Ιάκωβος Μάζης

Ιάκωβε καλησπέρα.

Στο κείμενό σου μιλάς για δύναμη προερχόμενη από πεδίο.

Καλύπτουν αυτά την περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης;

Καλύπτουν την περίπτωση σύζευξης ταλαντώσεων;

Με απλούστερα λόγια, στο κείμενό σου μιλάς για ένα πεδίο. Είναι η στατική τριβή πεδιακή δύναμη;

Είναι η δύναμη του διεγέρτη πεδιακή δύναμη;

Άλλη ερώτηση:

Είναι αυτή ίση με 0,5dm.V^2 + 0,5dm.ω.ω.y^2 ;

Διάβασα και την βιβλιογραφική αναφορά. Μιλάει για πεδιακή δύναμη. Συνάρτηση της θέσης r και του χρόνου t.

Η τριβή που δέχεται ο ταλαντευόμενος κύλινδρος δεν είναι τέτοια. Η δύναμη του διεγέρτη δεν είναι τέτοια.

Η βιβλιογραφική αναφορά άριστη είναι αλλά δεν σχετίζεται με το θέμα μας.

Γιάννη καλησπέρα. Η αναφορά σε πεδίο είναι τυπική. Η θέση μου είναι ότι αν σ’ ένα σώμα δρα μια δύναμη που εξαρτάται από την θέση (πχ δύναμη ελατηρίου) αλλά έχει και άμεση εξάρτηση από το χρόνο (πχ με μια επιπλέον δύναμη διεγέρτη) και έχει μηδενικό στροβιλισμό σε κάθε χρονική στιγμή τότε μπορεί να οριστεί δυναμική ενέργεια. Δεν αναφέρθηκα σε παραδείγματα με τριβές. Το πρώτο μου σχόλιο ήταν ενάντια στην θέση ότι δεν υπάρχει δυναμική ενέργεια σε διακρότημα και έδωσα παράδειγμα εξαναγκασμένης ταλάντωσης με διακροτήματα όπου μπορεί να οριστεί δυναμική ενέργεια. Στις συζευγμένες ταλαντώσεις πρέπει πρώτα να τις αντικαταστήσουμε με το ισοδύναμο σύνολο των ανεξάρτητων ταλαντώσεων μέσω της θεωρίας των κανονικών τρόπων  οπότε ας τις αφήσουμε στην άκρη. Τελικά ο πυρήνας της διαφωνίας είναι αν υπάρχει χρονοεξαρτώμενη δυναμική ενέργεια. Η θέση σου σε αυτό Γιάννη ποια είναι;

Υγ ευχαριστώ (τον Διονύση;) για το συμμάζεμα των αναρτήσεων και την 'εικονογράφηση'

Καλησπέρα Ιάκωβε. Ρωτάς αν πιστεύω πως υπάρχει χρονοεξαρτώμενη δυναμική ενέργεια.

Αντιλαμβάνομαι κυριολεκτικά την ερώτηση:

-Υπάρχει δυναμική ενέργεια που εξαρτάται από τον χρόνο;

Φυσικά υπάρχει δυναμική ενέργεια που μεταβάλλεται χρονικά.

Αν η ερώτηση όμως είναι:

-Υπάρχει δυναμική ενέργεια σε κάθε περίπτωση άσκησης χρονοεξαρτώμενης δύναμης;

Τι απάντηση μπορώ να δώσω;

Ασκώ σε ένα καροτσάκι μία δύναμη σταθερή, συνεπώς μηδενικού στροβιλισμού. Το σώμα έχει δυναμική ενέργεια;

Ασκώ σε ένα ακίνητο σώμα  δύναμη F=Fo.συνω.t. Το σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα αυτήν της δύναμης. Έχουμε δυναμική ενέργεια;

Στον κυλιόμενο και ταλαντευόμενο κύλινδρο ποια είναι η δυναμική ενέργεια;

Είναι 1/2k.x^2 , ή η 1/3k.x^2;

Σε έναν οριζόντιο ιμάντα που κινείται με σταθερή επιτάχυνση τοποθετώ ένα σώμα. Δέχεται σταθερή δύναμη τριβής, επομένως δύναμη μηδενικού στροβιλισμού. Έχει το σώμα (ή το σύστημα) δυναμική ενέργεια;

Στην εικόνα που έστειλα σε άλλο σχόλιο, ένα τμήμα της χορδής ευρισκόμενο στη θέση y=0 έχει μηδενική δυναμική ενέργεια ή μέγιστη δυναμική ενέργεια;

Συμπληρωματικά Γιάννη για το παράδειγμα σου με το κύμα. Τα κομμάτια της χορδής δεν κάνουν βέβαια ανεξάρτητες ταλαντώσεις , αλλά συζευγμένες οπότε ο τύπος που γράφεις δεν ισχύει. Επειδή η αντιμετώπιση με τους κανονικούς τρόπους υποθέτω πως θα είναι εξαιρετικά πολύπλοκη ο υπολογισμός της ενέργειας γίνεται συνήθως με απόδοση σε κάθε κομμάτι χορδής  δυναμικής ενέργειας λόγω επιμήκυνσης του.  

Μην εκλάβεις τα παραπάνω ως παραδείγματα. Είναι αντιπαραδείγματα. Ένα αντιπαράδειγμα (σε αντίθεση με το παράδειγμα) έχει θέση απόδειξης.

Ας εστιάσουμε σε δύο από αυτά:

Ένα σώμα αρχικά ακίνητο δέχεται δύναμη F=Fo.συνω.t. . Ποια είναι η δυναμική του ενέργεια;

Ποια είναι η δυναμική ενέργεια κυλιόμενου και ταλαντευόμενου κυλίνδρου;

Ίσως πιο απλό είναι το να επιχειρήσουμε να ορίσουμε δυναμική ενέργεια στο άλλο παράδειγμα:

Σε έναν οριζόντιο ιμάντα που κινείται με σταθερή επιτάχυνση τοποθετώ ένα σώμα. Δέχεται σταθερή δύναμη τριβής. Έχει το σώμα (ή το σύστημα) δυναμική ενέργεια; Πως ορίζεται αυτή η δυναμική ενέργεια; Ορίζεται ως Τ.x ;

Καλησπέρα συνάδελφοι.

Θα ήθελα να υπενθυμίσω μια παλιότερη ανάρτηση:

Τρεις Θαυμάσιες λύσεις !!! 

Δεν σε προλαβαίνω Γιάννη.

Δεν είναι εύκολο να τις θεωρήσουμε  εξαναγκασμένες; Για κάθε κομματάκι ο διεγέρτης;  

Δεν είπα ότι είναι δύσκολο να υπολογιστεί η ενέργεια χορδής. Το δύσκολο είναι με τους κανονικούς τρόπους. Ο τρόπος της εργασίας σου είναι ουσιαστικά αυτός που ανέφερα παραπάνω.

Για την τριβή έγραψα και πριν ότι δεν είναι σταθερή δύναμη.

Πριν προτείνω επίσης να διαβάσεις τις "τρεις θαυμάσιες λύσεις" , ας πω ότι η δύναμη τριβής είναι σταθερή όταν ο ιμάντας κινείται με σταθερή επιτάχυνση.  Είτε είναι στατική είτε είναι τριβή ολίσθησης.

Γιατί γράφεις δύο φορές ότι δεν είναι σταθερή δύναμη;

Μπορώ να προσομοιώσω πολύ εύκολα το θέμα, αν υπάρχει αμφιβολία.

Πως θα ορίσουμε επομένως την δυναμική ενέργεια;

Όπως ο (υποθετικός) Βασίλης στο δεύτερο πρόβλημα του Διονύση;

Δηλαδή σε κάθε περίπτωση σταθερής δύναμης θα πούμε ότι προκύπτει δυναμική ενέργεια F.x;

Καλημέρα και από εδώ Ιάκωβε. Καλημέρα Γιάννη.

Η διαφωνία μας Ιάκωβε, ήταν ότι εσύ υποστηρίζεις ότι μπορείς να έχεις μια χρονοεξαρτώμενη δύναμη σε ένα υλικό σημείο η οποία να συνδέεται με δυναμική ενέργεια, ενώ εγώ αντίθετα υποστήριξα ότι δεν έχουμε δυναμική ενέργεια που να συνδέεται με χρονοεξαρτώμενη δύναμη.

Το κείμενο που ανέβασες, λέει τα γνωστά και, αν έδινες τη δύναμη να είναι της μορφής F(r) δεν θα υπήρχε λόγος διαφωνίας. Το ότι την βάζεις να είναι συνάρτηση F(r,t) απλά σου επιτρέπεται στη συνέχεια να παραγωγίσεις και να βρεις ότι δεν διατηρείται η μηχανική ενέργεια.

Και σε αυτό (στη μη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας) δεν έχω διαφωνία. Η μηχανική ενέργεια διατηρείται όταν ασκούνται συντηρητικές δυνάμεις! Και αυτές είναι ΜΟΝΟ χωροεξαρτώμενες! Αν εσύ βάλεις στο παιχνίδι και χρονοεξαρτώμενες, τότε προφανώς η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται…

Να δώσω ένα παράδειγμα για το τι πράγμα συζητάμε και να μην μείνουμε σε γενικές διατυπώσεις, όπου ο αναγνώστης θα πει «και συ δίκιο έχεις».

