Μίλτος Καδιλτζόγλου

Καλημέρα Μίλτο, όμορφη άσκηση, ευχαριστούμε πολύ.

Καλημέρα Παύλο, σ’ ευχαριστώ πολύ.
Να είσαι καλά και να συνεχίσεις την προσφορά!

Καλημέρα Μίλτο, όμορφη παρουσίαση σε ένα κλασικό θέμα.

Προκύπτει Κ(1)=2Κ(2) , αναμενόμενο αφού οι κινητικές ενέργειες σωμάτων που έχουν ορμές ίσων μέτρων, είναι αντίστροφα ανάλογες των μαζών των σωμάτων.

Θα ήθελα να ρωτήσω όποιον γνωρίζει

Κ(1)=2Κ(2)–> W(F1)=2W(F2) όπου F(1)=F(2) κάθε στιγμή, αλλά μεταβλητές.

Μπορούμε να βρούμε σχέση μετατοπίσεων Δx(1)/Δx(2) για τα δύο σώματα,
μέχρι να χαθεί η επαφή με το ελατήριο;

Καλημέρα Θοδωρή, ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Νομίζω ότι Δx1 = 2Δx2, καθώς διαρκώς α1 = 2α2 και το κέντρο μάζας του συστήματος παραμένει ακίνητο.

Καλημέρα σε όλους,
Μιλτο όπως αναφέρει ο Θοδωρής ένα κλασικό μοντέλο αλλά πάντα επίκαιρο.
Στο ερώτημα του Θοδωρή. Από τη διατήρηση της ορμης προκύπτει ότι

υ1=2υ2 από όπου προκύπτει ότι και κάθε στιγμή Δχ1=2Δχ2. Έτσι όταν αποχωριστούν S1+S2=5cm. Προκύπτει S1=10/3cm και S2=5/3cm.
Μάλιστα αν κάνει κάποιος τη γραφική παράσταση της Fελ για κάθε σώμα μέχρι τη στιγμή του αποχωρισμού θα βρει την ενέργεια που αποδίδεται σε κάθε σώμα από το ελατήριο και εμφανίζεται ως κινητική ενέργεια.
Είναι επιπλέον ένα καλό παράδειγμα για να πείσουμε ότι παρόλο που οι δυνάμεις είναι αντίθετες τα σώματα έχουν διαφορετικές μετατοπίσεις για αυτό και διαφορετικά έργα.

Καλημέρα και πάλι, σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις.

Μίλτο, συμφωνώ αλλά νομίζω πως πρέπει να γίνει χρήση ολοκληρωμάτων
για την αιτιολόγηση που προτείνεις.

Χρήστο, εδώ έχω θέμα, ίσως κάτι κάνω λάθος

Πώς θα κάνουμε τη γραφική παράσταση Fελ=f(x) για κάθε σώμα;
Η παραμόρφωση x βρίσκεται και στα δύο άκρα. Ισχύει F(ελ)=κχ;

Αν ναι, τότε με χ1=2χ2 προκύπτει W(1)=4W(2)

Καλησπέρα σε όλους.
Σκέφτομαι το εξης: η Η δύναμη του ελατηρίου κάθε στιγμή είναι ΚΔl. Αλλά το κάθε σώμα έχει διαφορετική μετατόπιση. Η συνάρτηση αφορά την Fελ που ασκείται σε κάθε σώμα και το μέτρο της υπολογίζεται κατά τα γνωστά και τη μετατόπιση του καθενός. Όταν αποχωρίζονται η Fελ=0 όπου για το Σ2 όταν αποχωρίζονται το Δχ=5/3cm και για το άλλο 10/3cm. Tο έκανα γραφικά και βγηκε. Δεν έβγαλα σχέση της Fελ με τη μετατόπιση του καθενος. Απλώς ότι η δύναμη του ελατηρίου έχει συγκεκριμένο μέτρο και αντίστοιχα το σώμα εκείνη τη στιγμή την αντίστοιχη δχ. Ίσως είναι εντελώς ´´αρκουδια´´ όπως λέει και ο Γιάννης και να βγαίνει τυχαια. Καθώς έβαλα αυθαίρετα στη γραφική παράσταση σχήμα ευθείας που ξεκινά από την τιμή 12Ν και να μηδενίζει αντίστοιχα στα 5/3cm και 10/3cm.
Μάλλον η προτροπή του Διονύση να είναι σωστή. Αν βρω λίγο χρόνο θελω να το επεξεργαστώ παραπάνω.

