Γιάννης Κυριακόπουλος

Μία άσκηση που είχα από παλιά έτοιμη και μάλιστα είχα ζητήσει από τον Γιάννη Κυρ. να κάνει και το ip. Για να μην ξεχαστεί πάλι και δεν προλάβω την ύλη…

Καλό απόγευμα Χρήστο.
Η πρώτη λύση είναι η… ωραία, αλλά με βάση το βιβλίο και ό,τι διδάσκονται τα παιδιά, η δεύτερη είναι μονόδρομος…

Καλησπέρα Διονύση.
Σε ευχαριστώ γαι το σχόλιο.
Όπως λες η άσκηση είναι οριακή και αρχικά υπήρχε μόνο η πρώτη λύση. Λίγο πριν αναρτηθεί στο 90′ προστέθηκε η δεύτερη για να νομιμοποιηθεί και δεν σου κρύβω ήθελα να γράψω λύση αλλά Διονύσης καθώς μου θύμισε κάποια αντίστοιχη διακαιολόγηση που είχες δώσει σε μία άλλη δική σου.

Καλησπέρα παιδιά.
Χρήστο μια προσομοίωση:
Τρέχει αργά μια και σκόπιμα έβαλα ακρίβεια 2.000.

Γιάννη καλησπέρα.
Είχα βάλει πάνω το αρχικό ip που είχες κάνει. Αυτό είναι πιο ακριβές;

Μετά το είδα.
Έχουν ακριβώς την ίδια ακρίβεια (2.000) αλλά το δεύτερο δεν έχει συνθήκη παύσης.

Συγχαρητήρια Αποστόλη.
Διαβάζω:
πόλωση
Στη φυσική: φαινόμενο κατά το οποίο ο προσανατολισμός του ηλεκτρικού πεδίου στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα περιορίζεται σε συγκεκριμένο επίπεδο.
Μεταφορικά: δηλώνει την ύπαρξη ασυμβίβαστων άκρων, για παράδειγμα “η προεκλογική περίοδος ήταν ως συνήθως πολωμένη”.

Ακούγοντας τη μεταφορική χρήση του όρου σκέφτομαι την πόλωση:
https://i.ibb.co/nsm3YB8b/images.png
Έναν διαχωρισμό ενός πλήθους.

Καλημέρα παιδιά.
Τις προάλλες κατά τη διάρκεια μαθήματος μαθητής που ασχολείται σοβαρά με το μπάσκετ μου ανέφερε το momentum της ομάδας του. Από εκεί και η ιδέα. Η υιοθέτηση όρων της φυσικής γλώσσας από τους επιστήμονες, η αλλαγή της σημασίας τους εντός του επιστημονικού πλαισίου και η ανατροφοδότηση της καθημερινής γλώσσας από αυτούς έχει πράγματι μεγάλο ενδιαφέρον. Ας μείνουμε μακριά τόσο από πολώσεις, όσο και από υπερβατικές θεραπείες.

Καλημέρα Αποστόλη
γειά σου Γιάννη

Επιχειρώ να κολλήσω δυο σκέψεις στο όμορφο μπουκέτο με τις 34 λέξεις που μας πρόσφερες.

Οι επιστημονικοί όροι συνήθως αποτελούν δάνεια απ’ την καθημερινή γλώσσα (π.χ. Ισχύς)

Οι λέξεις της επιστήμης κάποιες φορές αποτελούν κατασκευές που επινόησαν οι επιστήμονες. Π.χ.

Εντροπία,

Κβάζαρ (quasar) / συντομογραφία του quasi-stellar radio source /σχεδόν αστρική ραδιοπηγή,

Λέιζερ (laser), ακρωνύμιο του Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation.

Ενδιαφέρον όμως έχουν οι όροι που κατάγονται απ’ την αρχαία ή την φιλολογική χρήση της γλώσσας και υπερέβησαν μέσα απ’ την επιστημονική χρήση τους την αρχική τους μη επιστημονική σημασία:

«ιοβόλο βέλος» δηλαδή δηλητηριασμένο / Βιολογία: ιός

Καταλύτης/ καταλύω, «διαλύω», «καταστρέφω»/ Χημεία: διευκολύνω την εξέλιξη μιας χημικής αντίδρασης

Το κουαρκ πάλι, αποτελεί ασαφή επιλογή σπουδαίου λογοτέχνη, του James Joyce, που το χρησιμοποιεί για να κάνει ρίμα (Three quarks for Muster Mark!) και επέλεξε ο Gell – Mann για να χαρακτηρίσει τα στοιχειώδη δομικά χαρακτηριστικά των αδρονίων.

Και βέβαια το λατινικό κβάντο που μπήκε στην επιστήμη απ’ τον Plank το 1900, βρίσκεται στα γραπτά όλων των σύγχρονων φυσικών αλλά και στα στόματα όσων καθημερινών συμπολιτών αναζητούν υπερβατικές θεραπείες

Μπράβο Αποστόλη.
Σε βλέπω να κινείσαι πολύ ευέλικτα και σε άλλους δρόμους ασχολούμενος με τη γλώσσα!
Ενδιαφέρον άρθρο, απλά ήθελα να σημειώσω ότι οι πρωτοπόροι της επιστήμης στη χώρα, γνώριζαν και πολύ καλά ελληνικά, με αποτέλεσμα οι όροι που καθιερώθηκαν στη χώρα μας, να είναι πολύ πετυχημένοι. Και ας υπάρχει πάντα και η μεταφορική διάσταση στα νοήματα.

Μια μικρή διόρθωση:στην 2η εικόνα στον παρονομαστή είναι m όχι 3!!

Αναφορά – πάλι – σε ένα πολύ όμορφο φαινόμενο, που πολλοί μαθητές δεν γνωρίζουν ότι έχει τεράστια σημασία και στην Αστρονομία. Παρόμοια αύξηση της ταχύτητας λόγω διατήρησης της στροφορμής παρατηρείται στην κίνηση κομητών και πλανητών όταν πλησιάζουν τον Ήλιο, καθώς και στην κατάρρευση αστρικών συστημάτων όπου η ακτίνα περιστροφής μειώνεται δραστικά.

