασκαλιας και ο καθενας εχει την αποψη του η οποια ειναι σεβαστη.

Καλημέρα παιδιά.
Ευχαριστώ για τα σχόλια.
Παντελή έφαγα την αύξηση. Διορθώνω.
Ο Διονύσης έκανε σχόλια που με καλύπτουν αλλά θα απαντήσω στον Κωνσταντίνο φυσικά.

Κωνσταντίνε λες ότι δεν χρειάζεται στην Α΄ Λυκείου.
Η Α΄ Λυκείου δεν ήταν πάντα έτσι. Δεν εννοώ την εποχή μου ήμουν στην αντίστοιχη Δ΄ Γυμνασίου αλλά και αρκετά χρόνια που δίδασκα.
Θα μπορούσε να ξαναγίνει ουσιαστική.

Γράφεις:
Εκει δεν υπαρχει κανενας λογος να την ορισεις σαν το πηλικο δυο ποσοτητων ντε.Εκτος του οτι ειναι λαθος,δεν χρησιμευει και σε κατι. Μπορει να οριστει με εναν κομπακτ τροπο χωρις πηλικο.

Θα μπορούσε αλλά το θέμα δεν είναι να οριστεί. Είναι να καταλάβουν και το γιατί και τη φύση του μεγέθους και να αποκτήσουν την κουλτούρα να χρησιμοποιούν τη λογική αυτήν σε άλλες περιπτώσεις.
Έτσι η κομψότητα θυσιάζεται.

Παρακάτω:
Θα μπορουσες να γραψεις υ=Δx/Δt=RΔφ/Δt=Rω ή υ=δx/δt=Rδφ/δt=Rω 
Ναι αν τονίσεις ότι το Δt τείνει στο μηδέν.
Διαφορετικά Δx δεν είναι R.Δφ.
Αυτό το “τείνει” προέρχεται από τη γλώσσα των ορίων, γλώσσα άγνωστη.
Οπότε χρειάζονται και όλα όσα είπα για προσομοιώσεις και γραφικές παραστάσεις για να γίνει κτήμα τους το “τείνει”.
Έπειτα η διεύθυνση γιατί είναι αυτή της ακτίνας;
Λείπουν πράγματα έτσι. Λείπουν χωρίς λόγο.
Συμφωνώ με τον Διονύση λέγοντα:
….αλλά το να αποφεύγεις τη χρήση του d, επιμένοντας να συμβολίζεις με Δ, είτε η μεταβολή είναι “μεγάλη” είτε απειροστή, δεν βοηθάς το μαθητή να κατανοήσει τα πράγματα…

Γιατι το Δx δεν ειναι RΔφ ;

Μετά:
Αν το παιδι φτασει στην Γ Λυκειου,μπορει εκει να ορισει τα διαφορικα με σωστο τροπο αφου μαθαινει αυστηρα τον ορισμο της παραγωγου οπως τον μαθαινουν και οι πρωτοετεις φοιτητες. 

Τα παιδιά της υγείας ουδέποτε θα μάθουν παραγώγους.
Όσοι μάθουν θα μάθουν πολύ αργά, όταν η Φυσική θα έχει προχωρήσει.
Στη Β΄ Λυκείου τι θα γίνει;

Μετά:
Η μεθοδος διδασκαλιας που βασιζεται στο οτι τα διαφορικα ειναι κατ αναγκην απειροστες ποσοτητες εχει καταδικασει πολλους καθηγητες οι οποιοι διδασκουν χρονια στα σχολεια,να νομιζουν απο τα σχολικα τους χρονια μεχρι τωρα,οτι αυτο ειναι το σωστο. 
Ο συνάδελφοι διδάχτηκαν Μαθηματικά και έχουν δει Φυσικά με κομψά Μαθηματικά από τα μέσα του Α’ έτους (την εποχή μου τουλάχιστον). Παρανοήσεις είναι πιθανές αλλά εδώ είμαστε να συζητάμε γι’ αυτές και να διορθώνονται.
Στα παιδιά μιλάς με τον πιο κατανοητό τρόπο. Περνάς την ιδέα θυσιάζοντας την κομψότητα όπου χρειάζεται.

Είπα να ρωτήσω και το Chatgpt.
H ….συζήτηση ΕΔΩ.

Έγραφα και τώρα είδα το σχόλιο.
Η μετατόπιση Δx είναι η χορδή και το R.Δφ είναι το τόξο.
Είναι σχεδόν ίσα μόνο όταν το τόξο είναι απειροστό. Δηλαδή πρέπει να πούμε αυτό το ουρανοκατέβατο “τείνει”.
Έτσι βάζουμε ένα “τείνει” που ξεχνιέται και είναι ταυτόχρονα και πολυλογία.
Τα παιδιά μπερδεύουν το Δ με το d χωρίς λόγο.
Ούτε η κομψότητα είναι λόγος ούτε ψευτοπαιδαγωγικές επικλήσεις.