Καλησπέρα Διονύση
Προφανώς και έχεις δικιο…
Για αυτό λέω έκανα αυθαίρετα ευθεία… και μάλλον βγαίνει τυχαία. Θέλει προσοχή μην οδηγηθούμε πάλι σε καινούργιες θεωρίες…

Χρήστο δεν υπάρχει μαθηματική σχέση Fελ=kΔχ1, υπάρχει σχέση Fελ=kΔl.
Η δύναμη που ασκείται στο ένα σώμα, δεν είναι συνάρτηση της μετατόπισης αυτού του σώματος, ώστε το αντίστοιχο εμβαδόν του διαγράμματος να μετρά το έργο που παράγεται πάνω στο σώμα αυτό.
Ας πάμε λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε την συνολική μετατόπιση του ενός, όπως λες, όπου είναι 5/3 cm και όπου θέλουμε το διάγραμμα της δύναμης σε συνάρτηση με την μετατόπιση του σώματος. Στην αρχική θέση χ=0 η δύναμη είναι 12Ν. Στην τελική θεση χ=5/3 cm η δύναμη είναι μηδενική.
Και σε όλες τις ενδιάμεσες θέσεις; Έχουμε κάποια συνάρτηση για να κατασκευάσουμε την ευθεία;

Γεια σου Χρήστο, γεια σου Διονύση, καλησπέρα σε όλους! Σας ευχαριστώ για τη συμμετοχή και τον εμπλουτισμό της ανάρτησης.

Για μεγαλύτερη ακρίβεια πρέπει Θοδωρή να εμφανιστούν ολοκληρώματα, αλλά όπως σημείωσε και ο Διονύσης δεν χρειάζεται. Το ένα ολοκληρώματα θα είναι διπλάσιο του άλλου, χωρίς να χρειάζεται ο υπολογισμός τους.

Καλημέρα Μίλτο, καλημέρα σε όλους.
Μίλτο θα συμφωνήσω με το Χρήστο, ότι το θέμα αυτό είναι πάντα επίκαιρο.
Όσον αφορά το θέμα των μετατοπίσεων, δεν νομίζω Θοδωρή ότι χρειάζεται να πάμε σε ολοκληρώματα. Η σχέση των ταχυτήτων υ1=2υ2, κάθε στιγμή, οδηγεί και σε αντίστοιχες στοιχειώδεις μετατοπίσεις, για κάθε μικρό χρονικό διάστημα δt και αυτό με τη σειρά του στη σχέση Δx1=2Δx2.
Όσον αφορά τα εμβαδά Χρήστο, μακριά! Δεν υπάρχει σχέση δύναμης ελατηρίου, σε συνάρτηση με την μετατόπιση του ενός σώματος.

Γεια σου Μίλτο προσπάθησα να βρω την Fελ που δέχεται κάθε σώμα από το ελατήριο σε σχέση με την μετατόπιση του αφού είδα το σχόλιο του Χρήστου Αγριόδημα και κατέληξα κάπου. Μπορεί να κάνω λάθος. Στην λύση για τον υπολογισμό του έργου της Fελ που δέχεται κάθε σώμα από το ελατήριο παίρνω ως δεδομένο ότι ισχύει x₁ = 2x₂.

https://i.postimg.cc/66c9whsV/IMG-2975-1725115636-7744.jpg

Γεια σου Παύλο.
Δεν βλέπω κάποιο λάθος στο συλλογισμό σου, από τον οποίο φαίνεται ότι οι αντίστοιχες συναρτήσεις είναι γραμμικές.

Θα είχε ενδιαφέρον εάν μπορεί να αναδειχθεί κάτι τέτοιο και σε κάποια προσομοίωση.

Καλησπέρα Παύλο, διαβάζω και ξαναδιαβάζω την απόδειξη που ανέβασες.

