Παύλος Αλεξόπουλος

Η “τσαχπινιά” της άσκησης βρίσκεται στην απλότητά της: Αποκαλύπτει την καθολικότητα της ΑΔΟ και της ΑΔΕ σε δύο φαινομενικά διαφορετικά φαινόμενα!

Δύο φαινόμενα που με μαεστρία συνδέθηκαν μεταξύ τους!

Καλημέρα. Ευχαριστώ Ανδρέα για τον σχολιασμό και χαίρομαι που σου αρέσει.

Καλημέρα Παύλο, καλημέρα Ανδρέα.
Ομολογία : θεώρησα το νήμα μη ελαστικό (χωρίς να αναφέρεται) και χωρίς να προσέξω (να δώσω σημασία) την έκφραση “πλήρως ελαστική απόκριση” , η σκέψη μου με πήγε σε πλαστική κρούση που όμως με Δt τείνον στο 0 κατά το τέντωμα “ακουγα” ήχο σπασίματος μια και F=ΔΡ/Δt οπότε F τείνει στο άπειρο.
Είδα τη λύση σου και συνήλθα, αφού κατάλαβα ότι η “τσαχπινιά” που λέει ο Ανδρέας ,αν δεν κάνω λάθος, κρυβότανε στην έκφραση που δεν πρόσεξα, μέσω της οποίας ενεργοποιείται η ελαστικότητα των σφαιρών που τείνονται μέσω του μη εκτατού νήματος.
Με συνεχή καταρροή και “θολωμένο το μυαλό” ,ζητώ κατανόηση.

Καλημέρα παιδιά.
Ας το δούμε:

Καλημέρα Γιάννη.
Ωραίο προφανώς υπακούει στις “εντολές σου”!
Τώρα ,όταν ευκαιρήσεις φτιάξε κι ένα με νήμα
μη εκτατό,μη ελαστικό, αβαρές και σφαίρες
χωρίς υπακοή στον όρο “πλήρης ελαστική απόκριση”.
Ευχαριστώ

Γεια σας Παντελή και Γιάννη. Παντελή περαστικά, σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Γιάννη πολύ ωραίο το i.p. (σκουλήκι) ευχαριστώ πολύ.

Καήσπέρα Παύλο. Όμορφη.
Έχω απορία. Ένα αβαρές μη εκτατό νήμα, προκαλεί πλαστική κρούση και αμέσως το σύστημα αποκτά 2m/s και χάνονται 8J Κινητικής.
Το i.p. ΕΔΩ αυτό βγάζει με ελαστικότητα νήματος 0.
Αν βάλουμε ελαστικότητα στο νήμα 1 βγαίνει η λύση σου. Eίναι συνεπής με την εκφώνηση, αλλά η φυσική ερμηνεία “παραμορφώνονται οι σφαίρες και όχι το νήμα” είναι αρκετά τεχνητή και όχι η πιο πειστική πλευρά του μοντέλου.

Καλησπέρα Ανδρέα, ευχαριστώ για το σχόλιο και τη διερεύνηση στο IP.
Καταλαβαίνω την επιφύλαξή σου για τη φυσική ερμηνεία. Ωστόσο, και στην ελαστική κρούση δύο σφαιρών δεχόμαστε ότι αυτές παραμορφώνονται προσωρινά, αποθηκεύοντας ελαστική δυναμική ενέργεια, η οποία στη συνέχεια επιστρέφει στη μεταφορική τους κίνηση. Με αυτή την έννοια, η παραδοχή της άσκησης είναι κοντά στο μοντέλο που ήδη χρησιμοποιούμε στις ελαστικές κρούσεις. Εδώ η παραμόρφωση προκαλείται από τις δυνάμεις μέσω του νήματος και η πλήρης επιστροφή της ενέργειας δηλώνεται ρητά στην εκφώνηση. Βέβαια, αποτελεί εξιδανίκευση και δεν προκύπτει μόνο από το ότι το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό.
Επειδή δεν γνωρίζω να χειρίζομαι το IP, θα ήθελα μια διευκρίνιση: μήπως οι σφαίρες στην προσομοίωση αντιμετωπίζονται ως απαραμόρφωτα στερεά, οπότε δεν περιγράφεται η δυνατότητα αποθήκευσης ενέργειας στις δικές τους παραμορφώσεις; Επίσης, η «ελαστικότητα» του νήματος που ρυθμίζεται από 0 έως 1 αφορά την επιμήκυνσή του ή τον τρόπο απόκρισης του συστήματος όταν αυτό τεντώνεται;
Ίσως μπορεί και ο Γιάννης να μας διευκρινίσει ποιες ρυθμίσεις χρησιμοποίησε στο δικό του αρχείο, ώστε να δούμε ακριβώς πώς αποδίδεται το μοντέλο στο πρόγραμμα.