Αφήνουμε ένα σώμα να πέσει ελεύθερα με την επίδραση μόνο του βάρους. Προφανώς ισχύει η ΑΔΜΕ και το άθροισμα Κ+U παραμένει σταθερό.

Ξανά αφήνουμε το σώμα να πέσει από κάποιο ύψος, αλλά τώρα ασκείται και αντίσταση του αέρα. Αυτή δεν είναι χωροεξαρτώμενη δύναμη και η μηχανική ενέργεια δεν παραμένει σταθερή.

Αυτό δεν σημαίνει βέβαια, ότι έχουμε μια δυναμική ενέργεια που συνδέεται με το έργο της αντίστασης του αέρα…

Ας έρθουμε τώρα στο απόσπασμα που ανέβασες από το βιβλίο του Taylor.

Υπάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνω; Μελετάει ένα ηλεκτρικό πεδίο χρονικά μεταβαλλόμενο και η δύναμη είναι από πεδίο. Είναι μια τυχαία χρονικά μεταβαλλόμενη δύναμη; Ο Στάθης έγραψε:

«Αν θυμάμαι καλά στο βιβλίο του Taylor, δίνεται ως παράδειγμα μίας χρονικά μεταβαλλόμενης δυναμικής ενέργειας, η περίπτωση όπου μία αγώγιμη φορτισμένη σφαίρα χάνει φορτία μέσω γείωσης. Έχω δε την εντύπωση ότι συστήματα χρονοεξαρτώμενων δυναμικών έχουν εφαρμογή κατά κύριο λόγο στην κβαντική θεωρία και ότι ο Taylor, ως καλός δάσκαλος, εισάγει αυτά τα ψευδο -δυναμικά σε ένα βιβλίο κλασσικής μηχανικής, κυρίως για εκπαιδευτικούς σκοπούς.»

Δεν διάβασα κάποια αντίρρηση…

Εδώ είμαστε για να συζητήσουμε για ψευδο-δυναμικά, έξω από τα πλαίσια της κλασσικής μηχανικής; Αν ναι, μπορείτε παιδιά να το κάνετε, αλλά προσωπικά ούτε μπορώ (λόγω γνώσεων), ούτε θα με ενδιέφερε το αντικείμενο αυτό και δεν πρόκειται να μπλέξω σε μια τέτοια αδιέξοδη συζήτηση.

Οπότε τι μένει σαν συμπέρασμα από το παραπάνω απόσπασμα; Ότι σε κάθε χρονικά μεταβαλλόμενη δύναμη, αντιστοιχεί και μια δυναμική ενέργεια! Αν δηλαδή κρατήσω στο χέρι μου ένα μπαλάκι και αρχίσω να το μετακινώ πέρα δώθε, το μπαλάκι εκτελεί ΑΑΤ και έχει και δυναμική ενέργεια!

Πάμε παρακάτω. Γράφεις Ιάκωβε αναφερόμενος σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση:

«Η ολική δύναμη στη μάζα είναι  F = -kx+ F0ημωt η οποία προφανώς μπορεί να προκύψει  (F = -dU/dx) από την συνάρτηση δυναμικής ενέργειας   U = 1/2kx^2-xF0ημωt.»

Μήπως θέλεις να πεις ότι «σε κάθε σταθερή δύναμη» αντιστοιχείς δυναμική ενέργεια F∙x αφού όπως διδάσκεται και στην Α΄ Λυκείου, το έργο σε κλειστή διαδρομή κάθε σταθερής δύναμης είναι μηδενικό;

Αυτό ισχύει πράγματι για κάθε σταθερή δύναμη. Αλλά στη Φυσική δεν συνδέουμε κάθε σταθερή δύναμη με δυναμική ενέργεια. Το έγραψε ο Γιάννης:

«-Υπάρχει δυναμική ενέργεια που εξαρτάται από τον χρόνο;

Φυσικά υπάρχει δυναμική ενέργεια που μεταβάλλεται χρονικά.

Αν η ερώτηση όμως είναι:

-Υπάρχει δυναμική ενέργεια σε κάθε περίπτωση άσκησης χρονοεξαρτώμενης δύναμης;

Τι απάντηση μπορώ να δώσω;

Ασκώ σε ένα καροτσάκι μία δύναμη σταθερή, συνεπώς μηδενικού στροβιλισμού. Το σώμα έχει δυναμική ενέργεια;»

Και αν πάμε στην εξαναγκασμένη ταλάντωση που βάζεις στη συζήτηση πόσο είναι το έργο της εξωτερικής δύναμης F0ημωt σε μια κλειστή διαδρομή; Σε μια περίοδο το έργο της δύναμης αυτής είναι μηδενικό; Η συμπεριφορά της ικανοποιεί το κείμενο που έδωσες παραπάνω και ο στροβιλισμός της είναι μηδενικός, οπότε δικαιούσαι να την συνδέσεις με δυναμική ενέργεια;

Και για να κλείσω. Γράφεις Ιάκωβε:

«Έχεις καταλάβει Διονύση ότι υποστηρίζω πως σε κάθε δύναμη που αυξομειώνει την κινητική ενέργεια σώματος αντιστοιχεί δυναμική ενέργεια;»

Αν σε κάθε δύναμη που αυξομειώνει την κινητική ενέργεια ενός σώματος αντιστοιχείς δυναμική ενέργεια Ιάκωβε, τότε τι την θέλεις την παρούσα ανάρτηση, τις συνεκτικές περιοχές, το θεώρημα Stokes και Green…

ΚΑΘΕ δύναμη σημαίνει κάθε δύναμη.

Και η τριβή και μια δύναμη της μορφής F=10+2t (S.Ι.) και η δύναμη που σπρώχνει το καροτσάκι του Γιάννη, όλες προκύπτουν από κάποια  συνάρτηση δυναμικής ενέργειας!

Με βάση όλα αυτά, είναι φανερή νομίζω η διαφωνία μου, οπότε δεν υπάρχει λόγος να το αναλύσουμε παραπέρα…

Καλησπέρα Ιάκωβε.

Κατάλαβα λάθος τη φράση; Αυτό εννοείς;

Αν ναι, συγνώμη, αυτό κατάλαβα, οπότε σβήνεται το αντίστοιχο τελευταίο τμήμα από το παραπάνω σχόλιο.

Καλησπέρα παιδιά.

Φοβάμαι πως έχω μπερδευτεί, με δεδομένη μάλιστα την έναρξη της συζήτησης. Δυναμική ενέργεια σε περίπτωση διακροτήματος.

Για τον λόγο αυτόν ζήτησα την έκφραση της δυναμικής ενέργειας σε κάποιες περιπτώσεις.

Φοβάμαι ότι μιλώντας γενικά η σύγχυση θα επιτείνεται.

Ας θέσω πάλι ένα ερώτημα από τα παλιά:

Ένα σύστημα δεν είναι αρμονικός ταλαντωτής. Είναι σωστό το να πούμε ότι σε κάθε περίπτωση ή δυναμική ενέργεια (σε μία θέση) είναι ίση με το έργο της δύναμης επαναφοράς από αυτή τη θέση στη θέση ισορροπίας;

Δυο ακόμα βιβλιογραφικές αναφορές

Symon Mechanics  σελ. 380 There are cases, however, when a system is subject to external forces that change with time and that can be derived from a potential  V that varies with time. An example would be an atom subject to a varying external electric field. In such cases, the equations of motion can be written in the Lagrangian form (9.57) with the Lagrangian depending explicitly on the time t

Yavorsky  Detlaf, Handbook of physics σελ 77 The external potential energy may farther depend explicitly on time. This is due to the fact that external bodies, acting on the system being considered, may be in motion with respect to the frame of reference (the low of motion is supposedly given in each particular problem).   

Ιάκωβε λέει:

and that can be derived from a potential  V that varies with time

Λέει για δυναμικό.

Έχει κάποια σχέση με την εκκίνηση της συζήτησης.

Όμως ακόμα δεν έχω λάβει απάντηση. Μιλάμε γενικά και αυτό δεν οδηγεί κάπου.

Δεν απάντησες ούτε στο τελευταίο ερώτημα, το οποίο επαναλαμβάνω:

Ένα σύστημα δεν είναι αρμονικός ταλαντωτής. Είναι σωστό το να πούμε ότι σε κάθε περίπτωση ή δυναμική ενέργεια (σε μία θέση) είναι ίση με το έργο της δύναμης επαναφοράς από αυτή τη θέση στη θέση ισορροπίας;

Το είδα. Έκανα όμως πολλά ερωτήματα.

Το θέμα δεν είναι αν εννοεί δυναμικό ή δυναμική ενέργεια. Δεν είναι αυτή η διαφωνία.

Διονύση καλησπέρα. Αυτά που γράφει ο Στάθης δεν προκύπτουν από πουθενά στο κείμενο του Taylor. Και ο χαρακτηρισμός  ψεύδο-  είναι ένας δικός του αυθαίρετος κατά την γνώμη μου χαρακτηρισμός. Θα είχε δε ενδιαφέρον να μας εξηγήσει τι σχέση έχει η κβάντωση με την χρονική εξάρτηση της δυναμικής ενέργειας. (Επίσης δεν κατάλαβα αυτό που έγραψες για πρόβλεψη και επαλήθευση)

Για αυτά που λες για τις σταθερές δυνάμεις. Έγραψα και στον Γιάννη ότι αν μια δύναμη είναι πραγματικά σταθερή γιατί να μην ορίσουμε δυναμική  ενέργεια. Οι τριβές , οι δυνάμεις επαφής γενικότερα , καθώς εξαρτώνται από την φορά της κίνησης δεν είναι σταθερές.