Aυτα Διονυση του Chatgpt ειναι εν μερει σωστα. Το οτi dx ειναι μια απειροστη μεταβολη του x ειναι λαθος. Δεν οριζεται ετσι. Πρεπει να δουμε τι γραφουν τα καλυτερα βιβλια που εχουν εκπαιδευσει γενεες μαθηματικων και οχι το Chatgpt. Στο παιδαγωγικο κομματι δεν μπορω να επιμενω γιατι εκει τα πραγματα ειναι υποκειμενικα αλλα μην μου λες οτι Το dx ειναι εξ ορισμου μια μικρη μεταβολη του x. Το dx=Δx εξ ορισμου και ειναι οσο μκρο ή οσο μεγαλο θελεις.Τα Μαθηματα Αναλυσεως του Κάππου μαλλον ειχες στο Πανεπιστημιο. Δες τι γραφει στην σελιδα 278.Ασε το Chatgpt

Καλημέρα Ανδρέα.
Είναι βολικό να μη χρησιμοποιηθεί σαν συμβολισμός.
Προτιμώ τη λογική του Αρχιμήδη. Όχι για πατριωτικούς λόγους αλλά γιατί είναι πιο πρώιμο το στάδιο και πιο προσιτό σε παιδιά.
Ο Λάιμπνιτς θεμελίωνε τα Μαθηματικά κάτι που εγώ δεν κάνω.

Γιάννη καλημέρα.

Νομίζω ότι στο κείμενό σου πρέπει να προσθέσεις ότι οι μαθητές της Γ’ Λυκείου γνωρίζουν αυτό που φαίνεται στην Εικόνα.

https://i.ibb.co/tTZQr1bG/2026-05-16-093845-1778913619-3583.jpg

Kαι απόξω

https://i.ibb.co/zzdHKtW/65a370b5-69b6-40dd-91bb-84792faf2aa9-1778915044-5242.jpg

Εχω το βιβλιο του Κάππου το οποιο το εψαχνα χρονια σε οτι παλαιολωλειο εβρισκα στην Αθήνα. Αναφερομαι σε αυτο διοτι οι παλαιοτεροι ισως τον ειχατε και καθηγητη. Μετα ηρθε ο Νεγρεποντης αλλα και αυτος τα ιδια γραφει. Τα εχω ολα τα βιβλια τους.
Μην επιμενετε το dx δεν ειναι απειροστο. Αν πρεπει ετσι να το παρουσιασουμε σε πρωτη φαση για παιδαγωγικους σκοπους ,εκει παω πάσο.Δεν μπορει ομως να κοιταμε Chatgpt οταν εχουμε αυτα τα βιβλια. Ιεροσυλια! 🙂

https://i.ibb.co/yBkH9Brd/0d7cd867-7a93-4557-b8a7-0027c7a78f22-1778914959-1119.jpg

Σχετικό είναι το απόσπασμα από την απάντηση του Chat GPT που αναφέρει ο Διονύσης στο σχόλιό του και φαίνεται στην Εικόνα.

https://i.ibb.co/bjP6wBSS/2026-05-16-102939.png
https://i.ibb.co/TMdKTJyh/2026-05-16-102957.png

Ε το οριζει λαθος τι να κανουμε τωρα.Και η δικαιολογια του για ποιο λογο πρεπει να εναι μικρο και αυτη λαθος ειναι διοτι το εχει θεσει μικρο εξ ορισμου και ευθυς εξαρχης. Για πιο λογο πρεπει να το διαλεγουμε μικρο πρεπει να πει οχι για ποιο λογο πρεπει να ειναι μικρο εξ ορισμου.
Δεν πρεπει να κοιταμε τσατ τζι τζι πι.Πρεπει να κοιταμε τα καλά βιβλια 🙂

Τον Κάππο, Κωνσταντίνε, τον έχω….
Διδάχτηκα το βιβλίο του, στο πρώτο έτος, παρόλο που δεν τον είχα καθηγητή, αφού είχε πάρει σύνταξη όταν μπήκα στο Πανεπιστήμιο.
Είχα την εντύπωση ότι είναι πανεπιστημιακό βιβλίο Μαθηματικών και όχι διδακτικό εγχειρίδιο Φυσικής για το Λύκειο!!!
Ξαναπάμε λοιπόν επιμένοντας στην ιεροσυλία 🙂
Το Chatgpt δεν όρισε το dx ως απειροστό!!! Δες το κείμενο που ανέβασα. Είπε αυθαίρετα ορίζουμε έναν μικρό αριθμό … Άλλο το μικρό, άλλο το απειροστό!
Και στο παράδειγμα που χρησιμοποίησε για την συνάρτηση y=x^2 στο σημείο x=2, την πρώτη φορά πήρε dx=0,1 και την δεύτερη φορά dx=1.
Ποιο από αυτά τα δύο είναι όριο του x τείνοντος στο μηδέν;
Κανένα!
Συνεπώς πεπερασμένη τιμή έδωσε στο dx για να δείξει ότι η σωστή χρήση του είναι να είναι “μικρό”! Τώρα πώς από το μικρό θα φτάσουμε στο απειροστό και στο όριο, είναι μια άλλη συζήτηση…