Γεια σας παιδιά.
Παύλο ότι είπε ο Ανδρέας ισχύει.
Βάζεις ελαστικότητα 1 αν θέλεις ελαστική κρούση και ο αν θέλεις πλαστική.
Στα νήματα κάνεις το ίδιο. Έβαλα ελαστικότητα νήματος 1 και βγήκε το σκουλήκι.
Βάζεις 0 (όπως ο Ανδρέας) και κινούνται με ίδιες ταχύτητες.

Και έχεις δίκιο για το i.p.
Τα αντιμετωπίζει όλα (πλην των ελατηρίων) ως απαραμόρφωτα στερεά.

Γιάννη, σε ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις.
Αυτό ακριβώς ήθελα να ξεκαθαρίσω: αφού το IP αντιμετωπίζει τις σφαίρες ως απαραμόρφωτα στερεά, δεν περιγράφει ρητά την προσωρινή αποθήκευση ενέργειας στις παραμορφώσεις τους, όπως υποθέτει η εκφώνηση. Με την «ελαστικότητα νήματος 1» αναπαράγει το τελικό αποτέλεσμα αυτής της υπόθεσης στις ταχύτητες.
Ανάλογα, και στην ελαστική κρούση δύο σφαιρών το πρόγραμμα αποδίδει το αποτέλεσμα χωρίς να προσομοιώνει τις ίδιες τις παραμορφώσεις. Με αυτή την έννοια θεωρώ ότι υπάρχει αναλογία με το μοντέλο των ελαστικών κρούσεων που χρησιμοποιούμε.
Βέβαια, η πλήρης επιστροφή της ενέργειας στη μεταφορική κίνηση αποτελεί πρόσθετη εξιδανίκευση, την οποία έχω δηλώσει στην εκφώνηση· δεν προκύπτει μόνο από το ότι το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό. Η παρατήρηση του Ανδρέα για το πόσο ρεαλιστικά υλοποιείται αυτός ο μηχανισμός παραμένει εύλογο θέμα συζήτησης.

Καλημέρα Παύλο, καλημέρα σε όλους.
Ωραίος συνδυασμός κρούσης και “κρούσης”!
Θα συμφωνήσω με Ανδρέα και Γιάννη για το νήμα.
Το παιχνίδι της ελαστικότητας ή μη δεν το παίζουν οι δυο σφαίρες, αλλά το νήμα.
Στην ελαστική κρούση, τα δύο σώματα παραμορφώνονται ελαστικά και στην συνέχεια επανέρχονται στην αρχική τους κατάσταση, οπότε η ενέργεια παραμόρφωσης, ξανά γίνεται κινητική.
Στην “κρούση” με νήμα, την παραμόρφωση την υπόκειται το νήμα.
Ένα πραγματικό νήμα, μόλις τεντωθεί απότομα, απορροφά ενέργεια, λόγω παραμόρφωσης. Αυτή την ενέργεια μπορεί να την “κρατά” και να μην την επιστρέφει στα δυο σώματα κατά 100%, έως οριακά κατά 0%.
Στο ένα άκρο μιλάμε για πλαστική κρούση και για νήμα με μηδενική ελαστικότητα. Στο άλλο για ελαστικό νήμα (ένα νήμα λάστιχο ή νήμα-ελατήριο).
Τα πραγματικά νήματα είναι κάπου στο ενδιάμεσο…