Για τις χρονοεξαρτώμενες δυνάμεις. Δεν είπα βέβαια πουθενά ότι σε κάθε χρονοεξαρτώμενη δύναμη αντιστοιχεί δυναμική ενέργεια. Αναφέρθηκα μόνο σε δυνάμεις που είτε δεν έχουν και χωρική εξάρτηση ή αν έχουν η εξάρτηση αυτή είναι αστρόβιλη.

Το παράδειγμά σου με την πτώση σώματος και αντίσταση του αέρα τι σχάση έχει με αυτήν τη συζήτηση.                                                 

Να θυμίσω εδώ αυτό που γράφει ο Taylor : the potential energy depends explicitly on time in precisely those situations where mechanical energy gets transformed to some other form of energy or to mechanical energy of other bodies external to the system of interest. (και βέβαια δεν μιλάει εδώ ο Taylor για κβαντικά συστήματα)

Τέλος να σου θυμίσω Διονύση την ερώτηση με το φορτίο μέσα σε πυκνωτή που δεν απάντησες.

Γιάννη θα προσπαθήσω να απαντήσω σε αυτά που ρώτησες (περιμένω και εγώ όμως κάποιες απαντήσεις)  

Για τις τριβές και τις σταθερές δυνάμεις νομίζω σου απάντησα. (Συμφωνείς με αυτό που έγραψα για την τριβή;)

Τι εννοείς με το αν έχει σχέση η δυναμική ενέργεια με την εκκίνηση της συζήτησης; Η ουσία αυτής της συζήτησης δεν είναι το αν ορίζεται δυναμική ενέργεια  για δυνάμεις που εξαρτώνται άμεσα από το χρόνο;

Θα διαφωνήσω με αυτό που λες ότι μιλώντας γενικά η σύγχυση επιτείνεται (ενικά δεν σημαίνει κατ’ ανάγκην αόριστα). Αυτό που κατά την γνώμη μου δημιουργεί σύγχυση είναι η περιπτωσιολογία (τα αντιπαραδείγματα είναι χρήσιμα αλλά μέσα σ’ ένα σαφές γενικό πλαίσιο)

Δεν είμαι σίγουρος ότι έχω καταλάβει την τελευταία σου ερώτηση. Η δυναμική ενέργεια που αντιστοιχεί σε μια δύναμη ορίζεται σαν το έργο που κάνει για μια κίνηση από την παρούσα θέση μέχρι μια θέση που έχουμε επιλέξει ως θέση μηδενικής δυναμικής ενέργειας. Για να είναι όμως καλά ορισμένη θα πρέπει το έργο να μην εξαρτάται από την διαδρομή που ενώνει την παρούσα θέση και την θέση αναφοράς. Στο γνωστό αυτό πλαίσιο μήπως μπορείς να κάνεις την ερώτηση σου πιο συγκεκριμένη;

Αν υπάρχουν κάποια που θεωρείς ότι δεν έχω απαντήσει κάνε τον κόπο να τα συνοψίσεις σ’ ένα σχόλιο

Η ερώτηση είναι πολύ συγκεκριμένη. Λέει:

Ένα σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση. Κίνηση πάνω σε μια ευθεία. Το σύστημα δεν είναι ο απλός αρμονικός ταλαντωτής.

 Είναι σωστό το να πούμε ότι σε κάθε περίπτωση ή δυναμική ενέργεια (σε μία θέση) είναι ίση με το έργο της δύναμης επαναφοράς από αυτή τη θέση στη θέση ισορροπίας;

Αυτό για την εξαναγκασμένη ταλάντωση. Σε αρμονική ταλάντωση γενικά το έργο της δύναμης επαναφοράς μπορεί να είναι αλλά μπορεί και να μην είναι όλη η δυναμική ενέργεια

Η επιλογή λοιπόν είναι το 2

Συμφωνούμε. Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Τέσσερα αντιπαραδείγματα:

1. Ασκώ σε αρχικά ακίνητο σώμα δύναμη F=Fo.συνω.t. Εκτελεί αρμονική ταλάντωση. Το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη θέση x ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 0,5.m.ω^2.x^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Εδώ δεν έχουμε δυναμική ενέργεια.

2. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το έργο της επαναφοράς από τη θέση x ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 0,5.m.ω^2.x^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια είναι 0,5k.x^2.

3. Ένα κύμα διαδίδεται σε χορδή. Ένα τμηματίδιο κάποια στιγμή βρίσκεται σε θέση μέγιστης απομάκρυνσης Α. Το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη θέση Α ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 0,5.m.ω^2.Α^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια.  Η δυναμική του ενέργεια είναι μηδενική.

4. Ο κυλιόμενος και ταλαντευόμενος κύλινδρος. Το έργο της επαναφοράς από τη θέση x ως τη θέση ισορροπίας είναι ίσο με 1/3.k.x^2. Δεν είναι όμως δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια είναι 1/2.k.x^2.

Η άποψη μου (την οποία δεν είχα πάντα) είναι ότι ένα σώμα μπορεί να εκτελεί αρμονική ταλάντωση υπό την επίδραση διαφόρων δυνάμεων, συντηρητικών και μη. Η δυναμική ενέργεια καθορίζεται μόνο από τις συντηρητικές δυνάμεις.

Λέγοντας δε συντηρητικές δυνάμεις, εννοούμε δυνάμεις από πεδίο, για τις οποίες F=-gradU.

Σε μία εξαναγκασμένη ταλάντωση η δύναμη του διεγέρτη δεν είναι συντηρητική δύναμη. Η δυναμική ενέργεια καθορίζεται από το ελατήριο ή τέλος πάντων το "υποκατάστατό του" (π.χ. περίπτωση νερού σε υοειδή σωλήνα, εκκρεμές κ.λ.π).

Καλημέρα συνάδελφοι.

Να ξεκινήσω λέγοντας ότι με βρίσκει σύμφωνο η θέση του Γιάννη, όπως έχει καταγραφεί στο τελευταίο του σχόλιο, για τη δυναμική ενέργεια. Άλλωστε αυτό νομίζω ότι ήταν το θέμα της συζήτησης…

Ιάκωβε, νομίζω και γω ότι έχουμε χαθεί, αφού ξεκινήσαμε από την ενέργεια στο διακρότημα και καλούμαι να απαντήσω τι συμβαίνει σε ένα φορτίο στο εσωτερικό πυκνωτή που φορτίζεται από εναλλασσόμενη τάση!!!

Και μάλιστα μετ΄ επιτάσεως, λες και δίνω εξετάσεις…

Δεν πρόκειται να ασχοληθώ με το πώς μπορεί να μελετηθεί ένα χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο, είτε αυτό είναι το ηλεκτρικό πεδίο μιας σφαίρας που «χάνει» φορτία, είτε το φορτίο στο εσωτερικό του πυκνωτή. Είναι προφανές ότι  εκεί η δυναμική ενέργεια, σε κάθε σημείο, είναι συνάρτηση και του χρόνου, αλλά δεν είναι αυτό το θέμα της συζήτησης…

Δεν θα απαντήσω σε τίποτα άλλο Ιάκωβε, αν δεν αποδείξεις,  με βάση αυτά που έγραψες εσύ παραπάνω:

Πώς εφαρμόζονται στην περίπτωση μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης και πώς ορίζεται η δυναμική ενέργεια, την οποία συνδέεις με το έργο της δύναμης του διεγέρτη F=Fo∙ημωt. Και για να μην πέσουμε σε διακρότημα, μπορείς να την μελετήσεις στην σταθερή κατάσταση (μετά το τέλος των μεταβατικών φαινομένων στην περίπτωση ύπαρξης και δύναμης απόσβεσης), όπου η κατάσταση αυτή επιτυγχάνεται.

Ας απαντηθεί το ερώτημα από όπου ξεκινήσαμε…

Και θα παρακαλούσα, η απάντηση να μην είναι παραπομπή σε κάποιο απόσπασμα βιβλίου.

Καλημέρα παιδιά.

Ασχολήθηκα λίγο με την περίπτωση του φορτίου σε πυκνωτή.

Αν δεν έκανα λάθος, άλλο είναι το έργο της δύναμης επαναφοράς και άλλο η δυναμική ενέργεια.

Καλησπέρα Ιάκωβε.

Μπορώ να το κάνω, όμως…..

1. Δεν ζήτησες αυτό, τώρα το ζητάς. Δεν μίλησες για ελατήριο.

2. Αν το κάνω θα είναι παράδειγμα. Έκανα ένα αντιπαράδειγμα. Θέλεις να εξετάσεις την ορθότητα της πρότασης  "το έργο της δύναμης επαναφοράς είναι ίσο με τη δυναμική ενέργεια". Αν βρεις ένα αντιπαράδειγμα, περίπτωση δηλαδή που δεν ισχύει, τότε η πρόταση είναι λανθασμένη. Η επιλογή του αντιπαραδείγματος ανήκει σ' αυτόν που θέλει να ελέγξει την πρόταση. 

Ιακώβε βλέπω ότι ντε και καλά, θέλεις να μας μεταφέρεις στον πυκνωτή και στο χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο.

Προφανώς είσαι ελεύθερος να γράψεις ό,τι θέλεις, αλλά εγώ δεν πρόκειται να παίξω στο γήπεδο αυτό

Έχω κάνει ερώτημα συγκεκριμένο παραπάνω, με βάση τη θεωρία που έχεις βάλει στην κορυφή.