Δεν μπορώ να βρω λάθος. Ξεκινάς από το νόμο Hooke με τη συνολική
παραμόρφωση Δl του ελατηρίου.
Αλλάζεις τη μεταβλητή σε Δlo-x όπου x=x1+x2.
Με δεδομένη τη σχέση στιγμιαίων ταχυτήτων υ1=2(υ2) από ΑΔΟ αντικαθιστάς x1=2(x2) και φθάνεις στη σχέση F=kΔlο-3k(x2) και αντίστοιχα F=kΔlο-3k(x1)/2

Τα εμβαδά των γραφικών παραστάσεων δίνουν τα έργα W1=2W2

Νομίζω πως βρήκες μια πολύ σημαντική απόδειξη και σίγουρα όχι προφανή.

Συγχαρητήρια

Άνευ σημασίας , σβήσε τη σταθερά k από την τιμή των x στις γραφικές παραστάσεις

Επίσης άνευ σημασίας Παύλο, δεν έχει νόημα να βάζουμε μονάδες μέτρησης στους άξονες σε ποιοτικά διαγράμματα.
Οπότε, σβήσε τα (Ν) και (m) που έχεις στα διαγράμματα.

Καλησπέρα σε όλους,
Μπράβο Παύλο.
Διαισθητικά γρήγορα σκέφτηκα ότι θα έβγαινε κάπως έτσι αλλά δεν το επεξεργάστηκα. Το σχόλιο του Διονύση βέβαια είναι σημαντικό ότι αποδίδουμε δυναμική ενέργεια σε συντηρητικές δυνάμεις και χρήζει προσοχή η έκφραση της συνάρτησης αυτής με την κατάλληλη μεταβλητή.

Δυστυχώς δεν πρόλαβα. Για να μην γίνομαι κουραστικός με συνεχή ίδια σχόλια θα σβήσω τα προηγούμενα που το διάγραμμα είχε κάποιες αβλεψίες και ζήτω συγνώμη από Θοδωρή και Μίλτο που τα σχόλια τους φαίνονται κάπως άκυρα,

https://i.postimg.cc/0QLBDQB0/IMG-2980-1725124072-0472.jpg

Ευχαριστώ Χρήστο, αν δεν έκανες το συγκεκριμένο σχόλιο δεν θα έκανα την απόπειρα, να είσαι καλά.

Καλησπέρα Παύλο και μπράβο για την απόδειξη!
Έτσι “δικαιώθηκε” και ο Χρήστος….
Να κάνω λοιπόν μια αναδιατύπωση της θέσης, που είχα παραπάνω εκφράσει.
Για να υπολογίσουμε έργο δύναμης πάνω σε ένα σώμα, χρειαζόμαστε διάγραμμα δύναμης σε συνάρτηση με την μετατόπιση του σώματος αυτού.
Στην περίπτωση του μονομένου συστήματος, όπως το παραπάνω, όπου η ΑΔΟ μας οδηγεί σε εύρεση σχέσης μεταξύ των δύο μετατοπίσεων, τότε ξεκινώντας από το νόμο του Hooke F=kΔl, μπορούμε να κάνουμε απαλοιφή της μετατόπισης του ενός σώματος και να οδηγηθούμε σε συνάρτησης της δύναμης F, με την μετατόπιση του άλλου σώματος και να υπολογίσουμε το έργο.
Παύλο και πάλι συγχαρητήρια.

Ευχαριστώ Διονύση, η σκέψη του Χρήστου ήταν το έναυσμα που δεν θα υπήρχε αν ο Μίλτος δεν είχε κάνει την ανάρτηση.

Γεια σας παιδιά. Όμορφη η άσκηση του Μίλτου, ενδιαφέρουσα η ερώτηση του Θοδωρή, καίριο το σχόλιο του Χρήστου, που οδήγησε στη λύση του Παύλου. Συμπέρασμα: με την αλληλεπίδραση όλοι βγαίνουμε κερδισμένοι. Μπράβο σε όλους!