Καλημέρα Διονύση, ευχαριστώ για το σχόλιο και την αναλυτική τοποθέτηση.
Συμφωνώ ότι σε μια πραγματική διάταξη το νήμα παραμορφώνεται κατά το απότομο τέντωμά του και συμμετέχει στην αποθήκευση και στην επιστροφή ενέργειας, με ενδεχόμενες απώλειες. Στην άσκηση, όμως, έχω θεωρήσει το νήμα μη εκτατό και τις σφαίρες παραμορφώσιμες, με πλήρως ελαστική συμπεριφορά τόσο κατά την αλληλεπίδραση μέσω του νήματος όσο και στη μεταξύ τους κρούση.
Εφόσον στην εξέλιξη της κίνησης οι δύο σφαίρες συγκρούονται και μέσω επαφής, θεώρησα απαραίτητο, για τη φυσική ερμηνεία αυτής της ελαστικής κρούσης, να λάβω υπόψη την προσωρινή ελαστική παραμόρφωσή τους. Η σκέψη μου ήταν ότι μπορούν επίσης να παραμορφωθούν από τις δυνάμεις που ασκεί το νήμα στα σημεία σύνδεσης, χωρίς αυτό να απαιτεί επιμήκυνση του ίδιου του νήματος.
Ως προς την προσωρινή αποθήκευση και την επιστροφή της ενέργειας βλέπω, λοιπόν, μια αναλογία με την ελαστική κρούση, χωρίς να θεωρώ ταυτόσημους τους δύο μηχανισμούς. Η πλήρης επιστροφή της ενέργειας στη μεταφορική κίνηση δεν εξασφαλίζεται μόνο από την ελαστικότητα των υλικών· γι’ αυτό δηλώνεται ρητά στην εκφώνηση ότι δεν υπάρχουν ενεργειακές απώλειες ούτε παραμένει ενέργεια σε εσωτερικές ταλαντώσεις.
Αν επιτρέπαμε να παραμορφώνεται ελαστικά και το νήμα, η ενέργεια θα αποθηκευόταν και σε αυτό. Εφόσον επέστρεφε ολόκληρη στη μεταφορική κίνηση μετά την αλληλεπίδραση, θα προέκυπτε πάλι η ίδια ανταλλαγή ταχυτήτων για τις ίσες μάζες. Στο συγκεκριμένο μοντέλο, η προσωρινή αποθήκευση αυτής της ενέργειας αποδίδεται στις σφαίρες.