Κωνσταντίνε κοιτάζουμε τα πάντα.
Την ΤΝ, τα βιβλία Μαθηματικών, τις παρουσιάσεις των βιβλίων Γενικής Φυσικής, αυτές των βιβλίων Θεωρητικής Μηχανικής, βιβλία Ηλεκτρισμού και Ηλεκτρολογίας, σχολικά βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής.
Κοιτάζουμε και τα σχόλια συναδέλφων.
Έτσι μπορεί να καταλάβουμε το αυστηρά σωστό.

Θα συμφωνήσω κάπως με ότι είπες πριν:
Στο παιδαγωγικο κομματι δεν μπορω να επιμενω γιατι εκει τα πραγματα ειναι υποκειμενικα…
Περίπου υποκειμενικά διότι υπάρχουν τεχνικές που έχουν αποδώσει και άλλες με οικτρά αποτελέσματα.

Στο κείμενό μου θεωρώ πιο σοβαρά δύο σημεία:
https://i.ibb.co/tpMT06fh/11.png

Όντως θα έρθει η ώρα της αυστηρής θεμελίωσης.
Το άλλο:
https://i.ibb.co/r8nPZ88/22.png

Με απασχολεί περισσότερο να καταλάβει ο άλλος (επικοινωνία) παρά να με χαρακτηρίσουν “προσεκτικό ομιλητή”.

Ενταξει Διονυση δεν θα τσακωθουμε 🙂 Aν προκειται για διδακτικη μεθοδο μπορει να εχω εγω αδικο. Αν προκειται ομως για το τι ισχυει στην πραγματικοτητα τοτε ισχυει οτι λενε τα εγκυρα βιβλια. Του Καππου ειναι τετοιο. Και για θεματα Μαθηματικων,βιβλια Μαθηματικων κοιταμε δεν κοιταμε εγχειρίδια Φυσικής για το Λύκειο. Τελικα εσυ επιμενεις οτι το dx ειναι εξ ορισμου πολυ μικρο ή απειροστο; Η οτι συνηθως το διαλεγουμε μικρο διοτι ετσι βολευει οπως πχ σε μιά γραμμικοποίηση; Γιατι με μπερδεψες ολίγον.

Oχι Γιαννη δεν κοιταζουμε τα παντα. Στο ιντερνετ βρισκεις και οτι ο Γαιδαρος πεταει. Αυτα ειναι Μαθηματικα αιωνων. Για τον ορισμο του διαφορικου της ανεξαρτητης μεταβλητης δεν θα κοιταξω δεκα πηγες για να βγαλω το ρεζουμε. Αν κοιταξω εναν Κάππο και εναν Σπίβακ αυτο αρκει. Δεν θα μπαινω τσατ τζι τζι πι ουτε θα ρωταω συναδελφους. Εγω ετσι λειτουργω δεν ξερω εσυ.

Κωνσταντίνε η ανάρτηση δεν είχε στόχο τον ορισμό του διαφορικού.
Σε μια τέτοια συζήτηση ανοίγεις φυσικά έγκυρα βιβλία Μαθηματικών και όχι Φυσικής ή Ηλεκτρολογίας. Αυτά όμως τα ανοίγεις όταν θέλεις να δεις πως χρησιμοποιούνται τα διαφορικά σε εφαρμογές. Εκεί τα βιβλία Μαθηματικών χάνουν.

Ο στόχος μου ήταν πως θα περάσουμε δύσκολες έννοιες με απλό τρόπο βασιζόμενοι στα απλά που γνωρίζουν. Θέμα διδασκαλίας δηλαδή.

Ανέφερα την ΤΝ κα τα σχόλια μεταξύ πολλών άλλων για να πω ότι ψάχνουμε τα πάντα και κάτι βρίσκουμε. Παράδειγμα:
Ήξερα την παρουσίαση της διαστολής χρόνου με το γνωστό κινούμενο βαγόνι και μου άρεσε.
Βρήκα όμως το ρολόι του Επστάιν και κατάλαβα ότι είναι πολύ καλύτερος τρόπος παρουσίασης. Αν η ΤΝ η το σχόλιο κάποιου φίλου μου δείξει κάτι καλύτερο είμαι πρόθυμος να το υιοθετήσω.