Καλησπέρα Αντρέα.
Πολύ καλή μελέτη. Σε ένα θέμα που έχει συζητηθεί πολλές φορές. Ωραία η παρουσίαση που δείχνει και την μεταφορά ενέργειας αλλά και την ακτίνα καμπυλότητας και πως πρέπει να εφαρμόζεται η ΑΔΣ και η κεντρομόλος δύναμη.

Καλημέρα Ανδρέα. Μια ανάρτηση πλήρης ερωτημάτων που αξίζει να μελετηθεί!

Καλημέρα συνάδελφοι. Σας ευχαριστώ για τα σχόλια.
Χρήστο έχουν αναλύσει το φαινόμενο πολλοί καλοί συνάδελφοι. Αρκεί να βάλει κανείς στο ψαχτήρι “Τραπέζι τρύπα”. Όμως κάθε φορά που φτάνω στη στροφορμή, το μελετάω πάλι και ψάχνω τρόπο να το δώσω στους νέους μαθητές.
Αποστόλη έβαλα αρκετά ερωτήματα, ίσως το παράκανα…

Καλημέρα Ανδρέα.
Πέραν της ευθύγραμμης, της κυκλικής και της ελλειπτικής
υπάρχει και η σπειροειδής .
Ωραία τα ερωτήματα !
Καλή εβδομάδα
ΥΓ : v) …η ακτινική ταχύτητα υr ασκείται…)

Παναγιώτη καλημέρα. Ωραίο και κατατοπιστκό το φυλλάδιο για τη θερμοχημεία.
Πολύ ωραία η επισήμανση για την εύρεση του περιοριστικού αντιδρώντος, καθώς η τεχνική αυτή δεν περιλαμβάνεται στο σχολικό βιβλίο, και αν δεν κάνω λάθος, η θερμοχημεία είναι το πρώτο κεφάλαιο που οι μαθητές της Γ εμπλέκονται σε στοιχειομετρία.
Μια παρατήρηση για τη σχέση: Q = (ΔΗ x mol αντιδρώντος)/(συντελεστής αντιδρώντος). Η σχέση αυτή μπορεί να είναι συνεπής μόνο όταν το ΔΗ εκφράζεται σε J/mol. Αφού το βιβλίο δίνει το ΔΗ της αντίδρασης σε J τότε στον παρονομαστή είναι η στοιχειομετρική ποσότητα της αντίστοιχης αντίδρασης (όπως ακριβώς το γράφεις στην άσκηση 1). Αλλιώς δεν βγαίνουν σωστά οι μονάδες. Πρέπει δηλ. να αλλάξει η αναφορά στη σύντομη θεωρία.Επίσης, στην ίδια σχέση, η τιμή της ΔΗ νομίζω ότι θα ήταν καλύτερα να μην είναι σε απόλυτο ώστε να φαίνεται με σαφήνεια η έκλυση ή απορρόφηση θερμότητας.
Και μια πρόταση. Να συμπεριλάβεις και ένα παράδειγμα με μίγμα (ίσως με εξώθερμη και ενδόθερμη αντίδραση).

Κατά λάθος ανάρτησα ένα διαγώνισμα που δεν ήταν δικό μου και τώρα το αντικατέστησα με αυτό που ήθελα να αναρτήσω εξαρχής. Συγνώμη για το λάθος και την αναστάτωση που μπορεί να προκάλεσα.

Καλό απόγευμα Παύλο.
Κάποιος που είναι έξω από τις παράλληλες διαδικασίες του μαθήματος, δυσκολεύεται στον συντονισμό!
Ενώ σκέφτεται στροφορμή, του προκύπτει διαγώνισμα στις ταλαντώσεις!!!

Καλό απόγευμα, Διονύση. Έχεις δίκιο, με τις παράλληλες διαδρομές του μαθήματος οι αναρτήσεις πηγαίνουν από τη στροφορμή στις ταλαντώσεις και πάλι πίσω. Ευτυχώς, στις ταλαντώσεις υπάρχει και ο συντονισμός, οπότε ελπίζω να τον πετύχουμε! 🙂

Πάυλο καλησπέρα.
Χθες ετοιμαζόμουν να κάνω σχόλιο στο διαγώνισμα που απέσυρες και κατόπιν βλέπω το καινούργιο…
Ζητάς βασικές γνώσεις που είναι απαραίτητο να γνωρίζει ένας υποψήφιος.

Γεια σου Χρήστο, έχεις δίκιο ο στόχος του συγκεκριμένου διαγωνίσματος είναι να ελέγξει βασικές γνώσεις.

Καλημέρα Διονύση.
Ωραίο θέμα για εξέταση …διαφόρων…!
Καλή Κυριακή

Καλημέρα Διονύση και Παντελή.
Ωραίο θέμα που όπωε λέει ο Παντελής εξετάζει πολλά και σηκώνει πολλά. Με ψυχραιμία αν δεν φοβηθεί κάποιος με το σχήμα γίνεται σιγά σιγά προσβάσιμο.

Καλό απόγευμα Παντελή και Χρήστο και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Nαι Διονυση ειναι δεδομενο στην ασκηση οτι η αρχικη θεση ειναι θεση ασταθους ισορροπιας και ετσι μπορει ο αναγνωστης να συνεχισει να λυνει την ασκηση.To εγραψα και πριν. Aν οντως αυτο το δεδομενο ισχυει στην πραγματικοτητα,και οχι απλως ως υποθεση της ασκησης,τοτε το προβλημα ειναι καλως τεθέν. Αν δεν ισχυει όχι. Εσυ ομως που δινεις αυτο το δεδομενο εισαι πεπεισμενος οτι ισχυει; Το εχεις τσεκαρει με καποιο τροπο ή απλως το δινεις ως δεδομενο, διοτι κατα την γνωμη μου δεν ειναι προφανες. Αν η αρχικη θεση ειναι θεση ευσταθους ισορροπιας,τοτε μολις το εκτρεψεις λιγο,αυτο θα γυρισει παλι πισω και ας δινεις εσυ οτι θα φτασει στο Β.