Καλημερα.. προχωρημενη..σε ολους. Ας σχολιασω και εγω ολιγον τι.Η ασκηση λεει θεωρηστε τα παντα ελαστικα,οχι με την εννοια της ελαστικοτητας αλλα με την εννοια οτι πουθενα δεν παραγεται θερμοτητα.Αυτη η εκφραση ειναι αρκετη για να καταλαβει κανεις τι πρεπει να κανει. Δηλαδη οι μαθηματικες προυποθεσεις ειναι σαφεις. Αρα ο μαθητης δεν εχει κανενα προβλημα καταλαβαινει αμεσως.Αρα η ασκηση ειναι οκ.και πολυ εξυπνη. Κατα την γνωμη μου ομως μια μονο εκφραση,οτι “θεωρηστε οτι δεν παραγεται πουθενα θερμοτητα”,ειναι αρκετη. Ολα τα υπολοιπα,για ενεργεια που αποθηκευεται προσωρινα και επιστρεφει εξ ολοκληρου,και αν την αρχικη κινητικη ενεργεια την αποροφα το νημα ή οι σφαιρες κλπ κλπ, ειναι κατα την γνωμη μου πολυλογια που δεν χρειαζεται και ειναι και εκτος υλης. Με ενα σκέτο “δεν παραγεται θερμοτητα” ή η κινητικη ενεργεια διατηρειται,η ασκηση στηνεται μιά χαρά.
Στις κλασικες μας ελαστικες κρουσεις που εχει το σχολικο,δεν γνωριζουμε τιποτα για την αλληλεπιδραση μεταξυ των σωματων παρα μονο οτι η κινητικη ενεργεια διατηρειται. Πως γινεται αυτο; Δεν γνωριζουμε και δεν μας ενδιαφερει. Ελαστικες παραμορφωσεις σφαιρων οι οποιες αποροφουν την κινητικη ενεργεια και την αποδιδουν εξ ολοκληρου σε κινητικη και τετοια πραγματα δεν υπαρχουν.Καθε τετοια συζητηση ειναι εκτος υλης και απασχολει τα παιδια με θεματα που δεν θα επρεπε.Μπορει η ελαστικη κρουση να ειναι μεταξυ δυο ομοσημων σημειακων φορτιων οπου τοτε βεβαιως δεν εχουμε ελαστικοτητα και φυσικα θερμοτητα δεν μπορει να παραχθει διοτι η θερμοτητα ειναι στατιστικη εννοια και δεν υφισταται για δυο σημειακα φορτια.Η ουσια ειναι οτι δεν γνωριζουμε τι συμβαινει στο χρονικο γκαπ της ελαστικης κρουσης και με βαση την υλη του Λυκειου δεν εχει νοημα αυτη η συζητηση.Και φυσικα ουτε ασκησεις που μιλανε για ελαστικες παραμορφωσεις κατα την ελαστικη κρουση πρεπει να δινουμε και ας ειναι της μοδας τελευταιως.Ειναι εκτος υλης.
Σχετικα με το αν ενα μη εκτατο νημα μπορει να λειτουργησει ελαστικα,η απαντηση ειναι οχι.Τεντωμα απολυτως μη εκτατου νηματος με δυο σωματα στα ακρα,σημαινει αυτοματη εξισωση των συνιστωσων των ταχυτητων των σωματων κατα μηκος του νηματος. Αυτο ειναι πλαστικη κρουση.Βλεπε και εδω,αναρτηση και σχόλια.Ταχύτητες και επιταχύνσεις μετά την κρούση
Εμεις,οπως το βλεπω εγω,ειμαστε στην Γ’ περισσοτερο προπονητες παρα καθηγητες. Μας ενδιαφερει (τουλαχιστον εμενα) να γραψουν οι μαθητες με επιτυχια ενα τριωρο διαγωνισμα. Δεν πρεπει απο υπερβολικο ζηλο να φορτωνουμε τα παιδια με πραγματα που δεν χρειαζονται. Ετσι μειωνονται οι πιθανοτητες επιτυχιας,δεν αυξανονται.

Καλησπέρα Κωνσταντίνε και ευχαριστώ για το σχόλιο και την αναλυτική τοποθέτηση.
Συμφωνώ ότι χρειάζεται προσοχή στο τι ζητάμε από τους μαθητές και ότι οι παραδοχές μιας άσκησης πρέπει να είναι σαφείς. Θα ήθελα, όμως, να διευκρινίσω ότι η ανάρτηση εντάχθηκε τόσο στην ενότητα «Άρθρα» όσο και στην ενότητα «Γ΄ Λυκείου». Ο σκοπός της, επομένως, περιλαμβάνει και τη συζήτηση μεταξύ συναδέλφων για το φυσικό μοντέλο και τις παραδοχές του, πέρα από την αξιοποίησή της ως άσκησης.
Οι αναφορές στην προσωρινή αποθήκευση και στην πλήρη επιστροφή της ενέργειας μπήκαν ακριβώς για να αποσαφηνίσουν τι θεωρούμε ότι συμβαίνει στη συγκεκριμένη διάταξη. Δεν αποτελούν πρόσθετη γνώση που καλείται να διαθέτει ο μαθητής, αλλά ρητές παραδοχές της εκφώνησης. Χαίρομαι που αναγνωρίζεις ότι αυτές καθιστούν σαφές το ζητούμενο της λύσης.
Κατανοώ την επιφύλαξή σου ως προς τη διδακτική καταλληλότητα και τη θεωρώ χρήσιμη. Νομίζω, ωστόσο, ότι υπάρχει χώρος στην ενότητα «Άρθρα» και για μια ευρύτερη συζήτηση πάνω στη φυσική των φαινομένων, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι όλο το περιεχόμενό της πρέπει να μεταφερθεί στη σχολική τάξη ή να αποτελέσει εξεταστική απαίτηση.