Νομίζω, η εξέλιξη της συζήτησης στη συγκεκριμένη ανάρτηση του Μίλτου,
δείχνει, την “μαγεία” του ylikonet…

Αρχές της περσινής χρονιάς λύνουμε στην τάξη (Γ’ Λυκείου) μια αντίστοιχη
άσκηση. Θέτω ως ερώτημα τον υπολογισμό του έργου της δύναμης σε κάθε σώμα.

Προκύπτει W1=kW2, αναφέρουμε πως Δx1=kΔx2 , αφού υ1=kυ2 (με κάποιες μικροενστάσεις) και τίθεται η ερώτηση:

Αφού κατά μέτρο F1=F2 κάθε στιγμή και Δx1=kΔx2, μπορούμε να ισχυριστούμε
χωρίς χρήση ΑΔΕ πως W1=kW2;;;

Απάντησα πως όχι, αφού για τον υπολογισμό του έργου κάθε δύναμης δεν μπορούμε
να λάβουμε W=FΔx, αφού η δύναμη δεν είναι σταθερή, αλλά πρέπει να φτιάξουμε το διάγραμμα F=f(x) για κάθε δύναμη…το οποίο διάγραμμα δεν “έβλεπα” πώς μπορεί
να κατασκευαστεί…

Φέτος, με τη βοήθεια του Παύλου, θα το κατασκευάσω….

Γεια σας κύριε διαχειριστή, γράφαμε μαζί…

Το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους!

Συγχαρητήρια στον Παύλο, συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες.

Σαν συνέχεια της προηγούμενης σελίδας (επικαλούμαι κάποιες σχέσεις χωρίς να τις αποδεικνύω) καταλήγω στο συμπέρασμα ότι το κάθε σώμα εκτελεί ταλάντωση (αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος!).

https://i.postimg.cc/RFtb4tSx/IMG-2982-1725139570-4077.jpg

Καλημέρα Παύλο και καλή Κυριακή σε όλους!
Θα συμφωνήσω και με αυτό σου το συλλογισμό. Πρόσθεσε απλά στα d1 και d2 το Δ στο l_0.

Να τονιστεί επίσης ότι μιλάμε για τμήμα ενός τετάρτου της Α.Α.Τ. καθώς μετά αποχωρίζονται από το ελατήριο.
Παρατηρούμε ότι D_2 = 2D_1, ώστε να αφήνουν το ελατήριο ταυτόχρονα (Τ1 / 4 = Τ2 / 4).

Καλημέρα.
Για τον υπολογισμό του έργου της δύναμης του ελατηριου μια σκέψη.
Το cm συστηματος παραμένει ακίνητο. Δηλ ένα σημείο του ελατηρίου δεν κινείται. Δηλ σαν να έχουμε δυο ελατήρια με μήκη L1 , L2 και σταθερές
Κ1,Κ2 συνδεμένα σε σειρά.
Δεν έχω κάνει υπολογισμούς αλλά πρέπει να προκύπτουν οι σταθερές που υπολόγισε ο Παύλος.Θα ανεβάσω αρχείο αργότερα αφού κάνω την μαθηματική επεξεργασία.
Έτσι θα προκύψει και το γεγονος ότι τα σώματα εκτελουν ταλάντωση με άλλο τροπο.

Καλημέρα Μίλτο. Γράφαμε μαζί

Καλημέρα Γιώργο!
Ναι, θα είχε ενδιαφέρον εάν μπορέσουμε να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα από διαφορετικό δρόμο.

Καλημέρα και καλό Μήνα σε όλους, Παύλο είσαι αστείρευτος….

Γιατί να δείξουμε πως η κίνηση κάθε μάζας είναι τμήμα ΑΑΤ;;;

Διότι έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε και το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί,
μέχρι το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό μήκος του

Να σημειώσουμε πως μιλάμε για δύο ανεξάρτητες κινήσεις, όπου κάθε μία
αποτελεί ΑΑΤ με δική της σταθερά επαναφοράς.
Δέχομαι λοιπόν τις δύο σταθερές D1 , D2

Προφανώς αυτή η περίπτωση, καμία σχέση δεν έχει με την ταλάντωση συστήματος
δύο σωμάτων (π.χ το ένα πάνω στο άλλο) όπου ΑΑΤ είναι η κίνηση του συστήματος
και μόνο…οπότε έχουμε ΜΙΑ ΜΟΝΟ σταθερά επαναφοράς D=k
Στην ταλάντωση συστήματος δεν έχουμε κανένα ουσιαστικό λόγο να μιλάμε για επιμέρους σταθερές επαναφοράς D1 , D2

Γιώργο συμφωνώ με το ακίνητο ΚΜ του συστήματος, αλλά είναι κάτι που
δεν διδάσκουμε….