Επιμένω στο ίδιο ερώτημα που αναφέρεται στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η δύναμη του διεγέρτη, δεν θέλω να έχει καμιά σχέση με πεδίο. Μια δύναμη απλά χρονοεξαρτώμενη…

Μια προσομοίωση που περιλαμβάνει ηλεκτρικό πεδίο μαζί με ελατήριο.

Φαίνεται και εδώ (δεξιά) ότι ουδεμία σχέση έχει η δυναμική ενέργεια με το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη θέση y στην θέση ισορροπίας. Συμβολίζω το έργο αυτό ως Uταλ (ενέργεια ταλάντωσης).

Καλό βράδυ σε όλους.

 Κάποιες σκέψεις εδώ.

Καλησπέρα και πάλι. Διονύση δεν καταλαβαίνω που σε ενοχλεί το χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο , όπως δεν κατάλαβα εκείνο το «…μετ’ επιτάσεως λες και δίνω εξετάσεις».  το οποίο από πουθενά δεν προκύπτει. Επίσης τα «… δεν θα απαντήσω αν δεν …» δεν χρειάζονται στην συζήτηση αυτή.

Με τον τρόπο που το θέλεις λοιπόν. Ταλαντωτής ελατηρίου-μάζας σε οριζόντιο λείο επίπεδο δέχεται οριζόντια δύναμη διέγερσης   Fδ=F0ημωt και αρχίζει να κάνει ταλάντωση (με διακροτήματα που δεν με ενοχλούν). Η ολική δύναμη στην μάζα είναι  είναι  F = -kx+ F0ημωt η οποία προφανώς έχει μηδενικό χωρικό στροβιλισμό , οπότε ορίζεται συνάρτηση δυναμικής ενέργειας η οποία σύμφωνα με τον τύπο που έχω δώσει και με ολοκλήρωση από χ μέχρι χ=0 της δύναμης  , προκύπτει ότι είναι                                 U = 1/2kx^2-xF0ημωt.  Προφανώς  F=-gradU

Γιάννη αρχικά πρότεινα τον πυκνωτή για να φανεί ότι η χρονικά μεταβαλλόμενη δύναμη του ηλεκτρικού του πεδίου σε φορτίο μπορεί να ‘δώσει’ δυναμική ενέργεια χρονικά με άμεση χρονική εξάρτηση. Η ταλάντωση που πρότεινες αρχικά δεν είναι σαν τις εξαναγκασμένες που συνήθως μελετάμε (πριν δράσει η διεγείρουσα δύναμη ποιος είναι ο ταλαντωτής;)

Λες  «Λέγοντας δε συντηρητικές δυνάμεις, εννοούμε δυνάμεις από πεδίο, για τις οποίες F=-gradU.» Η ηλεκτρική δύναμη στο φορτίο είναι από πεδίο και αν εφαρμόσουμε αυτά που έγραψα προηγουμένως προκύπτει ότι F=-gradU. Οπότε πως λες ότι η δύναμη του διεγέρτη δεν είναι συντηρητική;

(θα συνεχίσω αργότερα)

Καλησπέρα Ιάκωβε.

Γράφεις:

"Η ολική δύναμη στην μάζα είναι  είναι  F = -kx+ F0ημωt η οποία προφανώς έχει μηδενικό χωρικό στροβιλισμό , "

Αυτό από που προκύπτει; Το έργο δηλαδή κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδέν;

Αυτό λες; 

Περνάς Ιάκωβε, κατά τη γνώμη μου πολύ "εύκολα" την απόδειξη, θεωρώντας ουσιαστικά τη δύναμη F=Foημωt, σαν σταθερή. Δεν με ενδιαφέρει ο χωρικός στροβιλισμός μόνο.

Με ενδιαφέρει ο στροβιλισμός της δύναμης αν ο χρόνος δεν είναι απλά μια παράμετρος (ένας αριθμός) αλλά μια συνάρτηση του x.

Ιάκωβε δεν σχολιάζεις τίποτε απ' όσα γράφονται. Γράφεις ότι θέλεις να πεις.

Εκτός όσων έγραψε ο Στάθης, παρουσίασα δύο (τουλάχιστον) αντιπαραδείγματα. Και στα δύο το σώμα βρίσκεται την στιγμή μηδέν στη θέση μηδέν. Και στα δύο φαίνεται ότι η δυναμική ενέργεια ουδεμία σχέση έχει με το έργο της δύναμης επαναφοράς.

Αντί σχολίου παραθέτεις απόσπασμα από παλιό μου σχόλιο με την ερώτηση:

Οπότε πως λες ότι η δύναμη του διεγέρτη δεν είναι συντηρητική;

Δεν είναι πεδιακή ούτε χωροεξαρτώμενη δύναμη. Συνήθως ασκείται από ένα μοτεράκι στερεωμένο στο άκρο ελατηρίου.

Όμως έχω την αίσθηση ότι κάνω σφάλμα απαντώντας σ' αυτό. Για να προχωρήσει μια συζήτηση πρέπει ο συνομιλητής να απαντά σε όσα ο άλλος γράφει. Κάτι που δεν έκανες μέχρι τώρα. Γράφω ένα κείμενο, στέλνω μια προσομοίωση, κωδικοποιώ τα συμπεράσματα και….

Ουδέν σχόλιο! Γράφεις αυτό που θέλεις και μόνο.

Έτσι δεν καταλήγουμε κάπου. Έχω την αίσθηση πως ούτε το κείμενο του Στάθη διάβασες, κείμενο που αναδεικνύει μια αντίφαση.

Καλημέρα συνάδελφοι.

Στάθη πολύ ενδιαφέρουσα η μελέτη σου. Περιμένω το σχολιασμό της από τον Ιάκωβο, ο οποίος όπως μου έγραψε χθες βράδυ, δεν μπορούσε να αναρτήσει σχόλιο. Μάλλον κάποια Cookies εμπόδιζαν την επικοινωνία, πρόβλημα που ελπίζω σήμερα να μην υπάρχει.

Αν συνεχίσει Ιάκωβε, καθάρισε τα Cookies από το πρόγραμμα περιήγησης που χρησιμοποιείς ή χρησιμοποίησε κάποιο άλλο εναλλακτικά.

Ιάκωβε έρχομαι τώρα στο θέμα της συζήτησης.

Δεν με βρίσκει σύμφωνο η θέση ότι 

" όταν υποβάλουμε μια άμεσα χρονοεξαρτώμενη δύναμη στο τεστ του έργου σε κλειστή διαδρομή πρέπει να παγώσουμε το χρόνο σε μια τυχαία χρονική στιγμή."

Αν το κάνουμε, αυτό που υπολογίζουμε δεν είναι το έργο της δύναμης.  Ας δούμε γιατί.

1) Έχουμε το σώμα στο άκρο ιδανικού ελατηρίου και ασκούμε επιπλέον μια δύναμη της μορφής Fδ=Foημωt=10.ημ(10πt).

Έτσι η  συνολική δύναμη η οποία πρέπει να "υποστεί το τεστ" είναι η F=-kx+10.ημ(10πt).

Αν παγώσω το χρόνο σε μια στιγμή, που η συνισταμένη δύναμη έχει μέτρο  F=-kx+5 τότε αυτό που βρίσκω δεν αναφέρεται στην προηγούμενη κίνηση, αλλά σε μια ΑΑΤ, με μετατοπισμένη θέση ισορροπίας. 

2) Αν αντίστοιχα είχα την επιπλέον δύναμη να έχει εξίσωση F=10t, όμοια θα είχα F=-kx+10t, όπου "παγώνοντας τον χρόνο" στην τιμή 0,5s θα έπαιρνα πάλι  συνισταμένη δύναμη F=-kx+5 , άρα και πάλι θα την ονόμαζα "συντηρητική". Και να πάγωνα το χρόνο σε άλλη στιγμή και να είχα F=-kx+5.000 και πάλι "συντηρητική" θα μου προέκυπτε.

3) Αλλά τότε με την λογική αυτή, κάθε χρονοεξαρτώμενη δύναμη, θα μπορούσε να "παγώσει" σε μια στιγμή που το μέτρο της είχε κάποια τιμή π.χ. 5Ν, η συνισταμένη θα "πέρναγε το τεστ" και η δύναμη θα αποκτούσε "δίπλωμα συντηρητικότητας"!!!

Αλλά τότε δεν χρειάζεται κανένα τεστ, θα μπορούσαμε να διακηρύξουμε ότι κάθε χρονικά μεταβαλλόμενη δύναμη είναι συντηρητική και να της αποδώσουμε δυναμική ενέργεια.

Διονύση δες τον τύπο ορισμού της δυναμικής ενέργειας στο αρχικό μου κείμενο (που δεν είναι δικός μου). Στο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα δεν γίνεται ολοκλήρωση ως προς το χρόνο. Μπορώ να δώσω βιβλιογραφικές παραπομπές.   