Kαλησπερα Διονύση,Παντελή και Χρήστο. Διονυση ωραια ασκηση και δυσκολη. Νομιζω οτι θα μπορουσε καποιος να ρωτησει απο που προκυπτει οτι η θεση Α ειναι θεση ασταθους ισορροπιας οπως η θεση 1 του σχηματος που βαζω,ωστε με μια μικρη εκτροπη να μην γυρισει πισω αλλα να κινηθει οντως προς την θεση Β,ή πιο γενικα απο που προκυπτει οτι δεν υπαρχει πριν την θεση Β ενα μεγιστο δυναμικης ενεργειας (ελατηριο+βαρυτητα),υψηλοτερο απο την δυναμικη ενεργεια στην θεση Α. Αν συμβαινει κατι τετοιο,τοτε το σωμα δεν θα φτασει στην θεση Β ποτέ. Ναι μεν μπορει κανεις να αγνοησει αυτες τις παρατηρησεις και να λυσει κανονικα το προβλημα,αλλα αν κατι τετοιο ισχυει,δεν ξερω αν τοτε το προβλημα μπορει να θεωρηθει καλως τεθεν. Σκεψου ενα προβλημα βασισμενο στο σχημα που βαζω εδω απο κατω,οπου με μια μικρη εκτροπη απο την θεση ισορροπιας 1,το σωμα αφηνεται ελευθερο και ζητειται η ταχυτητα του σε μια θεση χαμηλοτερα της 1,αλλα δεξιοτερα της 5. Ενα ΑΔΜΕ ή ΘΜΚΕ ,οτι επιθυμει κανεις,δινει ευκολα την απαντηση,μονο που εκει οπου ζητειται η ταχυτητα,το σωμα δεν θα φτασει ποτε. Ειναι καλως τεθεν το προβλημα; Kατα την γνωμη μου στην δικη σου περιπωση θελει αποδειξη οτι το σωμα θα φτασει στην θεση Β.
https://i.ibb.co/WWxh8rBx/images-2-1792932542-4301.png

Επανέρχομαι με ερώτημα που έθεσα στο gemini και μια “συζήτηση” που ακολούθησε μετά την πρώτη του απάντηση. Το ερώτημα:

https://i.ibb.co/KcHh12J9/08.png
Και όλη η συζήτηση, σε ένα αρχείο pdf, περί:
Ανάλυση Ευσταθούς Ισορροπίας 

Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Δεν βλέπω πού μπορεί να ισχύουν τα όσα αναφέρεις στο σχόλιό σου.
Πρώτα – πρώτα το σώμα θα φτάσει στη θέση Β, αφού έτσι “δίνει η εκφώνηση”!
Δεν ζητάμε να διερευνηθεί αν θα φτάσει. Αυτό είναι δεδομένο.
Επί της ουσίας όμως.
Η εκφώνηση δίνει την αρχική θέση “στη θέση Α, στην κορυφή μιας λείας ημισφαιρικής επιφάνειας, ακτίνας R=0,5m, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του l0=12,5cm.”
Δεν είναι φανερό ότι ισορροπεί στην κορυφή του ημικυκλίου; Είναι φανερόν.
Με οποιοδήποτε ελατήριο θα φτάσει στο Β; Προφανώς όχι, αλλά δεν έδωσα μια σταθερά ελατηρίου, οπότε να απαιτείται έλεγχος ότι θα φτάσει στο Β!
Έδωσα ότι φτάνει και ζήτησα τη σταθερά!!!
Αν έδινα μια σταθερά Κ=300Ν/m τότε θα μπορούσε να φτάσει το σώμα σε μια θέση Ζ όπου η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου να ήταν ίση της μείωσης της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, όπου θα μηδενιζόταν τότε η κινητική του ενέργεια.
Και τότε αυτή η θέση θα μπορούσε να ήταν πριν το Β…
Τώρα όμως είναι δεδομένο ότι: Η αρχική θέση είναι θέση μέγιστης βαρυτικής δυναμικής ενέργειας (ασταθής ισορροπία), οπότε μόλις εκτραπεί θα ολισθήσει πάνω στην επιφάνεια και μετά από λίγο περνάει από το Β, εξ υποθέσεως.

Καλημερα Διονύση. Εντάξει επείσθην. Ευχαριστω πολυ για την απαντηση.

Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Επειδή πείστηκες με βάση τα μαθηματικά, τα οποία δεν είναι και ο ευκολότερος τρόπος απόδειξης, να αναλύσω λίγο περισσότερο το πρώτο μου σχόλιο και τη σκέψη μου, όταν έγραφα την άσκηση (όταν προφανώς δεν είχα κάνει τις μαθηματικές αποδείξεις που παρέθεσα, ούτε είχα ρωτήσει την ΑΙ).
Αν υποθέσουμε ότι το ελατήριο έχει σταθερά k=1N/m (είχα φανταστεί ένα πολύ μαλακό λάστιχο…), τότε δεν υπάρχει περίπτωση να συγκρατήσει ένα σώμα των 2kg αν εκτραπεί από την αρχική του ισορροπία. Το σώμα θα γλιστρήσει.
Αν αντίθετα έχουμε ένα πολύ σκληρό ελατήριο π.χ, k=1000N/m, ακόμη και όταν δεν υπάρχει η επιφάνεια, (απλά το ελατήριο ήταν κατακόρυφο), η μέγιστη επιμήκυνσή του θα ήταν 2cm, οπότε αν το σώμα κινηθεί στην επιφάνεια, θα έχουμε ακόμη μικρότερη επιμήκυνση και δεν πρόκειται το σώμα να φτάσει στο Β.
Αλλά τότε με k που να αρχίζει να αυξάνεται από πολύ μικρές τιμές. για κάποια τιμή το σώμα θα φτάσει στο Β και για κάποια μικρότερη τιμή το σώμα θα έχει και ταχύτητα.
Οπότε η άσκηση στήθηκε στη λογική, βρείτε το k, άσκηση η οποία αν είμαστε στη δεκαετία του 70 θα είχε μόνο αυτό το ερώτημα… Τα υπόλοιπα ήταν για να φτάσουμε στην απάντηση της μίας αυτής ερώτησης…

Καλησπέρα Αποστόλη,
Πολύ καλή. Εξετάζει πλήρως τη χρήση του γενικευμένου νόμου. Απαιτεί καλό χειρισμό απο ενα μαθητή.

Καλημέρα Αποστόλη.
Ωραία η “σκάλα” των ερωτήσεων , “γλιστρερή”
σε ορισμένα σκαλοπάτια όπως π.χ το τελευταίο και
απαιτείται προσοχή .