Κωνσταντίνε, το θέμα δεν είναι αν τα μαθηματικά ορίζουν το dx με τον ένα ή άλλο τρόπο.
Το ζήτημα είναι να πας στην Α΄ Λυκείου και να περάσεις στα παιδιά την σημασία της στιγμιαίας ταχύτητας, χωρίς να τους μπλέξεις με όρια και με άγνωστες …λέξεις!
Εκεί λοιπόν θα μιλήσεις για πολύ – πολύ μικρά χρονικά διαστήματα, χωρίς να μιλήσεις για όριο του Δt και το κλάσμα Δx/Δt θα το προσεγγίσεις με πολύ μικρές μετατοπίσεις και πολύ μικρά χρονικά διαστήματα. Αυτό για να μπορέσουν να καταλάβουν την έννοια.
Αυτό που πρέπει να ξεκαθαριστεί στη συνέχεια, είναι η διαφορά της μέσης με τη στιγμιαία ταχύτητα. Στο σημείο αυτό, πρότεινα σε πρόσφατη συζήτηση τους συμβολισμούς:
υμ=Δx/Δt για την μέση και υ=dx/dt για τη στιγμιαία
αλλά την 2η σαν “μπλογκ” χωρίς να το σπάνε σε κλάσμα. Αλλά αυτό σαν συμβολισμό, ώστε να μην τα μπερδεύουν…
Όμως αν χρειαστεί (σε κάποιο πείραμα για παράδειγμα να υπολογίσουν στιγμιαία τιμή ταχύτητας), ας το σπάσουν… Δεν χάθηκε ο κόσμος.
Επί της ουσίας δηλαδή με καλύπτει το συμπέρασμα του Chatgpt ότι:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhckEjA4Tr-zYk0KyrSAOvDPRzQziAOG6JqZawVP47yW-_dRf7M9QyeQt0I9axE2oFlquKnwgWpZzxhWv-Hvl1CKv9YeaySB4eMCEP2jEo7YXRLoOq5ginrj8hGqhRQMKDpzamu8_PeSXOdwOH_sVsXgFofKMOklGrff3Pi9pFXtO_HpQ1AAWtIJ2aBizzj/w640-h181/%CE%A3%CF%84%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B9%CF%8C%CF%84%CF%85%CF%80%CE%BF%20%CE%BF%CE%B8%CF%8C%CE%BD%CE%B7%CF%82%202026-05-16%20111340.png

Διονύση με το τελευταιο σου σχολιο συμφωνω σε ολα.

Αλλωστε Διονύση περιεγραψα πως τα εξηγω στην Α Λυκειου στο τελευταιο μου σχολιο εδω Θα φτιάξω μία μακαρονάδα σε χρόνο dt. (και με θετική ενέργεια!) Περιπου οπως λες και εσυ. Βλεπεις να χρησιμοποιω ορια και αγνωστες λεξεις;
Αρα που διαφωνουσαμε τοση ωρα;

Εγώ διαφωνώ.
Και τα δύο ως πηλίκα μου παρουσιάστηκαν (1972-1973) και όχι ως συμβολισμοί.
Και τα δύο τα παρουσίαζα (διδάσκοντας) ως πηλίκα με καλά αποτελέσματα.
Στην παρούσα ανάρτηση μιλάω για πηλίκα και όχι για συμβολισμούς.
Ο μόνος συμβολισμός που χρησιμοποίησα είναι το d.
Δεν παίζω με σύμβολα που δεν είναι κατανοητά στον μαθητή.
Δεν λέω ότι η στιγμιαία ταχύτητα είναι κάτι το μυστηριώδες ή ένα όριο που συμβολίζεται με dx/dt.
Την ορίζω ως πηλίκο δύο κατανοητών τελικά ποσοτήτων.

Γιάννη, παραπάνω είπα ότι στη διδασκαλία για να καταλάβουν οι μαθητές την έννοια, χρησιμοποιούμε το κλάσμα βρίσκοντας κάθε φορά το πηλίκον.
Στη συνέχεια όμως για να μπορέσουν να ξεχωρίσουν τη μέση με τη στιγμιαία τιμή της ταχύτητας (αλλά όχι μόνο της ταχύτητας, αλλά και κάθε ρυθμού…) πρότεινα τον συμβολισμό, όπου βλέποντας ο μαθητής dx/dt δεν θα ψάχνει να βρει τιμές για αριθμητή και παρονομαστή, αλλά την εξίσωση π.χ. υ=αt…
Και αν αυτό είναι “αυτονόητο” για την ταχύτητα, δεν είναι για παράδειγμα για την ισχύ (εκεί έγινε η πρόταση).
Αλλά ακόμη και στην Γ΄ τάξη για παράδειγμα σε ένα πρόβλημα αυτεπαγωγής, καλό είναι να γίνεται διαχωρισμός της μέσης τιμής Δi/Δt και του ρυθμού di/dt που οδηγεί σε στιγμιαία ΗΕΔ.
Βρίσκουμε (μέση) ΗΕΔ από μεταβολή της μαγνητικής ροής (Ε=-ΔΦ/Δt) και χρησιμοποιούμε την ίδια εξίσωση αντί για την Ε=-dΦ/dt για τη στιγμιαία… που οδηγεί στο εναλλασσόμενο ρεύμα.
Αυτά πώς λέτε ότι εισπράττονται από το μέσο μαθητή;