Καλημέρα. Να τα τελειώνουμε ένα ένα Γιάννη (και χωρίς εκνευρισμούς);
(Θα απαντήσω μετά και στα υπόλοιπα).
Όταν λοιπόν η δύναμη διέγερσης είναι η ηλεκτρική δύναμη που ανέφερα τι είναι σύμφωνα με τα κριτήρια σου συντηρητική ή όχι.
(Πάντως να σου θυμίσω ότι όταν αναφέρθηκα στην μη σταθερότητα της τριβής-απαντώντας σε δική σου ερώτηση – δεν απάντησες αν συμφωνείς. Όταν έγραψα ότι η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια πρέπει να έχει και χωρική εξάρτηση επίσης δεν απάντησες)
Τις προσομοιώσεις που αναφέρεις δεν μπορώ να τις δω. Εδώ που μιλάμε για έννοιες και όχι για υπολογισμούς πως μπορεί να είναι χρήσιμη μια προσομοίωση; Δεν κατάλαβα τι κάνεις με την δύναμη επαναφοράς και την δυναμική ενέργεια. Έλαβες υπ’ όψιν ότι στον υπολογισμό του έργου πρέπει να είναι παγωμένος ο χρόνος;
Ποια αντίφαση αναδεικνύει το κείμενο του Στάθη; Το ότι αν ορίσουμε την μηχ. ενέργεια με δυο διαφορετικούς τρόπους θα έχουμε διαφορετικές εκφράσεις για το ρυθμό μεταβολής; Με την ευκαιρία αυτή, είδες καμιά απάντηση του Στάθη στο σχόλιο μου προς αυτόν;
Οι τρεις βιβλιογραφικές αναφορές που έκανα δείχνουν τίποτα;

δοκιμή

Καλημέρα Ιάκωβε.

Θα προτιμούσα την επιχειρηματολογία και την προσπάθεια απάντησης σε κάτι που υποστηρίζουμε.

Θέλω να πω, έγραψα στο τελευταίο σχόλιο ότι "το πάγωμα του χρόνου" οδηγεί κάθε χρονοεξαρτώμενη δύναμη να μετατρέπεται σε συντηρητική. Το στήριξα με κάποια παραδείγματα.

Θα περίμενα να με αντικρούσεις, αλλά όχι να μου λες ότι  μπορείς να δώσεις βιβλιογραφία…

Έτσι παρόλο που δεν το κάνω συχνά, να καταφεύγω σε βιβλιογραφία για να στηρίξω τα επιχειρήματά μου, ας δούμε και κάποια αποσπάσματα, άρθρου:

και παρακάτω

και τελικά

Όλο το άρθρο μπορείτε να το δείτε με κλικ εδώ.

Αλλά, ας προσθέσω και το συμπέρασμα ότι δεν μπορεί ένα τέτοιο πεδίο, να είναι συντηρητικό:

Δηλαδή Ιάκωβε συμφωνείς με το άρθρο, ότι η ποσότητα που υπολογίζεις σαν έργο, όταν παγώνεις το χρόνο, δεν είναι έργο;

Παραπάνω σου ζήτησα να υπολογίσεις το έργο και μου απαντούσες ότι παγώνεις το χρόνο και έτσι εξασφαλίζεις την συντηρητικότητα. Αυτό δεν μου απάντησες:

"Διονύση όταν υποβάλουμε μια άμεσα χρονοεξαρτώμενη δύναμη στο τεστ του έργου σε κλειστή διαδρομή πρέπει να παγώσουμε το χρόνο σε μια τυχαία χρονική στιγμή."

Για τεστ του έργου δεν μίλησες; Τώρα έπαψε να είναι έργο;  Τότε τι είναι αυτό που υπολογίζεις με "το τεστ του έργου";

Συμφωνείς ότι το έργο κατά μήκος κλειστής διαδρομής δεν είναι μηδέν;

Αλλά τότε θα ήθελα να ακούσω τη θέση σου για το τι σημαίνει "συντηρητική  δύναμη ή διατηρητική δύναμη κι ποιος ο λόγος να ασχολούμαστε μαζί της. Ποιος ο λόγος να μιλάμε για δυναμική ενέργεια αν δεν σκοπεύουμε να αναφερθούμε σε ένα σύστημα που η ενέργειά του παραμένει σταθερή.

Διονύση όπως έγραψα και στον Γιάννη πριν ,  αν δεν συμφωνήσουμε ποιος είναι ο πυρήνας της συζήτησης πως μπορεί αυτή να συνεχιστεί;  Συμφωνείς  με αυτό που έγραψα στον Γιάννη για το ποια είναι η ουσία της συζήτησης;

Το άρθρο που έδωσες  κατά την γνώμη σου συμφωνεί ή έρχεται σε αντίθεση με την θέση μου;

Έγραψες «Αν ορίζεις μια χρονικά μεταβαλλόμενη δυναμική ενέργεια, απλά και μόνο «κατ΄ αντιστοιχία», για να υπολογίζεις μέτρο δύναμης ή ρυθμό μεταβολής της μηχανικής ενέργειας, δεν βλέπω το λόγο για τον οποίο θα πρέπει να συμφωνήσω, «καταστρέφοντας» όλο το οικοδόμημα περί δυναμικής ενέργειας και έργο συντηρητικής δύναμης, όλη τη φιλοσοφία της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας.»

Να επαναλάβω  λοιπόν ότι οι ορισμοί που έδωσα δεν είναι δικοί μου. Υπάρχουν στην βιβλιογραφία (και στο άρθρο που έδωσες). Μπορείς λοιπόν να εξηγήσεις πως αυτά καταστρέφουν  ‘όλο το οικοδόμημα περί δυναμικής ενέργειας’ και  ‘τη φιλοσοφία της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας.’;

Καλησπέρα σε όλους.

Το ερώτημα που θέλω να θέσω, πρωτίστως στον Ιάκωβο, είναι το εξής: Ποια η φυσική σημασία της συνάντησης (14) και κατ' επέκταση της (16); Με απλά λόγια:

Έστω ότι την χρονική στιγμή t, η χρονοεξαρτώμενη δύναμη καταργείται. Το σύστημα ελατηρίου μάζας θα εκτελέσει ΑΑΤ, με την ενέργεια που έχει εγκλωβίσει τότε. Η ενέργεια αυτή μπορεί να μετρηθεί έμμεσα από το πλάτος της ταλάντωσης. Ποια σχέση θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό, η (10) ή η (16); Και επειδή θα χρησιμοποιηθεί η (10), αυτήν είναι και η φυσική της σημασία. Ποια είναι η ερμηνεία της τιμής που θα δώσει η (16);

Καταλήγοντας Ιάκωβε, για μια ακόμη φορά γράφω ότι δεν έχω πρόβλημα με τα χρονοεξαρτώμενα δυναμικά, αρκεί να σημαίνουν κάτι (το παράδειγμα του Taylor με την αγώγιμη σφαίρα δεν ήταν, κατά την γνώμη μου, τυχαίο). Έχω πρόβλημα με το να ορίζουμε δυναμικά σε κάθε χρονοεξαρτώμενη δύναμη, μηδενικού στροβιλισμού. Και έχω πρόβλημα γιατί δεν καταλαβαίνω τι υπολογίζω. Στο ιδιο μηκος κύματος είναι και οι προσομοιώσεις και τα ερωτήματα του Γιάννη και του Διονύση, όπως τα ερμηνεύω . Αν όμως έχεις κάποια άλλη ερμηνεία (και όχι βιβλιογραφική αναφορά), καλοδεχούμενη. Διαφορετικά νομίζω ότι έχει λήξει το θέμα, θα συνεχίσουμε διαφωνώντας, χωρίς να βγαίνει κάτι ουσιώδες.

Καλησπέρα Γιάννη. Τα αποτελέσματα που σου δίνει η προσομοίωση μου φαίνονται λογικά γιατί προφανώς το πρόγραμμα υπολογίζοντας πραγματικά έργα  δεν κάνει  μια απλή επικαμπύλια ολοκλήρωση  αλλά ουσιαστικά ολοκλήρωση πάνω στην εξίσωση κίνησης (παραμετροποίηση της τροχιάς με την εξίσωση κίνησης). Οπότε τελικά η ολοκλήρωση γίνεται ως προς το χρόνο. Τα ‘εργοειδή’ όμως ολοκληρώματα που ορίζουν δυναμικές ενέργειες  δεν είναι τέτοιας μορφής. Σε αυτά ο χρόνος είναι παγωμένος (και αυτά δεν είναι δικές μου ιδέες βέβαια) Η συνθήκη μηδενικού στροβιλισμού για την δύναμη ,που πρέπει να ισχύει για να ορίζεται δυναμική ενέργεια , δεν είναι ισοδύναμη με τον μηδενισμό του έργου σε κάθε κλειστή διαδρομή αλλά με τον μηδενισμό αυτού του ‘εργοειδούς’  ολοκληρώματος σε κλειστές διαδρομές. Έτσι λοιπόν τα ολοκληρώματα που υπολογίζει η προσομοίωση δεν έχουν σχέση με δυναμικές ενέργειες.

Αλλά για να μην μείνει η εντύπωση στους αναγνώστες μας, ότι απλά υποστηρίζω όσα έχουμε μάθει και γνωρίζουμε από παλιά, αρνούμενοι να δούμε το νέο, ας επανέλθω στο αρχείο του καθηγητή κ. Παπαχρήστου στη σχολή Ναυτικών δοκίμων.

Χθες έδωσα το Αγγλικό κείμενο.