Φυσικά Παύλο συμφωνώ. Η συγκεκριμενη ασκηση ειναι πολυ καλη και εντος υλης για Γ’ Λυκειου και ουτε εχει ασάφειες. Απλως θα εγραφα ενα σκετο”θεωρηστε οτι δεν παραγεται θερμοτητα” χωρις να εξηγησω άλλα.Οι παρατηρησεις μου για το τι συμβαινει κατα την διαρκεια της κρουσης και για το τι χρειαζεται στα παιδια και τι οχι,ειναι γενικες και δεν αναφερονται στην συγκεκριμενη ασκηση.

Καλημέρα σε όλους.Διαβάζοντας πριν λίγο το προτελευταίο σχόλιο του Κωνσταντίνου, ένιωσα την ανάγκη να πω δυο λόγια, έστω και καθυστερημένα.Το ύφος, αλλά και το περιεχόμενο του σχολίου μου θύμισε το τραγούδι «σκασμός οι ρήτορες πολύ μιλήσανε… » ή το γνωστό «σκάσε και σκάβε».Όταν σχολιάζουμε κάποιο θέμα δεν δίνουμε οδηγίες διδασκαλίας, δεν βγάζουμε νόμους, δεν επιβάλουμε τι θα πει ο κάθε συνάδελφος στην τάξη του. Είναι άλλων δουλειά οι οδηγίες διδασκαλίας…Εδώ γίνεται ανταλλαγή απόψεων μεταξύ ομοτέχνων, για το πώς μπορεί να ερμηνευθεί ένα φαινόμενο ή να διδαχτεί το α ή β θέμα. Και ο καθένας καταθέτει την δική του οπτική γωνία, πάνω στο θέμα.Μπορεί οι θέσεις που προσωπικά (για να μην αναφερθώ σε κάποιον άλλο συνομιλητή, αφού εκπροσωπώ μόνο τον εαυτό μου…) κατέθεσα σαν ερμηνεία της « κρούσης μέσω νήματος», να μην είναι σωστή, να είναι μια βλακεία, μπορεί να έχει ο καθένας την άποψή του, μπορεί να την καταθέσει δημόσια σε αντιδιαστολή, ή να κρατήσει το συμπέρασμά του για τον εαυτόν του, δεν έχει όμως κανείς το δικαίωμα να μου πει, ότι δεν πρέπει να την διατυπώσω.Το αν έχει νόημα μια συζήτηση ή όχι, δεν θα το κρίνει κανένας όσο και αυθεντία να νιώθει. Το κρίνει κάθε αναγνώστης μας και είτε συμμετέχει σε αυτήν ή δεν ασχολείται…Να τονίσω όμως κάτι που ανέφερα και πριν:Κανείς δεν είπε τι θα διδαχθεί μέσα στην τάξη. Κανείς δεν υποστήριξε ότι όλα όσα συζητάμε εδώ, πρέπει να να διδαχθούν και οι συνάδελφοι έχουν την υποχρέωση να τα εντάξουν στη διδασκαλία τους.Αλλά είναι λυπηρό να διαπιστώνεις ότι τείνει να επικρατήσει η λογική ότι δεν χρειάζεται και δεν πρέπει να γίνεται συζήτηση για ο,τιδήποτε δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο ή δεν πρόκειται να ζητηθεί στις εξετάσεις!Μπορεί να εκφράζω λάθος θέση για τους περισσότερους συναδέλφους, αλλά όσα χρόνια ήμουν ενεργός στο δημόσιο σχολείο, ποτέ δεν ένιωσα απλά ένας ιμάντας μεταφοράς οδηγιών και αναπαραγωγής κονσερβοποιημένης γνώσης…ΥΓΔεν πρόκειται να συνεχίσω κανένα διάλογο πάνω στο θέμα. Απλά καταθέτω την θέση μου, έτσι για να υπάρχει.

Καλημέρα Παύλο. Πολύ καλή. Προσοχή χρειάζεται το εξής: οι ταχύτητες των σημείων Α και Σ είναι ίσες επί του νήματος.