Καλημέρα Χρήστο και Παντελή και σας ευχαριστώ.

Καλημέρα Παύλο.
Αρκετή πρωτοτυπία ,για μένα, τα “ελλειπτικά” διαγράμματα!
Σημαντική λεπτομέρεια των “οπών” τις χρονικές στιγμές που δεν χωρούν δυο τιμές για την α.
Με την ευκαιρία του προσδιορισμού της t όπου X=0 ,μπορούμε εναλλακτικά να φέρουμε στην επιφάνεια την “οδό Θαλή” και την ομοιότητα: 4/4=(t-10)/(12-t) …t=11s
Να είσαι καλά και πάντα δραστήριος

Καλημέρα Παντελή, σε ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια και τις εύστοχες παρατηρήσεις!
Η ιδέα με τα «ελλειπτικά» διαγράμματα ήταν να χρειαστεί ο μαθητής να συνδυάσει τις πληροφορίες τους, ώστε να ανασυνθέσει ολόκληρη την κίνηση. Χαίρομαι που στάθηκες και στις «οπές»: μια μικρή σχεδιαστική λεπτομέρεια με ουσιαστικό φυσικό περιεχόμενο.
Πολύ όμορφη και η «οδός Θαλή»! Η ομοιότητα των τριγώνων δίνει άμεσα t = 11 s και αναδεικνύει τη γεωμετρική ανάγνωση του διαγράμματος. Ωραία ευκαιρία να θυμηθούν οι μαθητές ότι η Γεωμετρία είναι πολύτιμος σύμμαχος της Φυσικής!
Να είσαι κι εσύ καλά!

Καλημέρα Παύλο. Πρωτότυπο και πολύ ωραιο. Θα το αξιοποιήσω..θα αρέσει στους μαθητές. Ευχαριστούμε.

Καλημέρα Δημήτρη. Σε ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια. Χαίρομαι ιδιαίτερα που θα την αξιοποιήσεις στην τάξη σου. Ελπίζω να κινήσει το ενδιαφέρον των μαθητών. Να είσαι καλά!

Καλημέρα παιδιά. Παιχνιδιάρικο θέμα Παύλο!

Καλημέρα Αποστόλη, χαίρομαι που σου αρέσει.

Καλημέρα Παύλο.
Πολύ καλή ιδέα να αφήσεις κενά επιμέρους διαστήματα.

Καλημέρα Χρήστο, ευχαριστώ!

Καλημέρα Διονύση.
Πέραν των άλλων θαυμάζω την εγκράτεια σου,
να μη «φορτώνεις» τα μοντέλα με πλήθος ερωτήσεων,
αλλά να θέτεις το στόχο σου καθαρό προς τον …εξεταζόμενο λύτη.
Συγχρόνως δίνεις στους σχολιαστές «βήμα» για επί πλέον «φορτία»
και αναφέρω τη σύμπτωση σχετικά… χθες είχα παρέα τον εγγονό και
παίζαμε με ένα spinner, …το κρατούσε περιστρεφόμενο οριζόντια με το δείκτη και τον αντίχειρα οπότε του είπα να το γυρίσει κατακόρυφα και ο μπαγάσας
μου λέει…ξέρω ξέρω θα νοιώσω αντίδραση, το είχαμε κάνει!
Είπαμε ολίγα…και καταλήξαμε πως οι αλλαγές- μεταβολές χρειάζονται δράση…
Να είσαι πάντα καλά

Καλό απόγευμα Παντελή και σε ευχαριστώ.
“ο μπαγάσας μου λέει…ξέρω ξέρω θα νοιώσω αντίδραση, το είχαμε κάνει!”
Να τον χαίρεσαι τον εγγονό!!!

Καλημέρα Παναγιώτη.
Ελκτικός ο διάλογος, με καθαρές τις περιγραφικές εκφράσεις και
πετυχημένες τις παρομοιώσεις στο πολύπλοκο θέμα.
Μ’ άρεσε

Καλημέρα αγαπητέ Παντελή, έχει οντως ενδιαφερον ο διαλογος – και αποτελει αν συμφωνεις διαφορετικη προσεγγιση – ακουγεται και στο αμαξι ευχαριστα (και με πιθανα μικρολαθακια) – να εισαι παντα καλα!

Η καθαρότητα του ακατέργαστου διαμαντιού σε διαμάντι είναι 90% w/w.

Καλησπέρα Κωνσταντίνε. Συμφωνώ ότι η λύση 1 δεν είναι για μαθητές.
Το βήμα 14+2=16 δεν αιτιολογείται.
Το βήμα 16/2 = 8 επίσης δεν αποδεικνύεται.
Η σχέση α(ε) = (αΑ – αΒ)/2 = (2 + 14)/2 = 8, δηλαδή ο κανόνας “η επιτρόχια επιτάχυνση ισούται με το μισό της διαφοράς των επιταχύνσεων των δύο σημείων επαφής”, μόνο σε Φυσικό απευθύνεται.
Επίσης δε βλέπω στην Λύση 1 κάτι για τις κατευθύνσεις των διανυσμάτων, όπως αυτές πολύ ωραία φαίνονται στη Λύση 2.
Η αt είναι η αcm μάλλον.

Kαλησπερα Ανδρεα.Σε ευχαριστω για το σχολιο.Η λυση 1 δεν ενα γραμμενη γα να παρουσιαστει. Ειναι μια επιδειξη του πως μπορει ενας ειδικος να σκεφτει την απαντηση σε δευτερολεπτα.Τα παντα αιτιολογουνται μεσα στο μυαλο αυτου που τα σκεφτηκε. Δεν χρειαζεται πολυλογια.
Οχι η αt δεν ειναι η αcm.

Κωστα ωραιο προβλημα !