Δίνω σήμερα το αντίστοιχο Ελληνικό κείμενο (το οποίο μου έστειλε ο ίδιος), αντιγράφοντας τον επίλογο:

Κεφαλίδα

4. Περίληψη
Ας θυµηθούµε τα βασικά συµπεράσµατα στα οποία έχουµε καταλήξει:

1. Σε ένα στατικό πεδίο δυνάµεων, το έργο πάνω σε ένα σωµάτιο είναι µια καλά καθορισµένη ποσότητα που εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της τροχιάς του σωµατιδίου µέσα στο πεδίο.
2. Σε ένα χρονικά µεταβαλλόµενο πεδίο δυνάµεων, η γεωµετρία της τροχιάς δεν επαρκεί για να υπολογίσουµε το έργο: θα πρέπει επίσης να γνωρίζουµε την ακριβή εξίσωση κίνησης του σωµατιδίου πάνω στην τροχιά, η οποία (εξίσωση) συνδέει τη θέση του σωµατιδίου µε το χρόνο. Έτσι, το έργο δεν είναι µια µονοσήµαντα καθορισµένη ποσότητα.
3. Ένα στατικό πεδίο δυνάµεων που είναι αστρόβιλο σε µια απλά συνεκτική περιοχή του χώρου, είναι συντηρητικό.
4. Ένα χρονικά µεταβαλλόµενο πεδίο δυνάµεων δεν µπορεί να είναι συντηρητικό, ακόµα κι αν είναι αστρόβιλο και η περιοχή δράσης του είναι απλά συνεκτική.
5. Τα χρονικά µεταβαλλόµενα πεδία δυνάµεων είναι ασύµβατα µε τη διατήρηση της ολικής µηχανικής ενέργειας

Αλλά για να μην μείνουν απορίες (παρασκηνίου…) επικοινώνησα χθες με τον κ. Παπαχρήστου, (μέσω mail) ζητώντας του την βοήθειά του, για το θέμα που μας απασχόλησε στο χώρο αυτό, μιας και είναι ο συγγραφέας και του άρθρου που είχα αναρτήσει.

Ανταποκρίθηκε άμεσα, στέλνοντάς μου το πρωτότυπο κείμενο και όταν εγώ επανήλθα θέτοντας συγκεκριμένο ερώτημα:

"Γιατί να συνδέσουμε μια συνάρτηση δυναμικής ενέργειας χρονικά μεταβαλλόμενης, με μια χρονοεξαρτώμενη δύναμη;"

πήρα την απάντηση:

" Πιστεύω κι εγώ ότι η έννοια της δυναμικής ενέργειας παύει να είναι χρήσιμη σε περίπτωση χρονικά εξαρτώμενης δύναμης, αφού το έργο της δύναμης από το σημείο Α στο σημείο Β δεν μπορεί πλέον να εκφραστεί απλά σαν διαφορά της τιμής της δυναμικής ενέργειας στο Α μείον την τιμή της στο Β. Επί πλέον, η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας δεν ισχύει. Από αυτή την άποψη, αυτό που διδάσκετε είναι ορθό.

Εν τούτοις, υπάρχουν προβλήματα όπου είμαστε αναγκασμένοι να θεωρήσουμε πιο γενικές μορφές δυναμικής ενέργειας ενός σωματιδίου, όχι μόνο χρονικά εξαρτώμενες αλλά και εξαρτώμενες από την ταχύτητα του σωματιδίου. Κλασικό παράδειγμα είναι η μελέτη κίνησης ηλεκτρικού φορτίου μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο με χρήση των εξισώσεων του Lagrange ή του Hamilton. Μάλιστα, με βάση τον χαμιλτονιανό φορμαλισμό μπορούμε να γράψουμε και την εξίσωση του Schrodinger στο αντίστοιχο κβαντικό πρόβλημα. Αυτά όμως ξεφεύγουν από την ύλη που διδάσκετε και, για να είμαι ειλικρινής, ούτε κι εγώ τα διδάσκω!"

Να ευχαριστήσω και από τη θέση αυτή, τον  Καθηγητή κ. Παπαχρήστου για την άμεση ανταπόκρισή του και την βοήθεια που μας πρόσφερε.

Καλημέρα συνάδελφοι.

Νομίζω ότι μετά από πέντε σελίδες σχολίων, μάλλον αρχίζει να ξεκαθαρίζει η εικόνα, για ποιο θέμα συζητάμε, αφού όλο το προηγούμενο διάστημα, μάλλον είμαστε χαμένοι στον Λαβύρινθο.

Ιάκωβε, γράφοντας:

" Τα ‘εργοειδή’ όμως ολοκληρώματα που ορίζουν δυναμικές ενέργειες  δεν είναι τέτοιας μορφής. Σε αυτά ο χρόνος είναι παγωμένος (και αυτά δεν είναι δικές μου ιδέες βέβαια) Η συνθήκη μηδενικού στροβιλισμού για την δύναμη ,που πρέπει να ισχύει για να ορίζεται δυναμική ενέργεια , δεν είναι ισοδύναμη με τον μηδενισμό του έργου σε κάθε κλειστή διαδρομή αλλά με τον μηδενισμό αυτού του ‘εργοειδούς’  ολοκληρώματος σε κλειστές διαδρομές."

γίνεται σαφές για τι πράγμα μιλάς, αρκεί να μην θέλεις να υποκαταστήσεις την γνωστή "δυναμική ενέργεια" που διδάσκεται ακόμη και στα Πανεπιστήμια, η οποία συνδέεται με πραγματικά έργα, με την "δυναμική ενέργεια" η οποία συνδέεται με εργοειδή…

Στάθη νομίζω ότι γράφοντας:

"Έστω ότι την χρονική στιγμή t, η χρονοεξαρτώμενη δύναμη καταργείται. Το σύστημα ελατηρίου μάζας θα εκτελέσει ΑΑΤ, με την ενέργεια που έχει εγκλωβίσει τότε. Η ενέργεια αυτή μπορεί να μετρηθεί έμμεσα από το πλάτος της ταλάντωσης. Ποια σχέση θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό, η (10) ή η (16); Και επειδή θα χρησιμοποιηθεί η (10), αυτήν είναι και η φυσική της σημασία. Ποια είναι η ερμηνεία της τιμής που θα δώσει η (16);"

ξεκαθαρίζεις απόλυτα ποιες είναι οι δύο "δυναμικές ενέργειες" και ποια είναι αυτή που έχει φυσικό περιεχόμενο και εμπλέκεται στη διδασκαλία μας. Και όταν μιλώ για φυσικό περιεχόμενο, εννοώ το εξής θέμα.

Ξέρει κανείς να μας πει τι ακριβώς είναι η ενέργεια;

Μήπως είναι μια ανθρώπινη επινόηση για να συνδέσει πράγματα διαφορετικά, αλλά που φαίνεται να τα συνδέει μια ποσότητα η οποία διατηρείται; Αν πετάξουμε την δυναμική ενέργεια (την οποία διδάσκουμε) και η οποία:

1) Μαζί με την κινητική δίνουν ένα σταθερό άθροισμα, σε κάποιες περιπτώσεις.

2) Οι μεταβολές της μπορούν να μετρηθούν, μετρώντας το έργο μιας δύναμης.

και την αντικαταστήσουμε με την, να την πω οιωνεί; "δυναμική ενέργεια" η οποία:

1) δεν συνδέεται με κάποιες αρχές διατήρησης

2) οι μεταβολές της δεν μετρώνται με έργο δύναμης, αλλά με "εργοειδή μεγέθη"

νομίζω ότι θα καταστρέψουμε την διδασκαλία μας και τον τρόπο που πρέπει να σκέφτεται και να προχωρήσει ένας μαθητής, να σπουδάζει Φυσική.

Και αν φτάσει κάποτε να πρέπει να εφαρμόσει λαγκραζιανές για το ηλεκτρόνιο μέσα σε χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, ας μάθει και κάτι περισσότερο και ας καταφέρει να μην πνιγεί…

Ιάκωβε καλησπέρα.

Όταν παγώνεις τον χρόνο και υπολογίζεις το ολοκλήρωμα (στο παράδειγμα της προσομοίωσης είναι απλά ολκλ(F(x,t)dx για δεδομένο t) έχεις υπολογίσει μια ποσότητα με διαστάσεις ενέργειας.

Αυτή η ποσότητα δικαιούται την ονομασία "Δυναμική Ενέργεια" αν η μεταβολή της δίνει το έργο που παράγεται επί του σώματος. Δηλαδή (σύμφωνα με το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας) πρέπει να δίνει την -ΔΚ, το αντίθετο δηλαδή της μεταβολής της κινητικής ενέργειας. Διαφορετικά είναι μια "εργοειδής ποσότητα" η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κάποιο πρόβλημα ή όχι.

Οι προσομοιώσεις-αντιπαραδείγματα δείχνουν καθαρά ότι το έργο ΄(μεταβολή κινητικής ενέργειας) διαφέρει στις δύο περιπτώσεις παρά το ότι η διαδρομή είναι ίδια.

Ο καθηγητής Παπαχρήστου έγραψε σχετικά.

Το παράθεμα του Διονύση:

είναι κατανοητό.

Λέει ότι πρόκειται για ένα ολοκλήρωμα που δεν παριστάνει έργο, αν μεταφράζω καλά.

Το παράθεμα αυτό μου έδωσε την ιδέα των δύο προσομοιώσεων.

Δεν έγραψα όμως μόνο αυτά. Μίλησα και για την (ούτως ειπείν) ενέργεια ταλάντωσης και για την δυναμική ενέργεια σε τμήμα χορδής.