Γεια σου Παύλο. Πολύ ωραίο θέμα. Το δυσκολότερο σημείο αυτό που αναφέρει ο Αποστόλης. Επίσης, ο μαθητής θα δυσκολευτεί να καταλάβει πως ότι αναφέρεται για την ταχύτητα του Σ αφορά στο δεδομένο στιγμιότυπο. Δεν υπάρχει “συνέχεια”..μια επόμενη χρονική στιγμή αλλάζει η διάταξη.

Αποστόλη και Δημήτρη, σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια και τις ουσιαστικές επισημάνσεις. Πράγματι, το κρίσιμο σημείο είναι ότι η ταχύτητα του Σ ισούται με την οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του Α, κατά τη διεύθυνση του νήματος. Το Α έχει και κατακόρυφη συνιστώσα ταχύτητας, οπότε οι ταχύτητες των Α και Σ δεν είναι ίσες ως διανύσματα ούτε κατά μέτρο.
Σωστά, Δημήτρη, χρειάζεται να τονιστεί και ο στιγμιαίος χαρακτήρας της σχέσης που χρησιμοποιούμε. Η κίνηση συνεχίζεται, αλλά η γεωμετρία της διάταξης μεταβάλλεται: το ελεύθερο τμήμα του νήματος αλλάζει διεύθυνση και το σημείο επαφής του με τον μεγάλο δίσκο δεν παραμένει το ανώτερο σημείο του. Η ισότητα των συνιστωσών κατά μήκος του τεντωμένου, μη εκτατού νήματος εξακολουθεί να ισχύει, όμως η συγκεκριμένη σχέση με το συνφ αφορά το στιγμιότυπο της εκφώνησης.

Καλημέρα Παύλο.Πολύ όμορφη! Μια γρήγορη προσεγγιση:
Το νημα δεν ολισθαίνει στον μικρο δισκο: υcm= ωR/2
Το νημα δεν ολισθαίνει στον μεγαλο δισκο: υ(Σ) = υx + ωR => 2,5 υcm = υx+2 υcm
=> υx =υcm/2 , αλλα υx=υcm* συνφ => συνφ =1/2
Επίσης φανερό ότι ο δισκος ολισθαίνει στο κεκλιμέμο επίεδο
(υ(Αεπιτροχιο) = 2cm> υ(Α μεταφορικό)=υcm , στο σημείο επαφής του δισκου με το κεκλιμένο)

Γεια σου Γιώργο σε ευχαριστώ για το σχόλιο και την λύση.

Καλημέρα Παύλο.
Κατασκεύασες μια απίστευτη ισορροπία!!!
Να είσαι καλά…

Καλημέρα και καλό Σαββατοκύριακο. Σε ευχαριστώ Διονύση για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει.

Καλημέρα Παύλο.
Πάρα πολύ ωραία κατασκευή και πολύ προσεγμένη σε όλα της.

Γεια σου Δημήτρη, σε ευχαριστώ για το σχόλιο, χαίρομαι που σου αρέσει.

Γεια σου Παύλο. Ωραια ασκηση. Στην λυση του β) δεν καταλαβα για ποιο λογο χρειαζονται οι εξισωσεις για τα μετρα των Τστ και Ν αφου ο λογος τους ισουται με εφ30=1/ριζα3. Δηλαδη για την λυση του β) θα εγραφα μονο οτι αφου η Α ειναι αναγκαστικα συγγραμικη με τις F,W ισχυει Τστ<μΝ ή μ>Τστ/Ν=εφ30=1/ριζα3