Τωρα όσον αφορα τη λύση του προσθετω πιο κάτω μια , θελω να πιστευω αναλυτικη στην οποία εχω προσθέσει και κάποια πραγματα. Στη λύση φαίνεται και αυτός ο μέσος ορος στον οποίο αναφέρεσαι .

https://i.ibb.co/3mT0C5Rp/image.png

Καλησπέρα παιδιά.
Κωνσταντίνε ορισμένες φορές η σκέψη σου με τρομάζει γιατί δεν ειναι η τετριμμένη, η συνήθης. Θα ανεβάσω μια λύση την συνήθη και μια άλλη που έμαθα απο σένα υπολογιζοντας ουσιαστικά τον στιγμιαιο άξονα χωρις να τον ονομάσω παιρνοντας υπόψη ότι πρεπει να υπαρχει γραμμική κατανομή επιταχυνσεων. Ειχε συζητηθεί κατι αντιστοιχο σε αναρτηση του Ανδρεα με αφορμή σχολιο σου. Εξάλλου η πρωτη λυση σου περι μέσου όρου υπονοεί γραμμικη εξάρτηση

Καλημέρα παιδιά.
Ένας παρατηρητής στο κάτω βλέπει 16 για το Α και μηδέν για το Β.
Βγάζει το μισό (8) για το κέντρο και συμπεραίνει ότι αγ=8/0,5=16.
Εμείς βλέπουμε ίδια αγ αλλά διαφορετική επιτάχυνση στο κέντρο, 14 λιγότερο ήτοι 6 προς τα δεξιά..

Καλημέρα σε όλους. Και εγώ στην αρχη αυτές τις ασκήσεις τις λύνω όπως ο Κωνσταντίνος στ (α) και ο Γιάννης. Μετα κανω τη “ορθοδοξη ” λυση. Νομίζω όμως ότι και στην τάξη μπορούμε να το πούμε (σε ανάλογες περιπτώσεις το ελεγα). Πάντα υπάρχουν κάποιοι μαθητές που τους αρέσουν να ακούν εναλλακτικούς τρόπους σκέψης.

Καλημέρα παιδιά.
Στην ουσία όποια λύση στηρίζεται σε 2 προτάσεις
1) Θεώρημα Chasles
2) Όλοι οι αδρανειακοί παρατηρητές αλλά και οι επιταχυνόμενοι που η διεύθυνση της επιτάχυνσης είναι ίδια με την διεύθυνση της μεταφορικής κίνησης αντιλαμβάνονται ίδια ω και ίδια α γωνιακή.
Έτσι σαν παιχνίδι ανεβάζω κάμποσες λύσεις

https://i.ibb.co/tTTsNXY1/Konst2.jpg

https://i.ibb.co/1YxWKkJ9/Konst3.jpg

…συνεχιζεται

https://i.ibb.co/gFTtZWwc/Konstant.jpg

Κώστα,Γιώργο Κόμη,Γιάννη Γιώργο Χριστόπουλε σας ευχαριστω πολυ για τα σχόλια.
Κωστα στο σημειο που γραφεις α=16r/ss ,η ασκηση εχει τελειωσει.Στην συνεχεια βρισκεις και άλλα πραγματα. Βρισκεις την επιταχυνση του κεντρου. οκ.Μετα γραφεις καποιες εξισωσεις για καποια διαστηματα τις οποιες δεν τις πολυκαταλαβα. Για παραδειγμα η συνεπαγωγη αcm=3S2=>Scm=3S2 δεν μου φαινεται σωστη διοτι απο τις επιταχυνσεις μονο,δεν μπορεις να βγαλεις συμπερασματα για τα διαστηματα διοτι δεν γνωριζεις τις αρχικες συνθηκες.Εκτος αν κατι δεν καταλαβαινω.
Γιάννη αυτο το στυλ μου αρεσει,με δυο κουβεντες να βρισκεις αποτελεσμα. Εβαλες παρατηρητη στο κατω και τελος. Εγω τον εβαλα στο κεντρο.
Γιωργο Κομη το ανελυσες πληρως παρουσιαζοντας μια μεθοδο με υποδειγματικο τροπο. Μακαρι οπως τα γραφεις να υπηρχε ο χρονος να τα δειξουμε στους μαθητες στην ταξη.
Και κατι ακομα. Δεν μου αρεσει να βλεπω αcm και γενικα τον συμβολισμο CM σε τετοιες περιπτωσεις. Κεντρο μαζας δεν υπαρχει και αν υπαρχει δεν ξερουμε που ειναι.Η επιταχυνση του κεντρου δεν ειναι αcm
Mπορει αυτα που κινουνται να ειναι μονο εικονες,αλλα και υλη να ειναι,κανενας δεν μας ειπε που βρισκεται το κεντρο μαζας και ουτε μας ενδιαφερει.Ενας κυκλος υπαρχει και το κεντρο του.

Καλημέρα.

Κώστα όσον αφορα τη συνεχεια που εχω δώσει , υποθέτω ότι έχουν όλα τα σώματα ξεκινήσει από την ηρεμια.

Τώρα όσον αφορα τον αρχικό σου χειρισμο καθως και την αναλυση του Γιώργου Κόμη.
Εφόσον γενικά έχουμε :

α=αcm + αγ*y (αλεβρικές τιμές) με -0.5m=<y=<+0.5m

όπου θεωρώ ότι για y=-0.5m (σημείο Β) είναι α = +14m/s^2

και για y=+0.5m (σημείο Α) είναι α = -2m/s^2

από τα δεδομενα σου μπορούμε να βρουμε την κλίση που είναι η γωνιακή επιτάχυνση

αγ= -16r/s^2 .

Στη συνέχεια υπόλογιζει κάποιος και την επιτάχυνση του κέντρου του δίσκου που το έχουμε θεωρήσει ότι είναι το κέντρο μάζας , χωρίς να είναι απαραίτητο όπως λες , και είναι αcm = + 6m/s^2 .

Τελικα έχουμε μια εξίσωση ευθείας :

α = 6 – 16*y , S.I. με -0.5m=<y=<+0.5m

Ναι Κώστα συμφωνώ.

Λίγο ετεροχρονισμένα μιας και είμαστε σε αναρτήσεις στη στροφορμή.

Γεια σου Χρήστο, πολύ ωραία άσκηση, μήπως θα έπρεπε να δοθεί σαν δεδομένο ότι η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι σταθερή; Το αναφέρω γιατί νομίζω πως αν είναι κατάλληλες οι συνθήκες μπορεί ακόμα και το κέντρο μάζας να έχει την ταχύτητα που απεικονίζεται στην γραφική παράσταση.