Γιαννη με οποιο τροπο και να τα παρουσιασεις,τελικα αν ο μαθητης μπορει να τα χειριζεται με επιτυχια,ακομα και αν δεν καταλαβαινει τιποτα σε βαθος,θα γραψει καλα και θα μπει στο Πανεπιστημιο.Εκει υποτιθεται οτι θα τα μαθει σωστα. Μπορεις να μου εξηγησεις γιατι οι περισσοτεροι εν ενεργεία καθηγητες νομιζουν οτι στην εξισωση f'(x)=dx/dt το dt παντα ειναι απειροστο; Πιθανον γιατι το εμαθαν στραβα απο το Λυκειο. Εγω παντως δεν το διδασκω ετσι. Και την δικη μου μεθοδο την εχω αυτοαξιολογησει σε βαθος χρονου,και την βρισκω καλη.

Κωνσταντίνε αυτή η ταύτιση παραγώγου πηλίκου και κατανοητή μου είναι και ωραία τη βρίσκω.
Διότι πρώτα έρχεται η ιδέα. Λόγου χάριν ο χρυσός κανόνας της Μηχανικής.
Έτσι ορίζεις το έργο ως F.x και όχι ως F.x^2.
Μετά το ντύνεις με ακριβά ρούχα διότι ένα μαθηματικό οικοδόμημα πρέπει να είναι αυτοσυνεπές.
Πρώτα σκεφτόμαστε τις δυναμικές γραμμές και μετά ντύνουμε τη ροή ως ολοκλήρωμα.
Η ιδέα της στιγμιαίας ταχύτητας έρχεται ανθρώπινα και μετά φοράει μαθηματικό ένδυμα. Δεν έρχεται κάτι μαθηματικά ντυμένο και προσπαθούμε μετά να το αποκωδικοποιήσουμε.
Έτσι πολύ καλά οι συνάδελφοι (και εγώ) έχουμε στο μυαλό μια διαίρεση μικρότατων ποσοτήτων.

Όμως….
Ο Αρχιμήδης ήξερε την παράγωγο;

Έχω πληρώσει ακριβά την αντίθετη οδό και ταλαιπωρήθηκα πολύ να καταλάβω την ουσία πραγμάτων που χειριζόμουν μαθηματικά με΄άνεση.

Ο ορισμός της ταχύτητας προκύπτει από την ανάγκη να τη μετρήσουμε:
https://i.ibb.co/0yMQX4Lk/33.png

Αργότερα παρουσιάζεται η ανάγκη να ορίσουμε την παράγωγο.
Όταν αυτή ορισθεί (τον τάδε αιώνα από τους….) ξαναπαρουσιάζουμε τη στιγμιαία ταχύτητα με τη συνδρομή της παραγώγου.
Η μάθηση έχει κάτι το ελικοειδές (για να μην πω “κυκλικό”).

Εμφανίζεται ένα κουίζ ίσως στο Mind your decisions.
«Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι x και αυξάνεται με ρυθμό α.»
-Κύριε με ποιο ρυθμό αυξάνεται το εμβαδόν του.
-Είναι πρόβλημα που απαιτεί την έννοια της παραγώγου που θα μάθεις στη Γ΄.
-Θα πάω στην κατεύθυνση Υγείας.
Κοτζαμ Φέυνμαν μιλούσε σε κοινότατο κοινό για τις πιθανότητες με στρεφόμενα βελάκια χωρίς να τους πει:
-Δυστυχώς αγνοείτε και τους μιγαδικούς και το μέτρο τους.
Φέυνμαν δεν είμαστε αλλά υπεκφυγές του τύπου «Θα μάθεις αργότερα»;;
Εγώ σε ένα παιδί ή ενήλικα που δεν ξέρει παραγώγους θα το παρουσίαζα χωρίς Άλγεβρα. Διότι «Η Γεωμετρία έχει μάτια». Επστάιν έφα!
Και ας κουραστώ περισσότερο κάνοντας σχήμα:
https://i.ibb.co/9mn598N2/33.png

Όσοι πιτσιρικάδες θα μάθουν την παράγωγο θα μπορούν να λύνουν τέτοια προβλήματα.
Όμως θα καταλαβαίνουν τι συμβαίνει ή θα κάνουν κάτι μηχανικά όπως τον αλγόριθμο της διαίρεσης που εκτελούν χωρίς να τον καταλαβαίνουν;
Τι σημαίνει “καλλιέργεια” στα Μαθηματικά;