Αντιλαμβάνεσαι ότι όλοι οι συνομιλητές αντιλαμβανόμαστε ότι μπορούμε να ολοκληρώσουμε οιανδήποτε συνάρτηση ως προς μία μεταβλητή της. Όμως (παράθεμα Διονύση):

the integral does not represent work.

Καλησπέρα. Διονύση λυπάμαι αλλά επιχειρείς διαστρέβλωση αυτών που έχω γράψει.

(Επίσης αποφεύγεις να απαντήσεις σε αυτά που ρώτησα.)

Γράφεις «αρκεί να μην θέλεις να υποκαταστήσεις την γνωστή »δυναμική ενέργεια» που διδάσκεται ακόμη και στα Πανεπιστήμια, η οποία συνδέεται με πραγματικά έργα, με την »δυναμική ενέργεια» η οποία συνδέεται με εργοειδή…» και παρακάτω

«Αν πετάξουμε την δυναμική ενέργεια (την οποία διδάσκουμε) (…)και την αντικαταστήσουμε με την, να την πω οιωνεί; »δυναμική ενέργεια» (…) νομίζω ότι θα καταστρέψουμε την διδασκαλία μας και τον τρόπο που πρέπει να σκέφτεται και να προχωρήσει ένας μαθητής, να σπουδάζει Φυσική.»

Δεν μπορώ να πιστέψω ότι δεν σου είναι σαφές ότι ο ορισμός που πρότεινα (που υπάρχει και στο άρθρο που επικαλέστηκες) , για δυνάμεις χωρίς άμεση εξάρτηση από το χρόνο , δίνει ακριβώς την δυναμική ενέργεια (την οποία διδάσκουμε). Πως λοιπόν αυτήν την πετάμε και με ποιαν την αντικαθιστούμε; Λες μετά για καταστροφή διδασκαλίας σε μαθητές. Έχεις καταλάβει ότι αυτά που πρότεινα είναι διδακτική πρόταση για μαθητές;
Στο άρθρο που επικαλέστηκες ή στο mail του κ Παπαχρήστου υπάρχει κάτι που έρχεται σε αντίθεση με αυτά που έχω γράψει; Αν υπάρχει θα ήθελα να μου το επισημάνεις.
Στο mail του κ Παπαχρήστου υπάρχει η φράση «Εν τούτοις, υπάρχουν προβλήματα όπου είμαστε αναγκασμένοι να θεωρήσουμε πιο γενικές μορφές δυναμικής ενέργειας ενός σωματιδίου, όχι μόνο χρονικά εξαρτώμενες αλλά και εξαρτώμενες από την ταχύτητα του σωματιδίου» Αυτό δεν σημαίνει ότι χρονικά εξαρτώμενες δυναμικές ενέργειες είναι δυνατόν να οριστούν (έστω και αν είναι χρήσιμες σε λίγες περιπτώσεις);
Μια τέτοια περίπτωση θα μπορούσε να είναι το ακόλουθο παράδειγμα. Κίνηση διαστημοπλοίου στο βαρυτικό πεδίο της γης και της σελήνης. Η συνιστώσα του βαρυτικού πεδίου που οφείλεται στην σελήνη , στο σύστημα αναφοράς της γης , έχει προφανώς άμεση εξάρτηση από το χρόνο λόγω της κίνησης της σελήνης. Αυτή η συνιστώσα λοιπόν θα μπορούσε να περιγραφεί από δυναμικό άμεσα εξαρτώμενο από το χρόνο.

Μια προσέγγιση εννοιολογικοδιδακτική είχα επιχειρήσει παλιά.

Την μετέφερα και στο νέο υλικονέτ το 2017.

Φυσικά είναι πλήρως απομαθηματικοποιημένη. Φυσικά η Θεωρητική Φυσική οφείλει την εισαγωγή των grad των div και των ολοκληρωμάτων της. Αλίμονο αν δεν το κάνει. Όμως η Φυσικές δύο διαφορετικών επιπέδων δεν μπορεί να καταλήγουν σε διαφορετικά συμπεράσματα, ούτε σε διαφορετικές έννοιες, όταν ασχολούνται με το ίδιο πρόβλημα. Έστω αυτό του διακροτήματος, του κύματος σε χορδή, του εξαναγκασμένου ταλαντωτή.

Καλησπέρα Ιάκωβε.

Αλήθεια δεν κατάλαβες για ποια δυναμική ενέργεια μιλάω;

"Δεν μπορώ να πιστέψω ότι δεν σου είναι σαφές ότι ο ορισμός που πρότεινα (που υπάρχει και στο άρθρο που επικαλέστηκες) , για δυνάμεις χωρίς άμεση εξάρτηση από το χρόνο , δίνει ακριβώς την δυναμική ενέργεια (την οποία διδάσκουμε). Πως λοιπόν αυτήν την πετάμε και με ποιαν την αντικαθιστούμε;
Δεν έχω κανένα πρόβλημα προφανώς για δυνάμεις "χωρίς άμεση εξάρτηση από το χρόνο ". Το πρόβλημά μου είναι όταν αποδίδουμε δυναμική ενέργεια στις χρονοεξαρτώμενες δυνάμεις. 

Όλη η συζήτηση είναι τι θα θεωρήσουμε δυναμική ενέργεια π.χ. στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Όλοι οι υπόλοιποι συνομιλητές αναφέρονται στη χωροεξαρτόμενη συντηρητική δύναμη F=-Dx, το έργο της οποίας συνδέεται  με μεταβολές στη δυναμική ενέργεια.

Δεν είναι σαφές;

Εσύ αντίθετα προβάλεις μια "δυναμική ενέργεια" οι μεταβολές της οποίας συνδέονται με "εργοειδή"

Αυτή την δεύτερη ενέργεια προσωπικά δεν θα ήθελα να την εμπλέξουμε σε προβλήματα, όπως αυτό μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης. Και συ την εμπλέκεις, αφού όταν απάντησα σε διπλανή συζήτηση που αναφερόταν στο διακρότημα (στα πλαίσια της  διδασκαλίας των ταλαντώσεων) παρενέβεις θέτοντας θέμα χρονοεξαρτώμενης δυναμικής ενέργειας.

Νομίζω ότι κάθε καλόπιστος αναγνώστης θα αναγνωρίσει τις διαφορετικές θέσεις που έχουν ακουστεί και θα επιλέξει αυτήν που του "πάει".  Δεν έχω κανένα πρόβλημα να επιβάλω την προσωπική μου άποψη πάνω στο θέμα, αρκεί να μην διαστρεβλώνεται η θέση μου.

Προσωπικά δεν έχω να προσθέσω κάτι άλλο…

Καλησπέρα Ιάκωβε.

Πράγματι δεν υπάρχουν οι ..προϋποθέσεις.

Σχολιάζω τις ενέργειες στο διακρότημα και παρεμβαίνεις θέτοντας θέμα σύνδεσης δυναμικής ενέργειας με μη συντηρητικές δυνάμεις.

Το πόσο προσπάθησα να αναδείξω την ουσία και να φτάσουμε σε κάποιο συμπέρασμα, φαίνεται από την προσπάθειά μου να έρθω σε επαφή με τον κ. Παπαχρήστο και να πάρω "από πρώτο χέρι" απαντήσεις αφού η συζήτηση δεν οδηγούσε πουθενά.

Αλλά ενώ συνεχίζεις να υποστηρίζεις ότι δεν παίρνεις απαντήσεις, αρνείσαι να διαβάσεις:

1) Τα συμπεράσματα του άρθρου του κ. Παπαχρήστου, όπως τα έβαλα εδώ και να συσχετίσεις όλα αυτά με τη διδασκαλία του διακροτήματος ή της εξαναγκασμένης ταλάντωσης. 

2) Την απάντηση του κ. Παπαχρήστου, όπως την έβαλα εδώ , όπου λέει:

"…  Επί πλέον, η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας δεν ισχύει. Από αυτή την άποψη, αυτό που διδάσκετε είναι ορθό.

Αυτό που διδάσκεται είναι ορθό, λέει ο κ. Καθηγητής. Δεν με διόρθωσε ότι λέω λάθος ερμηνεία στην εξαναγκασμένη π.χ.

Σκέφτηκες ποτέ αλήθεια, ότι κάποιος επισκέπτης που μας  διαβάζει, μπορεί να βγάλει το συμπέρασμα ότι οι διδάσκοντες στην Γ΄Λυκείου λένε βλακείες στις ταλαντώσεις αφού δεν ξέρουν τι τους γίνεται; Ο κ. Παπαχρήστος λέει ότι διδάσκουμε το σωστό και  συνεχίζει… "και, για να είμαι ειλικρινής, ούτε κι εγώ τα διδάσκω!" Εσύ όμως επιμένεις να σχολιάζεις ερώτηση πάνω στις ταλαντώσεις με βάση την "δυναμική ενέργεια που συνδέεται με εργοειδή… την οποία δεν διδάσκει στην τριτοβάθμια ο κ. Παπαχρήστος.

Συνεχίζει στην απάντησή του:

"Εν τούτοις, υπάρχουν προβλήματα όπου είμαστε αναγκασμένοι να θεωρήσουμε πιο γενικές μορφές δυναμικής ενέργειας ενός σωματιδίου, όχι μόνο χρονικά εξαρτώμενες αλλά και εξαρτώμενες από την ταχύτητα του σωματιδίου. Κλασικό παράδειγμα είναι η μελέτη κίνησης ηλεκτρικού φορτίου μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο με χρήση των εξισώσεων του Lagrange ή του Hamilton. Μάλιστα, με βάση τον χαμιλτονιανό φορμαλισμό μπορούμε να γράψουμε και την εξίσωση του Schrodinger στο αντίστοιχο κβαντικό πρόβλημα. Αυτά όμως ξεφεύγουν από την ύλη που διδάσκετε και, για να είμαι ειλικρινής, ούτε κι εγώ τα διδάσκω!"