Καλησπέρα Χρήστο. Πολύ ωραία άσκηση. Δίνει την εικόνα του τι “γίνεται” κάθε στιγμή στα διάφορα σημεία του κυλιόμενου τροχού. Και καθόλου ετεροχρονισμένη, αφού έρχεται διαγώνισμα τετραμήνου στο Στερεό. Μια εικόνα από το i.p.
https://i.ibb.co/nqW9jB6R/disk1.jpg
To i.p. ΕΔΩ

Παύλο και Αντρέα καλησπέρα.
Ευχαριστώ για το σχόλιο.
Παύλο θα προσθέσω την πρόρασή σου αν και πιστεύω πως το κ.μ. δηλώνεται με το σημείο Ο. Ωστόσο για λόγους πληρότητας θα προστεθεί.
Αντρέα σε ευχαριστώ για το i.p. Η οπτική αναπαράσταση βοηθά πάντα.

Καλημέρα Χρήστο.
Ωραία τα ερωτήματα στη “ρόδα”.
Για να δώ αν σωστά κατάλαβα το σχόλιο του Παύλο…σου πρότεινε τη σταθερότητα του cm ,ώστε να συνεπάγεται ότι το cm είναι το κέντρο του τροχού ,μια και δεν τον αναφέρεις σαν ομογενή ;
Να είσαι καλά

Καλημέρα Παντελή
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Ο Παύλος είπε ότι μπορεί με κατάλληλο τρόπο και το κέντρο μάζας να έχει αυτή την μεταβολή της ταχύτητας και δεν αναφέρεται πουθενά ούτε υπονοείται η σταθερή μεταφορική ταχύτητα.
Τώρα δεδομένου ότι κάνουμε κινηματική δεν είναι απαραίτητο να έχουμε ομογενή τροχό. Αρκεί το κέντρο του να έχει σταθερη ταχύτητα. Όμως δεδομένου ότι τη σύνθετη κίνηση την αναλύουμε συνήθως σε μεταφορική του κέντρου μάζας και στροφική περί αυτού του σημείου αναφέρεται αποκλειστικά έτσι.

Ευχαριστώ Χρήστο.
Με είχε ενημερώσει ο Παύλος και κατανοητά είναι αυτά που λες.
Όμως να πω κάτι:
γράφεις:”Ένας τροχός κυλίεται σε οριζόντιο δάπεδο έχοντας σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας,…”
Από αυτή την έκφραση συμπεραίνω ότι το cm είναι στο κέντρο του τροχού που είναι το μόνο σημείο το οποίο μπορεί να έχει σταθερή ταχύτητα(εννοείται διανυσματικά) και όλα καλά. Σωστά η όχι;

Παύλο ωραία άσκηση.
Στα τμήματα Γενικής, θα την εκτιμούσαν οι μαθητές Θετικών επιστημών. Η διερεύνηση που απαιτείται για τους υπόλοιπους είναι απλησίαστη.

Καλό απόγευμα Παύλο.
Μια ωραία άσκηση για ένα μάθημα (και ιδιαίτερα για ένα κεφάλαιο), ξεχασμένο…
Χαίρομαι που βλέπω ότι αφιέρωσες το χρόνο σου, για ένα θέμα που μπορεί να εκτιμηθεί από ελάχιστους μαθητές-καθηγητές…

Καλησπέρα Ανδρέα και Διονύση, ευχαριστώ για τα σχόλια και χαίρομαι που σας αρέσει. Ελπίζω να φανεί χρήσιμη.

Καλημέρα σε όλους.

Νομίζω ότι οι ηλεκτρικές δυνάμεις δεν είναι οριζόντιες. Και γι’ αυτό σε κάθε κύβο, στην κατακόρυφη διεύθυνση, δεν ισχύει N = mg.

Περισσότερα εδώ: Ηλεκτρισμένο μπαλόνι σε οροφή ή σε τοίχο: Ίδιες δυνάμεις; – Υλικό Φυσικής – Χημείας

Καλό Σαββατοκύριακο! Ανδρέα, καλημέρα και ευχαριστώ για την επισήμανση.
Η παρατήρησή σου έχει φυσική βάση: το ότι ένα επίπεδο είναι μονωτικό δεν αποκλείει την πόλωσή του και την ηλεκτρική αλληλεπίδρασή του με τα φορτισμένα σώματα. Μια πρόσθετη ηλεκτρική έλξη προς το επίπεδο θα επηρέαζε την κάθετη αντίδραση και, επομένως, την οριακή τριβή.
Στην άσκηση ακολουθείται η σχολική προσέγγιση κατά την οποία αυτές οι αλληλεπιδράσεις παραλείπονται. Αντίστοιχη προσέγγιση χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο της Β΄ Λυκείου Προσανατολισμού στο Παράδειγμα 5.6, σελ. 156–157: εξετάζει δύο φορτισμένα σφαιρίδια πάνω σε λείο μονωτικό δάπεδο, συνυπολογίζοντας μόνο την αμοιβαία ηλεκτρική αλληλεπίδρασή τους.
Η αναλυτική παρουσίαση της πόλωσης των διηλεκτρικών υπάρχει στο ίδιο βιβλίο, αλλά η συγκεκριμένη ενότητα δεν περιλαμβάνεται στη φετινή διδακτέα ύλη. Αυτό βέβαια δεν αναιρεί το φαινόμενο ούτε υποκαθιστά την ανάγκη σαφούς διατύπωσης των παραδοχών μας.
Πρόσθεσα λοιπόν στην εκφώνηση τη διευκρίνιση: «Οι ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις των φορτισμένων σωμάτων με το μονωτικό επίπεδο θεωρούνται αμελητέες».
Έτσι αποσαφηνίζεται το μοντέλο της άσκησης με διατύπωση κατανοητή και στους μαθητές της Γενικής Παιδείας. Ευχαριστώ για την αφορμή να γίνει η εκφώνηση ακριβέστερη.

Καλησπέρα Διονύση. Όμορφη ιδέα σε κάτι ξεχασμένο και δυστυχώς παραγκωνισμένο…
Φυσικά το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο και της διαδρομής.
Να είσαι καλά!

Καλό απόγευμα Μίλτο και σε ευχαριστώ.
Έτσι όπως το λες. Κάτι “ξεχασμένο και παραγκωνισμενο”!