Στην διαδικασία της μέτρησης οπως γραφεις με Δt = 2s,1s,…,0.1s ,…,0,0001s μικραίνεις , μικραίνεις καποια στιγμη σταματας.Σωστο.Αυτη την διαδικασία την λεω και εγω στο σχολειο. Η Μετρηση Δx/Δt ειναι άψογη οπως ειπες.Δεν ειμαστε μυστήριοι μας αρεσει.Εστω οτι αυτο τότε το ονομασεις dx/dt.Νατο το υ= dx/dt.Λαθος διοτι αυτο ειναι παλι μια προσεγγιση και διοτι κάποιος άλλος μπορεί να πάρει Δt =0,00000000000001s και να βρει άλλο πιο καλό.Τελικα οι στιγμιαιες ταχυτητες ειναι πολλές η’ μια; Υπάρχει προβλημα λογικης σε αυτή την μέθοδο. Οταν αργοτερα θα μαθουμε παραγωγους θα δουμε οτι η εξίσωση υ=dx/dt ειναι απολύτως ακριβης. Δεν ειναι προσεγγιστικη.Πως γινεται αυτο; Αντιφαση! Τι ειναι τελικα τα dx,dt ;Οσο μικρα και να ειναι απολυτη ακρίβεια δεν έχεις. Πρεπει τωρα να ξεμαθουμε οτι μαθαμε και να τα μάθουμε αλλοιως.Αν μπορεσουμε.Δεν μου αρεσει να διδασκω με αντιφάσεις.Προτιμω στην Α στο υ=dx/dt, το dx/dt να είναι ενα συμπαγές συμβολο και οχι ενα λαθος πηλικο μικροτατων ποσοτητων.

Κωνσταντίνε δεν θα έλεγα “αντιφάσεις”. Ίσως “χωρίς μαθηματική αυστηρότητα”.
Όμως το προτιμώ αν ο άλλος καταλαβαίνει και αν κάνω οικονομία.
Καταλαβαίνουν γρήγορα ότι το d τάδε δεν είναι συγκεκριμένο αλλά όσο μικρό θέλουμε.
Η περιγραφή , οι ορισμοί, οι επιλύσεις ασκήσεων διευκολύνονται και λόγω οικονομίας.
Δεν έχουμε οικονομία λέγοντας:
-Η στιγμιαία ταχύτητα είναι η ποσότητα την οποία πλησιάζει το πηλίκο Δx/Δt όταν το Δt μικραίνει.
Έπειτα είναι πιθανό ένα “οπτικό” λάθος. Να προσέξουν μόνο τη σχέση Δx/Δt και όχι την ουρά.
Επίσης αυτό το “πλησιάζει” ή “τείνει” ή “έχει όριο” δεν είναι πιο κατανοητό.

Έπειτα έχω καλή παρέα. Τα άκρως αποτελεσματικά βιβλία Αλεξοπουλου, Κάρκαλου κ.α. που με Ντε μιλούσαν και μας βοήθησαν να καταλάβουμε καλά τέτοιες έννοιες.

(Είδες αυτό με τον Κρητικό γέροντα φαντάζομαι).

Ναι Γιάννη το είδα πολυ καλό

Με άλλα λόγια Γιάννη, προτείνω διαφορετικό συμβολισμό για τη μέση τιμή κάποιου ρυθμού μεταβολής μεγέθους Χ, ΔΧ/Δt και διαφορετικό συμβολισμό dX/dt , για τον στιγμιαίο ρυθμό, χωρίς αυτό να είναι κάποια τρομερή μαθηματική ή φυσική έκπτωση…

Καλημέρα Άρη.
Ωραίο το σχόλιο. Συμφωνείς τρόπον τινά με τον Κωνσταντίνο.

Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα Άρη.
Γλακώ έστω καθυστερημένα να κάμω μια διόρθωση επι της διορθώσεως,
στην αρχική έκφραση του Κυρ ,που αφορά το γέροντα Κρητικό.
Στην αρχική ανάρτηση λοιπόν,στο τέλος της, ο Κυρ είχε γράψει:
“Γλάκηξε να βγει στον καφά μου και του την έπαιξα.”
Ήταν σωστό το “γλάκηξε” μια και το “γλακώ” σημαίνει τρέχω γρήγορα.
Για να την προσεγγίσω στην κρητική καθομιλουμένη του “είπα” πως θα την έλεγα
…Εγλάκηξε(νε)…και ο Κυρ μου απαντά …” Παντελή έφαγα την αύξηση”
Πρόσθεσε λοιπόν την “αύξηση” ομπρός (Ε) και πίσω (νε) αλλά του ξέφυγε το (γ) και την έγραψε “Ελάκιξενε” που στη Κρήτη εννοούμε …”το ‘βαλε στα πόδια” και δεν ταιριάζει για να φτάξει στο καφά του γέροντα.
Μάλλον τον είδε κι εφοβήθηκε τη κατσούνα.
Γιάννη συγνώμη για την πολυλογία και για την καθυστέρηση.

Καλημέρα Παντελή.
Ευχαριστώ.
Κατέχω το “γλακώ” αλλά τώρα έφαγα το γ από κακή χρήση του ντηλήτ.
Ξαναδιορθώνω.

Καλήμερα σε όλους. Φανταστείτε έναν Αγγλο που του αρέσει πολύ η Ελλάδα να έχει πάει σε ένα σχολείο στην Αγγλία να μάθει ελληνικά για να ταξιδέψει στην Ελλάδα και να μείνει κιόλας. Πάει στην Κρήτη και ακούει γλάκηξε και ξαμώνω και λέει ωχ τίποτα δεν έμαθα τελικά!

Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Οι ντοπιολαλιές έχουν ιστορική αξία και αξίζει να διατηρούνται τουλάχιστον …από τους ντόπιους αλλά και τους Δασκάλους .
Στο Πανεπιστήμιο στο Ρέθεμνος ,στο παιδαγωγικό τμήμα προσχολικής εκπαίδευσης έχει μπεί σαν μάθημα (νομίζω επιλογής) η διδασκαλία της Κρητικής διαλέκτου.
Εννοείται πως οι ντόπιοι ξέρουν και την νεοελληνική για να συνεννοηθεί ο Άγγλος και κάτι να μάθει επι πλέον από την επίσκεψή του στη νήσο .

συνέχεια
Τα διαφορικά δεν είναι «στοιχειώδεις ποσότητες» αφού όπως απορρέει από τον αυστηρό επιστημονικό τους ορισμό είναι ποσότητες ανάλογες με συντελεστή αναλογίας τη σχετική παράγωγο. Αν η παράγωγος σε ένα σημείο μιας συνάρτησης f(t ) είναι 2 τότε τα σχετικά διαφορικά dt κα dx  θα μπορούσε να ήταν 0,0001 και 0,0002 όπως το ίδιο καλά θα μπορούσε να ήταν 2000 και 4000 …
Το «ντε κάτι» είναι προϊόν ΠΟΠ κατοχυρωμένο στα Μαθηματικά και δεν είναι δίκαιο να “ρίχνουμε στην αγορά”  κάτι μη γνήσιο με την ίδια ετικέτα.

Καλησπέρα Μανώλη.
Αν θέλεις πες το λάθος αλλά ένα λάθος που βολεύει και ίσως επιβάλλεται μια και γίνεται κατανοητό εύκολα. Επίσης οδηγεί σε υπολογισμούς και αποδείξεις εύκολα.
Παράδειγμα:
https://i.ibb.co/zh2tTrcq/55.png

Την απόδειξη την παρουσιάζαμε κάποτε στην Α’ Λυκείου.
Το μικρό βελάκι dυ στο σχήμα γεωμετρικά υπολογιζόταν (dυ=υ.dφ) και όχι ως διαφορικό. Πως αλλιώς θα χειριστούμε τέτοιους υπολογισμούς; Μιλώντας για διαφορικά σε παιδιά της Α’ Λυκείου;
Μήπως να μιλάμε μόνο για ευθύγραμμες κινήσεις ώστε να μην πέσουμε σε κακή χρήση Μαθηματικών;
Το dυ δεν το θέλω μόνο για να ορίσω τη στιγμιαία ταχύτητα.

Ο Αλεξόπουλος στο Γυμνασιακό του βιβλίο δεν μιλούσε για διαφορικά όταν έλεγε dx , dυ κ.λ.π.
Ο Αρχιμήδης δεν ήξερε ορισμό του διαφορικού.
Δηλαδή και λάθος να κάνω έχω καλή παρέα.

Έτσι θα έλεγα ότι μια μικροκακοποίηση όχι μόνο επιτρέπεται αλλά επιβάλλεται.
Σύντομα κάποια παιδιά θα μάθουν τι είναι το διαφορικό. Αν σκεφτούν δεν θα σου χρεώσουν τις απλοποιήσεις που έκανες.

Σε άλλη συζήτηση είχα πει ότι “χρησιμοποιώ τα Μαθηματικά αλλά δεν επιτρέπω να με χρησιμοποιούν αυτά”.

Φυσικά γνωρίζω ότι το σύμβολο δεν είναι πηλίκο.
Γνωρίζω τι είναι το διαφορικό. Αλλά:
https://i.ibb.co/C3MKXxNF/77.png

Πως αλλιώς θα παρουσιάζαμε τη λύση του προβλήματος σε παιδιά που δεν ξέρουν παραγώγους ούτε διαφορικά;
Αντικαθιστώντας με το Δέλτα;

Να επαναλάβω προηγούμενο σχόλιό μου:
Εμφανίζεται ένα κουίζ ίσως στο Mind your decisions.
«Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι x και αυξάνεται με ρυθμό α.»
-Κύριε με ποιο ρυθμό αυξάνεται το εμβαδόν του.
-Είναι πρόβλημα που απαιτεί την έννοια της παραγώγου που θα μάθεις στη Γ΄.
-Θα πάω στην κατεύθυνση Υγείας.
Κοτζαμ Φέυνμαν μιλούσε σε κοινότατο κοινό για τις πιθανότητες με στρεφόμενα βελάκια χωρίς να τους πει:
-Δυστυχώς αγνοείτε και τους μιγαδικούς και το μέτρο τους.
Φέυνμαν δεν είμαστε αλλά υπεκφυγές του τύπου «Θα μάθεις αργότερα»;;
Εγώ σε ένα παιδί ή ενήλικα που δεν ξέρει παραγώγους θα το παρουσίαζα χωρίς Άλγεβρα. Διότι «Η Γεωμετρία έχει μάτια». Επστάιν έφα!
Και ας κουραστώ περισσότερο κάνοντας σχήμα:
https://i.ibb.co/9mn598N2/33.png
Όσοι πιτσιρικάδες θα μάθουν την παράγωγο θα μπορούν να λύνουν τέτοια προβλήματα.
Όμως θα καταλαβαίνουν τι συμβαίνει ή θα κάνουν κάτι μηχανικά όπως τον αλγόριθμο της διαίρεσης που εκτελούν χωρίς να τον καταλαβαίνουν;
Τι σημαίνει “καλλιέργεια” στα Μαθηματικά;