Γεια σου Κωνσταντίνε, ευχαριστώ για το σχόλιο.
Συμφωνώ ότι δεν χρειάζεται να υπολογιστούν χωριστά τα μέτρα της στατικής τριβής και της κάθετης αντίδρασης, αφού από τη διεύθυνση της Α προκύπτει αμέσως ότι (Tστ/N = εφ30⁰ , επομένως μs ≥ 1/√3).
Στην αναλυτική λύση είχα περισσότερο στο μυαλό μου την πορεία σκέψης ενός μαθητή: παίρνοντας ροπές ως προς το κέντρο, βρίσκει (Tστ = F) και ενδέχεται να θεωρήσει ότι μπορεί να αυξάνει την F, διατηρώντας την ισορροπία, μέχρι η τριβή να γίνει οριακή. Ήθελα να αναδειχθεί γιατί αυτή η σκέψη δεν εξασφαλίζει την ταυτόχρονη ικανοποίηση όλων των συνθηκών ισορροπίας.
Για το σκέλος του β που αφορά τη μεταβολή της F, θεωρώ ότι η συντομότερη αιτιολόγηση προκύπτει από τις ροπές ως προς το σημείο επαφής Ε: στη συγκεκριμένη γεωμετρία, η ροπή του βάρους και ο μοχλοβραχίονας της F είναι σταθερά, οπότε η συνθήκη ισορροπίας καθορίζει μία μοναδική τιμή της F. Συνεπώς, δεν μπορούμε να μεταβάλλουμε την F και να εξετάζουμε διαδοχικές καταστάσεις ισορροπίας, ώστε να προσδιορίσουμε τον συντελεστή στατικής τριβής.

Καλησπέρα, όμορφη άσκηση Παύλο. Πρέπει λοιπόν να συντρέχουν ταυτόχρονα δύο λόγοι: μορ ≥ 1/√3 και F = w/3. Αν επιχειρήσουμε να αλλάξουμε την F, το σύστημα χαλάει αυτόματα την ισορροπία των δυνάμεων στον κατακόρυφο άξονα. Άρα η δύναμη F είναι μοναδική (F = W/3)· δεν μπορούμε να τη αυξήσουμε σταδιακά μέχρι να φτάσουμε σε οριακή τριβή.
·        Διδακτικό συμπέρασμα: Η φυσική διαίσθηση συχνά μας ξεγελάει, κάνοντας μας να πιστεύουμε ότι επειδή μια σχέση (όπως η Tστ = F) φαίνεται να επιτρέπει αύξηση της τριβής, η υπόλοιπη γεωμετρία του προβλήματος μας αφήνει ελεύθερους να το κάνουμε. Ο αυστηρός ταυτόχρονος έλεγχος όλων των συνθηκών ισορροπίας ΣFx = 0, ΣFy = 0, Στ = 0) είναι ο μόνος τρόπος να αποφύγουμε ψευδείς γενικεύσεις.

Γεια σου Τάσο, συμφωνώ απόλυτα, σε ευχαριστώ για το σχόλιο.

Καλησπέρα Παύλο. ‘Ομορφη. Μια άλλη προσέγγιση: https://i.ibb.co/ZzXnRpKt/SEP-60.png

Καλησπερα Παύλο και Τάσο. Μιας και το συζηταμε θα ηθελα να πω μερικα πραγματα ακομα,αφου ειδα την ασκηση πιο προσεκτικα.
Οταν διαβασα την λυση του β) νομισα οτι ο ερωτημα ηταν να βρεθει ελαχιστος συντελεστης στατικης τριβης ωστε να εχουμε ισορροπια. Tι σημαινει αυτο; Οτι εχουμε πετυχει την ισορροπια,χωρις να μας ενδιαφερει πως και με καποιο μαγικο τροπο μειωνουμε τον συντελεστη τριβης μεχρι η ισορροπια να χαλασει. Σε ποια τιμη του μ γινεται αυτο; Για να το βρουμε δεν χρειαζεται να γραψουμε καμια συνθηκη ισορροπιας παρα μονο οτι για την ισορροπια ειναι αναγκαια συνθηκη οι F,W,A να ειναι παραλληλες και άμεσα προκυπτει οτι μ>1/ριζα3.
Βλεποντας τωρα με προσοχη την εκφωνηση του β) ερωτηματος καταλαβαινω οτι ολοκληρη η λυση που βλεπω για το β) δεν χρειαζεται. Στο σημειο οπου στην λυση του α) βρισκεις F=W/3,το ερωτημα β) εχει ηδη απαντηθει διοτι οπως ειπες η ισορροπια εξασφαλιζεται για μια μοναδικη τιμη της F. Αρα τιποτα απο αυτα που βλεπω στην λυση του β) δεν χρειαζεται.
Συμφωνω με ολες τις παρατηρησεις τις δικες σου και του Τασου. Ομως η ασκηση δεν λεει να μελετηθουν οι αναγκαιες και οι ικανες συνθηκες για ισορροπια. Λεει να απαντησετε στα ερωτηματα που βλεπετε.