Καλησπέρα Διονύση και Μίλτο.
Πολύ καλή. Είμαι στις ενέργειες, οπότε θα την κάνω σίγουρα με χρήση ΘΜΚΕ για να τους πείσω γιατί το έργο βγαινει μηδέν.
Σαν απάντηση γ θα έβαζα ότι το έργο είναι μηδενικό.

Καλημέρα σε όλους. Πολύ όμορφη! Μια παρόμοια προσεγγιση:https://i.ibb.co/5hhhBYC9/okt-10.png

Πολύ όμορφο!

Συναφές βίντεο:

Μια λύση:
https://i.ibb.co/SwrZkDr4/55.png

Καλησπέρα, Γιώργο. Σε ευχαριστούμε πολύ για τα καλά λόγια και για την όμορφη προσέγγιση! Η σύνδεση της συνθήκης κύλισης με τη σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας δίνει μια σύντομη και κομψή γεωμετρική απόδειξη. Χαίρομαι που πρόσθεσες αυτή την οπτική στη συζήτηση!
Καλησπέρα, Γιάννη. Σε ευχαριστούμε πολύ για τα καλά λόγια, το σχετικό βίντεο και τη λύση! Πολύ όμορφη η αξιοποίηση του στιγμιαίου κέντρου περιστροφής: η ορθή γωνία που βαίνει στη διάμετρο ΕΟ οδηγεί αμέσως στο ότι η ταχύτητα του Α έχει τη διεύθυνση της ΑΟ. Έτσι, η γεωμετρία συναντά την κινηματική και δίνει έναν ακόμη σύντομο δρόμο προς το αποτέλεσμα. Ωραίο συμπλήρωμα στην ανάρτηση!

Καλησπέρα Γιώργο και Γιάννη!!Ευχαριστώ και εγώ με την σειρά μου,για το σχολιασμό της ανάρτησης..Γιάννη εντυπωσιασμένος με την σύντομη και κατανοητή λύση σου!!!!Να είστε καλά!!!

Καλημέρα Παύλο. Πολύ όμορφο θέμα.
Πολύ χρήσιμες και ωραίες οι λύσεις στα σχόλια του Γιώργου και του Γιάννη.

Καλημέρα Δημήτρη, σε ευχαριστούμε (ο Γιώργος και εγώ) για το σχόλιο, χαίρομαι που σου αρέσει.

Πολύ εύληπτη και ακριβής προσέγγιση του θέματος.

Ευχαριστούμε κ. Νίκο Σφαρνά για τον θετικό σχολιασμό.

Παύλο και Γιωργο εχω δει αρκετες φορες το video στο youtube και όντως έχει πολύ ενδιαφέρον. Μελέτησα την απόδειξή σας καθώς και τις αποδείξεις του Γιώργου και του Γιάννη .
Παρακάτω κάνω και εγω μια προσπάθεια ελπίζω να είναι σε καλό δρόμο …..

https://i.ibb.co/6R1Nj4mv/image.png

Γιώργο καινΠαυλο καλησπέρα
Καλα κανατε και αναδείξατε το παραπάνω θέμα. Ωραίες και οι επιπλέον λυσεις και συμπληρώσεις απο τους συναδέλφους.

Καλησπέρα Κώστα και Χρήστο σας ευχαριστούμε για τον σχολιασμό. Κώστα πολύ όμορφη και η δική σου λύση!

Γειά σου Παύλο κι αποδώ.
Πριν 10 χρόνια (νεράκι που τρέχει τα τιμημένα) είχα σχετική ανάρτηση, στα σχόλια της οποίας είχαν αναρτηθεί διάφορες
απαντήσεις από τον Χόρτη ,τον Σταματόπουλο ίσως και τον Μητρόπουλο μια κι εγώ αδυνατούσα, οι οποίες όμως δυστυχώς δεν παρέμειναν και γιαυτό δεν παραπέμπω.
Με αιτία τη δική σου όμως θυμήθηκα πως είχα περιγράψει μια κατασκευή χειροποίητη, για να δω τη μη αυτονόητη γραμμική ταλ/ση και την μεταφέρω εδώ…
“Πάμε τώρα για την κατασκευή του μοντέλου.
Παίρνουμε ένα χαρτόνι κάποιου πάχους (π.χ. 0,2 cm η και παραπάνω) [Στο σχήμα το καφετί ]
Χαράζουμε το κύκλο (R περίπου 10cm) και αφαιρούμε το χάρτινο δίσκο ακτίνας R δημιουργώντας ένα κενό [στο σχήμα το λευκό]
Από το δίσκο που αφαιρέσαμε κόβουμε ένα κυκλικό δισκάκι ακτίνας R/2 (το βεραμάν στο σχήμα) στο οποίο ανοίγουμε μια τρυπούλα όσο το δυνατόν κοντά στην περιφέρεια του (η κόκκινη στο σχήμα)
Τοποθετούμε πάνω στο γραφείο μια κόλλα Α4 και πάνω της το χαρτόνι με την τρύπα R και το δισκάκι R/2 σε επαφή …όπως στο σχήμα
https://i.ibb.co/WvNKcBSs/image.png
Αν βάλετε τη μύτη ενός μαρκαδόρου (ή μπίκ) στη κόκκινη τρυπούλα με το μπικ κάθετα στο επίπεδο του χαρτονιού και τον κρατήσετε σε επαφή με το χαρτί (Α4) ενώ κυλάτε το δισκάκι χωρίς ολίσθηση θα δείτε …ότι το μπικ έχει γράψει στο Α4 μια ευθεία (μωβ)!!
 Βλέπω πως η κίνηση που θα κάνει το υλικό σημείο (κόκκινη τρυπούλα ) κατ’αρχή είναι γραμμική ταλάντωση !

Γεια σου και από εδώ, Παντελή, και σε ευχαριστώ πολύ που μετέφερες εδώ την κατασκευή σου! Το νεράκι τρέχει, αλλά ευτυχώς οι ωραίες ιδέες ξαναβρίσκουν τον δρόμο τους! 🙂
Πολύ όμορφη η πρόταση με το χαρτόνι και το δισκάκι: δίνει στους μαθητές την ευκαιρία να δουν το αποτέλεσμα να αποτυπώνεται στο χαρτί και έπειτα να αναζητήσουν τη γεωμετρική του εξήγηση. Είναι κρίμα που δεν διασώθηκαν οι παλιές απαντήσεις, αλλά χαίρομαι που η ανάρτησή μας έγινε αφορμή να επανέλθει αυτή η πρακτική προσέγγιση. Συμπληρώνει πολύ όμορφα τη συζήτηση!