Καλησπέρα στους συμμετέχοντες στην πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση που ξεκίνησε με αφορμή την σχετική πρόσφατη ανάρτηση του Κωνσταντίνου με τον πολύ χαρακτηριστικό και εύστοχο τίτλο «Θα φτιάξω μια μακαρονάδα σε χρόνο dt και με θετική Ενέργεια».
Θεωρώ και εγώ ότι το να χρησιμοποιούμε την έκφραση «σε χρόνο ντε τε» για να εκφράσουμε το πολύ σύντομο, «το στιγμιαίο» είναι λάθος. Ένα λάθος που οφείλεται σε κάποια σύγχυση που απορρέει από τον τρόπο γραφής των σχετικών συμβολισμών.
Όσον αφορά σε αυτό δηλαδή στη γραφή των συμβολισμών:
https://i.ibb.co/RwpN6PY/1779208668-425.jpg

Καλησπέρα Γιάννη
Στην πολύ ωραία ανάρτηση σου αναδεικνύεις ότι είναι βολικό να χαρακτηρίζουμε κάποιες ποσότητες εκ των πραγμάτων πολύ μικρές και να χρησιμοποιούμε τον “βολικό” όρο στοιχειώδεις ποσότητες και να πορευόμαστε. Αυτό που λες το κάνουν τα βιβλία και το κάνουμε και εμείς στη διδασκαλία μας – και εγώ αυτό έκανα και αυτό το συμβολισμό “d κάτι” χρησιμοποιύσα για να δηλώσω κάτι πολύ μικρό κάτι “στοιχειώδες”. Κάποιες φορές έκανα μια νύξη σχετικά. Θα ήταν πιο δίκαιο να χρησιμοποιούσαμε κάποιο άλλο σύμβολο όπως κάποια βιβλία κάνουν όπως πχ “δ κάτι”. μια και το “d κάτι” είναι κατοχυρωμένο ως διαφορικό από τους εταίρους μας τους μαθηματικούς. Αυτό που δε μου αρέσει τελικά είναι ότι και με ευθύνη εμάς των φυσικών διαστρεβλώνεται ως προς τη σημασία της μια αυστηρά ορισμένη μαθηματική ένοια. Πως να το πω με ενοχλεί κάπως όπως όταν κάποιος λέει “να έρθουν όλα δεξιά” εγώ ποτέ δεν το λέω αν και μάλλον δεν είμαι αριστερός.
Αν πάλι κάτι επικρατήσει γλωσσικά .. τελικά υποκύπτουμε. All right εντελώς αυθόρμητα λένε οι Άγλλοι ..
Εγώ στα προηγούμενα σχόλια μου προσπάθησα να εξηγήσω ότι ένεκα της γραφής από εμάς των συμβόλων που σχετίζονται με την παράγωγο δημιουργείται κάποια σύγχυση.

Καλησπέρα Γιαννη και Μανώλη.Γιάννη στην εξίσωση F=dp/dt τα διαφορικα dp,dt δεν ειναι μικροτατες ποσοτητες.Καμια απο τις ποσοτητες dp,dt,dx,dυ που εμφανιζονται στον υπολογισμο που κάνεις δεν ειναι μικροτατη. Ειναι διαφορικα τα οποια τα διαιρούμε τα απλοποιουμε και τα χειριζόμαστε οπως θελουμε.

Μανώλη θα μπορούσε να είναι δ μικρό αντί d.
Θα μπορούσε να είναι οτιδήποτε.
Στα βιβλία που είχα σαν μαθητής (Αλεξόπουλος κ.ά.) ήταν d.

Κωνσταντίνε ξέρω τι είναι τα διαφορικά στη σχέση F=dp/dt.
Στους άλλους υπολογισμούς είναι μικρότατες ποσότητες.
Όταν λύνονται τέτοιες ασκήσεις παρουσία μαθητών χρησιμοποιούνται οι συμβολισμοί Δx , Δυ , Δt.
Με την υπόμνηση όμως ότι τείνουν στο μηδέν.
Φυσικά και δεν εκλαμβάνονται ως διαφορικά.

Να μην επαναλάβω για τον Αρχιμήδη που δεν τα ήξερε.