Καλησπέρα. Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ για την διαφορετική προσέγγιση. Κωνσταντίνε σε ευχαριστώ για την παρατήρηση. Συμφωνώ ότι η πιο σύντομη λύση του β ερωτήματος είναι να αξιοποιηθεί το αποτέλεσμα του α. Ωστόσο, η μοναδικότητα της F δεν θεωρείται εξαρχής δεδομένη· προκύπτει από την εξίσωση ισορροπίας των ροπών ως προς το σημείο επαφής E. Επειδή η γεωμετρία της διάταξης παραμένει σταθερή, η ροπή του βάρους και ο μοχλοβραχίονας της F είναι σταθερά. Επομένως, η εξίσωση των ροπών προσδιορίζει μία συγκεκριμένη τιμή της F, δηλαδή F=W/3. Αυτό ακριβώς είναι το βασικό σημείο στο οποίο στηρίζεται το β ερώτημα. Δεν θεωρώ, όμως, αυτονόητο ότι ένας μαθητής, έχοντας βρει την F στο α, θα αναγνωρίσει αμέσως τη σημασία αυτού του αποτελέσματος για το β.
Η λύση που έδωσα, όμως, δεν είχε στόχο να παρουσιάσει την απλούστερη δυνατή απάντηση. Είχα στο μυαλό μου μια πιθανή πορεία σκέψης ενός μαθητή, την οποία ενδεχομένως θα ακολουθούσε, ίσως αυτό να το πιστεύω εγώ λανθασμένα: παίρνοντας ροπές ως προς το κέντρο K, βρίσκει Tστ = F και μπορεί να θεωρήσει ότι, αυξάνοντας τη F, αυξάνεται αντίστοιχα και η στατική τριβή, μέχρι να γίνει οριακή. Γι’ αυτό πρόσθεσα τις επόμενες σχέσεις, ώστε να φανεί ότι η σκέψη αυτή δεν εξασφαλίζει από μόνη της την ταυτόχρονη ικανοποίηση όλων των συνθηκών ισορροπίας.
Άρα συμφωνώ ότι η λύση μπορεί να συντομευθεί σημαντικά. Η αναλυτική μορφή που έδωσα ήταν κυρίως διδακτική και διερευνητική, με αφετηρία τον τρόπο με τον οποίο ενδέχεται να σκεφτεί ένας μαθητής.

Παύλο εχει εναν ενδιαφερον προβληματισμο το θεμα (βλέπω την σκεψη του Κωστα…) .

Από τη στιγμη που η F ειναι κατακορυφη και εχω ισορροπία αυτό αρχικα κανει και την Α κατακορυφη. Επομένως το μ=εφφ=1/sqrt(3) . To οτι έχω ισορροπία για αυτή τη δύναμη F σημαίνει , οπως βρίσκεις , ότι F = W/3 . Στη συνεχεια η ισορροπία αυτή δίνει τη σχεση στα μετρα των δυναμεων που έχεις βρει.

Αν οι επιφανειες που ειναι σε επαφη ειναι τετοιες ωστε ο συντελεστης οριακής τριβής να είναι μ=εφφ τότε η στατική τριβή που υπολογίζεις θα είναι Τστ = Τορ = W/3

Αν όμως είχαμε ενα μ = 1.5/sqrt(3) τότε θα είχαμε Τστ = W/3 (εφόσον η F ειναι τετοια ωστε να εξασφαλιζει ισορροπία) και τότε το Τορ = [1.5/sqrt(3)] * Ν όπου Ν = W/sqrt(3) άρα Tορ = W/2 .

Γεια σου Κώστα, σε ευχαριστώ για το σχόλιο και για την κατάθεση της σκέψη σου.