Η εκφώνηση διορθώθηκε ύστερα από τη συζήτηση ΕΔΩ

Ανδρεα αναρωτιεμαι το εξής : εχεις βγαλει μια ακτινα κυκλικης τροχιας που είναι περιπου 8.66cm . Αν αυξησουμε τη γωνιακη ταχύτητα δεν θα έχουμε αυξηση και της ακτινας της κυκλικης τροχιας ; Τότε για μια ακτίνα 9cm θα έχουμε ημθ’ = r’/L = 0.9 ==> θ’ = 64 μοιρες περιπου τότε συνθ’=0.44 άρα θα έχουμε μια ανοδο κατα h=L*(συνθ-συνθ’) = 0.06*L = 0.6cm .

Γιατί θεωρείς ότι γωνία θ δεν αλλαζει ; εκτιμω λοιπον ότι από τη στιγμη που προσφερουμε ενεργεια θα έχουμε μια νεα κυκλικη τροχια που το επιπεδο της θα βρισκεται πιο ψηλα από το αρχικο επίπεδο της κυκλικης τροχιας που εκτελουσε το σώμα. Αρα θα χάσει πλεον την επαφη του με το δαπέδο.

Καλησπέρα Κώστα. Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γράφεις:
“Από τη στιγμή που προσφέρουμε ενέργεια το σώμα θα χάσει πλέον την επαφή του με το δάπεδο».

Για να φτάσει η σφαίρα στην ακτίνα των 9cm (και γωνία 64), θα πρέπει να έχει σηκωθεί από το τραπέζι. Για να σηκωθεί, πρέπει η κάθετη αντίδραση N να γίνει μηδέν. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν η γωνιακή ταχύτητα φτάσει σε μια συγκεκριμένη κρίσιμη τιμή ω0=14,14rad/s, όπως υπολογίζεται στο ερώτημα (iv).
Αν ξεκινήσεις από ω=10rad/s και πας στο 11rad/s, η γωνία θ θα παραμείνει 60 μοίρες. Το μόνο που θα αλλάξει είναι ότι το τραπέζι θα ασκεί στη σφαίρα μικρότερη δύναμη N.

Η ενέργεια πού πηγαίνει;
Πράγματι, προσφέρουμε ενέργεια για να αυξήσουμε το ω. Όμως όσο η σφαίρα είναι στο τραπέζι, η δυναμική της ενέργεια δεν αλλάζει (το ύψος της είναι σταθερό). Όλη η ενέργεια που προσφέρουμε μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια (λόγω της μεγαλύτερης ταχύτητας περιστροφής). Μόνο τη στιγμή που το N γίνει μηδέν και χάνεται η επαφή, η σφαίρα αρχίζει να ανεβαίνει. Τότε, η ενέργεια που προσφέρουμε αρχίζει να μετατρέπεται και σε δυναμική μέχρι να βρει τη νέα της θέση ισορροπίας.
Σωστά γράφεις ότι αν η σφαίρα βρεθεί σε ακτίνα 9cm, τότε θα έχει σηκωθεί και η γωνία θα είναι 64..
Αλλά το ερώτημα εξετάζει τη φάση πριν χαθεί η επαφή. Όσο το τραπέζι είναι εκεί και την κρατάει, η γωνία δεν μπορεί να αλλάξει. Η αλλαγή της γωνίας είναι το αποτέλεσμα της αύξησης του ω αφού χαθεί η επαφή.

Ανδρέα στο μυαλό μου το έχω όπως ακριβώς συμβαίνει στα λούνα παρκ στις αντιστοιχες κατασκευές. Αυξανομενης της γωνιακής ταχύτητας αυξάνεται η γωνία του νήματος σε σχέση με την κατακόρυφο και το επίπεδο της κυκλικής τροχιάς ανυψωνεται. Άρα αν στο πρόβλημα σου αρχικά υπάρχει επαφή με το που αυξηθεί η γωνιακή ταχύτητα θα χαθεί η επαφή. Δεν βλέπω το λόγο που επιβάλλει να μην αλλάξει η γωνία θ. Υπάρχει περίπτωση το μέτρο της δύναμης από το δάπεδο να είναι μικρότερο από αυτό που έχεις υπολογίσει και να βγει ότι γωνία θ δεν έχει αλλάξει;

Καλημέρα Κώστα. Η άποψή μου είναι ότι η επαφή δεν χάνεται αμέσως μόλις αυξηθεί λίγο η γωνιακή ταχύτητα. Διατηρείται όσο N>0 και χάνεται μόνο όταν η αύξηση της ω οδηγήσει στο κρίσιμο όριο N=0.
Νομίζω ότι η διαφωνία προέρχεται από το αν η αρχική κατάσταση είναι ήδη οριακή. Αν το αρχικό ω είναι ακριβώς ίσο με το ωορ​, τότε πράγματι και η παραμικρή αύξηση οδηγεί σε απώλεια επαφής. Αν όμως αρχικά N>0, τότε υπάρχει ολόκληρο εύρος τιμών της ω όπου η επαφή παραμένει.

Ανδρέα το πλακάκι είναι λύση διότι είναι πίσω από τη σφαίρα και τη σπρώχνει.
Την αναγκάζει να κινείται με την γωνιακή ταχύτητα της πλατφόρμας.

Καλησπέρα Ανδρέα
Αρχικά πρέπει να μπει κάτι ώστε να μπορέσει να στραφεί το σφαιρίδιο όπως επισημαίνει ο Διονύσης και προτείνει ο Γιάννης.
Αν παρακαμφθεί αυτό νομίζω η θεώρησή σου είναι σωστή. Αν αλλάξει η γωνία τότε θα χαθεί η επαφή και αυτό συμβαίνει για συγκεκριμένη γωνιακή ταχύτητα. Τότε τι μένει; Να ισορροπεί σε επαφή.

Καλησπέρα Χρήστο. Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό. Θα αλλάξω την εκφώνηση, χωρίς να πειράξω εννοείται την παρούσα συζήτηση, ώστε να γίνει και για μαθητές.