Εν τούτοις υπάρχουν  προβλήματα όπου είμαστε αναγκασμένοι να θεωρήσουμε πιο γενικές μορφές δυναμικής ενέργειας…

Δεν το αμφισβήτησα Ιάκωβε. Έγραψα εδώ:

"…που πρέπει να σκέφτεται και να προχωρήσει ένας μαθητής, να σπουδάζει Φυσική.

Και αν φτάσει κάποτε να πρέπει να εφαρμόσει λαγκραζιανές για το ηλεκτρόνιο μέσα σε χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, ας μάθει και κάτι περισσότερο και ας καταφέρει να μην πνιγεί…"

"στην εξαναγκασμένη ταλάντωση δεν υπάρχει δυναμική ενέργεια. "

Μπορείς να μου δείξεις Ιάκωβε, πού έχω διατυπώσει αυτήν την πρόταση;

Ιάκωβε, αλήθεια δεν ξέρω τι ζητάς…

"Δεν θα διαφωνούσα αν έλεγες ότι μπορεί μεν να οριστεί δυναμική ενέργεια αλλά για το επίπεδο του Λυκείου δεν είναι χρήσιμη (θα μπορούσε να γίνει και επικίνδυνη)."

Το έχω γράψει παραπάνω:

"Και αν φτάσει κάποτε να πρέπει να εφαρμόσει λαγκραζιανές για το ηλεκτρόνιο μέσα σε χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, ας μάθει και κάτι περισσότερο και ας καταφέρει να μην πνιγεί…"

Τι σημαίνει αυτό, το "ας μάθει κάτι περισσότερο", παρά το ότι μπορεί να διδαχτεί και αυτό που βάζεις εσύ, την χρονικά μεταβαλλόμενη δυναμική ενέργεια;

Ας το γράψω λοιπόν αναλυτικά, μήπως και τελειώσει το θέμα.

Όταν πρόκειται να μελετήσει προχωρημένα προβλήματα ένας φοιτητής (μάλλον σε μεταπτυχιακό επίπεδο ή σε κάποια σχολή εφαρμοσμένης επιστήμης που πρέπει να προβεί σε κάποιους υπολογισμούς) πιθανόν να διδαχθεί μια τέτοια χρονικά μεταβαλλόμενη δυναμική ενέργεια και την σύνδεσή της με ΜΗ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ χρονοεξαρτώμενη δύναμη.

Αυτή όμως η "δυναμική ενέργεια" δεν έχει καμιά δουλειά στην συζήτηση για το διακρότημα ούτε για τη μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης που διδάσκουμε στο Λύκειο.  Ας μείνει μακρυά…

Ιάκωβε, μην μου ζητήσεις άλλη "δήλωση μετανοίας" αφού δεν πρόκειται να συνεχίσω αυτόν τον διάλογο.

Έχει χάσει κάθε χαρακτηριστικό ενός  δημοκρατικού διαλόγου μεταξύ ισότιμων συνομιλητών, οι οποίοι διαβάζουν αυτά που λέει ο απέναντι και σέβονται την άποψή του…

Ιάκωβε καλησπέρα. 

Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση μπορούν να οριστούν άπειρες χρονοεξαρτώμενες "δυναμικές" ενέργειες: U(x,t) = 0.5 k x^2 – x Fo ημ(ωt+φ) + f(t). Όλες αυτές δίνουν την σωστή εξίσωση κίνησης. Επιλέγω ως f(t) = t^100 J. Θα την δεχτείς; Και αν σε ρωτήσω ποιά η μηχανική ενέργεια του ταλαντωτή την χρονική στιγμή t = 10s, θα απαντήσεις περίπου 10^100 J; Αν το θυμάμαι καλά, όλα τα σωματίδια στο παρατηρήσιμο σύμπαν είναι τάξη μεγέθους κοντά στο 10^80 ! Αν δεν την δεχτείς, γιατί να δεχτούμε την δυναμική ενέργεια για f(t) = 0; 

Νομίζω πως αυτό είναι το πρόβλημα με τα χρονοεξαρτώμενα δυναμικά. Φυσικά και μπορούν να οριστούν. Ουδείς διαφωνεί. Κάποιες φορές είναι αναγκαίο κακό, άλλες (όπως στο παράδειγμα που εξετάζουμε) νομίζω πως είναι άχρηστες. Η γνώμη μου: είναι χρήσιμες για την κινηματική του φαινομένου που εξετάζουμε, μέχρις εκεί. 

Καλησπέρα Διονύση και Στάθη.

Θα συμφωνούσατε λοιπόν να κλείσει η συζήτηση με το ακόλουθο συμπέρασμα;

Είναι δυνατόν για μια δύναμη με άμεση χρονοεξάρτηση και μηδενικό στροβιλισμό να οριστεί με μαθηματική συνέπεια αντίστοιχη χρονοεξαρτώμενη δυναμική ενέργεια. Αυτή σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί να είναι χρήσιμη και σε κάποιες άλλες όχι. Αλλά βέβαια αυτά είναι αδιανόητο να διδάσκονται σε επίπεδο λυκείου.

Διονύση αυτά περί  δημοκρατικού διαλόγου δεν χρειαζόντουσαν.

Καλημέρα Ιάκωβε.

Θα συμφωνούσα με τέσσερις επισημάνσεις:

1. Η χρονοεξαρτώμενη δυναμική ενέργεια δεν ορίζεται μονοσήμαντα.
2. Έχει κάποιο φυσικό νόημα μόνον αν προκύπτει από ένα χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο (πχ βαρυτικό, Η/Μ,…).
3. Οδηγεί σε μία συνάρτηση Ηamilton, η οποία δεν ταυτίζεται με την μηχανική ενέργεια του συστήματος (αν πρόκειται για μηχανικό σύστημα).
4. Η χρήση της να περιοριστεί στην εξεύρεση των διαφορικών εξισώσεων που ικανοποιούν οι γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος.  

Έλαβα ένα νέο mail από τον κ. Παπαχρήστου, στο οποίο γράφει:

"Με αφορμή τις πρόσφατες επισημάνσεις σου, προετοίμασα μία νέα version του άρθρου για το οποίο συζητήσαμε. Αυτό (στη νέα του εκδοχή) μαζί με μερικά άλλα άρθρα παιδαγωγικού ενδιαφέροντος, θα τα βρεις στο τεύχος που υπάρχει στο πιο κάτω link:

https://eclass.snd.edu.gr/modules/document/file.php/TOM6113/physics%20education%20articles.pdf"

Εναλλακτικά με κλικ εδώ.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω και από εδώ τον κ. Παπαχρήστου και για αυτήν για την προσφορά του.

Καλησπέρα. 

Πολύ ενδιαφέροντα τα άρθρα του κ Παπαχρήστου (ιδιαίτερα αυτά περί ΗΕΔ). Το 6ο άρθρο είναι ουσιαστικά αυτό που έχει αναφερθεί στα προηγούμενα. Ρώτησα επανειλημμένα αν υπάρχει κάτι στο άρθρο αυτό που έρχεται σε αντίθεση με όσα έχω γράψει , αλλά δεν υπήρξε απάντηση.

Η συζήτηση αυτή έχει βέβαια λήξει. όμως μαζί με τις υπόλοιπες αναφορές που έκανα ας υπάρχει και το ακόλουθο απόσπασμα από την σελίδα 5 του άρθρου.

Consider again an irrotational force field  F(r,t) defined  in a simply connected region  Ω.  Then there exists a time-dependent potential energy  U(r,t) of m, such that, for any value of t,                F(r,t) = -gradU(r,t)

Αξίζει νομίζω να συμπληρωθούν τα προηγούμενα με την καλύτερη ίσως αναφορά στο ζήτημα της άμεσα χρονοεξαρτώμενης δυναμικής ενέργειας η οποία δίνει ξεκάθαρα το φυσικό νόημα αυτής της ενέργειας.

Landau  Lifshitz, Mechanics  σελ. 9  Hitherto we have spoken only of closed systems. Let us now consider a system A which is not closed and interacts with another system Β executing a given motion. In such a case we say that the system A moves in a given external field (due to the system B). Since the equations of motion are obtained from the principle of least action by independently varying each of the coordinates (i.e. by proceeding as if the remainder were given quantities), we can find the Lagrangian  LA   of the system A by using the Lagrangian L of the whole system A + Β and replacing the coordinates  qB  therein by given functions of time. Assuming that the system A+B  is closed, we have        L= TA(qA , qA') + TB(qB , qB') – U(qA , qB)  where the first two terms are the kinetic energies of the systems A and Β and the third term is their combined potential energy. Substituting  for  qB  the given functions of time and omitting the term TB(qB(t) , qB'(t))  which depends on time only, and is therefore the total time derivative of a function of time, we obtain  LA =  TA(qA , qA’)  –  U(qA , qB(t))  Thus the motion of a system in an external field is described by a Lagrangian of the usual type, the only difference being that the potential energy may depend explicitly on time