Διάβασα πως το προηγούμενο τετραήμερο, χάλασε ο καιρός σε όλη την Κρήτη,
με χαλαζόπτωση, εκτός από τα Χανιά……που συνεχώς είχε λιακάδα….Τυχαίο;;;;

Καλό μήνα! Γεια σου Θοδωρή, αν πω ότι δεν περίμενα να κανείς αναφορά στην σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του κάθε σώματος θα πω ψέματα 🙂 , να είσαι καλά!

Καλή Κυριακή, καλημέρα Μίλτο. Ναι έχεις δίκιο αναφέρομαι στην ταλάντωση που εκτελούν τα σώματα για όσο χρόνο είναι σε επαφή με το ελατήριο. Σε ευχαριστώ και για τη παρατήρηση σου, παραθέτω παρακάτω την διορθωμένη μορφή.

https://i.postimg.cc/PxXkXCPc/IMG-2983-1725173365-1902.jpg

Χαχαχα Θοδωρή! Ενώ όλοι συνωμοτούν και μονομαχούν με όλους ο καιρός ήταν πολύ τρυφερός.Ο καθε ένας πρέπει να δικαιούται μια δυο τρεις άντε τέσσερεις φορές που προλαβαίνει να παντρευτεί να έχει καλό καιρό.
Ο καιρός πάντα έρχεται από την άγρια Δύση. Τώρα όμως πρώτη φορά έκανε παράκαμψη.

Να συμπληρώσω – διορθώσω το 4 του χειρόγραφου. Πρόκειται για λόγο κινητικών ενεργειών και η ΑΔΕ δεν χρειάζεται στην απόδειξη της σχέσης που υπάρχει εκεί.

Καλό σας μήνα! Πολύ ενδιαφέρον το θέμα που δημοσιεύεις Μίλτο που το εμπλούτισαν με τις παρεμβάσεις τους οι συνάδελφοι. Κάποιες σκέψεις πάνω σε αυτό, επιγραμματικά, φαίνονται στο χειρόγραφο κείμενο.

https://i.ibb.co/McsdvTN/5tt.jpg

Έτσι σαν παιχνίδι
https://dionysisblog.wordpress.com/wp-content/uploads/2024/09/kk1.jpg

https://dionysisblog.wordpress.com/wp-content/uploads/2024/09/kk2.jpg

Γιώργο (Βουμβάκη) και Γιώργο (Κόμη) σας ευχαριστώ για τον περαιτέρω εμπλουτισμό της ανάρτησης!
Θα απολογηθώ στο μαθητή σου Γιώργο (Κόμη), καθώς εγώ απλώς τις κινητικές ενέργειες ζήτησα!!

Καλημέρα σε όλους.
Καλή βδομάδα, καλό μήνα, καλή σχολική χρονιά!
Πολύ καλό θέμα και υπόδειγμα ομαδικής δουλειάς!
Να είστε όλοι καλά!

Καλημέρα και καλή σχολική χρονιά Βασίλη!

Καλημέρα και πάλι.
Μίλτο άλλη μια πολύ αξιόλογη εργασία!
Σε ευχαριστούμε πολύ για την προσφορά.

Καλησπέρα Βασίλη.
Ευχαριστώ πολύ για το σχολιασμό.
Το σενάριο και το αποτέλεσμα είναι γνωστά, ελπίζω όμως να φανεί χρήσιμο!
Να είσαι καλά!

Πριν από τρία χρόνια είχε γίνει η ανάρτηση Πυθαγόρεια τριάδα περιόδων.
Τα εισαγωγικά στον τίτλο προστέθηκαν για να υπάρχει συμβατότητα με την παρατήρηση του Κωνσταντίνου!